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1、1上次教学内容回顾 （2012/2/21）梁：1.5,1.61. 场的概念2. 场与解析函数之间的联系什么是场及一些实例(电磁场、量子场、温度场、声场)标量场VS矢量场、恒定场VS时变场、平面场VS立体场对于某些特定的场，可利用一解析函数来方便的描述它量函数如何求解势函数3. 多值函数支点的定义，黎曼面的定义矢线势线12本次教学内容提要 （2012/2/23） 梁：2.1,2.2,2.31. 复变函数的积分2. 柯西定理（重点）复变函数积分的定义与复变函数积分的性质复变函数积分值一般与积分路径相关复变函数积分值一般与积分路径相关3. 不定积分若复变函数在某区域中解析，则该函数沿区域边界上的积分
2、为零。（单联通、复联通）用途：告诉我们什么样的函数其积分值与路径无关不定积分的定义性质：若被积函数解析，则原函数(不定积分的结果)也解析。4. 一个极为重要的闭合路径积分（重点）本章无作业5. 柯西公式（重点）22.1 复变函数的积分复变函数的积分(路积分）路积分）定义定义: 复平面分段光滑曲线l 上的连续函数 f(z)，作和A xyo Bz0znlz1zk-1zkk1存在且与存在且与 k的选取无关的选取无关, 则这个和的极限称为函数则这个和的极限称为函数f(z) 沿曲沿曲线线l从从A到到B的路积分，记为的路积分，记为若若 与实变函数y=f(x)积分的 定义相似，即将x换为z 一般来讲给定起点
3、A和终 点B后，不同的积分路径 给出不同的积分结果 复变函数路积分 = 对无穷多个复数求和！3 分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), dz=dx+idy 参数形式：曲线l 的参数方程 x=x(t), y=y(t), 起始点A 和结束点 BtA, tB参数形式的优越性在于，将一个二维的路径积分化为一个一维积分。参数形式的优越性在于，将一个二维的路径积分化为一个一维积分。但缺点在于，并不是每条曲线都存在一个参数方程。但缺点在于，并不是每条曲线都存在一个参数方程。一个复变积分是两个实变积分的有序组合一个复变积分是两个实变积分的有序组合4几个重要性质1. 常数因子可以移到积分号之外2.
4、函数和的积分等于各函数积分的和3. 反转积分路径，积分值变号 （复变函数路积分实际为对无穷多个复数求和）56. 积分不等式积分不等式2：(经常用到经常用到)4. 4. 全路径上的积分等于各分段上的积分之和全路径上的积分等于各分段上的积分之和 即：即： 如果如果 l=l1+l2+ln5. 积分不等式积分不等式1： 其中其中 M 是是 |f(z)| 在在 l 上的最大值，上的最大值，L 是是 l 的全长。的全长。证明见下页65. 积分不等式积分不等式1：证明证明将求和换为积分将求和换为积分迭代n次7例例1 计算积分计算积分可见：复变函数的积分不仅与起点和终点有关可见：复变函数的积分不仅与起点和终点
5、有关,同时还与路径有关同时还与路径有关.oxyl1l1l2l211+ii例例2 计算积分计算积分82.2 柯西（柯西（Cauchy）定理定理 核心核心 什么样的复变函数，它的积分与路径无关什么样的复变函数，它的积分与路径无关（一）单连通域情形（一）单连通域情形单连通域单连通域 在其中作任何简单闭合围线，围线内的点都是属在其中作任何简单闭合围线，围线内的点都是属于该区域内的点于该区域内的点单连通区域的单连通区域的Cauchy 定理定理 ：如果函数 f(z) 在闭单连通区域 中单值且解析， 则沿 中任何一个分段光滑的闭合曲线 c (也可以是 的边界l), 函数的积分为零。单联通复联通9oxylco
6、证明：由路径积分的定义：因因 f(z)在在 上解析，因而上解析，因而 在在 上存在且连续，上存在且连续，10对实部虚部分别应用格林公式对实部虚部分别应用格林公式又又u、v 满足满足C-R条件条件 故故将回路积分化成面积分将回路积分化成面积分11Cauchy 定理定理推广：推广：若函数f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通域 上连续，则沿 上任一分段光滑闭合曲线C (也可以是 的边界)，有 原始原始Cauchy 定理定理 ：如果函数 f(z) 在闭单连通区域 中解析， 则沿 中任何一个分段光滑的闭合曲线 c (也可以是 的边界l), 函数的积分为零。推广的Cauchy定理将函数 f(z) 在单连
7、通区域B的边界l上解析的要求弱化为连续。12（二）复连通域情形（二）复连通域情形定义：不满足单联通条件的区域为复联通区域。定义：不满足单联通条件的区域为复联通区域。为何要研究复联通区域？为何要研究复联通区域？经常遇到区域内存在：经常遇到区域内存在：(1)(1)奇点奇点 ；(2)(2)不连续线段不连续线段 ；(3)(3)无无定义区定义区 ，为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的围道为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的围道 l l1 1、l l2 2、 l l3 3 把它们分隔开来，形成把它们分隔开来，形成带孔的区域 - 复连通区域复连通区域。 xy l1l2l3l0Bo 一般而言，在区域内
8、，只要有 一个简单的闭合围线其内有不 属于该区域的点，这样的区域 便称为复连通域。 区域边界线的正向 - 当观察者 沿着这个方向前进时，区域总 是在观察者的左边。13复连通区域的复连通区域的Cauchy 定理定理：如果如果 f(z) 是闭复连通区域是闭复连通区域 中的单值解析中的单值解析函数，则函数，则l 为外边界线，为外边界线， li为为内边界内边界线，积分沿边界线正向线，积分沿边界线正向证：作割线证：作割线(AB,AB,CD,CD)连接内连接内外边界线，把复联通转换成单外边界线，把复联通转换成单联通。联通。 14即15柯西定理总结：柯西定理总结：1. 若若f f( (z z) )在单连通域
9、在单连通域B B上解析，在闭单连通上解析，在闭单连通域域 上连续，则沿上连续，则沿 上任一分段光滑闭合上任一分段光滑闭合曲线曲线C( (也可以是也可以是 的边界的边界) )的积分为零；的积分为零； 2. 闭复连通区域上的单值解析函数沿所有闭复连通区域上的单值解析函数沿所有内外境界线正方向的积分为零；内外境界线正方向的积分为零；3. 闭复连通区域上的单值解析函数沿外境闭复连通区域上的单值解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和；逆时针方向积分之和；16由由Cauchy Cauchy 定理可推出：定理可推出： （与开头呼应！与开头
10、呼应！） 在闭单连通区域或复连通区域中解析的函数在闭单连通区域或复连通区域中解析的函数f f( (z z) )，其其路积分值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关路积分值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关。ADBC2C1证明：由图可知其中 表示C2 的反方向。由积分的基本性质可得：只要起点和终点固定不变，当积只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时分路径连续变形时(不跳过不跳过“孔孔”)时，函数的路积分值不变。时，函数的路积分值不变。172.3 不定积分不定积分（原函数）（原函数）根据 Cauchy 定理，若函数f(z)在单连通区域B上解析， 则沿B上任一分段光滑曲线 l 的积分 只与起点
11、和终点有关，而与路径无关。因此如果固定起点 z0 而变化终点 z, 这个不定积分便定义了一个单值函数 F(z): 注意F(z)既和z相关，又和z0相关18F(z) 的性质：的性质：(3) F(z) 在区域B上是解析的(2) 即 F(z) 是f(z) 的一个原函数(1)性质(1)的证明：梁(2.3.2)f(z) 必须解析性质(3)的证明：由(2)，F(z)的导数存在为f(z)。又因f(z)在区域B中解析，故F(z)在B中处处存在，也即F(z)在B中解析。19由性质(1)性质(2)的证明：f(z)为常数f(z) 解析故而连续最后得出20例（非常重要!）：计算积分 I 解：（1）如果 l 不包含 点
12、，被积函数总解析,按柯西定理， I=0; (2)如果 l 包含 点, 又要分两种情况： (a) n0, 因被积函数解析， 故 I=0; (b) n0,被积函数在l 内有奇点 l R C( n 为整数）21用半径为用半径为 R 的圆周的圆周 C 包围包围 点，点，则则 l+C 构成复连通区域，因此构成复连通区域，因此原积分变成圆周原积分变成圆周 C上的积分，上的积分，在在 C 上上 故故:R C22这样, (一) n-1, (二) n=-1, 总结起来有总结起来有232.4 柯西（柯西（Cauchy）公式公式解析函数是一类具特殊性质的函数，特殊性表现之一是，在解析区域各处的函数值并不相互独立，而
13、是密切相关，这种关联的表现之一就是 Cauchy 积积分公式。分公式。一、单连通域情形一、单连通域情形若 f(z) 在闭单通区域 上单值解析；l 为 的境界线， 为 内的任一点，则有Cauchy 积分公式积分公式：f(z)在z点的值与f(z)在z点邻域上的积分有关。24证明：证明： 由（由（2.3.4）式）式从而仅需证明从而仅需证明因因被积函数以被积函数以 为奇点，作如右为奇点，作如右图所示回路，有图所示回路，有l25对对右端值作一估计右端值作一估计因因于是于是（2.4.2）左端与）左端与 无关，故左端可取为右端的极限值无关，故左端可取为右端的极限值 26Bl1l2l z变量变量代换代换对对复
14、连通区域，复连通区域，（2.4.3）式仍成立只要将式仍成立只要将l 理解成理解成所有境界线，且均取正向所有境界线，且均取正向27二、无界区域的二、无界区域的Cauchy积分积分公式公式如果：如果：f(z) 在在 l 外部（绿色区域）解析，且外部（绿色区域）解析，且当当 |z| 时，时，f(z) 0 (一致一致)， 则：则：l z注意：注意： l和和l 的方向不同，但都是的方向不同，但都是所考虑区域所考虑区域(图中绿色区域的外部图中绿色区域的外部)的正方向（正方向是指：当沿着的正方向（正方向是指：当沿着该方向走动时，所考虑的区域始该方向走动时，所考虑的区域始终在左方）终在左方）28l zl证明：
15、证明：当R趋于无穷时，即注意这里积分沿顺时针方向29三、三、Cauchy 积分公式的重要积分公式的重要扩展扩展（任意次（任意次可导！）：可导！）： 证明见下页。注意在实变函数中 的一阶导数肯定存在，但其高阶导数并不一定存在。30证明：证明：31四、四、Cauchy 积分公式的积分公式的两个推论两个推论： 1.模数原理模数原理：设f(z)在某个闭区域上解析，则|f(z)|只能在闭区域的边界L上取得极大值。 - 极大值只能分布在边界上。322.刘维尔定理刘维尔定理：设f(z)在全平面解析，且其模有限|f(z)|0: 解：令 则 （1）若 |a| ,在圆 内解析，由 Cauchy 公式， aC394
16、0上次教学内容回顾 （2012/2/23） 梁：2.1,2.2,2.31. 复变函数的积分2. 柯西定理（重点）复变函数积分的定义与复变函数积分的性质复变函数积分值一般与积分路径相关复变函数积分值一般与积分路径相关3. 不定积分若复变函数在某区域中解析，则该函数沿区域边界上的积分为零。（单联通、复联通）用途：解析函数其积分值与路径无关，不跨孔则可任意变形不定积分的定义性质：若被积函数解析，则原函数(不定积分的结果)也解析。4. 一个极为重要的闭合路径积分（重点）5. 柯西公式（重点）40本章本章基本要求：基本要求：1. 1. 掌握柯西定理和柯希公式，掌握柯西定理和柯希公式， 理解其证明方法及关
17、键步骤。理解其证明方法及关键步骤。2 2掌握掌握(2(23 34)4)式及式及(2(23 35)5)式式复变函数的路径积分与不定积分，单、复连通区复变函数的路径积分与不定积分，单、复连通区域上的科希定理和科希公式。域上的科希定理和科希公式。本章本章主要内容：主要内容：41习题习题(1): 将以下复数用代数式、三角式和指数式表示出来欧拉公式1.1. 2(3)1.1. 2(6)42习题习题(2): 计算下列数值1.1. 3(3)运用指数进行计算1.1. 3(3)运用指数进行计算1.1. 3(8)运用指数进行计算4344习题习题(3): 计算下列数值（a,b,x为实数）1.2. 2(3)1.2. 2
18、(5)习题习题(4): 求解方程1. 假定z为实数，因为对所有实数sin(x)必须小于1，故假定不成立.2. 令z=x+iy, x,y为实数.解法一：45解法二：46习题习题(5): 推导极坐标下的C-R方程定义沿半径方向求导xy47沿幅角方向求导两个导数必须相等xy48习题习题(6): 已知解析函数f(z)的实部u或虚部v求该解析函数1.4.2(4)引入极坐标49若采用直角坐标较难获得u的表达式501.4.2(10)51习题习题(7): 已知等势线方程为x2+y2=C, 求复势1.5.3令可见t不是复势的实部或虚部设需要推导出f(t)的函数形式52下面求v，为此利用极坐标其对应的v上题中已解过，为故而复势为53习题习题(8): 指出下列多值函数的支点及阶数并作出黎曼面1.6.1令根据教材为一多值函数，其支点在z=0处，阶数为二阶。故而也为一多值函数，其支点在z=a处，阶数为二阶。54
