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1、数理统计CH5假设检验ppt课件Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望什么是假设检验？5 假设检验 将实际问题表述成针对总体的两对立假设H0和H1，依据样本观察值x1,x2,xn提供的信息，采用小概率事件原理做出是否拒绝原假设H0的决策，此决策过程就称作统计假设检验，简称假设检验假设检验。由于两假设H0与H1彼此对立，拒绝H0就意味着接受H1，不拒绝H0就意味着拒绝H1，两者只能取其一，因此问题终会有结论。7/25/20242王玉顺：数理统计05_假设检验本章内容本章内容5
2、 假设检验5.1 假设检验原理5.2 正态总体均值Z检验5.3 正态总体均值t 检验5.4 正态总体方差 2 检验5.5 正态总体均值差t 检验5.6 正态总体方差比F检验5.7 分布拟合 2检验7/25/20243王玉顺：数理统计05_假设检验本章重点本章重点正态总体均值t 检验正态总体方差 2 检验正态总体均值差t 检验正态总体方差比F检验分布拟合 2检验5 假设检验7/25/20244王玉顺：数理统计05_假设检验5 假设检验5.1 假设检验原理Testingmechanismofhypotheses7/25/20245王玉顺：数理统计05_假设检验 已验证，计量装袋机的装料重量X是一个
3、均值为、方差为2的正态随机变量。规定袋装葡萄糖的平均装料重量为0.5kg(记作0)。 为检验计量装袋机的运行是否偏离企业的技术规定，随机抽检了该机器封装的9袋葡萄糖的净重(kg)，检测结果为0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.520, 0.515, 0.5125.1 假设检验原理(1)案例资料7/25/20246王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理(2)提出问题计算样本均值发现：由大数定律可知，样本均值 是总体均值的近似值，抽样结果使我们不得不怀疑计量装袋机的平均装料重量是否已大于0.5？7/25/20247王玉顺：数理统计05
4、_假设检验5.1 假设检验原理(2)提出问题我们对总体的均值有三种猜测：可能性小可能性大可能性中无论哪种猜测，目前其可能性大小都只是一种感觉，我们无法合理作出结论，需要量化。7/25/20248王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理(3)设立统计假设将问题表述为两对立的统计假设，即把一个实际问题变换为一个可计算推断的数学问题：将要解决的问题变换成统计假设决策或决断H0为真称作接受H0决策或决断H0为假称作拒绝H0H0：0.5H1：0.5将问题表述为下面的统计假设：7/25/20249王玉顺：数理统计05_假设检验选择一个能对假设做出决策的检验工具，即一个合适的统计量。它应包含被检验
5、参数但不包含其它未知参数，且概率分布确定5.1 假设检验原理 Tdf统计量包含被检验参数，服从自由度df=n-1的t(df)分布，概率分布确定，能用于计算所考察事件的概率。选定选择一个能计算事件概率的统计量(4)选择检验工具7/25/202410王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理试验结果是已发生的事实，是决断H0的合理依据。但证据需要量化，故选定Tdf的抽样观察值t作证据。(5)搜集不利H0的证据问题H0：0.5(0)H1：0.5(0)Tdf统计量的真实观察值可计算的Tdf统计量的抽样观察值不可计算的7/25/202411王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理若H0
6、为真，则统计量Tdf的真实观察值不小于它的抽样观察值t，而t表征了现实与假设之间的偏离程度：(5)搜集不利H0的证据问题H0：0.5(0)H1：0.5(0)0可能性愈小7/25/202412王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理样本统计量的抽样观察值是已发生的事实，它们具有决断H0的证据效力：(5)搜集不利H0的证据样本均值的证据效力间接而不明确7/25/202413王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理(5)搜集不利H0的证据样本统计量的抽样观察值是已发生的事实，它们具有决断H0的证据效力：t的证据效力直接而明确7/25/202414王玉顺：数理统计05_假设检验5.
7、1 假设检验原理由统计量Tdf和它在假设H0下的抽样观察值抽样观察值t构造抽样观测事件抽样观测事件，用以表征现实与假设之间的偏离程度：(6)考察证据的充分性问题H0：0.5(0)H1：0.5(0)抽样观测事件7/25/202415王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理计算H0下发生抽样观测事件抽样观测事件的概率p，差值1-p表征了以证据t拒绝H0的充分性程度：问题H0：0.5(0)H1：0.5(0)(6)考察证据的充分性p值愈小偏离H0愈大，按小概率事件原理，一次试验若p则抽样观测事件视作不可能事件，此时拒绝H0则证据达到充分性水平1-7/25/202416王玉顺：数理统计05_假
8、设检验5.1 假设检验原理从另一个角度看问题，一旦试验结果确定，则p值可表示为原假设H0成立的概率：问题H0：0.5(0)H1：0.5(0)(6)考察证据的充分性7/25/202417王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理若H0为真但作出拒绝H0的决策，则p值表征了犯第一类错误的最大概率：问题H0：0.5(0)H1：0.5(0)P(拒绝H0|H0为真)p犯第一类错误的真实概率不大于p(6)考察证据的充分性7/25/202418王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理问题H0：0.5(0)H1：0.5(0)(6)考察证据的充分性1-p=0.99647/25/202419王玉
9、顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理对原假设H0的检验问题，归结为计算抽样观测事件的概率p值，它相对1的余数1-p代表了拒绝H0的证据所达到的充分性程度，故可依据p值对是否接受H0进行决策：问题H0：0.5(0)H1：0.5(0)(6)考察证据的充分性7/25/202420王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理(7)依据p值决策问题H0：0.5(0)H1：0.5(0)p=0.0036说明，抽样观测值t在原假设H0下不应发生决策规则：p就拒绝H07/25/202421王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理决策规则：p就拒绝H0依照小概率事件原理，概率小于0.05
10、的抽样观测事件在一次试验中按不可能事件处理按决策规则，做出拒绝H0决策可能犯错的最大概率p不大于0.05，故决策拒绝H0问题H0：0.5(0)H1：0.5(0)P(拒绝H0|H0为真)p(7)依据p值决策7/25/202422王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理(8)依据t值决策p值不大于0.05的统计量Tdf抽样观察值t的范围称作拒绝域，记作W依小概率事件原理，统计量Tdf的抽样观察值t落在拒绝域内就拒绝H0。问题H0：0.5(0)H1：0.5(0)7/25/202423王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理对原假设H0的检验问题，可归结为计算T统计量的抽样观测值t
11、，若它的值落入拒绝域，则代表了拒绝H0的证据已达到1-的充分性水平，故可依据t值与拒绝域的比较对是否接受H0进行决策：问题H0：0.5(0)H1：0.5(0)(8)依据t值决策7/25/202424王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理决策规则：Tdf的抽样观察值属于Wt就拒绝H0统计量值t在一次试验中落入Wt中是小概率事件，依小概率事件原理按不可能事件处理按决策规则，做出拒绝H0决策可能犯错的最大概率不大于0.05，故决策拒绝H0问题H0：0.5(0)H1：0.5(0)(8)依据t值决策7/25/202425王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理问题H0：0.5(0)
12、H1：0.5(0)(8)依据t值决策t=3.5778在拒绝域内，说明它在原假设H0下不应发生7/25/202426王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理决策规则倾向于保护原假设结论：因p=0.00361.8595属于拒绝域，故0.05水平上否定H0，认定计量装袋机的平均装料重量大于规定的0.5kg(9)检验结论决策原理决策原理：p值愈小，依样本证据否定H0犯错的概率就愈小，与临界概率比较，若p就否定H0，若p就不否定(接受)H0；7/25/202427王玉顺：数理统计05_假设检验 检验计量装袋机的运行是否偏离技术规定，可归结为利用抽检数据提供的信息解决下述3个问题：(a)装袋料重
13、X的均值(期望)是否等于0.5kg(b)装袋料重X的均值(期望)是否低于0.5kg(c)装袋料重X的均值(期望)是否高于0.5kg5.1 假设检验原理(10)案例的三类检验7/25/202428王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理H0：=0.5H1：0.5将问题(a)表述为下述统计假设：将问题表述为两对立的统计假设，即把一个实际问题变换为一个可计算推断的数学问题：将实际问题变换成统计假设决策或决断H0为真称作接受H0决策或决断H0为假称作拒绝H0(10)案例的三类检验7/25/202429王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理H0：0.5H1：0.5将问题(c)表述为
14、下述统计假设：将实际问题变换成统计假设H0：0.5H1：0.5将问题(b)表述为下述统计假设：(10)案例的三类检验7/25/202430王玉顺：数理统计05_假设检验计算H0下检验统计量Tdf的抽样观察值t5.1 假设检验原理问题(a)H0：=0.5(0)H1：0.5(0)(10)案例的三类检验7/25/202431王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理问题(a)H0：=0.5(0)H1：0.5(0)计算H0下发生抽样观测事件的概率p抽样观测事件选为(10)案例的三类检验7/25/202432王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理决策规则：Tdf的抽样观察值属于Wt就
15、拒绝H0统计量值t在一次试验中落入Wt中是小概率事件，依小概率事件原理按不可能事件处理按决策规则，做出拒绝H0决策可能犯错的概率不大于0.05，故决策拒绝H0问题(a)H0：=0.5(0)H1：0.5(0)(10)案例的三类检验7/25/202433王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理问题(a)H0：=0.5(0)H1：0.5(0)p=0.0072说明，看到的抽样观察值t在H0下不应发生决策规则：p就拒绝H0(10)案例的三类检验7/25/202434王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理问题(b)H0：0.5(0)H1：0.5(0)计算H0下检验统计量Tdf的抽样观
16、察值t(10)案例的三类检验7/25/202435王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理计算H0下发生抽样观测事件的概率p抽样观测事件选为问题(b)H0：0.5(0)H1：0.5(0)(10)案例的三类检验7/25/202436王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理问题(b)H0：0.5(0)H1：0.5(0)计算H0下检验统计量Tdf的抽样观察值t(10)案例的三类检验7/25/202438王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理计算H0下发生抽样观测事件的概率p抽样观测事件选为问题(c)H0：0.5(0)H1：0.5(0)(10)案例的三类检验7/25/2
17、02439王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理问题(c)H0：0.5(0)H1：0.5(0)p=0.0036说明，看到的抽样观察值t在H0下不应发生决策规则：p就拒绝H0(10)案例的三类检验7/25/202440王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理决策规则倾向于保护原假设 问题(a)决策：p=0.0072，故0.05水平上接受H0，认为平均装料重量不小于0.5kg 问题(c)决策：p=0.0036就不否定(接受)H0；(10)案例的三类检验7/25/202441王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理决策规则倾向于保护原假设原假设H0下发生抽样观测事件的
18、概率为p若p则说明该事件是一个小概率事件，依小概率事件原理它在一次试验中不应发生。然而抽样观测事件是已发生的事实，一个假设H0下本不该发生的事件居然发生了，事实与假设矛盾。逻辑上只有推测原假设H0可能是错误的，故否定H0。若H0为真，依照样本证据否定H0可能犯错的最大概率为p。(11)讨论几个问题(a a)假设检验的推理逻辑假设检验的推理逻辑7/25/202442王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理决策规则倾向于保护原假设原假设H0下发生抽样观测事件的概率为p；若p则说明该事件是一个大概率事件，依大数定律一次试验中该事件应会发生；一个假设H0下应发生的事件也确实发生了，事实与假设
19、并不矛盾。现有的样本证据不足以否定H0，按疑罪从无原则接受H0。(11)讨论几个问题(a a)假设检验的推理逻辑假设检验的推理逻辑7/25/202443王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理(11)讨论几个问题(b b)为什么为什么p就拒绝就拒绝H0？拒绝H0可能犯错的概率pH0 =p，p就否定H0结论等价问题(a)H0：=0.5(0)H1：0.5(0)7/25/202444王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理(11)讨论几个问题问题(b)H0：0.5(0)H1：0.5(0)(b b)为什么为什么p就拒绝就拒绝H0？拒绝H0可能犯错的概率pH0p，p就否定H0结论更强
20、7/25/202446王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理(11)讨论几个问题问题(a)H0：=0.5(0)H1：0.5(0)(c c)为什么为什么p就接受就接受H0？拒绝H0可能犯错的概率pH0=p，p就否定H0不充分7/25/202447王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理(11)讨论几个问题问题(b)H0：0H1：就接受就接受H0？拒绝H0可能犯错的概率pH0p，p就否定H0不充分7/25/202448王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理问题(c)H0：0H1：0(11)讨论几个问题(c c)为什么为什么p就接受就接受H0？拒绝H0可能犯错的概率
21、pH0p，p就否定H0不充分7/25/202449王玉顺：数理统计05_假设检验(d d)检验水平检验水平significance level5.1 假设检验原理设定检验水平，也就是选择=0.05或0.01或其它值；是小概率事件的临界概率，它的大小表示多小概率的事件将作为不可能事件处理；愈小则在否定H0时需要更强(更严)的证据，但也意味着我们更可能以假当真。国际共识=0.05或=0.01(11)讨论几个问题7/25/202450王玉顺：数理统计05_假设检验只选Z、 2、T、F四者之一做检验统计量解决所有问题，适用统计量要求包含被检验参数但不包含其它未知参数，且概率分布确定。非正态总体抽样可采
22、用大样本方法。与H1中的0 0及0 0三类假设相对应，匹配的抽样观测事件抽样观测事件型式分别是“统计量观察值”和“|统计量|观察值|”，代表样本偏离H0的程度。5.1 假设检验原理(11)讨论几个问题抽样观测事件测量样本偏离H0的程度(e e)检验统计量和抽样观测事件检验统计量和抽样观测事件7/25/202451王玉顺：数理统计05_假设检验(f f)用拒绝域做决策用拒绝域做决策5.1 假设检验原理(11)讨论几个问题拒绝H0所规定的统计量值范围称作拒绝域否定H0接受H0否定H0H0：=0.5H1：0.5H0：0.5H1：0.5 =0.05，7/25/202452王玉顺：数理统计05_假设检验
23、H0：0 0H1：0 05.1 假设检验原理(12)参数假设检验的步骤参数的零假设(无效假设，原假设)参数指定值被比较参数被检验参数参数的备选假设(备择假设)Alternative hypothesis Null hypothesis 7/25/202453王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤1：将问题表述为两对立的假设H0和H1；步骤步骤2：选定检验水平(significance level)；步骤步骤3：选择检验统计量，要求包含被检验参数但不包含其它未知参数，概率分布确定；步骤步骤4：计算H0下检验统计量的抽样观察值；步骤步骤5：根据H1构建由统计量与其观察值所表的抽样观测事件，被检验参
24、数0 0用“”；不定用“|统计量|观察值|”；步骤步骤6：计算零假设H0下发生抽样观测事件的概率p(尾概率)；步骤步骤7：做出决策，p否定H0，p接受H0(12)参数假设检验的步骤(程序化过程)7/25/202454王玉顺：数理统计05_假设检验总体分布类型已知，判断总体参数与某指定值或两总体参数是否满足某种指定关系的假设检验称作参数检验参数检验；分布类型未知，对其拟合某种指定分布，并判断其是否适合的假设检验，称作分布拟分布拟合检验合检验( (拟合优度检验拟合优度检验) )。5.1 假设检验原理(13)假设检验类型按检验对象分类7/25/202455王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检
25、验原理(13)假设检验类型按假设类型分类双侧检验双侧检验两尾检验两尾检验H0：=0 0H1：0 0决策规则p否定H0p接受H0Two sided testTwo-tailed test 7/25/202456王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理(13)假设检验类型One sided testLeft sided test 左方检验左方检验左侧检验左侧检验左尾检验左尾检验H0：0H1：接受H07/25/202457王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理One sided testRight sided test (13)假设检验类型右方检验右方检验右侧检验右侧检验右尾检
26、验右尾检验H0：0 0H1：0 0决策规则p否定H0p接受H07/25/202458王玉顺：数理统计05_假设检验假设检验的决策会发生两类错误：错误错误错误错误5.1 假设检验原理(14)假设检验的两类错误第一类错误为“弃真”，犯第一类错误的概率P(否定H0|H0为真)第二类错误为“取伪”，犯第二类错误的概率P(接受H0|H1为真)Error type I Error type II 7/25/202459王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理真实情况决策接受H0否定H0H0为真决策正确第一类错误第一类错误H1为真第二类错误第二类错误决策正确假设检验的可能决策结果(14)假设检验的
27、两类错误7/25/202460王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理(14)假设检验的两类错误减小检验水平的值犯错误的概率减小犯错误的概率增加两类错误的统计解释7/25/202461王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理(14)假设检验的两类错误减小犯第一类错误的概率，必然增加犯第二类错误的概率，反之亦然。犯两类错误的概率都减小的唯一方法是增大样本容量 7/25/202462王玉顺：数理统计05_假设检验5.1 假设检验原理(14)假设检验的两类错误样本容量n较小，犯两类错误的概率均较大。增大样本容量n，犯两类错误的概率均变小。7/25/202463王玉顺：数理统计05
28、_假设检验 正态总体Z检验t检验F检验均值和均值差方差比方差22检验5.1 假设检验原理(15)正态总体假设检验一览7/25/202464王玉顺：数理统计05_假设检验5.2 正态总体均值Z检验Ztestonthenormalmean5 假设检验7/25/202465王玉顺：数理统计05_假设检验 某企业生产寿命不小于1000h的10电阻，据以往经验，产品的阻值和寿命均服从正态分布，电阻标准差为0.1，寿命标准差50h。用户随机抽取10只电阻，试图由样本提供的信息确认：(a)产品平均电阻是否为10；(b)产品寿命是否不小于1000h。测得平均寿命970h及电阻数据如下：9.9,10.1,10.
29、2,9.7,9.9,9.9,10,10.5,10.1,10.25.2 正态总体均值Z Z检验(1)案例资料7/25/202466王玉顺：数理统计05_假设检验案例基本情况： 1)产品阻值和寿命均是正态总体的随机变量，获得样本容量10的电阻数据和平均寿命 2)两个问题的方差已知，选统计量时将考虑这一条件，本案例选Z统计量 3)问题(a)是要求检验=10 4)问题(b)是要求检验1000(2)梳理问题和条件5.2 正态总体均值Z Z检验7/25/202467王玉顺：数理统计05_假设检验H0：=10H1：10将问题(a)表述为下述统计假设：将实际问题变换成统计假设H0：1000H1：0.05，故接
30、受H0，0.05显著性水平上确认产品的平均电阻为10欧姆。7/25/202473王玉顺：数理统计05_假设检验5.2 正态总体均值Z Z检验(3)问题的均值Z检验阻值问题决策p=0.1140.05|z|=1.58111.960.05水平接受H07/25/202474王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤4 4：根据假设H1的类型，构建由统计量Z与其抽样观察值z所表的抽样观测事件抽样观测事件5.2 正态总体均值Z Z检验(3)问题的均值Z检验真实观察值抽样观察值7/25/202475王玉顺：数理统计05_假设检验5.2 正态总体均值Z Z检验步骤步骤5 5：计算H0下检验统计量Z的抽样观察值z(
31、3)问题的均值Z检验步骤步骤6 6：根据=0.05导出拒绝域7/25/202476王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤7：因Z统计量抽样观察值z=-1.8974-1.65在拒绝域内，故0.05水平上否定H0，元件寿命不合格。5.2 正态总体均值Z Z检验(3)问题的均值Z检验步骤步骤6 6：根据=0.05导出拒绝域7/25/202477王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤6：计算H0下发生抽样观测事件抽样观测事件的概率p5.2 正态总体均值Z Z检验(3)问题的均值Z检验步骤步骤7：因p=0.02870.05，故0.05显著性水平上否定零假设H0，认定这批电子元件的平均寿命小于规定的100
32、0h，元件寿命不合格。7/25/202478王玉顺：数理统计05_假设检验5.2 正态总体均值Z Z检验(3)问题的均值Z检验因p=0.02870.05因z=-1.8974接受H0适用于方差已知的正态总体样本7/25/202480王玉顺：数理统计05_假设检验5.2 正态总体均值Z Z检验(4)均值双侧Z检验小结适用于方差已知的正态总体样本7/25/202481王玉顺：数理统计05_假设检验5.2 正态总体均值Z Z检验(5)均值左侧Z检验小结p否定H0p接受H0适用于方差已知的正态总体样本7/25/202482王玉顺：数理统计05_假设检验5.2 正态总体均值Z Z检验(5)均值左侧Z检验小
33、结适用于方差已知的正态总体样本7/25/202483王玉顺：数理统计05_假设检验5.2 正态总体均值Z Z检验(6)均值右侧Z检验小结p否定H0p接受H0适用于方差已知的正态总体样本7/25/202484王玉顺：数理统计05_假设检验5.2 正态总体均值Z Z检验(6)均值右侧Z检验小结适用于方差已知的正态总体样本7/25/202485王玉顺：数理统计05_假设检验5.3 正态总体均值t检验ttestonthenormalmean5 假设检验7/25/202486王玉顺：数理统计05_假设检验 已验证，计量装袋机的装袋料重X是一个正态随机变量。规定袋装葡萄糖的装料重量X的均值为0.5kg。随
34、机抽检了所产9袋葡萄糖的净重(kg)，检测数据分别是0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.520, 0.515, 0.512，试根据此样本提供的信息确认(a)装料重量的均值是否等于0.5kg；(b)装料重量的均值是否低于0.5kg；(c)装料重量的均值是否高于0.5kg。5.3 正态总体均值t t检验(1)案例资料7/25/202487王玉顺：数理统计05_假设检验案例基本情况： 产品净重样本抽自正态总体，样本容量为9，规定总体均值为0.5kg。 总体的方差未知，考虑这一条件，本案例选Tdf统计量。 问题(a)的原假设是=0.5 问题(b)的原
35、假设是0.5 问题(c)的原假设是0.5(2)梳理问题和条件5.3 正态总体均值t t检验7/25/202488王玉顺：数理统计05_假设检验(3)问题的均值t检验H0：=0.5H1：0.5将问题(a)表述为下述统计假设：步骤步骤1：将问题表述为两对立的统计假设实际问题变换为统计问题H0：0.5H1：0.5将问题(c)表述为下述统计假设：步骤步骤1：将问题表述为两对立的统计假设实际问题变换为统计问题5.3 正态总体均值t t检验步骤步骤2：设定检验水平(significance level)(3)问题的均值t检验7/25/202490王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤3：选择检验统计量，包
36、含被检验参数，不包含其它未知参数，概率分布确定； Tdf统计量包含被检验参数，服从自由度为df=n-1的t(df)分布(概率分布确定)，可胜任问题(a)、问题(b)及问题(c)的解决。选定选择一个解决问题的工具-统计量5.3 正态总体均值t t检验(3)问题的均值t检验7/25/202491王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤4：根据H1构建由统计量与其观察值所表的抽样观测事件抽样观测事件，被检验参数0 0用“ ”；不定用“|统计量| |观察值|”问题(a)H0：=0.5H1：0.5构造一个能测量偏离原假设H0的事件问题(b)H0：0.5H1：0.55.3 正态总体均值t t检验步骤步骤5：
37、计算假设H0下统计量的抽样观察值t(3)问题的均值t检验7/25/202493王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤5：计算假设H0下统计量的抽样观察值t5.3 正态总体均值t t检验(3)问题的均值t检验7/25/202494王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤6：计算H0下发生抽样观测事件抽样观测事件的概率p5.3 正态总体均值t t检验问题(a)H0：=0.5H1：0.5(3)问题的均值t检验7/25/202495王玉顺：数理统计05_假设检验5.3 正态总体均值t t检验问题(a)H0：=0.5H1：0.5(3)问题的均值t检验p=0.00720.050.05水平否定H07/25/2
38、02496王玉顺：数理统计05_假设检验问题(b)H0：0.5H1：0.5步骤步骤6：计算H0下发生抽样观测事件抽样观测事件的概率p5.3 正态总体均值t t检验(3)问题的均值t检验7/25/202497王玉顺：数理统计05_假设检验问题(b)H0：0.5H1：0.050.05水平接受H07/25/202498王玉顺：数理统计05_假设检验问题(c)H0：0.5H1：0.5步骤步骤6：计算H0下发生抽样观测事件抽样观测事件的概率p5.3 正态总体均值t t检验(3)问题的均值t检验7/25/202499王玉顺：数理统计05_假设检验问题(c)H0：0.5H1：0.55.3 正态总体均值t t
39、检验(3)问题的均值t检验p=0.00360.050.05水平否定H07/25/2024100王玉顺：数理统计05_假设检验决策规则倾向于保护原假设 问题(a)决策：p=0.0072，故0.05水平上接受H0，认为装料重量的均值不小于0.5kg 问题(c)决策：p=0.0036就不否定(接受)H0；5.3 正态总体均值t t检验(3)问题的均值t检验7/25/2024101王玉顺：数理统计05_假设检验(4)均值双侧t检验小结5.3 正态总体均值t t检验p否定H0p接受H0适用于方差未知的正态总体样本7/25/2024102王玉顺：数理统计05_假设检验(4)均值双侧t检验小结5.3 正态总
40、体均值t t检验适用于方差未知的正态总体样本7/25/2024103王玉顺：数理统计05_假设检验(5)均值左侧t检验小结5.3 正态总体均值t t检验p否定H0p接受H0适用于方差未知的正态总体样本7/25/2024104王玉顺：数理统计05_假设检验(5)均值左侧t检验小结5.3 正态总体均值t t检验适用于方差未知的正态总体样本7/25/2024105王玉顺：数理统计05_假设检验(6)均值右侧t检验小结5.3 正态总体均值t t检验p否定H0p接受H0适用于方差未知的正态总体样本7/25/2024106王玉顺：数理统计05_假设检验(6)均值右侧t检验小结5.3 正态总体均值t t检验
41、适用于方差未知的正态总体样本7/25/2024107王玉顺：数理统计05_假设检验5.4 正态总体方差 2检验Chi-squaretestonthenormal variance5 假设检验7/25/2024108王玉顺：数理统计05_假设检验(1)案例资料 某公司所加工轴零件的某一轴径尺寸服从正态分布，该公司声称该轴径的制造误差不超过0.096mm。用户为验证公司的说法，随机抽取5个轴零件，测得产品尺寸数据如下：10.095,10.025,10.085,10.045,10.065 根据样本提供的信息，试检验公司的说法并做出结论。5.4 正态总体方差 2检验7/25/2024109王玉顺：数理
42、统计05_假设检验 公司所加工的一批轴是我们要研究的总体，按照6原则，制造误差0.096mm是制造标准差的6倍，即=0.096/6=0.016，问题可归结为对20.0162和20.0162做出检验决策。 除5个数据外，案例没有提供其它已知条件。需选 2检验统计量，因其包含被检验参数2但不包含其它未知参数，分布确定。5.4 正态总体方差 2检验(2)梳理问题和条件7/25/2024110王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤1 1：将问题表述为下面的统计假设问题陈述问题陈述：利用正态总体XN(,2)的样本x1,x2,xn检验关于总体方差2的假设5.4 正态总体方差 2检验(3)问题的方差 2检验
43、H0：20.0162H1：20.0162H0：22H1：2200问题类型属于正态总体方差的右方 2检验7/25/2024111王玉顺：数理统计05_假设检验5.4 正态总体方差 2检验步骤步骤2 2：设定检验水平(significance level)一般选=0.05步骤步骤3 3：选择 2 做检验统计量，因其包含被检验参数2，不包含其它的未知参数，且零假设H0下概率分布确定dfdf(3)问题的方差 2检验7/25/2024112王玉顺：数理统计05_假设检验5.4 正态总体方差 2检验步骤步骤4 4：根据H1中的假设类型20.0162，匹配地构建由统计量 与其抽样观察值所表的抽样观测事件抽样
44、观测事件(3)问题的方差 2检验7/25/2024113王玉顺：数理统计05_假设检验5.4 正态总体方差 2检验步骤步骤5 5：计算H0下 2 统计量的抽样观察值df(3)问题的方差 2检验7/25/2024114王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤6 6：计算H0下发生抽样观测事件抽样观测事件的概率p5.4 正态总体方差 2检验(3)问题的方差 2检验7/25/2024115王玉顺：数理统计05_假设检验5.4 正态总体方差 2检验(3)问题的方差 2检验步步骤7：若p否定H0；若p接受H0p=0.01129.488在拒绝域内，故0.05水平上否定H0而接受H1，即认定20.0162mm
45、。结果表明，这批轴的轴径加工误差与公司所声称的加工精度不符。步骤步骤7 7：利用右方 2检验的拒绝域决策(3)问题的方差 2检验7/25/2024118王玉顺：数理统计05_假设检验5.4 正态总体方差 2检验(4)方差 2检验小结双侧 2检验：左方 2检验：右方 2检验：7/25/2024119王玉顺：数理统计05_假设检验双侧 2检验：p=2Min(p1,p2)， p否定H0，p接受H0左方 2检验：p=p1否定H0，p接受H0右方 2检验：p=p2否定H0，p接受H05.4 正态总体方差 2检验(4)方差 2检验小结依p值决策7/25/2024120王玉顺：数理统计05_假设检验5.4
46、正态总体方差 2检验(4)方差 2检验小结依拒绝域决策7/25/2024121王玉顺：数理统计05_假设检验5.4 正态总体方差 2检验计算H0下发生下面两种抽样观测事件抽样观测事件的概率p1和p2(5)p值决策法讨论三种检验的p值可由p1和p2导出7/25/2024122王玉顺：数理统计05_假设检验5.4 正态总体方差 2检验(5)p值决策法讨论双侧2检验的p值计算7/25/2024123王玉顺：数理统计05_假设检验5.4 正态总体方差 2检验(5)p值决策法讨论p=0.02450.05故0.05水平上接受H0，认定2大于等于0.0162mm7/25/2024126王玉顺：数理统计05_
47、假设检验5.4 正态总体方差 2检验右侧2检验的p值计算(5)p值决策法讨论7/25/2024127王玉顺：数理统计05_假设检验5.4 正态总体方差 2检验(5)p值决策法讨论p=0.0122311.143在拒绝域内，故0.05水平上否定H07/25/2024131王玉顺：数理统计05_假设检验5.4 正态总体方差 2检验导出H0下左侧 2检验的拒绝域(6)拒绝域决策法讨论7/25/2024132王玉顺：数理统计05_假设检验5.4 正态总体方差 2检验(6)拒绝域决策法讨论因 2统计量观察值12.81250.711不在拒绝域内，故0.05水平上不能否定H07/25/2024133王玉顺：数
48、理统计05_假设检验5.4 正态总体方差 2检验导出H0下右侧 2检验的拒绝域(6)拒绝域决策法讨论7/25/2024134王玉顺：数理统计05_假设检验5.4 正态总体方差 2检验(6)拒绝域决策法讨论因 2统计量观察值12.81259.488在拒绝域内，故0.05水平上否定H0，20.01627/25/2024135王玉顺：数理统计05_假设检验5.5 正态总体均值差t检验Group t-test and Paired t-test5 假设检验7/25/2024136王玉顺：数理统计05_假设检验本节内容本节内容5.5.1 成组数据均值差t 检验Group t-test5.5.2 成对数据
49、均值差t 检验Paired t-test5.5 正态总体均值差t t检验7/25/2024137王玉顺：数理统计05_假设检验若样本X1,X2,Xn1来自总体XN(1,2)，样本Y1,Y2,Yn2来自总体YN(2,2)，且两样本是分别独立抽取的(相互独立)，则下面三种统计假设的检验过程称作成组数据均值差t检验：5.5 正态总体均值差t t检验(1)成组数据均值差t检验7/25/2024138王玉顺：数理统计05_假设检验若在每个个体上独立地成对测取数据，即分别独立测取(X1,Y1),(X2,Y2),(Xn,Yn)，则5.5 正态总体均值差t t检验(2)成对数据均值差t检验则下面三种统计假设的
50、检验过程称作成对数据均值差t检验：7/25/2024139王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.1 成组数据均值差t检验Group t-test5.5 正态总体均值差t t检验7/25/2024140王玉顺：数理统计05_假设检验(1)案例资料 为比较A、B两种安眠药的疗效，将20 名患者随机分成两组并分别服用药物A和B，每组10人。服用安眠药A延长的睡眠时数为1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,5.5,1.6,4.6,3.4服用安眠药B延长的睡眠时数为0.7,-1.6,-0.2,-1.2,-0.1,3.4,3.7,0.8,0.0,2.0 若服用安眠药后增加的睡眠时数服从正态分布
51、，试比较两种安眠药的疗效(=0.05)5.5.1 成组数据均值差t t检验7/25/2024141王玉顺：数理统计05_假设检验(2)梳理问题和条件问题和条件问题和条件：比较两种安眠药疗效可归结为备择假设1-20或1-20的检验问题，左方检验还是右方检验要由1-2的估计值来判断。方差未知，故可采用均值差t检验法。问题陈述问题陈述：药物A的样本X1,X2,Xn1来自总体XN(1,2)，药物B的样本Y1,Y2,Yn2来自总体YN(2,2)，样本相互独立，问题归结为检验表征药物疗效的均值差1-25.5.1 成组数据均值差t t检验7/25/2024142王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤1：设定
52、检验水平(significance level)步骤步骤2：选择检验统计量Tdf，因其包含被检验参数1-2，不包含其它未知参数，零假设H0下概率分布确定(3)问题的均值差t检验5.5.1 成组数据均值差t t检验7/25/2024143王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤3 3：确定问题的统计假设5.5.1 成组数据均值差t t检验 样本均值差是总体均值差的近似值，故把怀疑设立成下面的统计假设：选(3)问题的均值差t检验7/25/2024144王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤4 4：计算Tdf统计量的抽样观察值t5.5.1 成组数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验7/25/20
53、24145王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.1 成组数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验7/25/2024146王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.1 成组数据均值差t t检验步骤步骤5 5：构建适宜抽样观测事件抽样观测事件真实观测值抽样观测值(3)问题的均值差t检验7/25/2024147王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤6 6：计算H0下发生抽样观测事件抽样观测事件的概率p5.5.1 成组数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验7/25/2024148王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.1 成组数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验步骤步骤7 7：做出决策因p
54、=0.03960，即认定药物A比药物B有效。7/25/2024149王玉顺：数理统计05_假设检验均值差t检验的三种统计假设5.5.1 成组数据均值差t t检验(4)p值决策法小结双侧均值差t检验：左侧均值差t检验：右侧均值差t检验：7/25/2024150王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.1 成组数据均值差t t检验构建H0下的两种抽样观测事件(4)p值决策法小结7/25/2024151王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.1 成组数据均值差t t检验构建H0下的两种抽样观测事件(4)p值决策法小结7/25/2024152王玉顺：数理统计05_假设检验计算H0下发生抽样观测事件抽样观测事
55、件的概率p1和p25.5.1 成组数据均值差t t检验(4)p值决策法小结7/25/2024153王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.1 成组数据均值差t t检验计算H0下发生抽样观测事件抽样观测事件的概率p(4)p值决策法小结7/25/2024154王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.1 成组数据均值差t t检验做出决策，p否定H0，p接受H0右方检验p=0.0396否定假设1-20接受假设1-20双侧检验p=0.0792不能否定假设H0左方检验p=0.9604不能否定假设H0(4)p值决策法小结7/25/2024155王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.1 成组数据均值差t t检验(
56、5)拒绝域决策法小结7/25/2024156王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.1 成组数据均值差t t检验(5)拒绝域决策法小结7/25/2024157王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.1 成组数据均值差t t检验(5)拒绝域决策法小结7/25/2024158王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t检验Paired t-test5.5 正态总体均值差t t检验7/25/2024159王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(1)案例资料 有两台光谱仪Ix、Iy可用来测量材料中某种金属的含量，为鉴定它们的检测结果是否存在显著差异，制备了9块试件
57、，且它们的成份、金属含量、均匀性等各不相同。用两台仪器分别对每一试件测试一次，得到9对观察值下表。7/25/2024160王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(1)案例资料两台光谱仪9块试件某金属含量的测试结果x /%y /%d=x-y /% 0.200.100.100.300.210.090.400.52-0.120.500.320.180.600.78-0.180.700.590.110.800.680.120.900.770.131.000.890.117/25/2024161王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(2)问题的统计
58、模型设仪器Ix的检测结果符合下面的模型：设仪器Iy的检测结果符合下面的模型：i为试件编号仪器Ix的测试误差仪器Iy的测试误差7/25/2024162王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(2)问题的统计模型则仪器Ix与仪器Iy的检测结果之差是一个随机变量：i为试件编号记7/25/2024163王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(2)问题的统计模型i为试件编号按照两仪器Ix与仪器Iy的检测结果模型，检测结果之差的期望为：7/25/2024164王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(2)问题的统计模型i为试件
59、编号按照两仪器Ix与仪器Iy的检测结果模型，并考虑两仪器检测结果的独立性，则检测结果之差的方差为：记7/25/2024165王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(2)问题的统计模型根据正态随机变量线性组合的正态不变性原理，则仪器Ix与仪器Iy的检测结果之差Di遵从下面的正态分布：i为试件编号由此可导出检测结果之差的样本均值统计量及其分布：7/25/2024166王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(2)问题的统计模型i为试件编号因此存在下面的t统计量：7/25/2024167王玉顺：数理统计05_假设检验成对数据均值差t检验的三种统计
60、假设均值差的三种情况表为三种统计假设5.5.2 成对数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验D表征两仪器测试误差总体的均值差7/25/2024168王玉顺：数理统计05_假设检验两台光谱仪9块试件某金属含量的测试结果x /%y /%d=x-y /% 0.200.100.100.300.210.090.400.52-0.120.500.320.180.600.78-0.180.700.590.110.800.680.120.900.770.131.000.890.11数据预处理5.5.2 成对数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验7/25/2024169王玉顺：数理统计05_假设检验5
61、.5.2 成对数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验计算H0下统计量Tdf的抽样观测值t7/25/2024170王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验构建H0下的两种抽样观测事件7/25/2024171王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验计算H0下发生抽样观测事件的概率p1和p27/25/2024172王玉顺：数理统计05_假设检验计算H0下发生抽样观测事件抽样观测事件的概率p1和p25.5.2 成对数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验7/25/2024173王玉顺：数理统计
62、05_假设检验计算H0下发生抽样观测事件抽样观测事件的概率p5.5.2 成对数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验7/25/2024174王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验因p=0.18050.05故0.05水平上接受H07/25/2024175王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验因|t|=1.46730.05故0.05水平上接受H07/25/2024177王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验因t=1.4673-1.8595不
63、在拒绝域内，故0.05水平上接受H07/25/2024178王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验因p=0.09020.05故0.05水平上接受H07/25/2024179王玉顺：数理统计05_假设检验5.5.2 成对数据均值差t t检验(3)问题的均值差t检验因t=1.4673或12/22，本例=1。采用左方检验还是右方检验可根据方差比的估计值s12/s22来决定。问题陈述问题陈述：机床甲样本X1,X2,Xn1来自总体XN(1,12)，机床乙样本Y1,Y2,Yn2来自总体YN(2,22)，样本相互独立。加工精度的比较可利用检验方差比12/2
64、2实现。7/25/2024183王玉顺：数理统计05_假设检验步骤步骤1：设定检验水平(significance level)步骤步骤2：选择检验统计量Fdf1,df2，因其包含被检验参数12/22，不包含其它任何未知参数，零假设H0下概率分布确定5.6 正态总体方差比F F检验(3)问题的方差比F检验7/25/2024184王玉顺：数理统计05_假设检验5.6 正态总体方差比F F检验步骤步骤3 3：计算样本方差比并确定检验问题类型(3)问题的方差比F检验7/25/2024185王玉顺：数理统计05_假设检验5.6 正态总体方差比F F检验(3)问题的方差比F检验步骤步骤4 4：构建H0下适
65、宜的抽样观测事件抽样观测事件F统计量的真实观察值F统计量的抽样观察值H0下事件的包含关系7/25/2024186王玉顺：数理统计05_假设检验5.6 正态总体方差比F F检验(3)问题的方差比F检验步骤步骤5 5：计算H0下发生抽样观测事件抽样观测事件的概率p7/25/2024187王玉顺：数理统计05_假设检验5.6 正态总体方差比F F检验(3)问题的方差比F检验步骤步骤5 5：计算H0下发生抽样观测事件抽样观测事件的概率p7/25/2024188王玉顺：数理统计05_假设检验5.6 正态总体方差比F F检验(3)问题的方差比F检验步骤步骤6 6：做出决策因p=0.0222接受H0(4)p
66、值决策法小结7/25/2024195王玉顺：数理统计05_假设检验5.6 正态总体方差比F F检验(4)p值决策法小结p否定H0p接受H07/25/2024196王玉顺：数理统计05_假设检验5.6 正态总体方差比F F检验(4)p值决策法小结p否定H0p接受H07/25/2024197王玉顺：数理统计05_假设检验依p值做出决策5.6 正态总体方差比F F检验(4)p值决策法小结7/25/2024198王玉顺：数理统计05_假设检验5.6 正态总体方差比F F检验(5)拒绝域法小结双侧方差比F检验左侧方差比F检验右侧方差比F检验根据检验水平和自由度df导出拒绝域7/25/2024199王玉顺
67、：数理统计05_假设检验5.6 正态总体方差比F F检验(5)拒绝域法小结双侧方差比F检验7/25/2024200王玉顺：数理统计05_假设检验5.6 正态总体方差比F F检验双侧方差比F检验(5)拒绝域法小结7/25/2024201王玉顺：数理统计05_假设检验5.6 正态总体方差比F F检验左侧方差比F检验(5)拒绝域法小结7/25/2024202王玉顺：数理统计05_假设检验5.6 正态总体方差比F F检验左侧方差比F检验(5)拒绝域法小结7/25/2024203王玉顺：数理统计05_假设检验5.6 正态总体方差比F F检验右侧方差比F检验(5)拒绝域法小结7/25/2024204王玉顺：数理统计05_假设检验5.6 正态总体方差比F F检验右侧方差比F检验(5)拒绝域法小结7/25/2024205王玉顺：数理统计05_假设检验结束结束5 假设检验7/25/2024206王玉顺：数理统计05_假设检验
