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1、一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法复习回顾复习回顾 不不等等式式的的性性质质1 不不等等式式的的两两边边加加（或或减）同一个数减）同一个数(或式子或式子)，不等号的，不等号的方向方向不变不变. 不等式的性质不等式的性质2 不等式的两边乘（或不等式的两边乘（或除以）同一个除以）同一个正数正数，不等号的，不等号的方向方向不变不变.不等式的性质不等式的性质 3 不等式的两边乘（或不等式的两边乘（或 除以）同一个除以）同一个负数负数，不等号的方向，不等号的方向改变改变 注意注意： 必须把不等号的必须把不等号的方向改变方向改变一、不等式的性质一、不等式的性质复习回顾复习回顾去分母去分母去括号去括号
2、.移项移项.合并同类项合并同类项.系数化为系数化为二解一元一次方程的基本步骤二解一元一次方程的基本步骤解：2x62x6x3x3解：（1）x的2倍等于等于6，求x.（2）x的2倍小于小于6，求x.1、口答.（1）x的的2倍加倍加1等于等于x的的5倍加倍加10 ，求，求x.2 2、练习、练习. .（2）x的的2倍加倍加1不小于不小于x的的5倍加倍加10 ，求，求x.解：解：2x1 5x102x5x101（2）（1）3x9x32x1 5x102x5x1013x9x3 通过比较这两题的练习，你对这两类题目的解法通过比较这两题的练习，你对这两类题目的解法有什么印象？有什么印象？3. 3. 比一比比一比.
3、 .解：解：（1）3(x2)2x （2）3(x2)2x3x62x3x62x3xx 623xx 622x42x4x2x2（1）3(x2)2x （2）3(x2)2x 解一元一次方程与解一元一次不等式解一元一次方程与解一元一次不等式的方法、步骤类似的方法、步骤类似. . 解一元一次不等式解一元一次不等式和解一元一次方程类似和解一元一次方程类似,有有 去分母去分母 去括号去括号 移项移项 合并同类项合并同类项 系数化为系数化为1等步骤等步骤. 在在去分母去分母和和系数化为系数化为1的两步中的两步中,要要特别注意特别注意不等式的两边都乘以不等式的两边都乘以(或除以或除以)一个一个负数负数时时,不不等号的
4、方向必须等号的方向必须改变改变.区别在哪里区别在哪里?步骤步骤62 (x2) 3x62x43x2x 3x645x10x2x262 (x2) 3x62x4 3x2x 3x 645x 10不等式的方法、步骤都类似的结论，同桌一起完成以下两题不等式的方法、步骤都类似的结论，同桌一起完成以下两题,并将并将解题过程填入表（一）。解题过程填入表（一）。表（一）表（一）（1）利用解一元一次方程与解一元）利用解一元一次方程与解一元一次一次不等式的基本性质不等式的基本性质2,3单项式乘以多项式法则单项式乘以多项式法则不等式的基本性质不等式的基本性质2合并同类项法则合并同类项法则不等式的基本性质不等式的基本性质2
5、,3步步 骤骤去分母去分母去括号去括号移项移项合并同类项合并同类项两边同除以两边同除以a根根 据据不等式的一般步骤，并指出每个步骤的根据，完成表（二）不等式的一般步骤，并指出每个步骤的根据，完成表（二）.表（二）表（二）（2）再利用表（一）归纳解一元一次）再利用表（一）归纳解一元一次写不等式的解时，要把表示未知数的字母写写不等式的解时，要把表示未知数的字母写写不等式的解时，要把表示未知数的字母写写不等式的解时，要把表示未知数的字母写在在在在不等号的左边。不等号的左边。不等号的左边。不等号的左边。填填 空：空：解不等式：解不等式：2x2x1 13 33x3x 解：解： 2x2x1 1 3 3 3
6、x3x移项，得移项，得2x2x3 3合并同类项，得合并同类项，得+3+3x1 1x2 2练习练习 1.解下列不等式：解下列不等式： （1） - -5x 10 ； （2）4x - -3 10x + 7 . .解解（1） 原不等式为原不等式为 - -5x 10 方程两边同除以方程两边同除以- -5， x - -2原不等式的解集为原不等式的解集为 x -2（2） 原不等式为原不等式为4x - -3 10x + 7移项，得移项，得 4x - -10x 3+7 化简，得化简，得 - -6x 原不等式的解集为原不等式的解集为x 例例2 解不等式解不等式12- -6x2( (1- -2x) )，并把它的解集
7、在，并把它的解集在数轴上表示出来数轴上表示出来 ：举举例例解解首先将括号去掉首先将括号去掉去括号，得去括号，得 12 - -6x 2- -4x移项，得移项，得 12- -2 6x - -4x 将同类项放在一起将同类项放在一起化简，得：化简，得： 10 2x 两边都除以两边都除以2，得，得 5 x根据不等式基本性质根据不等式基本性质2也就是也就是 x 5原不等式的解集在数轴上的表示如下图所示原不等式的解集在数轴上的表示如下图所示.- -10123456解集解集x5中包含中包含5，所以在数轴上将表示，所以在数轴上将表示5的点画成的点画成实心圆点实心圆点. -6x+4x 2-12-2x -10两边都
8、除以两边都除以-2，得，得 x 5 2.解下列不等式：解下列不等式： （1） 3x - -1 2( (2- -5x) ) ； （2） . .解解（1） 3x - -1 2( (2- -5x) ) 去括号，得去括号，得 3x- -1 4- -10x移项，得移项，得 3x+10x 1+4合并同类项，得合并同类项，得 13x 5两边同除以两边同除以13， x 原不等式的解集为原不等式的解集为x （2）去分母，得去分母，得 2( (x+2) ) 3( (2x- -3) )去括号，得去括号，得 2x+4 6x- -9移项，得移项，得 2x - -6x - -4- -9 化简，得化简，得 - -4x -
9、-13两边同除以两边同除以 - -4， x 原不等式的解集为原不等式的解集为x 8x-415x-608x-15x-60+4 -7x-56 x8去分母去分母得得:去括号去括号得得:移项移项得得:合并同类项合并同类项得得:化系数为化系数为1得得:与解一元一次与解一元一次方程方法类似方程方法类似解解:同乘最简同乘最简公分母公分母12,方向不变方向不变同除以同除以-7,方向改变方向改变012-1345678这个不等式的解集在数轴上的表示为 2y+2-6y+15122y-6y12-2-15 -4y-5 y去分母去分母得得:去括号去括号得得:移项移项得得:合并同类项合并同类项得得:化系数为化系数为1得得:
10、解解:同乘最简同乘最简公分母公分母12,方向不变方向不变同除以同除以-4,方向改变方向改变这个不等式的解集在数轴上的表示为这个不等式的解集在数轴上的表示为03、下列解不等式过程是否正确，如果、下列解不等式过程是否正确，如果不正确请给予改正。不正确请给予改正。解：不等式解：不等式 去分母得去分母得 6x3x2（x+1）6-x6-x8去括号得去括号得 6x3x2x+2 6-x6-x8移项得移项得 6x3x2x- -x682合并同类项得合并同类项得 4x16系数化为系数化为1，得，得 x4 下列解不等式过程是否正确，如果下列解不等式过程是否正确，如果不正确请给予改正。不正确请给予改正。解：不等式解：
11、不等式 去分母得去分母得 6x3x2（x+1）6-6-( (x x8) )去括号得去括号得 6x3x2x+2 6-x6-x8移项得移项得 6x3x2x- -x682合并同类项得合并同类项得 4x16系数化为系数化为1，得，得 x4改：改： 解：不等式解：不等式 去分母得去分母得 6x3x2（x+1）6-6-( (x x8) )去括号得去括号得 6x3x2x+2 6-x6-x- -8移项得移项得 6x3x2x2x+x+x6-8-8-2合并同类项得合并同类项得 6x-4-4系数化为系数化为1，得，得 x32- -解不等式解不等式解：解：请指出上面的解题过程中，有什么地方产生了错误。请指出上面的解题
12、过程中，有什么地方产生了错误。 答：在第答：在第步中步中_,在第在第步步中中_,在第在第步中步中 _，在第，在第步中步中_。两边同乘两边同乘-6，不等号没有变号，不等号没有变号去分母时，应加括号去分母时，应加括号移项没有变号移项没有变号正确正确例：当x取何值时，代数式 与 的值的差大于1？解:根据题意，得 2(x4)3(3x1)6， 2x89x36， 7x116， 7x5， 得 所以，当x取小于 的任何数时，代数式 与 的差大于1。 练习：练习： x x取取什什么么值值时时，代代数数式式 的的值：值： (1)(1)大于大于 7 7x x (2) (2)不大于不大于 7 7x x 例：例： 解不
13、等式解不等式 +1，并把解在，并把解在数轴上表示出来数轴上表示出来.(若求适合原不等式的最小若求适合原不等式的最小负整数解呢负整数解呢？）？）1+x21+2x3去括号，得去括号，得 3+3x2+4x+63+3x2+4x+6移项，得移项，得 3x3x4x2+64x2+63 3 合并同类项，得合并同类项，得 x5x5解：解：去分母，得去分母，得3 3（1+x1+x）2 2（1+2x1+2x）+6+6两边同除以两边同除以1 1，得，得 xx5 5这个不等式的解集表示在数轴上如图所示这个不等式的解集表示在数轴上如图所示0123-1-2-3-4-5-6-7-8-9不等式的最小负整数解为不等式的最小负整数
14、解为x=-5解题思路解题思路: :先求不等式的解集先求不等式的解集, ,画数轴，在数轴上找出画数轴，在数轴上找出特殊解特殊解. .例例 当当x取什么值时，代数式取什么值时，代数式 x+2的值大的值大于或等于于或等于0？先把它的解集在数轴上表示出？先把它的解集在数轴上表示出来，然后求出它的正整数解来，然后求出它的正整数解.解解代数式值代数式值0解这个不等式，得解这个不等式，得 x 6计算结果计算结果不等式不等式解集在数轴上的表示解集在数轴上的表示.- -10123456根据题意，得根据题意，得 x +2 0所以，当所以，当x6时，代数式时，代数式 x +2的值大于或等于的值大于或等于0.满足条件
15、的正整数解为满足条件的正整数解为1,2,3,4,5,6.解题思路解题思路: :先求不等式的解集先求不等式的解集, ,画数轴，在数轴上找出画数轴，在数轴上找出特殊解特殊解. .求适合不等式求适合不等式3（2+x）2x的最小负整数的最小负整数解：解：6+3x2x 3x-2x-6 x-6不等式不等式解集在数轴上的表示解集在数轴上的表示.-6-60不等式的最小负整数解为不等式的最小负整数解为x=-5例例 、求不等式、求不等式3(1-x) 2(x+9)的负的负整数解整数解.解：解不等式解：解不等式3(1-x) 2(x+9)，得，得x-3因为因为x为负整数为负整数所以所以x=-3,-2,-1.求不等式求不
16、等式2 （x-1) x+1的正整数解的正整数解.试一试：试一试： 能使不等式能使不等式 成立的的最大整数值是成立的的最大整数值是_。不等式解集中最值问题：不等式解集中最值问题：对于不等式对于不等式xa的解集有的解集有最小值最小值，最小值为，最小值为x=a；对于；对于不等式不等式xa的解集有的解集有最大值最大值，最大值为，最大值为x=a，而不等式，而不等式xa的解集的解集没有最小值没有最小值，xa-2的解集为的解集为x1，求，求a的取值范围的取值范围( )。A a -2 B a -2 D a 2（3）已知不等式（）已知不等式（m-1)x3的解集为的解集为x -1，求，求m的值。的值。 a0 B例
17、例.关于关于x的不等式的不等式3x-2a-2的解集如图所示的解集如图所示,求求a的值的值.-101解：移项，得解：移项，得系数化为系数化为1，得，得3x2a-2由图可知：由图可知：X -1所以所以解这个方程，得解这个方程，得 A0 B3 C2 D12关于关于x的不等式的不等式的解集如图的解集如图所示所示,则则a 的取值是的取值是( )Dx-1x(a-1)/2 (a-1)/2=-1 a=-1练习三练习三例例.根据下列条件根据下列条件,分别求出分别求出a的值的值或或取值范围取值范围:1)已知不等式已知不等式 的解集是的解集是x3x+a2x-3xa+4-x(a+4)解集是解集是:x-a-4:x-a-
18、4解集是解集是x x15+a -9a 解得解得:a15解得：解得：x 8.75因因为x取整数取整数所以所以x 9答：答：小明家这个月的用水量至少为小明家这个月的用水量至少为9立方米。立方米。:高速公路施工需要爆破高速公路施工需要爆破,根据现场实际情况根据现场实际情况,操作操作人员点燃导火线后人员点燃导火线后,要在炸药爆破前跑到要在炸药爆破前跑到400米米外外的安全区域的安全区域,已知导火索燃烧速度是已知导火索燃烧速度是1.2厘米厘米/秒秒,人跑步的速度是人跑步的速度是5米米/秒秒,问导火索问导火索至少至少需要多长需要多长?设导火索至少需要设导火索至少需要x厘米厘米长长,据题意有据题意有:解得解
19、得:答答:导火索至少需要导火索至少需要96厘米长厘米长.解解:导火索燃烧的时间导火索燃烧的时间 人跑出人跑出400米外的时间米外的时间.设导火索长为设导火索长为x厘米厘米,则则:分析分析:t燃烧燃烧=t跑步跑步=解：设参加合影的人数有解：设参加合影的人数有x人。人。 0.6+0.4x0.5x 解得：解得：x6 答：参加合影的至少有答：参加合影的至少有6人。人。 例例例例 题题题题 一组学生到校门口拍一张合影，乙知冲一张底片需一组学生到校门口拍一张合影，乙知冲一张底片需一组学生到校门口拍一张合影，乙知冲一张底片需一组学生到校门口拍一张合影，乙知冲一张底片需要要要要0.60.6元，洗一张照片需要元
20、，洗一张照片需要元，洗一张照片需要元，洗一张照片需要0.40.4元，每人都要得到一元，每人都要得到一元，每人都要得到一元，每人都要得到一张照片，每人分担的钱张照片，每人分担的钱张照片，每人分担的钱张照片，每人分担的钱不能超过不能超过不能超过不能超过0.50.5元。那么参加合元。那么参加合元。那么参加合元。那么参加合影的同学至少有几人？影的同学至少有几人？影的同学至少有几人？影的同学至少有几人？去分母，得去分母，得 去括号，得去括号，得 移项，得移项，得 合并同类项，得合并同类项，得 两边都除以两边都除以4 4，得，得不等式可化为不等式可化为解不等式：解不等式： 这节课学了什么这节课学了什么?解
21、一元一次不等式的步骤有哪些解一元一次不等式的步骤有哪些是需要我们注意的？是需要我们注意的？用类比学习的方法得到了解一元一次不等式的方法一元一次方程一元一次不等式解 法步骤解的情况（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为1（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）系数化为1在（在（在（在（1 1）与（）与（）与（）与（5 5）这两步若）这两步若）这两步若）这两步若乘数（或除数）为负数，乘数（或除数）为负数，乘数（或除数）为负数，乘数（或除数）为负数，要把不等号方向改变要把不等号方向改变要把不等号方向改变要把不等号方向改变一般只有一个解一般解集含有无数个解解法
22、比较解法比较两边同时除以未两边同时除以未知数的系数知数的系数回忆：回忆： 什么叫做一元一次方程什么叫做一元一次方程? ?什么叫做一元什么叫做一元一次不等式一次不等式? ?两者有什么相同和不同的两者有什么相同和不同的地方，能举例说明吗？地方，能举例说明吗？练习：练习： 下列式子中下列式子中, ,哪些是一元一次方程（哪些是一元一次方程（ ）哪些是一元一次不等式（哪些是一元一次不等式（ ）06相同点相同点：只含有一个未知数，未知数的次数是：只含有一个未知数，未知数的次数是1 1，整式。，整式。不同点不同点：方程用等号连接，不等式用不等号连接。：方程用等号连接，不等式用不等号连接。回忆：练习：一元一次
23、方程的解有多少个？一元一次不等式的解有多少个？（一个）（无数个）(1)3x-9=0有 个解，它的解是 ; 3x-90有 个解，它的解集是 ， 其中自然数解有 个，它们分别是 。 (2）写出一个解为4的一元一次方程 。一X=3无数x340、1、2、3X+1=5回忆： 解一元一次方程的依据是什么？ 解一元一次不等式的依据是什么？ 两者有什么区别？（等式的基本性质）（等式的基本性质）（不等式的基本性质）（不等式的基本性质）（不等式的左右两边同时乘以或除以（不等式的左右两边同时乘以或除以同一个负数同一个负数， 不等号的不等号的方向改变方向改变）解一元一次方程和一元一次不等式 的一般步骤？（去分母、去括
24、号、移项、合并同类项、化系数为（去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1）一元一次不等式的解集在数轴上表示解 集边界点方 向如 图空 心实 心空 心实 心向 左向 左向 右向 右去括号去括号 移项移项 合并同类项合并同类项 两边都除以两边都除以5 5单项式乘以多项式法则单项式乘以多项式法则 等式基本性质等式基本性质1合并同类项法则合并同类项法则 等式基本性质等式基本性质2不不不不23去分母去分母,得得 去括号，得去括号，得 移项，得移项，得 合并同类项，得合并同类项，得 两边都除以两边都除以-3-3，得，得 等式基本性质等式基本性质2 单项式乘以多项式法则单项式乘以多项式法则 等式基本性质
25、等式基本性质1合并同类项法则合并同类项法则 等式基本性质等式基本性质2不不不332怎么变向了怎么变向了？ 6 - 6x移项，得移项，得7x - 6x -6 - 5二、忽略了二、忽略了分数线分数线的括号作用的括号作用 解不等式解不等式 去分母，得去分母，得4x -1 -3x-4 1 - x.三、去括号时的错误 解不等式 5 (x +2) - 4(2x 1) 去括号，得5 x +2160x160 解得：解得：x16 （3）当支付甲旅行社小于乙旅行社费用时：）当支付甲旅行社小于乙旅行社费用时： 150x 160x160 解得：解得：x16四、易混、易错点1 1、不等式的解与解集的概念的混淆、不等式的
26、解与解集的概念的混淆 例、下列说法正确的是（例、下列说法正确的是（ ） A x=2A x=2是不等式是不等式x-1x-1的解集的解集 B x=2B x=2是不等式是不等式x-1x-1的解的解 C x=-1C x=-1是不等式是不等式x-1x-1的解的解 D x-1D x-1的解集的解集是是x=-1x=-1 3.3.设设 x-6,x-3的解？的解？4呢？呢？解：当解：当X=-2时时,2x-1=2(-2)-1=5-3,即不等式左边即不等式左边-3.的解的解.当当x=4时时,2x-1=24-1=7-3,即不等式左即不等式左边边右边右边,所以所以x=4是不等式是不等式2x-1-3的解的解.3、不等式的
27、解集：、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，一个含有未知数的不等式的所有解，组成了这个不等式的解集。组成了这个不等式的解集。例：例：x5是不等式是不等式3x-52x的解集，则下列说法正确的有的解集，则下列说法正确的有（ ）个。）个。5是不等式是不等式3x-52x的一个解；的一个解；0是不等式是不等式3x-52x的一个解；的一个解；x4也是不等式也是不等式3x-52x的解集；的解集；所有小于所有小于4的数都是不等式的数都是不等式3x-52x的解。的解。剖析：剖析：x5是不等式是不等式3x-52x的解集，说明任何一个小于的解集，说明任何一个小于5的数都是的数都是不等式不等式3x-52x的
28、一个解，当然小于的一个解，当然小于4的值也一定是不等式的值也一定是不等式3x-52x的解，但的解，但xa或或xa或或xaxaxaxaaaaa大于向右画大于向右画,小于向左画小于向左画.例例:1.关于关于x的不等式的不等式2x-a-1的解集如图所示的解集如图所示,则则a的取值是的取值是( )A.0; B.-3; C.-2; D.-10-1-2-3-4123D2.如图如图,表示的是不等式的解集表示的是不等式的解集,或中错误的是或中错误的是( )01-1-2x-10-21 2-1x0ABCD用数轴表示不等式的一般步骤用数轴表示不等式的一般步骤;(1)画数轴画数轴;(2)定界点定界点;(3)定方定方向
29、向.C6、不等式解集中最值问题：、不等式解集中最值问题：对于不等式对于不等式xa的解集有的解集有最小值最小值，最小值为，最小值为x=a；对于；对于不等式不等式xa的解集有的解集有最大值最大值，最大值为，最大值为x=a，而不等式，而不等式xa的解集的解集没有最小值没有最小值，xa没有最大值没有最大值。例：例：x2时时x的最小值是的最小值是a，x5时时x的最大值是的最大值是b，试求，试求ba的值。的值。解：根据已知条件，得解：根据已知条件，得a=2,b=5则则ba=52=257、一元一次不等式：、一元一次不等式：不等式的左右两边都是不等式的左右两边都是整式整式，只含有，只含有一个未知数一个未知数，并且，并且未知数的最高次数是未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。不等式。10、一元一次不等式的解法：、一元一次不等式的解法：去分母去分母去括号去括号移项移项合并同类项合并同类项系数化为系数化为1解下列不等式并用数轴表示解集：解下列不等式并用数轴表示解集：1、2(2x3) 5(x1) 2、103(x6) 13、3(2x5) 2(4x3) 4、104(x3) 2(x1) 5、 6、7、 8、9、2(3x1) 3(4x5) x4(x7) 10、3x2(x1)4x 11、
