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1、第四章第四章 频域响应频域响应1 4-1 线性系统的频率响应设线性定常系统设线性定常系统( (图图4-1)4-1)的传递函数为的传递函数为G(s)X(s)Y(s)图4-1 系统方框图其输入信号为其输入信号为2 则输入信号的拉氏变换是则输入信号的拉氏变换是系统的传递函数通常可以写成系统的传递函数通常可以写成由此得到输出信号的拉氏变换由此得到输出信号的拉氏变换3对上式进行拉氏反变换得到系统的输出为对上式进行拉氏反变换得到系统的输出为对对稳定系统稳定系统, ,s1,s2,.sn都具有负实部都具有负实部，当时间，当时间t t趋趋于无穷大时，上式的暂态分量将衰减至零。因此于无穷大时，上式的暂态分量将衰减
2、至零。因此系统的稳态响应为系统的稳态响应为4其中待定系数其中待定系数b b和和 可按下式计算可按下式计算G(j)G(j)是一个复数，用模和幅角可表示为是一个复数，用模和幅角可表示为同样，同样，G(-j)G(-j)可以表示为可以表示为5则系统稳态响应可化为则系统稳态响应可化为或或式中式中Y=|G(j)|XY=|G(j)|X为稳态输出信号的幅值为稳态输出信号的幅值; ; 为稳态输出信号的相移。为稳态输出信号的相移。6系统的频率特性反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳系统的频率特性反映了在正弦输入信号作用下，系统的稳态响应与输入正弦信号的关系。态响应与输入正弦信号的关系。 称为系统的幅频特性，反映系
3、统在称为系统的幅频特性，反映系统在不同频率正弦信号作用下，输出稳态幅值与输入信号幅值不同频率正弦信号作用下，输出稳态幅值与输入信号幅值的比值，即系统的放大（或衰减）特性。的比值，即系统的放大（或衰减）特性。系统的频率特性：系统的频率特性：其中：其中： 称为系统的称为系统的相频特性相频特性，反，反映系统在不同频率正弦信号的作用下，输出信号相对输映系统在不同频率正弦信号的作用下，输出信号相对输入信号的相移。入信号的相移。 系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。7二、实验法二、实验法 当系统已经建立，尚不知道其内部结构或传递函数时，当系统已经建立
4、，尚不知道其内部结构或传递函数时，在系统的输入端输入正弦信号在系统的输入端输入正弦信号X(t)= Xsint，测出不同频，测出不同频率时系统稳态输出的振幅率时系统稳态输出的振幅Y Y和相移和相移，便可得到它的幅频，便可得到它的幅频特性和相频特性特性和相频特性。获取系统频率特性的途径获取系统频率特性的途径: :一、解析法一、解析法 当已知系统的传递函数时，用当已知系统的传递函数时，用s=js=j代入传递函数可代入传递函数可得到系统的频率特性得到系统的频率特性G(j)G(j)。8 4-2 频率特性的图形表示 l 幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线l 对数频率特性曲线对数频率特性曲线 94.2.1 幅
5、相频率特性曲线幅相频率特性曲线 幅相频率特性曲线：简称幅相频率特性曲线：简称幅相曲线幅相曲线，又称极坐标图，又称极坐标图，是以是以角频率角频率作自变量，把作自变量，把幅频特性幅频特性和和相频特性相频特性用一条用一条曲线同时表示在复平面上。曲线同时表示在复平面上。 注意：注意：l 幅频特性是角频率的偶函数，相频特性是的奇函数，幅频特性是角频率的偶函数，相频特性是的奇函数，因此，角频率从因此，角频率从0变化到无穷大时的幅相曲线与从负无穷变化到无穷大时的幅相曲线与从负无穷大变化到大变化到0的幅相曲线关于实轴对称，通常，只画出从的幅相曲线关于实轴对称，通常，只画出从0变至时的幅相曲线，并在曲线上用箭头
6、表示增大的方向。变至时的幅相曲线，并在曲线上用箭头表示增大的方向。l 只要的值取得足够多，用解析的方法得到不同值时的只要的值取得足够多，用解析的方法得到不同值时的幅值和相角，就可以在极坐标平面上画出较精确的幅值和相角，就可以在极坐标平面上画出较精确的幅相幅相频率特性曲线。频率特性曲线。 10（一）（一） 放大环节（比例环节放大环节（比例环节) ) 放大环节的传递函数为放大环节的传递函数为（K为常数）对应的频率特性是对应的频率特性是幅频特性幅频特性相频特性相频特性0K图5-2 放大环节的频率响应一、典型环节幅相曲线11（二）（二） 积分环节积分环节 积分环节的传递函数为积分环节的传递函数为对应的
7、频率特性是对应的频率特性是幅频特性幅频特性相频特性相频特性图5-3 积分环节的频率响应12（三）（三） 惯性环节惯性环节 惯性环节的传递函数为惯性环节的传递函数为对应的频率特性是对应的频率特性是幅频特性相频特性13当当 时，时， ， ；当当 时，时， ， ；当当由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性由零至无穷大变化时，惯性环节的频率特性在在 平面上是正实轴下方的半个圆周，平面上是正实轴下方的半个圆周，.010.5 图图5-4 惯性环节的频率响应当当 时，时， ， ；14证明：证明：则有则有推广：推广：当惯性环节传递函数的分子是常数当惯性环节传递函数的分子是常数K K时，即时，即 时，其频率特性
8、是圆心为时，其频率特性是圆心为 ，半径为，半径为 的实轴下方半个圆周。的实轴下方半个圆周。15（四）（四） 振荡环节振荡环节 振荡环节的传递函数为振荡环节的传递函数为对应的频率特性是对应的频率特性是幅频特性幅频特性相频特性相频特性16当当 时，时， ， ；当当 时，时， ， ；当当 时，时， ， ；图图5-5 5-5 振荡环节的频率响应振荡环节的频率响应振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比有关。17当阻尼比较小时会产生谐振，谐振峰值当阻尼比较小时会产生谐振，谐振峰值Mr(Mr0)和谐振频率和谐振频率r由幅频特性的极值方程由幅频特性的极值方程解出。解出。其其中中 称称为为振振荡荡环环节节的的无
9、无阻阻尼尼自自然然振振荡荡频频率率，是振荡环节频率特性曲线与虚轴交点处的频率。是振荡环节频率特性曲线与虚轴交点处的频率。谐振峰值谐振峰值谐振相移谐振相移18振荡环节的幅值特性曲线振荡环节的幅值特性曲线当当 时，随着时，随着的增加，幅值缓慢增大；的增加，幅值缓慢增大；当当 时，幅值达到最大值时，幅值达到最大值 ；当当 时时，幅幅值值迅迅速速减减小小， 时时的的频频率率 称称为为截截止止频频率率；频频率率大大于于 后后，输输出出幅幅值值衰减更快。衰减更快。 图5-6 振荡环节的频率响应19推广：推广：当振荡环节传递函数的分子是常数当振荡环节传递函数的分子是常数K时，时，即即 ，其对应频率特性，其对
10、应频率特性 的起的起点点 为为 。20（五）（五） 一阶微分环节一阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为一阶微分环节的传递函数为对应的频率特性是对应的频率特性是幅频特性相频特性21当当 时，时， ， ；当当 时，时， ， ；当当 时，时， ， ；1 图5-7 一阶微分环节的频率响应22（六）（六） 二阶微分环节二阶微分环节 二阶微分环节的传递函数为二阶微分环节的传递函数为对应的频率特性是对应的频率特性是幅频特性幅频特性相频特性相频特性23当 时， ， ；当当 时，时， ， ；当当 时，时， ， ； 图5-8 二阶微分环节频率特性图24（七）（七） 不稳定惯性环节不稳定惯性环节 不稳定惯性环节的传
11、递函数为不稳定惯性环节的传递函数为对应的频率特性是对应的频率特性是幅频特性幅频特性相频特性相频特性25当当 时，时， ， ；当当 时，时， ， ；当当 时，时， ， ；0ImRe图59 不稳定惯性环节的频率特性0ImRe图54 惯性环节的频率特性26（八）（八） 滞后环节滞后环节 滞后环节的传递函数为滞后环节的传递函数为对应的频率特性是对应的频率特性是幅频特性幅频特性相频特性相频特性 图5-10 滞后环节频率特性图27二、二、系统的开环幅相曲线系统的开环幅相曲线 线性系统的开环频率特性通常可写成如下形式：线性系统的开环频率特性通常可写成如下形式：28解解 系统开环频率特性为系统开环频率特性为相
12、频特性相频特性 幅频特性幅频特性 起点起点终点终点与负虚轴交点与负虚轴交点2930解解 系统系统开环频率特性开环频率特性为为相频特性相频特性 幅频特性幅频特性 起点起点终点终点 若在例若在例41系统中增加一个系统中增加一个积分环节积分环节，则系统为，则系统为1型系统型系统其开环传函为其开环传函为起点或终点存在无穷大，求渐近线起点或终点存在无穷大，求渐近线31起点起点起点存在无穷大，求渐近线起点存在无穷大，求渐近线将频率特性写成将频率特性写成实部实部与与虚部虚部的形式的形式实频特性实频特性与实轴交点 令与与实轴交点实轴交点 令令得3233解解 系统系统开环频率特性开环频率特性为为相频特性相频特性
13、 幅频特性幅频特性 起点起点终点终点 若在例若在例41系统中再增加一个系统中再增加一个积分环节积分环节，则系统，则系统为为2型系统型系统其开环传函为其开环传函为起点或终点存在无穷大，求渐近起点或终点存在无穷大，求渐近线线与与实轴交点实轴交点 令令3435例例4-2 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为试绘制概略的开环幅相曲线。试绘制概略的开环幅相曲线。解解 系统系统开环频率特性开环频率特性起点存在无穷大，求渐近线起点存在无穷大，求渐近线36，起始于起始于负虚轴左侧负虚轴左侧无穷远处无穷远处，起始于起始于负虚轴右侧负虚轴右侧无穷远处无穷远处，起始于起始于负虚轴上侧负虚轴上侧无穷远处无穷远处3
14、7，求曲线与负实轴的交点，令求曲线与负实轴的交点，令当当曲线与负实轴有交点曲线与负实轴有交点 由于不等式方程组由于不等式方程组无解，故只有当幅相曲线从无解，故只有当幅相曲线从负虚轴左侧负虚轴左侧无穷远处起始时，无穷远处起始时，才才与负实轴有交点与负实轴有交点。 38，无解，故只有当幅相曲线从负虚轴左侧无穷远处起始时，才与负实轴有交点，开环幅相曲线如图4-15所示。39， 对于开环传递函数只含有对于开环传递函数只含有左半平面的零点和极点左半平面的零点和极点的系统，其幅相曲线的起点和终点具有如下规律：的系统，其幅相曲线的起点和终点具有如下规律：起点：起点：l 系统系统不含有积分环节不含有积分环节，
15、曲线，曲线起始于正实轴起始于正实轴上某点，该点距原点上某点，该点距原点的距离值为开环增益的距离值为开环增益 K；l 系统含有系统含有v个积分环节个积分环节，曲线，曲线起始于无穷远处起始于无穷远处，相角为，相角为终点：系统开环传递函数分母的阶次总是大于或等于分子的阶次终点：系统开环传递函数分母的阶次总是大于或等于分子的阶次终点在原点终点在原点，且以角度，且以角度进入原点；进入原点； 曲线曲线终止于正实轴上某点终止于正实轴上某点，该点距原点的距离，该点距原点的距离与各环节的与各环节的时间常数时间常数及及开环增益开环增益等参数有关。等参数有关。注注：若系统开环传递函数含有若系统开环传递函数含有右半平
16、面极点或零点右半平面极点或零点（不稳定环节）（不稳定环节），则幅相曲线的起点和终点，则幅相曲线的起点和终点不具有以上规律不具有以上规律。对于这样的系统，。对于这样的系统，尤其应注意其相频特性。在作图时，应根据相频特性的表达式分尤其应注意其相频特性。在作图时，应根据相频特性的表达式分析曲线的起点、终点位置以及相角的变化范围等。析曲线的起点、终点位置以及相角的变化范围等。 l l 40对数相频特性对数相频特性：对数相频特性曲线对数相频特性曲线：横坐标横坐标：表示频率：表示频率，按对数分度，单位，按对数分度，单位rad/srad/s；纵坐标纵坐标：表示相频特性函数值，按线性分度，单位是度。：表示相频
17、特性函数值，按线性分度，单位是度。4.2.2 4.2.2 对数频率特性曲线对数频率特性曲线 一、伯德图一、伯德图伯德（伯德（BodeBode）图）图：又称对数频率特性曲线，包括：又称对数频率特性曲线，包括对对数幅频特性和对数相频特性两条曲线数幅频特性和对数相频特性两条曲线。对对数幅频特性数幅频特性：对对数幅频特性曲线数幅频特性曲线：横坐标横坐标：表示频率：表示频率，按对数分度，单位，按对数分度，单位rad/srad/s；纵坐标纵坐标：表示对数幅频特性函数值，按线性分度，单位：表示对数幅频特性函数值，按线性分度，单位dBdB。41伯德图优点：伯德图优点：（1 1）将）将幅频特性幅频特性和和相频特
18、性相频特性分别作图，使系统（或环节）分别作图，使系统（或环节）的幅值和的幅值和相角相角与与频率频率之间的关系更加清晰；之间的关系更加清晰；（2 2）幅值用）幅值用分贝数分贝数表示，可将表示，可将串联环节串联环节的幅值相乘变为相的幅值相乘变为相加运算，简化了计算；加运算，简化了计算； （3 3）可以采用）可以采用渐近线渐近线的方法，用直线段画出近似的的方法，用直线段画出近似的对数幅对数幅频特性曲线频特性曲线，使作图更为简单方便；，使作图更为简单方便；（4 4）横轴（横轴（轴）轴）用对数分度，扩展了低频段，同时也兼用对数分度，扩展了低频段，同时也兼顾了中、高频段，有利于系统的分析与综合。顾了中、高
19、频段，有利于系统的分析与综合。（5 5）对于）对于最小相位系统最小相位系统，可以有对数幅频特性曲线得到系，可以有对数幅频特性曲线得到系统的传递函数。统的传递函数。42二、典型环节的伯德图二、典型环节的伯德图（一）放大环节（比例环节）（一）放大环节（比例环节） 放大环节的频率特性：放大环节的频率特性：幅频特性：幅频特性： 对数幅频特性：对数幅频特性：当当K1K1时，时，20lgK020lgK0，位于横轴上方；，位于横轴上方；当当K=1K=1时，时，20lgK=020lgK=0，与横轴重合；，与横轴重合；当当K1K1时，时，20lgK020lgK0N0，则，则 F包围包围F(s)平面坐标原点，且按
20、平面坐标原点，且按顺时针方向旋转顺时针方向旋转N N周周；若若N0Nm：奈奎斯特曲线（奈氏曲线）奈奎斯特曲线（奈氏曲线）：奈氏轨迹：奈氏轨迹 s 在在GHGH平面上的映射平面上的映射 GH。1022.2.G(s)H(s)在在S S平面的虚轴上（包括原点）有极点平面的虚轴上（包括原点）有极点虚轴上有开环极点时的奈氏轨迹s 奈氏轨迹奈氏轨迹不能经过开环极不能经过开环极点点， GH必须避开虚轴上的所有必须避开虚轴上的所有开环极点。开环极点。 图图5-445-44表示当有开环极点表示当有开环极点为零时的奈为零时的奈氏轨迹，其中（氏轨迹，其中（1）、）、（2） 和（和（3）的定义）的定义与前相同与前相同
21、. .103（4 4） ， ，表明，表明S S沿以原点沿以原点为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化（为圆心，半径为无穷小的右半圆弧上逆时针变化（ ）。）。 这样，这样， s 既绕过了既绕过了G(s)H(s)原点上的极点，又包围了整原点上的极点，又包围了整个右半个右半S S平面，如果在虚轴上还平面，如果在虚轴上还有其它极点，亦可采用同样的有其它极点，亦可采用同样的方法，将方法，将 s 绕过这些虚轴上的绕过这些虚轴上的极点。极点。虚轴上有开环极点时的奈氏轨迹s104设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为其中其中v v为无差度为无差度，即，即系统积分环节个数系统积分环节个数（位于原点的开
22、环点数）。（位于原点的开环点数）。 s 的第（的第（4 4）部分无穷小半圆弧在）部分无穷小半圆弧在 GHGH平面上的映射为顺时针旋平面上的映射为顺时针旋转的无穷大圆弧，旋转的弧度为转的无穷大圆弧，旋转的弧度为vv弧度。弧度。105图545（a）、（b）分别表示当 v=1和v=2时系统的奈氏曲线，其中的虚轴部分是s 的无穷小半圆弧在GH平面上的映射图5-45 时的奈氏曲线106 （二） 基于G(j)H(j)的奈氏判据奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据 闭环系统稳定的充分必要条件是，GH 平面上的开环频率特性G(j)H(j) ,当从从-变化到 时，按逆时针方向包围（1，j0）点P周。 当位于S平面右
23、半部的开环极点数P=0时，即当系统的开环传递函数的全部极点均位于S平面左半部（包括原点和虚轴）时，闭环系统稳定的充分必要条件是奈氏曲线GH不包围GH平面的（1，j0)点。107应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况：应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况： I.I.当当系系统统开开环环传传递递函函数数G(s)H(s)的的全全部部极极点点都都位位于于S S平平面面左左半半部部时时（P=0P=0），如如果果系系统统的的奈奈氏氏曲曲线线 GH不不包包围围GHGH平平面面的的(-1.j0)(-1.j0)点点（N=0N=0），则则闭闭环环系系统统是是稳稳定定的的（Z=P+N=
24、0Z=P+N=0），否则是不稳定的；否则是不稳定的；II.II.当当系系统统开开环环传传递递函函数数G(s)H(s)有有位位于于S S平平面面右右半半部部的的极极点点时时（P），如如果果系系统统的的奈奈氏氏曲曲线线 GH逆逆时时针针包包围围(-1.j0)(-1.j0)点点的的周周数数等等于于位位于于S平平面面右右半半部部的的开开环环极极点点数数（N=-P），则则闭环系统是稳定的（闭环系统是稳定的（Z=P+N=0），否则是不稳定的；），否则是不稳定的；III.如如果果系系统统的的奈奈氏氏曲曲线线 GH顺顺时时针针包包围围点点(-1.j0)(-1.j0) （N0），则则无无论论是是否否有有S平平面
25、面右右半半部部的的开开 环环极极点点，闭闭环环系系统统都都是是不不稳定的（稳定的（Z=P+N0）。）。 108 在在有有些些情情况况下下， GH 曲曲线线恰恰好好通通过过GH平平面面的的(-(-1.j0)1.j0)点点（注注意意不不是是包包围围），此此时时如如果果系系统统无无位位于于S S平平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。109五、奈氏判据应用示例五、奈氏判据应用示例 例例5 56 6 试用奈氏判据分析例试用奈氏判据分析例5 51 1系统的稳定性系统的稳定性。 解解该系统的开环传递函数为该系统的开环传递函数为 其对应的频率特性是其对应的
26、频率特性是 开环频率特性的极坐标图如图开环频率特性的极坐标图如图5 52424所示，当所示，当 由由 变至变至 时系统的奈氏曲线时系统的奈氏曲线如图如图 546所示。由该系统的两个开环极点所示。由该系统的两个开环极点 和和 均在均在S平面左半部，即平面左半部，即S平面右半部的开环极点数平面右半部的开环极点数P=0，由，由图图546可知，系统的奈氏曲线可知，系统的奈氏曲线 不包围不包围 点（点（N=0），），根据奈氏判据，位于根据奈氏判据，位于S平面右半部的闭环极点数平面右半部的闭环极点数 Z=P+N=0， 该该闭环系统是稳定的。闭环系统是稳定的。 110 上述结论可从图上述结论可从图 547
27、547所示的根轨图得到证明，所示的根轨图得到证明， 从图从图547547可知，无论可知，无论K K为何值根轨迹都在为何值根轨迹都在S S平面左半部，系统总平面左半部，系统总是稳定的。是稳定的。图5-47 例5-6根轨迹图图5-46 例5-6奈氏曲线111 例例5 57 7 试用奈氏判据分析例试用奈氏判据分析例5 53 3所给系统的稳定性。所给系统的稳定性。 解解 该系统的开环传递函数为该系统的开环传递函数为其对应的频率特性是其对应的频率特性是 开环频率特性的极坐标图如图开环频率特性的极坐标图如图5 54848所示，当所示，当 变至变至. 时，时，系统的奈氏曲线如图系统的奈氏曲线如图 548所示
28、。由于系统含有一个所示。由于系统含有一个积分环节（积分环节（v=1），当），当 对应奈氏曲线为顺时针环对应奈氏曲线为顺时针环绕坐标原点的无穷大半圆（图绕坐标原点的无穷大半圆（图548中虚线所示）。中虚线所示）。112开环传递函数无右半开环传递函数无右半S平面的极点，即平面的极点，即P=0，系统是否稳定取决于奈氏曲，系统是否稳定取决于奈氏曲线与负实轴的交点坐标值线与负实轴的交点坐标值 的大小，当的大小，当 时时,奈氏曲线奈氏曲线FGH顺顺时针包围时针包围 点两周，即点两周，即N=2（图（图548（b），系统不稳定；当），系统不稳定；当 时，时， FGH不包围不包围 点，即点，即N=0（图（图54
29、8（a），系统是），系统是稳定的。稳定的。113图5-48 例5-7奈氏曲线114 例例5 58 8已知反馈控制系统的开环传递函数为已知反馈控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析当试用奈氏判据分析当 时系统的稳定性。时系统的稳定性。解解: : 系统的开环频率特性是系统的开环频率特性是其幅频特性和相频特性分别是其幅频特性和相频特性分别是115当当 时，时， , 当当由由0变至变至+时，时， 由由变至变至0， 由由-180o在第在第III象限内象限内变化为变化为-180o，其对应的奈氏曲线如图，其对应的奈氏曲线如图5-50（a）所示，图中）所示，图中虚线表示的顺时针旋转的无穷大圆弧是开环零重极点
30、在虚线表示的顺时针旋转的无穷大圆弧是开环零重极点在 GH 平面上的映射。由于奈氏曲线左端无穷远处是开口的，它没平面上的映射。由于奈氏曲线左端无穷远处是开口的，它没有包围有包围 点（点（N=0），系统无），系统无S平面右半部的开环极平面右半部的开环极点（点（P=0），由奈氏判据知，当），由奈氏判据知，当 时，该系统是稳定时，该系统是稳定的。的。 116 （b） 当当 时，时， ，系统的相频特性，系统的相频特性 ，与角频率无关，幅频特性，与角频率无关，幅频特性 ，当，当 由由 变至变至 0 0 。 如图如图5-505-50（b b）所示，除无穷大圆弧外，奈氏曲线是穿过所示，除无穷大圆弧外，奈氏曲线
31、是穿过 v v 点且与负实轴重合的，系统是临界稳定状态。点且与负实轴重合的，系统是临界稳定状态。 当当 时，系统的根轨迹如图时，系统的根轨迹如图5-515-51（b b）所示。由于所示。由于 两条根轨迹位于两条根轨迹位于S S平面的虚轴上，系统是等幅振荡的临界稳定平面的虚轴上，系统是等幅振荡的临界稳定 状态。状态。117（c）当当 时，时， ，当，当 由由0变至变至 时，时， 由由 变至变至0， 在第在第II象限内变化后再次象限内变化后再次变为变为-1800，其对应的奈氏曲线如图，其对应的奈氏曲线如图5-50（c)所示。由于奈氏曲线左端是封口的，它顺时针包围了所示。由于奈氏曲线左端是封口的，它
32、顺时针包围了(-1,j0)点两周（点两周（N=2），由奈氏判据知，当），由奈氏判据知，当 时，该系统是不时，该系统是不稳定的。当稳定的。当 时，系统的根轨迹如图时，系统的根轨迹如图551（c）所示。由）所示。由于有两条根轨迹全部位于于有两条根轨迹全部位于S平面右半部，无论平面右半部，无论K为何值，该系为何值，该系统都是不稳定的。统都是不稳定的。118图5-50 例5-8系统的奈氏曲线图5-51 例5-8系统的根轨迹图返回119 5-5 控制系统的相对稳定性 一、相对稳定性一、相对稳定性 在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的更
33、换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性，使系统不能正常工作。因此在选择元件和确定系统参数时，性，使系统不能正常工作。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题。是所谓自动控制系统的相对稳定性问题。 120图5-52 系统的相对稳定性121二、稳定裕度二、稳定裕度 通通常常用用稳稳定定裕裕度度来来衡衡量量系系统统的的相相对对稳稳定定性性或或系系统统的的稳稳定定程度，其中包括系统的程度，其中包
34、括系统的相角裕度相角裕度和和幅值裕度幅值裕度。最小相位系统的稳定裕度122相角裕度相角裕度：是幅值穿越频率对应的相移：是幅值穿越频率对应的相移 与与1801800 0角的差角的差值，即值，即 （一）（一） 相角裕度相角裕度剪切频率剪切频率( (幅值穿越频率幅值穿越频率):GH):GH平面上的单位圆与系统开环频率平面上的单位圆与系统开环频率特性曲线的交点频率特性曲线的交点频率, ,记为记为 ，它满足，它满足最小相位系统的稳定裕度1231.1.对于最小相位系统，如果相角裕度对于最小相位系统，如果相角裕度 ，系统是稳定的，系统是稳定的, ,且且 值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度值愈大，系统
35、的相对稳定性愈好。如果相角裕度 ，系统则不稳定。当，系统则不稳定。当 时，系统的开环频率特性曲线穿时，系统的开环频率特性曲线穿过过 点，系统处于点，系统处于临界稳定状态临界稳定状态。最小相位系统的稳定裕度注意：124注意：注意：2. 2. 相角裕度相角裕度的含义是的含义是使系统达到稳定的临界状态时的开环频率使系统达到稳定的临界状态时的开环频率特性的相角特性的相角 减小（对应稳定系统）减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）的数值。或增加（对应不稳定系统）的数值。最小相位系统的稳定裕度125 （二）（二） 幅值裕度幅值裕度 相相位位穿穿越越频频率率：系系统统的的开开环环频频率率特特性性曲曲线
36、线与与GHGH平平面面负负实实轴轴的的交点频率，记为交点频率，记为 ，它满足，它满足幅值裕度幅值裕度：指相位穿越频率所对应的开环幅频特性的倒数值，：指相位穿越频率所对应的开环幅频特性的倒数值，即即最小相位系统的稳定裕度126注意：注意：1. 1. 对于最小相位系统，当幅值裕度对于最小相位系统，当幅值裕度 Kg1( Kg1( ），系统是稳定的，且），系统是稳定的，且KgKg值愈大值愈大, ,系统的相对稳定性愈好。系统的相对稳定性愈好。如果幅值裕度如果幅值裕度 ， ( ), ( ),系统则不稳定。系统则不稳定。当当Kg=1Kg=1时，系统的开环频率特性曲线穿过时，系统的开环频率特性曲线穿过 点。点
37、。是临界稳定状态。是临界稳定状态。127最小相位系统的稳定裕度128注意：注意：幅值裕度幅值裕度的含义的含义 使系统到达稳定的临界状态时的开环频使系统到达稳定的临界状态时的开环频率特性的幅值率特性的幅值 增大（对应稳定系统）或缩小增大（对应稳定系统）或缩小（对应不稳定系统）的倍数。（对应不稳定系统）的倍数。最小相位系统的稳定裕度129系统相对稳定性的好坏不能仅从相角裕度或幅角裕系统相对稳定性的好坏不能仅从相角裕度或幅角裕度的大小来判断，必须同时考虑相角裕度和幅角裕度。图示的度的大小来判断，必须同时考虑相角裕度和幅角裕度。图示的两个系统，两个系统，(a)所示系统的幅值裕度大，但相角裕度小所示系统
38、的幅值裕度大，但相角裕度小 ；相反；相反, ,(b) 所示系统的相角裕度大所示系统的相角裕度大 ，但幅值裕度小，这两个系统的，但幅值裕度小，这两个系统的相对稳定性都不好。对于一般系统，通常要求相角裕度相对稳定性都不好。对于一般系统，通常要求相角裕度 =30=300 060600 0，幅值裕度，幅值裕度 （6 6分贝）。分贝）。较小较大、gKga)(较小较大、Kgbg)(图5-54 稳定裕度的比较130三、相角裕度和幅值裕度的求解方法三、相角裕度和幅值裕度的求解方法 解析法解析法 根据系统的开环频率特性和稳定裕度的概念，计算根据系统的开环频率特性和稳定裕度的概念，计算 相相角裕度和幅值裕度。角裕度和幅值裕度。 例例 已知最小相位系统的开环传递函数为已知最小相位系统的开环传递函数为 试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。解解 系统的开环频率特性为系统的开环频率特性为其幅频特性和相频特性分别是其幅频特性和相频特性分别是131
