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1、专题二数列的通项与求和【主干知识主干知识】1.1.必必记公式公式(1)(1)“基本数列基本数列”的通的通项公式公式: :数列数列-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,的通的通项公式是公式是a an n=_(nN=_(nN* *).).数列数列1,2,3,4,1,2,3,4,的通的通项公式是公式是a an n=_(nN=_(nN* *).).数列数列3,5,7,9,3,5,7,9,的通的通项公式是公式是a an n=_(nN=_(nN* *).).数列数列2,4,6,8,2,4,6,8,的通的通项公式是公式是a an n=_(nN=_(nN* *).).(-1)(-1)n nn n2n+12n
2、+12n2n数列数列1,2,4,8,1,2,4,8,的通的通项公式是公式是a an n=_(nN=_(nN* *).).数列数列1,4,9,16,1,4,9,16,的通的通项公式是公式是a an n=_(nN=_(nN* *).).数列数列1,3,6,10,1,3,6,10,的通的通项公式是公式是a an n=_(nN=_(nN* *).).数列数列 , ,的通的通项公式是公式是a an n=_(nN=_(nN* *).).2 2n-1n-1n n2 22.2.易错提醒易错提醒（1 1）裂项求和的系数出错裂项求和的系数出错：裂项时，把系数写成它的倒数或：裂项时，把系数写成它的倒数或者忘记系数致
3、错者忘记系数致错. .（2 2）忽略验证第一项致误忽略验证第一项致误: :利用利用 求通项，忽求通项，忽略略n2n2的限定，忘记第一项单独求解与检验的限定，忘记第一项单独求解与检验. .（3 3）求错项数致误求错项数致误：错位相减法求和时，相减后总项数为：错位相减法求和时，相减后总项数为n+1,n+1,易错并且还易漏掉减数式的最后一项易错并且还易漏掉减数式的最后一项. .【考题回顾考题回顾】1.1.一组高考题回做！一组高考题回做！ 【其它考题回顾其它考题回顾】1.(20131.(2013新新课标全国卷全国卷)设首首项为1,1,公比公比为 的等比数列的等比数列aan n 的前的前n n项和和为S
4、 Sn n, ,则( () )A.SA.Sn n=2a=2an n-1-1B.SB.Sn n=3a=3an n-2-2C.SC.Sn n=4-3a=4-3an nD.SD.Sn n=3-2a=3-2an n【解析解析】选选D.D.因为等比数列的首项为因为等比数列的首项为1,1,公比为公比为 , , 所以所以S Sn n=3-2a=3-2an n. .2.(20162.(2016绍兴模模拟) )已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n, ,且且a a3 3+a+a8 8=13,S=13,S7 7=35,=35,则a a7 7= =( () )A.8A.8 B.9 B
5、.9 C.10 C.10 D.11 D.11【解析解析】选选A.A.由已知条件可得由已知条件可得, ,所以所以a a7 7=a=a1 1+6d=2+61=8.+6d=2+61=8.3.3.已知数列已知数列aan n 为等差数列等差数列,a,a1 1=1,=1,公差公差d0,ad0,a1 1,a,a2 2,a,a5 5成成等比数列等比数列, ,则a a20172017的的值为 4.4.已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和是和是S Sn n, ,若若a a1 10,0,且且a a1 1+9a+9a6 6=0,=0,则S Sn n取最大取最大值时n n为( () )A.11A.11
6、 B.10 B.10 C.6 C.6 D.5 D.5【解析解析】选选D.D.因为因为a a1 10,0,a a1 1+9a+9a6 6=a=a1 1+a+a6 6+8a+8a6 6 =a =a2 2+a+a5 5+8a+8a6 6 =a =a2 2+a+a6 6+a+a5 5+7a+7a6 6 =2a =2a4 4+a+a5 5+7a+7a6 6 =2(a =2(a4 4+a+a6 6)+a)+a5 5+5a+5a6 6 =5(a =5(a5 5+a+a6 6)=0,)=0,所以所以a a5 50,a0,a6 60,0,即前即前5 5项和最大项和最大. .5.(20165.(2016银川模川模
7、拟) )某音某音乐酒吧的霓虹灯是用酒吧的霓虹灯是用 三个不同三个不同音符音符组成的一个含成的一个含n+1(nNn+1(nN* *) )个音符的音符串个音符的音符串, ,要求由音符要求由音符开始开始, ,相相邻两个音符不能相同两个音符不能相同. .例如例如n=1n=1时, ,排出的音符串是排出的音符串是, , ;n=2;n=2时排出的音符串是排出的音符串是, , , , , , , ,记这种含种含n+1n+1个音符的所有音符串中个音符的所有音符串中, ,排在最后一个的音符仍是排在最后一个的音符仍是的音的音符串的个数符串的个数为a an n, ,故故a a1 1=0,a=0,a2 2=2.=2.则
8、(1)a(1)a4 4= =; ;(2)a(2)an n= =. .【解析解析】a a1 1=0,a=0,a2 2=2=2=2=21 1-a-a1 1, ,a a3 3=2=2=2=22 2-a-a2 2,a,a4 4=6=2=6=23 3-a-a3 3;a;a5 5=10=2=10=24 4-a-a4 4, ,所以所以a an n=2=2n-1n-1-a-an-1n-1, ,所以所以a an-1n-1=2=2n-2n-2-a-an-2n-2, ,两式相减得两式相减得:a:an n-a-an-2n-2=2=2n-2n-2, ,当当n n为奇数时为奇数时, ,利用累加法得利用累加法得a an n
9、-a-a1 1=2=21 1+2+23 3+ +2+2n-2n-2= ,= ,所以所以a an n= ,= ,同理同理, ,当当n n为偶数时为偶数时, ,利用累加法得利用累加法得a an n-a-a2 2=2=22 2+2+24 4+ +2+2n-2n-2= ,= ,所以所以a an n= ,= ,综上所述综上所述a an n= .= .答案答案: :(1)6(1)6 (2)(2)热点考向一热点考向一 求数列的通项公式求数列的通项公式【考情快报考情快报】难度度: :中档中档题命命题指数指数:题型型: :在客在客观题、解答、解答题中都会出中都会出现考考查方式方式: :考考查等差、等比数列的基本
10、量的求解等差、等比数列的基本量的求解, ,考考查a an n与与S Sn n的的关系关系, ,递推关系等推关系等, ,体体现方程思想、整体思想、化方程思想、整体思想、化归与与转化思想化思想的的应用用【典典题1 1】(1)(2015(1)(2015衢州模衢州模拟) )在数列在数列aan n 中中,a,a1 1=2,a=2,an+1n+1=a=an n+ +ln ,ln ,则a an n= =( () )A.2+lnnA.2+lnnB.2+(n-1)lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnC.2+nlnnD.1+n+lnnD.1+n+lnn(2)(2016(2)(2016浙江五校浙江五校联考
11、考) )已知数列已知数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n, ,且且S Sn n= =则a an n= = 【信息联想信息联想】（1 1）看到）看到a an+1n+1=a=an n+ln +ln ，即，即a an+1n+1-a-an n=ln(n+1)=ln(n+1)-ln n-ln n，想到，想到_._.（2 2）看到前）看到前n n项和形式，想到项和形式，想到_._.累加或累乘累加或累乘【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.aA.an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1
12、1=lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+=lnn-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+ln2-ln1+2=2+lnn.+ln2-ln1+2=2+lnn.(2)(2)当当n2n2时时,S,Sn n=2a=2an n=2(S=2(Sn n-S-Sn-1n-1),S),Sn n=2S=2Sn-1n-1,S,S1 1=2,=2,所以所以S Sn n=2=2n n，所以，所以a an n= =【互互动探究探究】题(1)(1)条件条件变化化为: :已知数列已知数列aan n 中中,a,a1 1=1,=1,2na2nan+1n+1=(n+1)a=(n+1)an n, ,求数列
13、求数列aan n 的通的通项公式公式. .【解析解析】已知条件可化为已知条件可化为【规律方法规律方法】求通项的常用方法求通项的常用方法(1)(1)归纳猜想法归纳猜想法: :已知数列的前几项已知数列的前几项, ,求数列的通项公式求数列的通项公式, ,可采用可采用归纳猜想法归纳猜想法. .(2)(2)已知已知S Sn n与与a an n的关系的关系, ,利用利用a an n= = 求求a an n. .(3)(3)累加法累加法: :数列递推关系形如数列递推关系形如a an+1n+1=a=an n+f(n),+f(n),其中数列其中数列f(n)f(n)前前n n项和可求项和可求, ,这种类型的数列求
14、通项公式时这种类型的数列求通项公式时, ,常用累加法常用累加法( (叠加法叠加法).).(4)(4)累乘法累乘法: :数列递推关系如数列递推关系如a an+1n+1=g(n)a=g(n)an n, ,其中数列其中数列g(n)g(n)前前n n项项积可求积可求, ,此数列求通项公式一般采用累乘法此数列求通项公式一般采用累乘法( (叠乘法叠乘法).).（5 5）构造法：）构造法：递推关系形如递推关系形如a an+1n+1=pa=pan n+q(p,q+q(p,q为常数为常数) )可化为可化为a an+1n+1+ =p(a+ =p(an n+ )(p1)+ )(p1)的形式，利用的形式，利用 是以是
15、以p p为为公比的等比数列求解公比的等比数列求解.(.(又配凑法或待定系数法又配凑法或待定系数法) )递推关系形如递推关系形如a an+1n+1= (p= (p为非零常数为非零常数) )可化为可化为的形式的形式. .（取（取倒数法倒数法）（6 6）（2）.已知已知an中中,a1=1 , , 求通项求通项an2.2.已知数列已知数列aan n 满足足a a1 1=4,a=4,a2 2=2,a=2,a3 3=1,=1,又又aan+1n+1-a-an n 成等差数列成等差数列(nN(nN* *),),则a an n等于等于. .【解析解析】由已知由已知,a,an+1n+1-a-an n 是首项为是首
16、项为-2,-2,公差为公差为1 1的等差数列的等差数列, ,a an+1n+1-a-an n=-2+(n-1)=n-3,=-2+(n-1)=n-3,a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+)+(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1= .= .答案答案: :【加固训练加固训练】3.3.（20162016杭州模拟）等差数列杭州模拟）等差数列aan n 中，中，a a1 1= =2 015,2 015,前前n n项和为项和为S Sn n, =-2, =-2，则，则S S2 2 017017的值为的值为_._.【解析解析】设等差数
17、列设等差数列aan n 的公差为的公差为d d，则则所以所以 是首项为是首项为2 0152 015，公差为，公差为-1-1的等差数列，的等差数列， =2 015+(n-1)(-1)=2 016-n,=2 015+(n-1)(-1)=2 016-n,S S2 2 017017=-2 017.=-2 017.答案：答案：-2 017-2 017热点考向二热点考向二 求数列的前求数列的前n n项和项和 【考情快报考情快报】高频考向高频考向多维探究多维探究难度度: :中档中档题命命题指数指数:题型型: :客客观题、解答、解答题都可能出都可能出现考考查方式方式: :主要考主要考查等差、等比数列前等差、等
18、比数列前n n项和公式以及其他求和公式以及其他求和方法和方法, ,尤其是尤其是错位相减法及裂位相减法及裂项相消法是高考的相消法是高考的热点内容点内容, ,常与通常与通项公式相公式相结合考合考查, ,有有时也与函数、方程等知也与函数、方程等知识综合命合命题命题角度一命题角度一 基本数列求和、分基本数列求和、分组求和求和【典典题2 2】设数列数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n(nN(nN* *),),数列数列aa2n-12n-1 是首是首项为1 1的等差数列的等差数列, ,数列数列aa2n2n 是首是首项为2 2的等比数列的等比数列, ,且且满足足S S3 3=a=a4 4,a,a
19、3 3+a+a5 5=a=a4 4+2.+2.(1)(1)求数列求数列aan n 的通的通项公式公式. .(2)(2)求求S S2n2n. .【信息联想信息联想】(1)(1)看到数列看到数列aa2n-12n-1 是等差数列、是等差数列、aa2n2n 是等比是等比数列数列, ,想到想到_._.(2)(2)看到求看到求S S2n2n, ,想到想到_._.等差、等比数列的通项公式等差、等比数列的通项公式等差、等比数列前等差、等比数列前n n项和分组求和项和分组求和【规范解答规范解答】(1)(1)设等差数列的公差为设等差数列的公差为d,d,等比数列的公比为等比数列的公比为q,q,则则a a1 1=1,
20、a=1,a2 2=2,a=2,a3 3=1+d,a=1+d,a4 4=2q,a=2q,a5 5=1+2d,=1+2d,所以所以解得解得d=2,q=3.d=2,q=3.所以所以a an n= (kN= (kN* *).).(2)S(2)S2n2n=(a=(a1 1+a+a3 3+ +a+a2n-12n-1)+(a)+(a2 2+a+a4 4+ +a+a2n2n) )=(1+3+5+=(1+3+5+2n-1)+(23+2n-1)+(230 0+23+231 1+ +23+23n-1n-1) )命题角度二命题角度二 裂裂项相消求和相消求和【典典题3 3】已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n
21、 n项和和为S Sn n,S,S5 5=35,a=35,a5 5和和a a7 7的等的等差中差中项为13.13.(1)(1)求求a an n及及S Sn n. .(2)(2)令令b bn n= (nN= (nN* *),),求数列求数列bbn n 的前的前n n项和和. .【信息联想信息联想】(1)(1)看到等差数列、等差中项看到等差数列、等差中项, ,想到等差数列的想到等差数列的_._.(2)(2)看到看到b bn n= = 的结构的结构, ,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和项和, ,想到想到_._.基本量、基本公式基本量、基本公式裂项裂项相消求和相消求和【规范解答规范解答】(1)
22、(1)设等差数列的公差为设等差数列的公差为d,d,因为因为S S5 5=5a=5a3 3=35,a=35,a5 5+a+a7 7=26,=26,所以所以解得解得a a1 1=3,d=2,=3,d=2,所以所以a an n=3+2(n-1)=2n+1(nN=3+2(n-1)=2n+1(nN* *),),S Sn n=3n+ 2=n=3n+ 2=n2 2+2n(nN+2n(nN* *).).(2)(2)由由(1)(1)知知a an n=2n+1,=2n+1,所以所以b bn n= =所以数列所以数列bbn n 的前的前n n项和项和T Tn n= =命题角度三命题角度三 错位相减求和位相减求和【典
23、典题4 4】已知等差数列已知等差数列aan n 的前的前n n项和和为S Sn n, ,公差公差d0,d0,且且S S3 3+S+S5 5=50,a=50,a1 1,a,a4 4,a,a1313成等比数列成等比数列. .(1)(1)求数列求数列aan n 的通的通项公式公式. .(2)(2)设 是首是首项为1,1,公比公比为3 3的等比数列的等比数列, ,求数列求数列bbn n 的前的前n n项和和T Tn n. .【现场答案现场答案】【纠错析因析因】找出以上答案的找出以上答案的错误之之处, ,分析分析错因因, ,并并给出正确出正确答案答案. .提示提示: :以上解题过程中出错之处是以上解题过
24、程中出错之处是-后所得式子最后一项的后所得式子最后一项的符号写错符号写错, ,应是减号应是减号, ,从而导致结果出错从而导致结果出错. .【规范解答规范解答】（1 1）依题意得）依题意得所以所以a an n=a=a1 1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即即a an n=2n+1(nN=2n+1(nN* *).).(2) =3(2) =3n-1n-1, ,b bn n=a=an n3 3n-1n-1=(2n+1)=(2n+1)3 3n-1n-1, ,T Tn n=3+53+73=3+53+732 2+ +(2n+1)+(2n+1)3 3n-
25、1n-13T3Tn n=33+53=33+532 2+73+733 3+ +(2n-1)+(2n-1)3 3n-1n-1+(2n+1)+(2n+1)3 3n n-得得-2T-2Tn n=3+23+23=3+23+232 2+ +2+23 3n-1n-1-(2n+1)3-(2n+1)3n n=3+2=3+2 -(2n+1)3 -(2n+1)3n n=-2n=-2n3 3n n, ,所以所以T Tn n=n=n3 3n n(nN(nN* *).).【规律方法规律方法】1.1.分组求和的常见方法分组求和的常见方法(1)(1)根据等差、等比数列分组根据等差、等比数列分组. .(2)(2)根据正号、负号
26、分组根据正号、负号分组. .(3)(3)根据数列的周期性分组根据数列的周期性分组. .2.2.裂项后相消的规律裂项后相消的规律(1)(1)裂项系数取决于前后两项分母的差裂项系数取决于前后两项分母的差. .(2)(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多裂项相消后前、后保留的项数一样多. .3.3.错位相减法的关注点错位相减法的关注点(1)(1)适用题型适用题型: :等差数列等差数列aan n 乘以等比数列乘以等比数列bbn n 对应项对应项(a(an nb bn n)”型数列求和型数列求和. .(2)(2)步骤步骤: :求和时先乘以数列求和时先乘以数列bbn n 的公比的公比. .把两个和的形式错位相减把两个和的形式错位相减. .整理结果形式整理结果形式. .谢谢大家！谢谢大家！预祝同学们金榜题名！预祝同学们金榜题名！
