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1、工工 程程 有有 限限 单单 元元 法法课程介程介绍一、课程内容： 1、有限元法理论基础； 2、有限元软件ANSYS应用。二、学习方法： 理论与实践相结合，即通过应用有限元分析 实际问题来掌握有限元理论。三、学时数：36学时（理论学时+上机学时）四、考核方式：平时成绩+报告成绩工程有限单元法工程有限单元法第一章第一章 概述概述1.1 1.1 有限元法概述有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶，随着计算机技术和计算方法的发展，已成为计算力学和计算工程科学领域里最为有效的方法，它几乎适用于求解所有连续介质和场的问题。工程有限单元法工程有限单元法一、什么是有限元法？一、什么是有限元法？ 有限元法是
2、将连续体理想化为有限个单元有限元法是将连续体理想化为有限个单元集合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，集合而成，这些单元仅在有限个节点上相连接，即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个即用有限个单元的集合来代替原来具有无限个自由度的连续体。自由度的连续体。工程有限单元法工程有限单元法有限元方法是分析连续体的一种很有效的近似计算方法。是计算机问世以后迅速发展起来的一种广泛用于工程结构建模与分析的方法。说明工程实际问题与计算方法说明工程实际问题与计算方法息息相关。息息相关。自然现象的背后都对应有相关的物理本质与事物规律，用数学方法对物理本质与事物规律进行描述可以得到普适性定律和特定性定理，以及各
3、种形式的（如代数、微分或积分）数学方程，即数学模型。工程有限单元法工程有限单元法对于一个实际的工程问题，建立数学模型时，不仅需要根据实际物理背景采用有效的数学方法，还要考虑求解的效率、结果的精度以及方法的适用性等因素，即分析方法。常用的分析方法有：1. 对线性的、边界规则的简单问题，一般可以利用解析法，得到精确解。2. 对于许多实际工程问题，由于研究系统的庞大，使得微分方程、边界和初始条件的复杂性大大增加，一般难以得到它的精确解。对非线性的、边界不规则等问题，一般不存在精确的解析解，只能利用数值法（如，有限差分法FDM、有限元方法FEM等）得到近似解。工程有限单元法工程有限单元法有限元方法的发
4、展首先，有限元方法在航空结构分析中取得了明显的成效首先，有限元方法在航空结构分析中取得了明显的成效 1941年，Hrenikoff 利用框架分析法（framework method）分析平面弹性体，将平面弹性体描述为杆和梁 的组合体； 1943年, Courant 在采用三角形单元及最小势能原理研 究扭转问题时，利用分片连续函数在子域中近似描述未知函数此后，有限元方法在固体力学、温度场和温升应力、流体力学、此后，有限元方法在固体力学、温度场和温升应力、流体力学、流固耦合（水弹性）问题，均有发展。流固耦合（水弹性）问题，均有发展。 工程有限单元法工程有限单元法 现如今，有限元法广泛应用于航空航天
5、、汽车工业、桥现如今，有限元法广泛应用于航空航天、汽车工业、桥梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、生物医梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、生物医学等设计过程中的结构与力学分析。学等设计过程中的结构与力学分析。 实例实例1 1(EMA-(EMA-火箭发动机火箭发动机, ,卫星卫星, ,雷达雷达) )工程有限单元法工程有限单元法实例实例2 2 (汽车汽车,工程机械工程机械)工程有限单元法工程有限单元法工程有限单元法工程有限单元法工程有限单元法工程有限单元法二、有限元法的基本思想二、有限元法的基本思想有限元法的基本思想是：“分与合”。 “分”是为了划分单元，进行单元分析；“合”则是为了
6、集合单元，对整体结构进行综合分析。结构离散结构离散- -单元分析单元分析- -整体求解整体求解工程有限单元法工程有限单元法2.12.1有限元法的实现过程有限元法的实现过程工程有限单元法工程有限单元法(1)(1)对象离散化对象离散化 当研究对象为连续介质问题时，首先需要将所研究的对象进行合理的离散化分割，即根据精度预期或经验将连续问题进行有限元分割。( (2 2) )单元分析单元分析 有限元方法的核心工作是单元分析，通过分析各单元的结点力与结点位移之间的关系和边界条件，以便建立单元刚度矩阵。( (3 3) )构造总体方程构造总体方程 将单元刚度矩阵组成总体方程刚度矩阵，且总体方程应满足相邻单元在
7、公共结点上的位移协调条件，即整个结构的所有结点载荷与结点位移之间应存在相互的变量关系。工程有限单元法工程有限单元法4.4.解总体方程解总体方程 在求解有限元模型时，应考虑总体刚度方程中引入的边界条件，以便得到符合实际情况的唯一解。5.5.输出结果输出结果 有限元模型求解结束后，可通过数值解序列或由其构成的图形显示研究对象的物理结构变形情况以及各种物理量间的变化关系，如通过列表显示各种数据信息，用等值线分布图显示等受力点，或动画显示各种量的变化过程。工程有限单元法工程有限单元法1) 1) 直接方法直接方法 直接方法是指直接从结构力学引伸得到。直接方法具有简单、物理意义明确、易于理解等特点。2)
8、2) 变分方法变分方法 变分方法是一种最常用的方法之一，主要用于线性问题的模型建立。3) 3) 加权残值法加权残值法 对于线性自共轭形式方程，加权残值法可得到和变分法相同的结果，如得到一个对称的刚度矩阵。对于那些“能量泛函”不存在的问题（主要是一些非线性问题和依赖于时间的问题）加权残值法是一种很有效的方法。2.2 2.2 建立有限元方程的常用方法建立有限元方程的常用方法工程有限单元法工程有限单元法通常，实际工程问题可分为线性问题和非线性问题、边界通常，实际工程问题可分为线性问题和非线性问题、边界规则与不规则问题。规则与不规则问题。有限元法其实是非线性问题，如图右所示。2.3 2.3 有限元法与
9、工程求解问题的关系有限元法与工程求解问题的关系工程有限单元法工程有限单元法三、有限元法的基本步三、有限元法的基本步骤 无论对于什么样的结构，有限元分析过程都是类似的。其基本步骤为： （1）研究分析结构的特点，包括结构形状与边界、载荷工况等； （2）将连续体划分成有限单元，形成计算模型，包括确定单元类型与边界条件、材料特性等；工程有限单元法工程有限单元法（3）以单元节点位移作为未知量，选择适当的位移函数来表示单元中的位移，再用位移函数求单元中的应变，根据材料的物理关系，把单元中的应力也用位移函数表示出来，最后将作用在单元上的载荷转化成作用在单元上的等效节点力，建立单元等效节点力和节点位移的关系。
10、这一过程就是单元特性分析。工程有限单元法工程有限单元法（4 4）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体的有限元方程，求解出节点位移。的有限元方程，求解出节点位移。重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但各种单元的分析方法又是一致的。各种单元的分析方法又是一致的。工程有限单元法工程有限单元法四、有限元法的学四、有限元法的学习路路线 从最简单的平面结构入手，由浅入深，介绍有限元理论及其相关应用。 工程有限单元法工程有限单元法五、有限元法的五
11、、有限元法的发展与展与应用用 有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。工程有限单元法工程有限单元法（一）算法与有限元（一）算法与有限元软件件 从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论研究，不但拓展了有限元法的应用领域，还开发了许多通用或专用的有限元分析软件。 理论研究的一个重要领域是计算方法的研究，主要有： 大型线性方程组的解法， 非线性问题的解法。工程有限单元法工程有限单元法目前目前应用用较多的通用有限元多的通用有限元软件如下表：件如下表： 软件名称简介MSC/Nastran著名
12、结构分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran动力学分析程序MSC/Marc非线性分析软件ANSYS通用结构分析软件ADINA非线性分析软件ABAQUS非线性分析软件 另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热处理分析软件SysWeld等。工程有限单元法工程有限单元法（二）（二）应用用实例例有限元法已经成功地应用在以下一些领域： 固体力学，包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析； 传热学； 电磁场； 流体力学 。工程有限单元法工程有限单元法转向机构支架的向机构支架的强度分析（刘道勇，度分析（刘道勇，东风汽汽车工程研究院工程研究院
13、动，用，用MSC/NastranMSC/Nastran完成）完成）工程有限单元法工程有限单元法基于基于ANSYSANSYS的的齿轮啮合仿真合仿真 工程有限单元法工程有限单元法第第2 2章章 弹性力学基本方程及平面问题的有限元法弹性力学基本方程及平面问题的有限元法工程有限单元法工程有限单元法2.1 2.1 弹性力学性力学简介介 本课程中的有限单元法理论要用到弹性力学的某些基本概念和基本方程。将简单介绍这些概念和方程，作为弹性力学有限单元法的预备知识。工程有限单元法工程有限单元法弹性力学性力学 区区别与与联系系 材料力学材料力学1、研究的内容：研究的内容：基本上没有什么区别。基本上没有什么区别。
14、弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。运动，以及由此产生的应力和变形。2、研究的对象：研究的对象：有相同也有区别。有相同也有区别。 材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。个尺
15、寸相当的构件。工程有限单元法工程有限单元法弹性力学性力学 区区别与与联系系 材料力学材料力学3、研究的方法：研究的方法：有较大的区别。有较大的区别。 虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往这样虽然大大简化了数学推演，
16、但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。答的精确程度，并确定它们的适用范围。工程有限单元法工程有限单元法弹性力学性力学 区区别与与联系系 材料力学材料力学例如，材料力学在研究有孔的拉伸构件通常就假定拉应力在净截断面均匀
17、分布。工程有限单元法工程有限单元法弹性力学性力学 区区别与与联系系 材料力学材料力学 总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学，研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。工程有限单元法工程有限单元法弹性力学基本方程性力学基本方程 一一 、弹性力学中的几个基本概念：、弹性力学中的几个基本概念： 1、体力体力，是分布于物体体
18、积内的外力，如重，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号解为三个成分，用记号X X、Y Y、Z Z表示。表示。 2 2、面力、面力，是分布于物体表面的力，如静水压，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号成分，用记号 来表示。来表示。工程有限单元法工程有限单元法 3 3、 内力、平均内力、平均应力和力和应力力 （1）内力（Inter
19、nal forces）：是物体本身不同部分之间相互作用的力； （2）平均应力（ the average stress ）：设作用在包含P点某一个截面mn上的单元面积（ elementary area ）A 上的力为F ，则F/A 称为A 上的平均应力； （3）应力：如果假设内力分布连续，命 A无 限减小并趋向P点, 则F/A 将趋向一个极限 p:这个极限P就叫做物体在截面mn上，在P点的应力。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。弹性体受外力以后，其内部将产生应力。工程有限单元法工程有限单元法 内力、平均内力、平均应力和力和应力的概念力的概念工程有限单元法工程有限单元法4. 4. 正应力和切应力
20、的概念正应力和切应力的概念 正应力：应力在作用截面法线方向的分量；切应力：应力在作用截面切线方向的分量。 正平行六面体应力：从物体中取出一个微小的正平行六面体，它的棱边分别平行于三个坐标轴，长度分别为dx,x, dy,dy, dz.dz.正平行六面体应力如图所示.工程有限单元法工程有限单元法(1) 应力的表示 正应力用表示. 它的下标表示作用方向.如x 表示正应力沿着 x 方向;剪应力用 表示, 它有两个下标, 例如xy 表示剪应力作用在垂直 x轴的平面上, 但沿着 y方向. (2)应力的符号 如果一个截面的外法线沿着坐标轴的正方向，这个面就称为正面，这个面上的应力就以沿着坐标轴的正方向为正；
21、沿着坐标轴的负方向为负。工程有限单元法工程有限单元法 这个应力符号的规定与材料力学的不同, 在材料力学中: 正应力的符号为拉为正, 压为负; 而剪应力为正面向下的为正; 负面向上为正. 或用右手法则确定:右手姆指沿面的外法线时,其余四个手指反时针为正, 顺时针为负.材料力学中正的剪应力弹性力学中正的剪应力工程有限单元法工程有限单元法剪应力互等定律剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。的剪应力是互等的。( (大小相等，正负号也相同大小相等，正负号也相同) )。因。因此剪应力记号的两个角码可以对调。此剪应力记号的两
22、个角码可以对调。工程有限单元法工程有限单元法可可以以证证明明: :如如果果 这这六六个个量量在在P P点点是是已已知知的的，就就可可以以求求得得经经过过该该点点的的任任何何面面上上的的正正应应力力和和剪剪应应力力，因因此此，这这六六个个量量可可以以完完全全确确定定该该点点的应力状态，它们就称为在该点的的应力状态，它们就称为在该点的应力分量应力分量。 一一般般说说来来，弹弹性性体体内内各各点点的的应应力力状状态态都都不不相相同同，因因此此，描描述述弹弹性性体体内内应应力力状状态态的的上上述述六六个个应应力力分分量量并并不是常量，而是坐标不是常量，而是坐标x x、y y、z z的函数。的函数。六个
23、应力分量的总体，可以用一个列矩阵六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵 来来表示：表示：工程有限单元法工程有限单元法5 5、形变和正应变、剪应变的概念、形变和正应变、剪应变的概念 （1）形变: 形状的改变，它包含长度和角度的改变。 （2）正应变： 各线段单位长度的伸缩。以伸长为正；缩短为负。 （3）剪应变： 各线段之间的直角的改变。6 6、位移、位移 是指位置的移动. 它在 x, y 和 z 轴上的投影用 u, v 和 w, 来表示。它的符号是沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。工程有限单元法工程有限单元法二、二、弹性力学中关于材料性性力学中关于材料性质的基本假定的基本假定 (1) (1) 连续
24、性连续性:假定物体是连续. 即整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满, 不留任何空隙. 这样,物体内的物理量,例如应力形变和应变, 才可能是连续的, 才可以用连续函数来表示; (2) 完全弹性完全弹性:假定物体是完全弹性的.所谓弹性, 是指物体在引起形变的外力被除去以后能恢复原形的性质. 而完全弹性是指物体能完全恢复原形而没有任何剩余变形. (3) 均匀性均匀性:假定物体是均匀的, 整个物体由同一材料组成. (4) 各向同性各向同性: :假定物体是各向同性的, 即物体的弹性性质在所有各个方向都相同. 符合以上四个假定的物体, 称为理想弹性体理想弹性体.工程有限单元法工程有限单元法(5) 小
25、变形假定小变形假定:假定物体的位移和形变是微小的. 即物体的位移远小于物体原来的尺寸, 而且应变和转角都远小于1. 因此, 本课程所讨论的问题, 都是理想弹性体的小变理想弹性体的小变形问题形问题. .工程有限单元法工程有限单元法三、三、弹性力学的研究方法性力学的研究方法 在弹性体内部, 考虑静力学, 几何学和物理学三方面条件, 分别建立三套基本方程. 此外, 在弹性体的边界上, 建立边界条件.位移边界条件位移边界条件边界条件边界条件应力边界条件应力边界条件工程有限单元法工程有限单元法弹性力学的基本性力学的基本变量量工程有限单元法工程有限单元法弹性力学的基本方程性力学的基本方程- -平衡方程平衡
26、方程由物体的受力平衡条件建立的方程：工程有限单元法工程有限单元法弹性力学的基本方程性力学的基本方程- -几何方程几何方程由物体的受力变形后，各应变分量和位移分量的关系建立的方程：工程有限单元法工程有限单元法弹性力学的基本方程性力学的基本方程- -物理方程物理方程由物体材料本身的物理特性建立的方程，其中E-弹性模量； -泊松比；G-剪切弹性模量。且对各向同性材料，工程有限单元法工程有限单元法在限元法中，物理方程可表示在限元法中，物理方程可表示为：工程有限单元法工程有限单元法弹性力学的基本方程性力学的基本方程- -边界条件界条件工程有限单元法工程有限单元法四、四、弹性力学性力学问题的解法的解法空间
27、弹性力学问题共有15个方程，3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。其中包括6个应力分量 ，6个应变分量 ，3个位移分量 ，共有15个未知函数，在给定边界条件时，问题是可解的。弹性力学问题的提法是，给定作用在物理全部边界或内部的作用，求解物理由此产生的应力场和位移场。工程有限单元法工程有限单元法 按照三种不同的边界条件，弹性力学问题可分为应力边界条件问题、位移边界问题和混合边界。 由于有限元模型是对实际结构的反映，对有限元模型施加合适的载荷条件和边界条件，是正确求解有限元解的关键。工程有限单元法工程有限单元法根据先求出的基本未知量的不同，弹性力学问题有三种方法：（1）应力法：以应力分量作为基
28、本未知量，此时将一切未知量和基本方程都转换为用应力表示。求得应力分量后，由物理方程求应变分量，再由几何方程求出位移分量。（2）位移法：以位移分量作为基本未知量，此时将一切未知量和基本方程都转换为用位移表示。求得位移分量后，用几何方程求应变分量，再由物理方程求应力分量。目前，有限元法中多采用位移法的思想。（3）混合法：采用各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量，混合求解。工程有限单元法工程有限单元法五、五、 虚功原理及虚功方程虚功原理及虚功方程图图1-8a1-8a示示一一平平衡衡的的杠杠杆杆，对对C C点点写写力力矩平衡方程：矩平衡方程：图图1-8b1-8b表表示示杠杠杆杆绕绕支支点
29、点C C转转动动时时的的刚刚体位移图：体位移图：综合可得：综合可得：即：即：上上式式是是以以功功的的形形式式表表述述的的。表表明明：图图a a的的平平衡衡力力系系在在图图b b的的位位移移上上作作功功时时，功功的的总总和和必必须须等等于于零零。这这就就叫叫做虚功原理。做虚功原理。虚功原理虚功原理 进进一一步步分分析析。当当杠杠杆杆处处于于平平衡衡状状态态时时， 和和 这这两两个个位位移移是是不不存存在在的的，但但是是如如果果某某种种原原因因，例例如如人人为为地地振振一一下下让让它它倾倾斜斜，一定满足上式的关系。一定满足上式的关系。 将将这这个个客客观观存存在在的的关关系系抽抽象象成成一一个个普
30、普遍遍的的原原理理，去去指指导导分分析析和计算结构。和计算结构。 对对于于在在力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的任任何何物物体体，不不用用考考虑虑它它是是否否真真正正发发生生了了位位移移，而而假假想想它它发发生生了了位位移移，( (由由于于是是假假想想，故故称称为为虚虚位位移移) )，那那么么，物物体体上上所所有有的的力力在在这这个个虚虚位位移移上上的的总总功功必必定定等等于于零零。这这就就叫叫做做虚虚位位移移原原理理，也也称称虚虚功功原原理理。在在图图1-8a1-8a中中的的 和和 所所作作的的功功就就不不是是发发生生在在它它本本身身( (状状态态a)a)的的位位移移上上，(
31、(因因为为它它本本身身是是平平衡衡的的，不不存存在在位位移移) )，而而是是在在状状态态(b)(b)的的位位移移上上作作的的功功。可可见见，这这个个位移对于状态位移对于状态(a)(a)来说就是虚位移，亦即是状态来说就是虚位移，亦即是状态(a)(a)假象的位移。假象的位移。工程有限单元法工程有限单元法虚功原理虚功原理 必必须须指指出出，虚虚功功原原理理的的应应用用范范围围是是有有条条件件的的，它它所所涉涉及及到到的的两两个个方方面面，力力和和位位移移并并不不是是随随意意的的。对对于于力力来来讲讲，它它必必须须是是在在位位移移过过程程中中处处于于平平衡衡的的力力系系；对对于于位位移移来来讲讲，虽虽
32、然然是是虚虚位位移移，但但并并不不是是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。 还还要要注注意意，当当位位移移是是在在某某个个约约束束条条件件下下发发生生时时，则则在在该该约约束束力力方方向向的的位位移移应应为为零零，因因而而该该约约束束力力所所作作的的虚虚功功也也应应为为零零。这这时时该该约约束束力力叫叫做做被被动动力力。( (如如图图1-81-8中中的的反反力力 ，由由于于支支点点C C没没有有位位移移，故故 所作的虚功对于零所作的虚功对于零) )。反之，如图。反之，如图1-81-8中的中的 和和 是是在在位位移移
33、过过程程中中作作功功的的力力，称称为为主主动动力力。因因此此，在在平平衡衡力力系系中中应应当当分分清清楚楚哪哪些些是是主主动动力力，哪哪些些是是被被动动力力，而而在在写写虚虚功功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。工程有限单元法工程有限单元法虚功原理与虚功方程虚功原理与虚功方程虚功原理表述如下：虚功原理表述如下： 在在力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的体体系系，当当发发生生与与约约束束条条件件相相符符合合的的任任意意微微小小的的刚刚体体位位移移时时，体体系系上上所所有有的的主主动动力力在在位位移上所作的总功移上所作的总功
34、( (各力所作的功的代数和各力所作的功的代数和) )恒对于零。恒对于零。虚功原理用公式表示为：虚功原理用公式表示为：这就是虚功方程，其中这就是虚功方程，其中P P和和 相应的代表力和虚位移。相应的代表力和虚位移。工程有限单元法工程有限单元法虚功原理虚功原理-用于用于弹性体的情况性体的情况 虚虚功功方方程程是是按按刚刚体体的的情情况况得得出出的的，即即假假设设图图1-81-8的的杠杠杆杆是是绝绝对对刚刚性性，没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。没有任何的变形，因而在方程中没有内功项出现，而只有外功项。 将将虚虚功功原原理理用用于于弹弹性性变变形形时时，总总功功W W要要包包
35、括括外外力力功功(T)(T)和和内内力力功功(U)(U)两两部部分分，即即： W W = = T T - - U U ；内内力力功功(-U)(-U)前前面面有有一一负负号号，是是由由于于弹弹性性体体在在变变形形过过程程中中，内内力力是是克克服服变变形形而而产产生生的的，所所有有内内力力的的方方向向总总是是与与变变形形的的方方向相反，所以内力功取负值。向相反，所以内力功取负值。 根据虚功原理，总功等于零得：根据虚功原理，总功等于零得： T - U = 0T - U = 0 外力虚功外力虚功 T = T = 内力虚功内力虚功 U U 弹弹性性力力学学中中的的虚虚功功原原理理可可表表达达为为：在在外
36、外力力作作用用下下处处于于平平衡衡状状态态的的弹弹性性体体，如如果果发发生生了了虚虚位位移移，那那么么所所有有的的外外力力在在虚虚位位移移上上的的虚虚功功( (外外力力功功) )等等于于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功整个弹性体内应力在虚应变上的虚功( (内力功内力功) )。工程有限单元法工程有限单元法六、两种平面六、两种平面问题 弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、任何实际问题都
37、是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即可。力分量即可。平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题工程有限单元法工程有限单元法平平面面应力力问题 厚厚度度为为t t的的很很薄薄的的均均匀匀木木板板。只只在在边边缘缘上上受受到到平平行行于于板板面面且且不不沿沿厚厚度度变化的面力
38、，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。 以以薄薄板板的的中中面面为为xyxy面面，以以垂垂直直于于中中面面的的任任一一直直线线为为Z Z轴轴。由由于于薄薄板板两两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：另另外外由由于于平平板板很很薄薄，外外力力又又不不沿沿厚厚度度变变化化，可可认认为为在在整整个个薄薄板板内内各各点点均均有：有：于于是是，在在六六个个应应力力分分量量中中，只只需需要要研研究究剩剩下下的的平平行行于于XOYXOY平平面面的的三三个个应应力力分量，即分量，即 ，所
39、以称为，所以称为平面应力问题平面应力问题。工程有限单元法工程有限单元法平面平面应力力问题应力矩阵应力矩阵(1-2)(1-2)可以简化为：可以简化为：工程有限单元法工程有限单元法物物理理方方程程(1-10)中中后后两两式式可可见见，这这时时的的剪剪应变：应变：由物理方程由物理方程(1-10)中的第三式可见：中的第三式可见：一一般般 ， 并并不不一一定定等等于于零零，但但可可由由 及及 求求得得，在在分分析析问问题题时时不不必必考考虑虑。于于是只需要考虑是只需要考虑 三三个个应应变变分分量量即即可可，于于是是应应变变矩矩阵阵(1-3-2)简化为：简化为：工程有限单元法工程有限单元法平面应力问题平面
40、应力问题物理方程物理方程(1-10)简化为：简化为：转化成应力分量用应变分量表示的形式：转化成应力分量用应变分量表示的形式：工程有限单元法工程有限单元法平面应力问题平面应力问题将将(1-21)式用矩阵方程表示：式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则简化为：则简化为：工程有限单元法工程有限单元法平面应力问题平面应力问题只有只有 三个应变分量需要考虑，所以几何方程三个应变分量需要考虑，所以几何方程(1-3)简化为：简化为：工程有限单元法工程有限单元法平面应力问题平面应力问题弹性体的虚功方程弹性体的虚功方程(1-17)简化为简化为工程有限单元法工程有限单元法平面应
41、变问题平面应变问题 一一纵纵向向(即即Z向向)很很长长，且且沿沿横横截截面面不不变变的的物物体体，受受有有平平行行于于横横截截面面而而且且不不沿沿长度变化的面力和体力，如图长度变化的面力和体力，如图1-11所示。所示。 由由于于物物体体的的纵纵向向很很长长(在在力力学学上上可可近近似似地地作作为为无无限限长长考考虑虑)，截截面面尺尺寸寸与与外外力力又又不不沿沿长长度度变变化化；当当以以任任一一横横截截面面为为xy面面，任任一一纵纵线线为为Z轴轴时时，则则所所有有一一切切应应力力分分量量、应应变变分分量量和和位位移移分分量量都都不不沿沿Z方方向向变变化化，它它们们都都只只是是x和和y的的函函数数
42、。此此外外，在在这这一一情情况况下下，由由于于对对称称(任任一一横横截截面面都都可可以以看看作作对对称称面面)，所所有有各各点点都都只只会会有有x和和y方方向向的的位位移移而而不不会会有有Z方方向向的的位位移，即移，即 w = 0 因因此此，这这种种问问题题称称为为平平面面位位移移问问题题，但习惯上常称为但习惯上常称为平面应变问题平面应变问题。工程有限单元法工程有限单元法平面应变问题平面应变问题既然既然w = 0，而且，而且u及及v又只是又只是x和和y的函数，由几何方程的函数，由几何方程(1-3-1)可见可见 。于是只剩下三个应变分量。于是只剩下三个应变分量 ，几何方程仍然简化为方程几何方程仍
43、然简化为方程(1-24)。工程有限单元法工程有限单元法平面应变问题平面应变问题因为因为由物理方程由物理方程(1-11)(1-11)中后两式可见中后两式可见又由物理方程又由物理方程(1-11)(1-11)中的第三式可见：中的第三式可见：在平面应变问题中，虽然在平面应变问题中，虽然 ，但但 一般并不等于零，不过它可一般并不等于零，不过它可以由以由 及及 求得，在分析问题时求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量不必考虑，于是也就只有三个应力分量 需要考虑。需要考虑。工程有限单元法工程有限单元法平面应变问题平面应变问题物理方程物理方程(1-11)简化为：简化为：工程有限单元法工程有限单元
44、法平面应变问题平面应变问题将将(1-25)式用矩阵方程表示：式用矩阵方程表示：它仍然可以简写为：它仍然可以简写为：弹性矩阵弹性矩阵D则为：则为：工程有限单元法工程有限单元法平面应变问题平面应变问题 平平面面应应变变问问题题，由由于于在在Z方方向向没没有有外外力力，应应力力和和应应变变也也不不沿沿Z方方向向变变化化，所所以以虚虚功功方方程程(1-25)仍仍然然适适用用，其其中中的的t可可以以取为任意数值，但取为任意数值，但 必须是这个必须是这个t范围内的外力。范围内的外力。 需需要要说说明明一一下下，工工程程中中有有许许多多问问题题很很接接近近于于平平面面应应变变问问题题，如如受受内内压压力力的
45、的圆圆管管、滚滚柱柱轴轴承承中中的的滚滚柱柱等等等等，但但它它们们的的沿沿Z向向长长度度都都不不是是无无限限长长的的。故故在在靠靠近近两两端端的的部部分分，其其应应力力应应变变状状态态比比较较复复杂杂，并并不不符符合合平平面面应应变变问问题题的的条条件件；因因此此将将这这类类问问题题当当作作平平面面应应变变问问题题来来考考虑虑时时，对对于于离离开开两两端端有有一一定定距距离离的的地地方方，得得出出的的结结果果还还是是相相当当满满意意的的；但但对对靠靠近近两两端端的的部部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。位，却有较大的出入，往往需要加以处理。工程有限单元法工程有限单元法平面应力问题与平面应变
46、问题平面应力问题与平面应变问题 对对于于两两种种平平面面问问题题，几几何何方方程程都都是是(1-24)，虚虚功功方方程程都都是是(1-25)，物物理方程都是：理方程都是：工程有限单元法工程有限单元法平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题对于平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用对于平面应力情况下的弹性矩阵，应该采用(1-23)式，式，而对于平面应变则采用而对于平面应变则采用(1-28)式，式，还可注意，在还可注意，在(1-23)式中，若将式中，若将E改换为改换为 ，将，将 改换为改换为 ，就得出公式就得出公式(1-28)。工程有限单元法工程有限单元法平平面面应应力力问问题题与与平平面
47、面应应变变问问题题 在在两两种种平平面面问问题题中中，如如果果 ，则则和和1-3中中(1-4)式式相相似，似，由几何方程的积分得出：由几何方程的积分得出：其中其中 及及 分别代表弹性体沿分别代表弹性体沿x及及y方向的刚体移动，而方向的刚体移动，而代表弹性体绕代表弹性体绕Z轴的刚体转动。轴的刚体转动。工程有限单元法工程有限单元法2.2 2.2 平面问题的有限元法平面问题的有限元法工程有限单元法工程有限单元法 有限单元法的基本思路：有限单元法的基本思路：(1) (1) 把物体分成有限大小的单元，单元间用节点相连接。把物体分成有限大小的单元，单元间用节点相连接。(2) (2) 把单元节点的位移作为基
48、本未知量，在单元内的位移，设把单元节点的位移作为基本未知量，在单元内的位移，设成线性函数成线性函数( (或其它函数或其它函数) )，保证在单元内和单元间位移连接。，保证在单元内和单元间位移连接。(3) (3) 将节点的位移与节点的力联系起来。将节点的位移与节点的力联系起来。(4) (4) 列出节点的平衡方程，得出以节点位移表达的平衡方程组。列出节点的平衡方程，得出以节点位移表达的平衡方程组。(5) (5) 求解代数方程组，得出各节点的位移，根据节点位移求出求解代数方程组，得出各节点的位移，根据节点位移求出各单元中的应力。各单元中的应力。 有限单元法的基本未知量是节点位移，用节点的平衡方程有限单
49、元法的基本未知量是节点位移，用节点的平衡方程来求解。来求解。工程有限单元法工程有限单元法弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤：弹性力学平面问题的有限单元法包括三个主要步骤： 1 1、离散化、离散化 2 2、单元分析、单元分析 3 3、单元综合、单元综合 1 1、离散化、离散化 有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替有限单元法的基础是用所谓有限个单元的集合体来代替原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成原来的连续体，因而必须将连续体简化为由有限个单元组成的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三的离散体。对于平面问题，最简单，因而最常用的单元是三角形单元。
50、这些单元在节点处用铰相连，荷载也移置到节点角形单元。这些单元在节点处用铰相连，荷载也移置到节点上，成为节点荷载。在节点位移或其某一分量可以不计之处，上，成为节点荷载。在节点位移或其某一分量可以不计之处，就在节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。就在节点上安置一个铰支座或相应的连杆支座。工程有限单元法工程有限单元法车辆工程技术中心车辆工程技术中心 2 2、单元分析、单元分析 对三角形单元，建立节点位移与节点力之间的转换关系对三角形单元，建立节点位移与节点力之间的转换关系. .节点位移节点位移 节点力节点力 2、单元分析、单元分析-单元刚度矩阵单元刚度矩阵 取节点位移作基本未知量。由节点位移求节点
51、力：取节点位移作基本未知量。由节点位移求节点力： 其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出其中，转换矩阵称为单元刚度矩阵。单元分析的主要目的就是要求出单元刚度矩阵。单元刚度矩阵。 单元分析的步骤可表示如下：单元分析的步骤可表示如下：工程有限单元法工程有限单元法 3 3、单元综合、单元综合 将离散化了的各个单元合成整体结构，利用节点平衡方程求出节点位将离散化了的各个单元合成整体结构，利用节点平衡方程求出节点位移。移。 在位移法中，主要的任务是求出基本未知量在位移法中，主要的任务是求出基本未知量-节点位移。为此需要节点位移。为此需要建立节点的平衡方程。建立节点的平衡方程。工程有
52、限单元法工程有限单元法i i点总的点总的节节点力应为：点力应为： 根据根据节节点的平衡条件，得点的平衡条件，得 单元单元e e的节点力，可按式的节点力，可按式(2-2)(2-2)用节点位移表示，代入得到用节点位用节点位移表示，代入得到用节点位移表示的平衡方程。移表示的平衡方程。 每个可动节点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以方程总数每个可动节点有两个未知位移，有两个平衡方程，所以方程总数与未知位移总数相等，可以求出所有的节点位移。与未知位移总数相等，可以求出所有的节点位移。 单元综合的目的就是要求出节点位移。节点位移求出后，可进一单元综合的目的就是要求出节点位移。节点位移求出后，可进一步求出
53、各单元的应力。步求出各单元的应力。工程有限单元法工程有限单元法2.2.1 2.2.1 平面平面问题的离散化的离散化 对任何工程平面构件进行有限元分析，首先都是从简化其几何形状，绘出其平面简图入手。连续体的离散化就是单元网格划分。平面问题中最常用的单元是三角形和矩形单元。 总之，通过单元划分，载荷移置以及约束简化，就形成了有限元模型。工程有限单元法在划分单元时，应注意以下几点：在划分单元时，应注意以下几点：（1 1）单元类型的选择，主要取决于结构的几何形状、施加的载荷）单元类型的选择，主要取决于结构的几何形状、施加的载荷类型和要求的计算精度。类型和要求的计算精度。（2 2）单元的大小（即网格的疏
54、密），从有限元的理论上讲，单元）单元的大小（即网格的疏密），从有限元的理论上讲，单元划分越细，节点布置越多，计算结果精度越高。但相应要求计划分越细，节点布置越多，计算结果精度越高。但相应要求计算机容量也增大，计算时间也增加。算机容量也增大，计算时间也增加。（3 3）单元有疏有密，对结构的不同部位可采用不同大小的单元。）单元有疏有密，对结构的不同部位可采用不同大小的单元。（4 4）不同厚度或不同材料处，应取作为单元的边界线，而且在该）不同厚度或不同材料处，应取作为单元的边界线，而且在该处附近的单元还应划分的小一些，以尽可能反映出边线两侧应处附近的单元还应划分的小一些，以尽可能反映出边线两侧应力的
55、突变情况。力的突变情况。（5 5）预留载荷位置，在分布载荷集度变化处和集中力作用处，应）预留载荷位置，在分布载荷集度变化处和集中力作用处，应布置节点，以利加载，并且其附近的单元也应划分的小些，以布置节点，以利加载，并且其附近的单元也应划分的小些，以反映此处的应力变化。反映此处的应力变化。工程有限单元法工程有限单元法2.2.2 2.2.2 单元位移函数元位移函数 如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分如果弹性体的位移分量是坐标的已知函数，则可用几何方程求应变分量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位移变量，再从物理方程求应力分量。但对一个连续体，内部各点的位
56、移变化情况很难用一个简单函数来描绘。化情况很难用一个简单函数来描绘。 有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，有限单元法的基本原理是分块近似，即将弹性体划分成若干细小网格，在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数在每一个单元范围内，内部各点的位移变化情况可近似地用简单函数来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元来描绘。对每个单元，可以假定一个简单函数，用它近似表示该单元的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移的位移。这个函数称为位移函数，或称为位移模式、位移模型、位移场。场。 对于平面问题，单元位移函数可以用多项
57、式表示，对于平面问题，单元位移函数可以用多项式表示，多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多多项式中包含的项数越多，就越接近实际的位移分布，越精确。但选取多少项数，要受单元型式的限制。少项数，要受单元型式的限制。工程有限单元法工程有限单元法 三节点三角形三节点三角形单元单元六六个个节节点点位位移移只只能能确确定定六六个个多多项项式式的的系系数数，所所以以平平面面问问题题的的3 3结结点点三三角角形单元的位移函数如下，形单元的位移函数如下，所所选选用用的的这这个个位位移移函函数数，将将单单元元内内部部任任一一点点的的位位移移定定为为座座标标的的线线性性函函数数，位移模式很
58、简单。位移模式很简单。位移函数写成矩阵形式为：位移函数写成矩阵形式为：工程有限单元法工程有限单元法 最终确定六个待定系数最终确定六个待定系数工程有限单元法工程有限单元法 令令 （下标（下标i i，j j，m m轮换）轮换）简写为简写为II是单位矩阵，是单位矩阵， NN称为形态矩阵，称为形态矩阵，N Ni i称为位移的形态函数称为位移的形态函数工程有限单元法工程有限单元法 选选择择单单元元位位移移函函数数时时，应应当当保保证证有有限限元元法法解解答答的的收收敛敛性性，即即当当网网格格逐逐渐渐加加密密时时，有有限限元元法法的的解解答答应应当当收收敛敛于于问问题题的的正正确确解解答答。因因此此，选选
59、用用的的位位移模式应当满足下列两方面的条件：移模式应当满足下列两方面的条件：(1) (1) 必须能反映单元的刚体位移和常量应变。必须能反映单元的刚体位移和常量应变。 6 6个参数个参数 到到 反映了三个刚体位移和三个常量应变。反映了三个刚体位移和三个常量应变。(2) (2) 必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。必须保证相邻单元在公共边界处的位移连续性。 ( (线性函数的特性线性函数的特性) )工程有限单元法工程有限单元法 例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵例题：图示等腰三角形单元，求其形态矩阵NN。工程有限单元法 由三角形的面积由三角形的面积工程有限单元法工程有限单元法 本节利用几何
60、方程、物理方程，实现用结点位移表示单元的应变本节利用几何方程、物理方程，实现用结点位移表示单元的应变和单元的应力。和单元的应力。 用结点位移表示单元的应变的表达式为用结点位移表示单元的应变的表达式为 ，BB矩阵称为几何矩阵。矩阵称为几何矩阵。 2.2.3 2.2.3 单元元应变和和应力力工程有限单元法工程有限单元法对于平面应力问题对于平面应力问题:工程有限单元法工程有限单元法2.2.4 单元元刚度矩度矩阵单元节点力与单元位移的关系式，称为单元刚度方程组。单元节点力与单元位移的关系式，称为单元刚度方程组。工程有限单元法工程有限单元法单元元刚度矩度矩阵的性的性质：（1）单元刚度矩阵中每个元素有明确
61、的物理意义；（2）刚度矩阵是对称矩阵；（3）刚度矩阵是奇异矩阵；另外，单元刚度矩阵取决于：（1）单元的位移函数；（2）单元的几何参数；（3）单元的材料性质。工程有限单元法工程有限单元法2.2.5 单元等效节点载荷单元等效节点载荷 连续弹性体离散为单元组合体时，为简化受力情况，需把弹性体承受的任意分布的载荷都向节点移置(分解)，而成为结点载荷。如果弹性体受承受的载荷全都是集中力，则将所有集中力的作用点取为节点，就不存在移置的问题，集中力就是节点载荷。但实际问题往往受有分布的面力和体力，都不可能只作用在节点上。因此，必须进行载荷移置。如果集中力的作用点未被取为节点，该集中力也要向结节移置。 将载荷
62、移置到节点上，必须遵循静力等效的原则。静力等效是指原载荷与节点载荷在任意虚位移上做的虚功相等。在一定的位移模式下，移置结果是唯一的，且总能符合静力等效原则。工程有限单元法工程有限单元法 在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过简单的虚功在线性位移模式下，对于常见的一些载荷，可以通过简单的虚功计算，得出所需的载荷列矩阵。计算，得出所需的载荷列矩阵。均质等厚度的三角形单元所受的重力，把均质等厚度的三角形单元所受的重力，把1/31/3的重力移到每个节点的重力移到每个节点工程有限单元法工程有限单元法 例：例：总载荷的总载荷的2/32/3移置到节点移置到节点i i，1/31/3移置到节点移置到节点
63、j j，与原载荷同向与原载荷同向工程有限单元法工程有限单元法 载荷向节点的移置，可以用载荷向节点的移置，可以用普遍公式来表示。普遍公式来表示。体力的移置体力的移置分布面力的移置分布面力的移置在线性位移模式下，用直接在线性位移模式下，用直接计算法简单；非线性模式计算法简单；非线性模式下，要用普遍公式计算。下，要用普遍公式计算。工程有限单元法工程有限单元法2.2.6 总刚度矩度矩阵K为总刚度矩阵，R为节点力分量矩阵。 为节点位移分量矩阵。总刚度矩阵性质：（1）总刚度矩阵也是对称矩阵；（2）总刚度矩阵呈稀疏带状分布；（3）总刚度矩阵奇异矩阵。工程有限单元法工程有限单元法2.2.7 边界界约束条件束条
64、件有限元法中通常采用两种方法有限元法中通常采用两种方法: 划行划行法和乘大数法划行划行法和乘大数法.其中前者适用于简单的手算练习其中前者适用于简单的手算练习,后者适合于实际后者适合于实际问题的计算机处理问题的计算机处理.工程有限单元法工程有限单元法2.2.8 解解题步步骤与算例与算例有限元法的一般分析步骤如下:(1)首先绘出结构的几何简图,在此基础上将结构离散;(2)其次进行单元分析;(3)组集总刚度矩阵;(4)最终求单元应力和节点应力.工程有限单元法工程有限单元法算例算例讲解解P27工程有限单元法工程有限单元法2.2.9 计算算结果果处理理有限元中计算结果主要包括位移和应力两方面. 其中位移
65、可根据计算结果中的节点位移分量画出结构的位移图. 而对于应力计算结果必须进行整理.方法有:(1) 形心法;(2) 绕节点法;(3) 二单元法.工程有限单元法工程有限单元法2.2.10 平面高平面高阶单元元 为了提高有限元法计算结果的精度，除了增加单元数目外，还常采用具有较高次位移函数的单元，即高阶单元。 常用的四节点矩形单元和六节点三角形单元。工程有限单元法工程有限单元法1、四节点任意四边形等参数单元任意四结点四边形单元 四结点正方形单元 工程有限单元法工程有限单元法1、八节点任意四边形等参数单元四边形八结点单元 八结点基本单元 工程有限单元法工程有限单元法3、应用等参单元应注意以下几点问题1）各向长度的相对大小：单元长度之比不宜相差太大，接近正方形的单元误差最小，长宽比很大，误差也很大。2）棱边的曲折：应使单元边上没有折点，如边上不可避免有折点，应使棱边只有凸出的折点。3）棱边的夹角：尽量接近90度。4）棱边上节点的间距：尽量均匀。工程有限单元法工程有限单元法
