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1、上一页下一页1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质1定义定义1 设函数设函数f 与与F 在区间在区间I上有定义，若上有定义，若 则称则称F为为f 在区间在区间I上的一个原函数上的一个原函数原函数举例因为因为(sin x)cos x , 所以所以sin x是是cos x的原函数的原函数. . n提问： （1）什么条件下，一个函数的原函数存在？什么条件下，一个函数的原函数存在？上一页下一页一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念因为因为xx21)(, 所以所以x是是x21的原函数的原函数. 2 ( 2 )如果如果f (x)有原函数，一共有多少
2、个？有原函数，一共有多少个？ ( 3 )任意两个原函数之间有什么关系？任意两个原函数之间有什么关系？u几点说明：几点说明： 1原函数存在定理：原函数存在定理：连续函数一定有原函数连续函数一定有原函数. 2若若F(x) = f (x)，则对任意常数则对任意常数C， F(x)+C都是都是f (x)的原函数的原函数. 如如 (sin x) cos x , 则则 (sin x+C) cos x . 所以原函数的个数有无穷多个所以原函数的个数有无穷多个. 3设设G(x) 、F(x)是是 f (x)的任意两个原函数的任意两个原函数. 则则 G(x) F(x) = C ( C为常数为常数) 即即 任意两个原
3、函数之间相差一个常数任意两个原函数之间相差一个常数证明：证明：(G(x) F(x) = G(x) F(x) = f (x) f (x) = 0 所所 以以 G(x) F(x) = C ( C为常数为常数)上一页下一页3 定义定义2 2 f (x)在区间在区间I上全体原函数成为上全体原函数成为 f 在在 I上的上的不定积分不定积分. 记作记作 其中其中f (x)叫被积函数，叫被积函数，f (x)dx叫做被积表达式，叫做被积表达式，x 叫做积分变量，记号叫做积分变量，记号 “ ” 叫做积分号叫做积分号. 根根据据定定义义, , 如如果果F(x)是是f(x)在在区区间间I上上的的一一个个原原函函数数
4、, , 那么那么F(x) C就是就是f (x)的不定积分的不定积分, , 即即l 结论结论：求：求f (x)的不定积分只要求它的一个原函数的不定积分只要求它的一个原函数F(x)再加任意常数再加任意常数C.上一页下一页4 如果如果F(x)是是f(x)的一个原函数的一个原函数, , 则则例例1 1 求求解：上一页下一页5 如果如果F(x)是是f(x)的一个原函数的一个原函数, , 则则 例例2 2 解 ： 合并得：上一页下一页6v不定积分的几何意义不定积分的几何意义2x的积分曲线 若若F(x)是是f (x)的一个原函数，的一个原函数，则称则称F(x)的图形为的图形为f (x)的一条积分的一条积分曲
5、线，曲线， F(x)+c的图形是由的图形是由F(x)的图的图形沿形沿 y 轴平移轴平移c(任意的）所得积任意的）所得积分曲线组成的曲线轴分曲线组成的曲线轴. 如图如图f (x)=2x的积分曲线图的积分曲线图 函数函数f (x)的不定积分在几何上表示的不定积分在几何上表示f (x)的全部积的全部积分曲线所组成的平行曲线族分曲线所组成的平行曲线族结论：结论：上一页下一页7上一页下一页二、基本积分表二、基本积分表8解解例例4例例3求求解解求求上一页下一页9v性质性质1 1 1v性质性质2 2 2( k为常数为常数 k0）v性质性质3 3 证明：证明：由导数的线性运算法则和不定积分的定义由导数的线性运算法则和不定积分的定义上一页下一页三、不定积分的性质三、不定积分的性质10所以，有：所以，有：将性质将性质2、性质、性质3合并可得不定积分线性性质合并可得不定积分线性性质例例5求求解解上一页下一页11例例6求求解解例例7求解解上一页下一页12例例8求不定积分求不定积分解解注：以上几例被积函数都需进行恒等变形才能使注：以上几例被积函数都需进行恒等变形才能使用基本积分表计算用基本积分表计算.上一页下一页13
