《概率论与数理统计：第1章第6节 事件的独立性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计：第1章第6节 事件的独立性（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.6 1.6 事件的独立性事件的独立性一、两个事件的独立性一、两个事件的独立性设设事件事件A=A=第一颗骰子出现点数第一颗骰子出现点数1,1,B=B=第二颗骰子出现偶数点第二颗骰子出现偶数点 经验告诉我们，第一颗骰子出现的点数不会影响到第二经验告诉我们，第一颗骰子出现的点数不会影响到第二颗骰子出现的点数，故可以说颗骰子出现的点数，故可以说A A与与B B独立。独立。 独立性是概率论的另一个重要概念独立性是概率论的另一个重要概念.同一随机试验中的同一随机试验中的各事件之间有时是相互有联系的，这种联系反映在其一个各事件之间有时是相互有联系的，这种联系反映在其一个事件的发生对其它事件出现概率的影响
2、。但是有时各事件事件的发生对其它事件出现概率的影响。但是有时各事件是没有联系的，它们是相互独立的。例如：是没有联系的，它们是相互独立的。例如：定义：定义：对任意两个事件对任意两个事件A与与B，若有若有P(AB)=P(A)P(B)，则称事件则称事件A 与与B相互独立，简称相互独立，简称A与与B独立。独立。例例1 1：甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为的概率为0.60.6，乙击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为0.50.5，求敌机被击中，求敌机被击中的概率。的概率。解解: : 设事件设事件 A=A=“甲击中敌机甲击中敌机”，B=B=“乙击中
3、敌机乙击中敌机” C =C =“敌机被击中敌机被击中”3 根据题意可以认为事件根据题意可以认为事件A A与与B B是相互独立的，因此有是相互独立的，因此有再由加法公式：再由加法公式：定义：定义：对任意两个事件对任意两个事件A与与B，若有若有P(AB)=P(A)P(B)，则称事件则称事件A 与与B相互独立，简称相互独立，简称A与与B独立。独立。定理定理 当当 时时A A与与B B独立的充分必要条件是独立的充分必要条件是证明：证明： 必要性必要性 有条件概率的定义得有条件概率的定义得充分性充分性于是于是A与与B独立独立1、必然事件必然事件S和不可能事件和不可能事件 与任何事件是相互独立与任何事件是
4、相互独立的。的。二、独立事件的性质二、独立事件的性质 2、若若P(A)0、P(B)0，则，则A、B相互独立与相互独立与A、B互不互不相容不能同时成立。相容不能同时成立。 3 3、定理：、定理：如果事件如果事件A A、B B相互独立，则相互独立，则 、 也相互独立。也相互独立。证：证：相互独立相互独立 设设A A、B B、C C是三个事件，若它们满足等式：是三个事件，若它们满足等式：三、多个事件的独立性三、多个事件的独立性8则称事件则称事件A,B,C相互独立相互独立.对于三个以上事件的相互独立需要用更多个概率等式去对于三个以上事件的相互独立需要用更多个概率等式去定义。定义。(反例反例)例：关于事
5、件的独立性，下列说法错误的是_ (A) 若A,B,C相互独立，则其中任意两个事件相互独立； (B) 若A,B,C相互独立，则它们之中的任意多个事件换成其对立事件后仍然相互独立； (C) 若A与B相互独立，B与C相互独立，C与A相互独立，则A,B,C相互独立； (D) 若A,B,C相互独立，则AB与C相互独立.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(AB)=P(A)P(B)P(AB)P(C)=P(A)P(B)P(C) P(ABC)= P(AB)P(C)C定义：定义：设设是是 n 个事件，若对任意的个事件，若对任意的k k 及任意的及任意的 , ,都有都有等式等式则称则称 相互独立相互独立。
6、试求试求: :（1 1）恰有一人译出的）恰有一人译出的概率；（概率；（2 2）密码能破译的概率。）密码能破译的概率。例例: : 甲、乙、丙三人各自去破译一个密码，他们能译出甲、乙、丙三人各自去破译一个密码，他们能译出的概率分别为的概率分别为 . .解解: : 设设 分别表示分别表示“甲、乙、丙能译出甲、乙、丙能译出”，由题设可知，由题设可知 相互独立。相互独立。（1 1）令）令A=A=“恰有一人能译出恰有一人能译出”则则 显然显然 两两互两两互不相容，不相容，所以所以（2 2）令）令B=B=“密码能译密码能译”则则例例: : 甲、乙、丙甲、乙、丙3 3人同时对飞机进行射击，人同时对飞机进行射击
7、，3 3人击中的概率人击中的概率分别为分别为0.40.4，0.50.5，0.70.7。飞机被一人击中而被击落的概率。飞机被一人击中而被击落的概率为为0.20.2；被两人击中而被击落的概率为；被两人击中而被击落的概率为0.60.6；若；若3 3人都击中，人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率飞机必定被击落，求飞机被击落的概率解解: : 设设 A=A=飞机被击落飞机被击落 ，B B0 0=3=3人均未击中人均未击中 ，B B1 1=恰有一人击中恰有一人击中 ， B B2 2=恰有恰有2 2人击中人击中, B, B3 3=3=3人都击中人都击中 显然显然两两互不相容。两两互不相容。由全概率公式
8、可得由全概率公式可得: :所以由全概率公式得：所以由全概率公式得：依题意依题意例：例：要验收一批要验收一批(100件件)乐器。验收方案如下：自该批乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机的取乐器中随机的取3件测试件测试(设设3件乐器的测试是相互独立件乐器的测试是相互独立的的)，如果，如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器被拒绝接受。设一件音色不纯的乐器经测则这批乐器被拒绝接受。设一件音色不纯的乐器经测试查处其为音色不纯的概率为试查处其为音色不纯的概率为0.95；一件音色纯的乐器；一件音色纯的乐器经测试被误认为音色不纯的概率为经测试被误认为音色不
9、纯的概率为0.01。如果已知这。如果已知这100件乐器中恰有件乐器中恰有4件是音色不纯的。试问这批乐器被接受的件是音色不纯的。试问这批乐器被接受的概率是多少？概率是多少？解解：设设Hi=取出的取出的3件乐器中有件乐器中有i件音色不纯件音色不纯A=这批乐器被接受这批乐器被接受则有：则有：而而于是于是 下面举例说明事件的独立性在可靠性问题中的应用，下面举例说明事件的独立性在可靠性问题中的应用，所谓系统（元件）的可靠性是指系统（元件）正常工作的所谓系统（元件）的可靠性是指系统（元件）正常工作的概率概率。例例6:6: 设有设有n n个元件，每个元件的可靠性均为个元件，每个元件的可靠性均为r r，且各元
10、件且各元件能否正常工作是相互独立的，试求串联系统和并联系统的能否正常工作是相互独立的，试求串联系统和并联系统的可靠性。可靠性。（1 1）串联系统）串联系统12n设设 = =“第第i i个元件正常工作个元件正常工作”，“串联系统正常工作串联系统正常工作”等价于等价于“这这n n个元件都正常工作个元件都正常工作”。所以串联系统的可靠性为：所以串联系统的可靠性为：“并联系统正常工作并联系统正常工作”等价于等价于“这这n n个元件中至个元件中至少有一个元件正常工作少有一个元件正常工作” （2 2）并联系统）并联系统所以并联系统的可靠性为（所以并联系统的可靠性为（德摩根律德摩根律）1n218思考题：思考
11、题：一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的。令孩是等可能的。令A=一个家庭中有男孩，又有女孩一个家庭中有男孩，又有女孩，B=一个家庭中最多有一个女孩一个家庭中最多有一个女孩。对下述两种情形，。对下述两种情形，讨论讨论A与与B的独立性。的独立性。(解答解答:备课本备课本P23)（1）家庭中有两个小孩）家庭中有两个小孩 （2）家庭中有三个小孩）家庭中有三个小孩解解: (1) A=男女男女,女男女男 P(A)=1/2 *1/2+1/2*1/2=1/2 B= 男女，女男，男男男女，女男，男男 P(B)=3/4 AB=男女男女,女男女男 P(AB)=1/2 P(AB) P(A)P(B) A,B不独立不独立 (2) A=男男女男男女,男女男，女男男，女女男，女男女，男女女男女男，女男男，女女男，女男女，男女女 P(A)=3/4 B= 男男女，男女男，女男男，男男男男男女，男女男，女男男，男男男 P(B)=1/2 AB=男男女男男女,男女男，女男男男女男，女男男 P(AB)=3/8 P(AB) P(A)P(B) A,B独立独立
