多元函数微分学全章(高数课件)超经典

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1、推广推广第九章 一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意: 善于类比善于类比, 区别异同区别异同多元函数微分学多元函数微分学 第一、二节一、区域一、区域二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的概念多元函数的概念 一、一、 区域区域1. 邻域邻域点集点集称为点称为点 P0 的的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上在平面上, ,( (圆邻域圆邻域) )在空间中在空间中, ,( (球邻域球邻域) )说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 ,

2、 ,也可写成也可写成点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域, ,平面上的方邻域为平面上的方邻域为。因为方邻域与圆因为方邻域与圆邻域可以互相包含邻域可以互相包含. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 区域区域(1) 内点、外点、边界点内点、外点、边界点设有点集设有点集 E 及一点及一点 P : 若存在点若存在点 P 的的某邻域某邻域 U(P) E , 若存在点若存在点 P 的的某邻域某邻域 U(P) E = , 若对点若对点 P 的的任一邻域任

3、一邻域 U(P) 既含既含 E中的内点也含中的内点也含 E则称则称 P 为为 E 的的内点；内点；则称则称 P 为为 E 的的外点外点 ;则称则称 P 为为 E 的的边界点边界点 . .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的外点的外点 ,显然显然, E 的内点必属于的内点必属于 E , E 的外点必不属于的外点必不属于 E , E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E, 也可能不属于也可能不属于 E . (2) 聚点聚点若对若对任意给定的任意给定的 , ,点点P 的去心的去心机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 邻域邻域内总有内总有E 中的点中的点

4、 , 则则称称 P 是是 E 的的聚点聚点.聚点可以属于聚点可以属于 E , 也可以不属于也可以不属于 E (因为聚点可以为因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为所有聚点所成的点集成为 E 的的导集导集 .E 的边界点的边界点 )D(3) 开区域及闭区域开区域及闭区域 若点集若点集 E 的点都是的点都是内点内点，则称，则称 E 为为开集开集； 若点集若点集 E E , 则称则称 E 为为闭集闭集； 若集若集 D 中任意两点都可用一完全属于中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为开区域连同它的边界一起称为闭区域闭区域. .则称则称 D 是是连通的连通的

5、 ; 连通的开集称为连通的开集称为开区域开区域 ,简称简称区域区域 ;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 。 。 E 的边界点的全体称为的边界点的全体称为 E 的的边界边界, 记作记作 E ;例如，例如，在平面上在平面上开区域开区域闭区域闭区域 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 整个平面整个平面 点集点集 是开集，是开集， 是最大的开域是最大的开域 , 也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 o 对区域对区域 D , 若存在正数若存在正数 K , 使一切点使一切点 P D

6、与某定与某定点点 A 的距离的距离 AP K , 则称则称 D 为为有界域有界域 , 界域界域 .否则称为否则称为无无3. n 维空间维空间n 元有序数组元有序数组的全体称为的全体称为 n 维空间维空间,n 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中的称为空间中的称为该点的第称为该点的第 k 个个坐标坐标 .记作记作即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 一个一个点点, 当当所有坐标所有坐标称该元素为称该元素为 中的零元中的零元,记作记作 O .的的距离距离记作记作中点中点 a 的的 邻域邻域为为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 规定为

7、规定为 与与零元零元 O 的距离为的距离为二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例: : 圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定义定义1. 设非空点集设非空点集点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域 ; 数集数集称为函数的称为函数的值域值域 . .特别地特别地 , 当当 n = 2 时时, 有二元函数有二元函数当当 n = 3 时时, 有三元函数有三元函数映射映射称为定义称为定义在在 D 上的上的 n 元函数元函数 , 记作记作机动机动 目录目录 上页上

8、页 下页下页 返回返回 结束结束 例如例如, 二元函数二元函数定义域为定义域为圆域圆域说明说明: 二元函数二元函数 z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 .三元函数三元函数 定义域为定义域为图形为图形为空间中的超曲面空间中的超曲面.单位闭球单位闭球三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2. 设设 n 元函数元函数点点 ,则称则称 A 为函数为函数(也称为也称为 n 重极限重极限)当当 n =2 时时, 记记二元函数的极限可写作：

9、二元函数的极限可写作：P0 是是 D 的聚的聚若存在常数若存在常数 A ,对一对一记作记作都有都有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 对任意正数对任意正数 , 总存在正数总存在正数 ,切切例例1. 设设求证：求证：证证:故故总有总有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 要证要证 例例2. 设设求证：求证：证：证：故故总有总有要证要证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若当点若当点趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,

10、在点在点 (0, 0) 的极限的极限.则可以断定函数极限则可以断定函数极限则有则有k 值不同极限不同值不同极限不同 !在在 (0,0) 点极限不存在点极限不存在 .以不同方式趋于以不同方式趋于不存在不存在 .例例3. 讨论函数讨论函数函数函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4. 求求解解: 因因而而此函数定义域此函数定义域不包括不包括 x , y 轴轴则则故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 仅知其中一个存在仅知其中一个存在,推不出其它二者存在推不出其它二者存在. 二重极限二重极限不同不同. 如果它们都存在如果它们都存在, 则三者相等则

11、三者相等.例如例如,显然显然与累次极限与累次极限但由但由例例3 知它在知它在(0,0)点二重极限不存在点二重极限不存在 .例例3 3 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、四、 多元函数的连续性多元函数的连续性 定义定义3 . 设设 n 元函元函数数定义在定义在 D 上上,如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续, 则称此函数则称此函数在在 D 上上如果存在如果存在否则称为否则称为不连续不连续, 此时此时称为称为间断点间断点 .则称则称 n 元函数元函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 连续连续.连续连续, 例如例如, 函数函数在点在点(

12、0 , 0) 极限不存在极限不存在, 又如又如, 函数函数上间断上间断. 故故 ( 0, 0 )为其间断点为其间断点.在圆周在圆周机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 结论结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：定理：若若 f (P) 在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续, 则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 * (4) f (P) 必在必在D 上一致连续上一致连续 .在在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m ;(3) 对任意对任意(有界性定理有界性定理) (最值定理最值定理)

13、(介值定理介值定理) (一致连续性定理一致连续性定理) 闭域闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略证明略) 解解: : 原式原式例例5. .求求例例6. 求函数求函数的连续域的连续域.解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结1. 区域区域 邻域邻域 : 区域区域连通的开集连通的开集 2. 多元函数概念多元函数概念n 元函数元函数常用常用二元函数二元函数 (图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面)三元函数三元函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 有有3. 多元函数的极限多元函

14、数的极限4. 多元函数的连续性多元函数的连续性1) 函数函数2) 闭域上的多元连续函数的性质闭域上的多元连续函数的性质:有界定理有界定理 ;最值定理最值定理 ; 介值定理介值定理3) 一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习练习:1. 设设求求解法解法1 令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1 . 设设求求解法解法2 令令即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.是否存在？是否存在？解：解：所以极限不存在所以极限不存在.机动机动 目录目录 上页上页 下页

15、下页 返回返回 结束结束 3. 证明证明在全在全平面连续平面连续.证证:为为初等函数初等函数 , 故连续故连续.又又故故函数在全平面连续函数在全平面连续 .由由夹逼准则得夹逼准则得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取练练 习习 题题练习题答案练习题答案解答提示解答提示: :P11 题题 2. 称为二次齐次函数称为二次齐次函数 .P11 题题 4.P11 题题 5(3).定义域定义域P11 题题 5(5).定义域定义域机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 P

16、12 题题 8.间断点集间断点集P72 题题 3.定义域定义域P72 题题 4. 令令 y= k x ，若令若令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , 则则 可见极限可见极限不存在不存在第三节第三节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 偏导数的定义及其计算偏导数的定义及其计算二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 三三 、小结、小结 思考题思考题一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 解解证证原结论成立原结论成立解解不存在不存在证证有关偏导数的几点说明：有关偏导

17、数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解例例 5 5解解按定义可知：按定义可知：、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续. 偏导数存在偏导数存在 连续连续.一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，4. 二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:是曲线是曲线在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线机动机动 目录目录 上页上页

18、下页下页 返回返回 结束结束 对对 y 轴的轴的纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .二、高阶偏导数二、高阶偏导数解解解解问题：问题：混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？例例 8 8解解按定义可知：按定义可知：问题：问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？解解证毕证毕偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结三

19、、小结1. 偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义定义; 记号记号; 几何意义几何意义 函数在一点偏导数存在函数在一点偏导数存在函数在此点连续函数在此点连续 混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法求一点处偏导数的方法先代后求先代后求先求后代先求后代利用定义利用定义 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法逐次求导法(与求导顺序无关时与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序应选择方便的求导顺序)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.例如例

20、如,提高题提高题 : 设设方程方程确定确定 u 是是 x , y 的函数的函数 ,连续连续, 且且求求解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练练 习习 题题练习题答案练习题答案*三、全微分在数值计算中的应用三、全微分在数值计算中的应用 应用应用 第四节第四节一元函数一元函数 y = f (x) 的微分的微分近似计算近似计算估计误差估计误差机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 本节内容本节内容:一、全微分的定义一、全微分的定义 全微分及其应用全微分及其应用二、全微分的条件二、全微分的条件由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与

21、微分的关系得一、全微分的定义一、全微分的定义全增量的概念全增量的概念全微分的定义全微分的定义事实上事实上二、可微的条件二、可微的条件证证总成立总成立,同理可得同理可得一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，则则当当 时，时，说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证证（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）同理同理习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常

22、我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加叠加叠加叠加原理原理原理原理叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况解解所求全微分所求全微分解解解解所求全微分所求全微分多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导三、全微分在近似计算中的应用三、全微分在近似计算中的应用也可写成也可写成解解由公式得由公式得多元函数全微分的概念；多元函数全微分的概念；多元函数全微分的求法；多元函数全微分

23、的求法；多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系（注意：与一元函数有很大区别）（注意：与一元函数有很大区别）小结小结思考题思考题在在点点 (0,0) 可微可微 .提高题：提高题：在点在点 (0,0) 连续且偏导数存在连续且偏导数存在,续续,证证: 1) 因因故函数在点故函数在点 (0, 0) 连续连续 ; 但偏导数在点但偏导数在点 (0,0) 不连不连 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明函数证明函数所以所以同理同理极限不存在极限不存在 ,在点在点(0,0)不连续不连续 ;同理同理 ,在点在点(0,0)也不连也不连续续.2)3)题目题目 目录目录

24、 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4) 下面证明下面证明可微可微 :说明说明: 此题表明此题表明, 偏导数连续只是可微的充分条件偏导数连续只是可微的充分条件.令令则则题目题目 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练练 习习 题题练习题答案练习题答案第五节第五节一元复合函数一元复合函数求导法则求导法则一、多元复合函数求导的链式法则一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分形式不变性二、多元复合函数的全微分形式不变性微分法则微分法则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 三、小结三、小结 思考题思考

25、题证证一、链式法则一、链式法则上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为全导数全导数.若定理中若定理中 说明说明: 例如例如:易知易知:但复合函数但复合函数偏导数连续偏导数连续减弱为减弱为偏导数存在偏导数存在, 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则定理结论则定理结论不一定成立不一定成立. 上定理还可推广到中间变量不是一元函数上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：而是多元函数的情况：链式法则如图示链式法则如图示分段用乘分段用乘, 分叉用加分叉用加, 单路全导单路全

26、导, 叉路偏导叉路偏导.口诀口诀:解解特殊地特殊地即即令令其中其中两者的区别两者的区别区区别别类类似似例例2.解解:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3. 设设 求全导数求全导数解解:注意：注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 验证解的问题中经常遇到验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号这方面问题的求导技巧与常用导数符号.为简便起见为简便起见 , 引入记号引入记号例例4. 设设 f 具有二阶连续偏

27、导数具有二阶连续偏导数,求求解解: 令令则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (当当 在二、三象限时在二、三象限时, )例例5. 设设二阶偏导数连续二阶偏导数连续, ,求下列表达式在求下列表达式在解解: 已知已知极坐标极坐标系下的形式系下的形式(1), 则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 题目 目录 上页 下页 返回 结束 已知已知注意利用注意利用已有公式已有公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 同理可得同理可得题目题目 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、多元复合函数的全微分的形式不变性二、多元

28、复合函数的全微分的形式不变性设函数设函数的全微分为的全微分为可见无论可见无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, 则复合函数则复合函数都可微都可微, , 其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样, 这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解例例1 .例例 7. 利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例1. 解解: :所以所以机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、内容小结三、内容小结1. 复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则“分段用乘分段用乘, 分叉

29、用加分叉用加, 单路全导单路全导, 叉路偏导叉路偏导”例如例如,2. 全微分形式不变性全微分形式不变性不论不论 u , v 是自变量还是因变量是自变量还是因变量,机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习题题1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 题题2机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 题题 3第五节 目录 上页 下页 返回 结束 提高题提高题1. 已知已知求求解解: 由由两边对两边对 x 求导求导, 得得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 求求在点在点处可微处可微 , 且且设函

30、数设函数解解: 由题设由题设(考研题考研题)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练练 习习 题题练习题答案练习题答案第六节第六节机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程的情形一、一个方程的情形 二、方程组的情形二、方程组的情形隐函数的求导公式 本节讨论本节讨论 :1) 方程在方程在什么条件什么条件下才能确定隐函数下才能确定隐函数 .例如例如, 方程方程当当 C 0 时时, 不能确定隐函数不能确定隐函数;2) 在方程能确定隐函数时在方程能确定隐函数时,研究其研究其连续性、可微性连续性、可微性 及及求导方法求导方法问题问题 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

31、返回返回 结束结束 一、一个方程的情形一、一个方程的情形 定理定理1.1. 设函数设函数则方程则方程单值连续函数单值连续函数 y = f (x) ,并有连续并有连续(隐函数求导公式隐函数求导公式)定理证明从略，定理证明从略，仅就求导公式推导如下：仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数具有连续的偏导数; ;的的某邻域内某邻域内可唯一确定一个可唯一确定一个在点在点的某一邻域内满足的某一邻域内满足满足条件满足条件机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 导数导数两边对两边对 x 求导求导在在的某邻域内的某邻域内则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 若若F

32、( x , y ) 的二阶偏导数也都连续的二阶偏导数也都连续, ,二阶导数二阶导数 :则还有则还有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例1. 验证方程验证方程在点在点(0,0)某邻某邻域域可可确定一个确定一个单值可导隐函数单值可导隐函数解解: 令令连续连续 ,由由 定理定理1 可知可知,导的隐函数导的隐函数 则则在在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可的某邻域内方程存在单值可且且机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 并求并求机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 两边对两边对 x 求导求导两边再对两边再对 x 求导求导令令

33、x = 0 , 注意此时注意此时导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导利用隐函数求导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理2 . 若函数若函数 的某邻域内具有的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程则方程在点在点并有连续偏导数并有连续偏导数定一个单值连续函数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略定理证明从略, 仅就求导公式推导如下仅就求导公式推导如下:满足满足 在点在点满足满足:某一邻域内可唯一确某一邻域内可唯一确机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 两边对两边对 x 求偏导求偏导同样可得同样可得则则机动机

34、动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 设设解法解法1 利用隐函数求导利用隐函数求导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 再再对对 x 求导求导解法解法2 利用公式利用公式设设则则两边对两边对 x 求偏导求偏导机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例3. 设设F( x , y)具有连续偏导数具有连续偏导数,解法解法1 利用偏导数公式利用偏导数公式.确定的隐函数确定的隐函数, 则则已知方程已知方程机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 故故对方程两边求微分对方程两边求微分:解法解法2 微分法微分法. .机动

35、机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 用用消元法解二元线性方程组消元法解二元线性方程组行列式的引入行列式的引入方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义1 1即即主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式且且 不等于不等于0

36、.例例例例1 1 1 1解解 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组若记若记或或记记即即得得得得则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式二、方程组的情形二、方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由由 F、G 的偏导数组成的行列式的偏导数组成的行列式称为称为F、G 的的雅可比雅可比( Jacobi )行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例以两个方程确定两个

37、隐函数的情况为例 , 即即雅可比雅可比 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理定理3.3.的某一邻域内具有连续偏的某一邻域内具有连续偏设函数设函数则方程组则方程组的的单值连续函数单值连续函数且有偏导数公式且有偏导数公式 : : 在点在点的某一邻域内可的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件确定一组满足条件满足满足: :导数；导数；机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 定理证明略定理证明略.仅推导偏导仅推导偏导数公式如下：数公式如下：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 有隐函数组有隐函数组则则两边对两边对 x 求导得求导得设方程组设方程

38、组在点在点P 的某邻域内的某邻域内公式公式 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 故得故得系数行列式系数行列式同样可得同样可得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4. 设设解解:方程组两边对方程组两边对 x 求导，并移项得求导，并移项得求求练习练习: 求求机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 答案答案:由由题设题设故有故有内容小结内容小结1. 隐函数隐函数( 组组) 存在定理存在定理2. 隐函数隐函数 ( 组组) 求导方求导方法法方法方法1. 利用复合函数求导法则直接计算利用复合函数求导法则直接计算 ;方法方法2. 利用微分形式不变

39、性利用微分形式不变性 ;方法方法3. 代公式代公式思考与练习思考与练习设设求求机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 提示提示: 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解法解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数利用全微分形式不变性同时求出各偏导数. .第六节第六节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由由d y, d z 的系数即可得的系数即可得备用题备用题分别由下列两式确定分别由下列两式确定 :又函数又函数有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数 ,1. 设设解解: 两个隐函数方程两边对两个隐函数方程两边对 x 求导求导, 得得(考

40、研题考研题)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解得解得因此因此2. 设设是由是由方程方程和和所所确定的函数确定的函数 , 求求解法解法1 分别在各方程两端对分别在各方程两端对 x 求导求导, 得得(考研题考研题)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解法解法2 微分法微分法.对各方程两边分别求微分对各方程两边分别求微分:化简得化简得消去消去机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 可得可得练练 习习 题题练习题答案练习题答案第七节第七节二、方向导数的定义二、方向导数的定义 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结

41、束 三、梯度的概念三、梯度的概念四、小结四、小结 思考题思考题 方向导数与梯度方向导数与梯度一、问题的提出一、问题的提出实例实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？能最快到达较凉快的地点？问题的问题的实质实质：应沿由热变

42、冷变化最骤烈的方向：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行（即梯度方向）爬行一、问题的提出一、问题的提出 讨论函数讨论函数 在一点在一点P沿某一方向沿某一方向的变化率问题的变化率问题二、方向导数的定义二、方向导数的定义（如图）（如图）当当 沿着沿着 趋于趋于 时，时，是否存在？是否存在？记为记为证明证明由于函数可微，则增量可表示为由于函数可微，则增量可表示为两边同除以两边同除以得到得到故有方向导数故有方向导数方向导数的几何意义：方向导数的几何意义：方向导数的几何意义：方向导数的几何意义：解解解解由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知故故推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函

43、数方向导数的定义例例3. 求函数求函数 在点在点 P(1, 1, 1) 沿向量沿向量3) 的方向导数的方向导数 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解: 向量向量 l 的方向余弦为的方向余弦为解解令令故故方向余弦为方向余弦为故故三、梯度的概念三、梯度的概念方向导数公式方向导数公式令向量令向量这说明这说明方向：方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模 : f 的最大变化率之值的最大变化率之值方向导数取最大值：方向导数取最大值：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1. 定义定义即即同样可定义二元函数同样可定义二元函数称为函数称为函数 f (

44、P) 在点在点 P 处的梯度处的梯度记作记作(gradient),在点在点处的梯度处的梯度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 函数的函数的方向导数方向导数为梯度在该方向上的投影为梯度在该方向上的投影.向量向量2. 梯度的几何意义梯度的几何意义结论结论在几何上在几何上 表示一个曲面表示一个曲面曲面被平面曲面被平面 所截得所截得所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图等高线等高线梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量梯度与等高线的关系：梯度与等高线的关系：3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例4.证证

45、:试证试证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 处矢径处矢径 r 的模的模 ,解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故1、方向导数的概念、方向导数的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的（注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别）（注意梯度是一个（注意梯度是一个向量向量）四、小结四、小结1. 方向导数方向导数 三元函数三元函数 在点在点沿方向沿方向 l (方向角方向角的方向导数为的方向导数为 二元函数二元函数 在点在点的方向导数为的方向导数为沿方向沿方向 l (方向角方向角为为机动机动 目录目录 上页上

46、页 下页下页 返回返回 结束结束 2. 梯度梯度 三元函数三元函数 在点在点处的梯度为处的梯度为 二元函数二元函数 在点在点处的梯度为处的梯度为3. 关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在 可微可微机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 梯度在方向梯度在方向 l 上的投影上的投影.思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习1. 设函数设函数(1) 求函数在点求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线处沿曲线在该点切线方向的方向导数在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的处的梯度梯度与与(1)中中切线方切线方向向

47、的夹角的夹角 .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 曲线曲线1. (1)在点在点解答提示解答提示:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数沿函数沿 l 的方向导数的方向导数M (1,1,1) 处切线的方向向处切线的方向向量量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习题练习题:1. 函数函数在点在点处的处的梯度梯度解解:则则注意注意 x , y , z 具有轮换对称性具有轮换对称性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 指向指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是方向的方向导数是 .在点在点A( 1

48、 , 0 , 1) 处沿点处沿点A2. 函数函数提示提示:则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练练 习习 题题练习题答案练习题答案第八节二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值 三、条件极值三、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值多元函数的极值一、问题的提出一、问题的提出四、小结四、小结 思考题思考题由于这个世界构造完美无缺由于这个世界构造完美无缺,并并由最聪明的造物主所创立由最聪明的造物主所创立,以至以至在这个世界上无论什么事情里在这个世界上无论什么事情里都包含有极大或极小的道理都包含有极大或极小的道理.-Euler实例：某商店卖两种

49、牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？每天的收益为每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出二、多元函数的极值和最值二、多元函数

50、的极值和最值播放播放1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义 例如函数例如函数 在点（在点（0，0）处取得极小值，）处取得极小值，如下左图：如下左图：oxyzoxyz 函数函数 在点（在点（0，0）处取得极大）处取得极大值，如上右图：值，如上右图： 如何求极值？如果能将有可能使函数取得极值如何求极值？如果能将有可能使函数取得极值的点找到，这个问题就基本解决了。的点找到，这个问题就基本解决了。注意注意:为极大点为极大点为极小点为极小点不是极值点不是极值点2) 对常见函数对常见函数, 极值可能出现在极值可能出现在导数为导数为 0 或或 不存在的点不存在的点.1) 函数的极值是函数的函数的极值

51、是函数的局部性质局部性质.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 复习复习:对一元函数来说对一元函数来说,如下图如下图定理定理1 1( (必要条件必要条件) )注意注意: 驻点驻点 极值点极值点例如例如,复习复习: 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，的点，均称为二元函数的均称为二元函数的驻点驻点. .驻点驻点极值点极值点注意注意:在点在点 (0,0) 有有极大值极大值,(0,0)不是驻点不是驻点2 2. .多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，

52、则它在该点的偏导数必然为零：，. .证不妨设不妨设在点在点处有极大值处有极大值,则对于则对于的某邻域内任意的某邻域内任意都有都有,故当故当时，时， 有有说明一元函数说明一元函数在在处有极大值，处有极大值，必有必有;类似地可证类似地可证.推广推广 如果三元函数如果三元函数在点在点具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在有极值的必要条有极值的必要条件为件为 ，.;v定理定理1(取得极值的必要条件取得极值的必要条件) 设函数设函数z f(x y)在点在点(x0 y0)具有偏导数具有偏导数 且在点且在点 (x0 y0)处有极值处有极值 则有则有 fx(x0 y0) 0 fy(x0 y0) 0 从从几几何何

53、上上看看 这这时时如如果果曲曲面面z f(x y)在在点点(x0 y0 z0) 处有切平面处有切平面 则切平面则切平面 z z0 fx(x0 y0)(x x0) fy(x0 y0)(y y0) 成为平行于成为平行于xOy坐标面的平面坐标面的平面z z0 说明说明:Problem：如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一个驻点是否为极值点？回忆回忆 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数二阶导数 , 且且则则 在点在点 取极大值取极大值 ;则则 在点在点 取极小值取极小值 .对于二元函数,我们能否给出类似的判别法?时时, 具具有极值有极值定理定理2（充分条件）（充分条件） 的某邻域内具有一阶和

54、二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且且令令则则: 1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需需另行讨论另行讨论.若函数若函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第一步第一步 解方程组解方程组 求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点 .第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点), (00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值 .

55、例例4.4. 求函数求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.(1)(1)在点在点(1,0) 处处为为极小值极小值; ;解方程组解方程组的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (3)(3)在点在点( 3,0) 处处不是极值不是极值; ;(4)(4)在点在点( 3,2) 处处为极大值为极大值. .(2)(2)在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值; ;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5.讨

56、论函数讨论函数及及是否能取得极值是否能取得极值.解解: 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,在在(0,0)点邻域内的取点邻域内的取值值, 因此因此 z(0,0) 不是极值不是极值.因此因此为极小值为极小值. .正正负负0在点在点(0,0)并且在并且在 (0,0) 都有都有 可能为可能为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练习题练习题1: 求由方程求由方程确定的函数确定的函数 的极值的极值.解答提示解答提示: 解法一解法一(1)将方程两边分别对将方程两边分别对求偏导数求偏导数,得驻点得驻点P(1,-1)(2)继续再分别对继续再分别对求偏导数求偏导数,得得

57、:(3)解法二解法二: 配方方程可变形为配方方程可变形为显然显然,当当时时,根号中的极大值为根号中的极大值为4,极小值为极小值为-4所以所以练习题练习题2:2003年考研数学年考研数学(一一), 4分分已知函数已知函数在在(0,0)点的某个邻域内连续点的某个邻域内连续(A) 点点(0,0)不是不是的极值点的极值点(B) 点点(0,0)是是的极大值点的极大值点(C) 点点(0,0)是是的极小值点的极小值点(A)3、多元函数的最值、多元函数的最值函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特

58、别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且且只有一个只有一个极值点极值点P 时时, 为极小为极小 值值为最小为最小 值值( (大大) )( (大大) )依据依据机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6 6. .解解: 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,则高则高为为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能

59、使用料最省才能使用料最省?因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7. 有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板的长方形铁板 ,把它折起来做成把它折起来做成解解: 设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm,则断面面积则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为倾角为 ,积最大积最大. 为为问怎样折法才能使断面面问怎样折法才能使断面面机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令解

60、得解得: :由题意知由题意知, ,最大值在定义域最大值在定义域D 内达到内达到, ,而在域而在域D 内只有内只有一个驻点一个驻点, , 故此点即为所求故此点即为所求. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳

61、效果问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如 ,转转化化机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法(Lagrange Multipliers).例例9. 要设计一

62、个容量为要设计一个容量为则问题为求则问题为求x , y ,令令解方程组解方程组解解: 设设 x , y , z 分别表示长、宽、分别表示长、宽、高高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z 使在条件使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 试问试问 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 得得唯一驻点唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此 , 当高为当高为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返

63、回返回 结束结束 Question:1) 当水箱封闭时当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?Hint: 利用对称性可知利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价欲使造价最省最省, 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何? Hint:长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等 .解解则则解解可得可得即即多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结思考题思考题思考题

64、解答思考题解答练练 习习 题题练习题答案练习题答案第九节二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值 三、条件极值三、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值多元函数的极值一、问题的提出一、问题的提出四、小结四、小结 思考题思考题由于这个世界构造完美无缺由于这个世界构造完美无缺,并并由最聪明的造物主所创立由最聪明的造物主所创立,以至以至在这个世界上无论什么事情里在这个世界上无论什么事情里都包含有极大或极小的道理都包含有极大或极小的道理.-Euler实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子

65、每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？每天的收益为每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值播放播放1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义(1)(2)(3)例例1 1例例例例定理定

66、理1(必要条件必要条件)函数函数偏导数偏导数,Proof:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值取得极值 ,取得极值取得极值取得极值取得极值且在该点取得极值且在该点取得极值 , 则有则有存在存在故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点. .驻点驻点极值点极值点Problem：如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一个驻点是否为极值点？注意注意:在

67、点在点 (0,0) 有有极大值极大值,(0,0)不是驻点不是驻点回忆回忆 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数二阶导数 , 且且则则 在点在点 取极大值取极大值 ;则则 在点在点 取极小值取极小值 .对于二元函数,我们能否给出类似的判别法?时时, 具具有极值有极值定理定理2（充分条件）（充分条件） 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且且令令则则: 1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需需另行讨论另行讨论.若函数若函数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

68、例例4.4. 求函数求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.(1)(1)在点在点(1,0) 处处为为极小值极小值; ;解方程组解方程组的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (3)(3)在点在点( 3,0) 处处不是极值不是极值; ;(4)(4)在点在点( 3,2) 处处为极大值为极大值. .(2)(2)在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值; ;机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例5.讨

69、论函数讨论函数及及是否能取得极值是否能取得极值.解解: 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,在在(0,0)点邻域内的取点邻域内的取值值, 因此因此 z(0,0) 不是极值不是极值.因此因此为极小值为极小值. .正正负负0在点在点(0,0)并且在并且在 (0,0) 都有都有 可能为可能为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3、多元函数的最值、多元函数的最值函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点驻点边界上的最值点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在, 且

70、且只有一个只有一个极值点极值点P 时时, 为极小为极小 值值为最小为最小 值值( (大大) )( (大大) )依据依据机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例6 6. .解解: 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,则高则高为为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省才能使用料最省?因此可因此可断定此唯一

71、驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例7. 有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板的长方形铁板 ,把它折起来做成把它折起来做成解解: 设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm,则断面面积则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为倾角为 ,积最大积最大. 为为问怎样折法才能使断面面问怎样折法才能使断面面机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令解得解得: :由题意知由题意知, ,最大值在定义域

72、最大值在定义域D 内达到内达到, ,而在域而在域D 内只有内只有一个驻点一个驻点, , 故此点即为所求故此点即为所求. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解如图如图,实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果问题的实质：求问题的实质：求

73、在条在条件件 下的极值点下的极值点三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法极值问题极值问题无条件极值无条件极值:条条 件件 极极 值值 :条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如 ,转转化化机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法(Lagrange Multipliers).例例9. 要设计一个容量为要设计一个容量为则问题为求

74、则问题为求x , y ,令令解方程组解方程组解解: 设设 x , y , z 分别表示长、宽、分别表示长、宽、高高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z 使在条件使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 试问试问 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 得得唯一驻点唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此 , 当高为当高为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 Question

75、:1) 当水箱封闭时当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?Hint: 利用对称性可知利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价欲使造价最省最省, 应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何? Hint:长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等 .解解则则解解可得可得即即多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结思考题思考题思考题解答思考题解答练练 习习 题题练习

76、题答案练习题答案第十节第十节复习 目录 上页 下页 返回 结束 一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、空间曲面的切平面与法线二、空间曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用三、小结三、小结 思考题思考题设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：

77、过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程例例2.求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程切线方程法平面方程法平面方程即即即即解解: 由于由于对应的切向量为对应的切向量为在在机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , 故故1.空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为特殊地：特殊地：2.空间曲线方程为空间曲线方程为切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为设曲面方程为设曲面方程为曲线在曲线在M处的切向量

78、处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在在 上上,得得令令由于曲线由于曲线 的任意性的任意性 , 表明这些切线都在以表明这些切线都在以为法向量为法向量的的平面上平面上 ,称此平面为该点的切平面称此平面为该点的切平面,从而切平面存在从而切平面存在 .曲面曲面 在点在点 M 的的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程复习复习 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 曲面曲面时时, 则在点则在点故当函数故当函数 法线方程法线方程令令特别特别, 当光

79、滑曲面当光滑曲面 的方程为显式的方程为显式 在点在点有连续偏导数时有连续偏导数时, 切平面方程切平面方程机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 法向量法向量用用将将法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角表示法向量的方向角, 并假定法向量方向并假定法向量方向分别记为分别记为则则向上向上,复习复习 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程解解设设 为曲面上的切

80、点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)例例4. 确定正数确定正数 使曲面使曲面在点在点解解: 二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点二曲面在点 M 相切相切, 故故又点又点 M 在球面上在球面上,于是有于是有相切相切.与球面与球面机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , 因此有因此有解解令令故故方向余弦为方向余弦为故故解解可得可得即即1. 空间

81、曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程切线方程法平面方程法平面方程1) 参数式情况参数式情况.空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量内容小结内容小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 切线方程切线方程法平面方程法平面方程空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量2) 一般式情况一般式情况.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 空间光滑曲面空间光滑曲面曲面曲面 在点在点法线方程法线方程1) 隐式情况隐式情况 .的的法向量法向量切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束

82、空间光滑曲面空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2) 显式情况显式情况.法线的法线的方向余弦方向余弦法向量法向量机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习1. 如果平面如果平面与椭球面与椭球面相切相切,提示提示: 设切点为设切点为则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (二法向量平行二法向量平行) (切点在平面上切点在平面上)(切点在椭球面上切点在椭球面上)证明证明 曲面曲面上任一点处的上任一点处的切平面都通过原点切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点在曲面上任意取一点则通过此则通过此2. 设设 f ( u )

83、 可微可微,第七节第七节 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 证明原点坐标满足上述方程证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为点的切平面为 3. 证明曲面证明曲面与定直线平行与定直线平行,证证: 曲面上任一点的法向量曲面上任一点的法向量取取定直线的方向向量为定直线的方向向量为则则(定向量定向量)故故结论成立结论成立 .的的所有切平面恒所有切平面恒机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4. 求曲线求曲线在在点点(1,1,1) 的切的切线线解解: 点点 (1,1,1) 处两曲面的法向量处两曲面的法向量为为因此切线的方向向量为因此切线的方向向量为由此得切线由此得切线:法平面法平面:即即与法平面与法平面.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 练练 习习 题题练习题答案练习题答案