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1、9 二次曲面二次曲面椭球面椭球面抛物面抛物面双曲面双曲面二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面一、基本内容2007年8月2南京航空航天大学 理学院 数学系（一）椭球面一）椭球面 椭球
2、面与椭球面与三个坐标面三个坐标面的交线：的交线：2007年8月3南京航空航天大学 理学院 数学系椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.2007年8月4南京航空航天大学 理学院 数学系椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.2007年8月5南京航空航天大学 理学院 数学系球面球面截面上圆
3、的方程截面上圆的方程方程可写为方程可写为2007年8月6南京航空航天大学 理学院 数学系（二）抛物面（二）抛物面（ 与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点设设原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.2007年8月7南京航空航天大学 理学院 数学系与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 不相交不相交.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线2007年8月8南京航空航
4、天大学 理学院 数学系与平面与平面 的交线为抛物线的交线为抛物线.它的轴平行于它的轴平行于 轴轴顶点顶点（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.2007年8月9南京航空航天大学 理学院 数学系zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：2007年8月10南京航空航天大学 理学院 数学系特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中
5、心都在都在 轴上轴上.2007年8月11南京航空航天大学 理学院 数学系（ 与与 同号）同号）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设图形如下：图形如下：xyzo2007年8月12南京航空航天大学 理学院 数学系（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.2007年8月13南京航空航天大学 理学院 数学系与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点的
6、双曲线截得中心在原点的双曲线.实轴与实轴与 轴相合，轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.2007年8月14南京航空航天大学 理学院 数学系双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.2007年8月15南京航空航天大学 理学院 数学系截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截均可得双曲线均可得双曲线.2007年8月16南京航空航天大
7、学 理学院 数学系单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.2007年8月17南京航空航天大学 理学院 数学系双叶双曲面双叶双曲面xyo2007年8月18南京航空航天大学 理学院 数学系椭球面、抛物面、双曲面、椭球面、抛物面、双曲面、截痕法截痕法.（熟知这几个常见曲面的特性）熟知这几个常见曲面的特性）二、小结2007年8月19南京航空航天大学 理学院 数学系思考题思考题方程方程表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？2007年8月20南京航空航天大学 理学院 数学系思考题解答思考题解答表示双曲线表示双曲线.2007年8月21南京航空航天大学 理学院 数学系练练 习习 题题2007年8月22南京航空航天大学 理学院 数学系2007年8月23南京航空航天大学 理学院 数学系练习题答案练习题答案二、二、2007年8月24南京航空航天大学 理学院 数学系三、三、2007年8月25南京航空航天大学 理学院 数学系
