随机过程课程简介-PPT课件

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1、随机过程随机过程马春光马春光machunguanghrbeu.edu 哈尔滨工程大学课程信息课程信息学时学时学时学时 3232学时；学时；4 4学时学时/ /周周。课程性质课程性质课程性质课程性质 考试课考试课考核方式考核方式考核方式考核方式 闭卷，笔试闭卷，笔试教材和主要参考书目教材和主要参考书目教材和主要参考书目教材和主要参考书目课程信息课程信息 主要教材主要教材主要教材主要教材 随机过程张卓奎随机过程张卓奎, , 陈慧婵西安电子科技大学出陈慧婵西安电子科技大学出版版 社，社，20192019 参考书目参考书目参考书目参考书目 随机过程同步学习辅导张卓奎随机过程同步学习辅导张卓奎, , 陈

2、慧婵西安电陈慧婵西安电子子 科技大学出版社，科技大学出版社，20192019 随机过程初级教程随机过程初级教程 ( (第二版第二版). ). 美美Samuel Karlin, Samuel Karlin, HowardM. Taylor HowardM. Taylor 著著, , 庄兴元庄兴元, , 陈宗洵陈宗洵, , 陈庆华陈庆华 译译. . 人人民邮电大学出版社民邮电大学出版社, 2019. , 2019. 第第1章章 概率论基础概率论基础1.1 1.1 概率空间概率空间概率空间概率空间1.2 1.2 随机变量及分布随机变量及分布随机变量及分布随机变量及分布1.3 1.3 随机变量的数字特

3、征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.4 1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数1.5 1.5 n n维正态随机变量维正态随机变量维正态随机变量维正态随机变量1.6 1.6 条件数学期望条件数学期望条件数学期望条件数学期望第第1章章 概率论基础概率论基础1.1 1.1 概率空间概率空间概率空间概率空间1.2 1.2 随机变量及分布随机变量及分布随机变量及分布随机变量及分布1.3 1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.4 1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机

4、变量的特征函数1.5 1.5 n n维正态随机变量维正态随机变量维正态随机变量维正态随机变量1.6 1.6 条件数学期望条件数学期望条件数学期望条件数学期望1.1 概率空间概率空间样本空间样本空间样本空间样本空间 一个试验所有可能出现的结果的全体；记为一个试验所有可能出现的结果的全体；记为 . .样本点样本点样本点样本点 试验的一个结果；记为试验的一个结果；记为 随机事件随机事件随机事件随机事件 样本空间的某个子集；简称为事件样本空间的某个子集；简称为事件. .1.1 概率空间概率空间定义定义定义定义1.1.11.1.11.1.11.1.1 设设 是样本空间是样本空间，F F 是是 的某些子集

5、构成的集合，如的某些子集构成的集合，如果果(1)(1) F F (2)(2)若若A A F F 则则 F F (3)(3)若若A A F F , ,n=1,2,n=1,2,， 则则 F F 那么称那么称 F F 为一事件域为一事件域. .也称也称F F 为为域域域域. .也称也称F F 为为 域域域域 显然，如果 F 是一事件域，那么 (1) F ； (2) 若A,B F ，则A-B F ； (3) 若An F ，n=1,2,则 F . 1.1 概率空间概率空间定义定义定义定义1.1.2 1.1.2 1.1.2 1.1.2 设设 是样本空间是样本空间，F F 是一事件域，定义在是一事件域，定义

6、在F F 上的实值函数上的实值函数P P( ( ) )如果满足如果满足：(1) (1) F F , ,P P( (A A)0)0 ，(2) (2) P P( ( )=1 ,)=1 ,(3) (3) 若若 F F ，n=1,2,n=1,2,，且且A Ai iA Aj j= =,i i j,i=1,2,j,i=1,2,则则 那么称那么称P P是二元组是二元组( ( , , F F ) )上的概率上的概率，称，称P P( (A A) )为事件的概率，为事件的概率，称三元组称三元组( ( , , F F , ,P P) )为概率空间为概率空间. .1.1 概率空间概率空间事件的概率性质事件的概率性质1

7、.1 概率空间概率空间 一列事件一列事件A An nF F ，n=1,2,n=1,2,，称为单调递增的事件列，如称为单调递增的事件列，如果果A An n A An+1n+1,n=1,2,n=1,2,一列事件一列事件 A An nF F ，n=1,2,n=1,2,，称为单调递减的事件列，如称为单调递减的事件列，如果果A An n A An+1n+1,n=1,2,n=1,2,定理定理定理定理1.1.1 1.1.1 设设A An nF F ，n=1,2,n=1,2,(1)(1)若若A An n，n=1,2,n=1,2,是单调递增的事件列，则是单调递增的事件列，则 (2) (2)若若A An n，n=

8、1,2,n=1,2,是单调递减的事件列，则是单调递减的事件列，则定义定义定义定义1.1.3 1.1.3 设设( ( , , F F , ,P P) )为一概率空间，为一概率空间， A,BA,B F F 且且P P( (A A)0)0，则称则称 为在事件为在事件A A发生的条件下事件发生的条件下事件B B发生的条件概率发生的条件概率. .不难验证，条件概率P(|A)符合定义1.1.2中的三个条件，即(1) F ，P(B|A)0；(2) P(|A)=1；(3) 设BnF ，n=1,2,BiBj=,ij,i=1,2,则 1.1 概率空间概率空间定理定理定理定理1.1.21.1.21.1.21.1.2

9、 设设( ( , , F F , ,P P) )是一概率空间，有：是一概率空间，有：(1)(1) ( (乘法公式乘法公式) ) 若若A Ai iF F ， i=1,2,i=1,2, , 且且 P P( (A A1 1A A2 2AAn n)0)0 则则(2)(2) ( (全概率公式全概率公式) ) 设设A AF F , , B Bi i F F ，P P( (B Bi i)0,)0,i=1,2i=1,2,，且且 B Bi iB Bj j= =,i i j,i=1,2,j,i=1,2, ， 则则1.1 概率空间概率空间 (3)(3) ( (贝叶斯贝叶斯(Bayes)(Bayes)公式公式) )

10、设设A AF F , ,P P( (A A)0, )0, B Bi i F F ，P P( (B Bi i)0,)0,i=1,2i=1,2,且且B Bi iB Bj j= =,i i j,i=1,2,j,i=1,2, 则则定义定义定义定义1.1.41.1.41.1.41.1.4 设设( ( , , F F , ,P P) )为一概率空间为一概率空间, , A Ai iF F ， i=1,2,i=1,2, ,n, n,如果对于任意的如果对于任意的k k(1(1k k n n) ) 及任意的及任意的11i i1 1ii2 2iik k n n, ,有有则则A A1 1A A2 2AAn n称相互独

11、立。称相互独立。1.1 概率空间概率空间定理定理定理定理1.1.31.1.3 设设A,BA,BF F 相互独立，则相互独立，则A A 与与 , , 与与B B , , 与与 也是相互独立的，从而也是相互独立的，从而A A所生成的所生成的 域域F F A A=A A, , 中的任意一个事件和中的任意一个事件和B B所生成的所生成的 域域F F B B=B B, , , 中的任意一个事件都相互独立中的任意一个事件都相互独立( (这时我们称这两个这时我们称这两个 域域F F A A和和F F B B是相互独立的是相互独立的). ).1.1 概率空间概率空间定理定理定理定理1.1.4 1.1.4 设设

12、A,B,CA,B,CF F 相互独立，则相互独立，则(1) (1) A A与与BCBC相互独立；相互独立；(2) (2) A A与与B B C C相互独立；相互独立；(3) (3) A A与与B-CB-C相互独立；相互独立；(4) (4) A A所生成的所生成的 域中的任一事件与域中的任一事件与B B和和C C所生成的所生成的 域域 F F B,CB,C= = 中的任意一个事件都相互独立。中的任意一个事件都相互独立。 1.1 概率空间概率空间推论推论推论推论1.1.11.1.1 设设A,B,CA,B,CF F 相互独立，将相互独立，将A,B,CA,B,C任意分为两任意分为两组，则他们各自生成的

13、组，则他们各自生成的 域仍然相互独立域仍然相互独立. .定理定理定理定理1.1.51.1.5 设设A Ai iF F ， i=1,2,i=1,2, ,n n相互独立，将相互独立，将A Ai i, ,i=1,2,i=1,2, ,n, n,任意分成任意分成m m( (m m n n) )组，并对各组中的事件施组，并对各组中的事件施以积、和、逆运算后，所得到的事件以积、和、逆运算后，所得到的事件B B1 1,B,B2 2,B,Bm m也是相互也是相互独立的独立的. .从而这从而这m m 组事件各自所生成的组事件各自所生成的 域也是相互独立域也是相互独立的的. .1.1 概率空间概率空间定理定理定理定

14、理1.1.51.1.5蕴含的有用的结论蕴含的有用的结论蕴含的有用的结论蕴含的有用的结论：(1)(1)若若A A1 1,A,A2 2,A,An n相互独立，则相互独立，则 也相互独立，从而有也相互独立，从而有(2) (2) 一列独立事件中的任何一部分事件也相互独立一列独立事件中的任何一部分事件也相互独立(3) (3) 若一列事件相互独立，则将其中任一部分改写为对若一列事件相互独立，则将其中任一部分改写为对立事件，所得的事件也相互独立立事件，所得的事件也相互独立. .第第1章章 概率论基础概率论基础1.1 1.1 概率空间概率空间概率空间概率空间1.2 1.2 随机变量及分布随机变量及分布随机变量

15、及分布随机变量及分布1.3 1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.4 1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数1.5 1.5 n n维正态随机变量维正态随机变量维正态随机变量维正态随机变量1.6 1.6 条件数学期望条件数学期望条件数学期望条件数学期望1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布定义定义定义定义1.2.1 1.2.1 设设( ( , , F F , ,P P) )为一概率空间，定义在为一概率空间，定义在上的实上的实函数函数X X( ( ) )，如果，如果 则称则称X X是是F F 的的随机变量随机

16、变量. .称称 F F( (x x)=P(X)=P(Xxx), ), 为随机变量为随机变量X X的分布函数的分布函数. .1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布分布函数分布函数分布函数分布函数F F( (x x) )具有如下的性质具有如下的性质具有如下的性质具有如下的性质：(1) (1) F F( (x x) )是单调不减函数，即若是单调不减函数，即若x x1 1xx2 2则则F F( (x x1 1) ) F F( (x x2 2) ) ；(2) (2) F F( (x x) )是右连续函数，即；是右连续函数，即； , ,F F( (x+x+0)=0)=F F( (x x); );(3)(

17、3)同时可以证明，设同时可以证明，设F F( (x x) )，x xR R是单调不减、右连续的函是单调不减、右连续的函数，并且数，并且 则必存在概率空间则必存在概率空间( ( , , F F , ,P P) ) 及其上的一个随机变量及其上的一个随机变量X X使得使得X X以以F F( (x x) )为其分布函数为其分布函数. . 1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量有两种类型：离散型和连续型随机变量随机变量有两种类型：离散型和连续型随机变量随机变量有两种类型：离散型和连续型随机变量随机变量有两种类型：离散型和连续型随机变量离散型离散型离散型离散型若随机变量若随机变量X X的可能取

18、值为有限个或可列无限个，则称的可能取值为有限个或可列无限个，则称X X 为离散型随机变量为离散型随机变量. .离散型随机变量离散型随机变量X X的分布可用分布律来描述，即的分布可用分布律来描述，即 P P( (X=xX=xi i)=)=p pi i,i=1,2,i=1,2,这时这时X X的分布函数为的分布函数为 1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布连续型连续型连续型连续型 设随机变量设随机变量X X的分布函数为的分布函数为F F( (x x),),如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数 f f( (x x) )使得使得则称则称X X为连续型随机变量为连续型随机变量, , f f( (x

19、x) )为连续型随机变量为连续型随机变量X X的概率的概率密度函数密度函数. .1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布定义定义定义定义1.2.21.2.2 设设( ( , , F F , ,P P) )为一概率空间，定义在为一概率空间，定义在 上的上的n n元实元实函数函数 如果如果则称则称X X=(=(X X1 1,X,X2 2,，X Xn n) )为为n n维随机变量或维随机变量或n n维随机向量维随机向量. .称称 为为X X的联合分布函数的联合分布函数. .1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布设设X X是是n n维随机变量，则维随机变量，则X X的联合反不函数具有下列的联合反不函

20、数具有下列性质性质性质性质 (1)(1)F F( (x x1 1,x ,x2 2,，x xn n) )对任一对任一x xi i( (i=1i=1, ,2,n2,n) )是单调不减函数是单调不减函数; ;(2)(2)F F( (x x1 1,x ,x2 2,，x xn n) )对任一对任一x xi i( (i=1i=1, ,2,n2,n) )是右连续函数；是右连续函数；(3)(3)(4)(4)设设x xi i y yi i,i=1,2,n,i=1,2,n,则则1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布若若n n维随机变量维随机变量X X的可能取值为有限对或可列无限对，则的可能取值为有限对或可列无限

21、对，则称称n n维随机变量维随机变量X X为为离散型离散型离散型离散型n n维随机变量维随机变量维随机变量维随机变量. .离散型离散型n n维随机变量维随机变量X=X=( (X X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )的分布可用联合分布的分布可用联合分布律来描述，即律来描述，即 P P( (X X1 1=x=x1 1,X,X2 2=x=x2 2,X,Xn n=x=xn n) )其中其中x xi iI Ii i, I, Ii i是离散集是离散集, ,i=1,2,ni=1,2,n这时这时X X的联合分布函数的联合分布函数为为1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布设设n n维随机变量维随机变量X

22、 X的联合分布函数为的联合分布函数为F F( (x x1 1,x ,x2 2,x,xn n) )，如果存，如果存在非负可积函数在非负可积函数f f( (x x) )=f=f( (x x1 1,x ,x2 2,x,xn n), ),x xR Rn n使得使得则称则称X X为连续型为连续型n n维随机变量，维随机变量， f f( (x x1 1,x ,x2 2,x,xn n), ),称为连续型称为连续型n n 维随机变量维随机变量X X的联合概率密度函数的联合概率密度函数。1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布 保留保留k k(1(1 k k 0)0的的y y的取值的公共部分。的取值的公共部分。

23、1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布 若若g g( (x x) )不是严格单调的可微函数，则将不是严格单调的可微函数，则将g g( (x x) )在其定义域分在其定义域分成若干个单调分支，在每个单调分支上应用成若干个单调分支，在每个单调分支上应用(1)(1)的结果的结果 得得Y=gY=g( (X X) )概率密度函数为概率密度函数为 其中其中I I 是在每个单调分支上按照是在每个单调分支上按照(1)(1)确定的确定的y y的取值的公共的取值的公共部分部分. . 1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布例例例例1.2.1 1.2.1 设设 ，试求，试求Y Y的概率密度函数的概率密度函数f f

24、Y Y( (y y) )。解解解解 由于由于y=tan xy=tan x，故其反函数，故其反函数h(y)=arctan yh(y)=arctan y, , 并且并且 因此因此Y Y的概率密度函数的概率密度函数 1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布例例例例1.2.21.2.2 设设X XNN(0,1)(0,1)，求，求Y=XY=X2 2的概率密度函数的概率密度函数f fY Y( (y y) )解解 由于由于y=xy=x2 2有两个单调分支，其反函数分别为有两个单调分支，其反函数分别为 并且并且 因而因而Y=XY=X2 2的概率密度函数为的概率密度函数为1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布

25、例例例例1.2.31.2.3 设设( (X,YX,Y) )为二维随机变量，其中为二维随机变量，其中X,YX,Y相互独立并且相互独立并且都服从正态分布都服从正态分布N N( (0, 0, 2 2), ),记记Z Z为为( (X,YX,Y) ) 的模的模, , 为为( (X,YX,Y) )的辅角的辅角，求，求( (Z Z, , ) )的联合概率密度函数及边缘概率密度函数。的联合概率密度函数及边缘概率密度函数。1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布 解解解解 由于由于 X,YX,Y 相互独立，因此相互独立，因此又因为方程组又因为方程组有唯一解有唯一解( (反函数反函数) )1.2 随机变量及其分布

26、随机变量及其分布 所以所以( (Z Z, , ) )的联合概率密度函数为的联合概率密度函数为1.2 随机变量及其分布随机变量及其分布 故故从从Z Z, , 的概率密度函数可以看出，的概率密度函数可以看出，Z Z服从参数为服从参数为 的的RayleighRayleigh分布，分布， 服从区间服从区间 上的均匀分布，并且上的均匀分布，并且 g g( (z z, , )=)=g gZ Z( (z z) )g g ( ( ) )所以所以Z Z和和 是相互独立的是相互独立的第第1章章 概率论基础概率论基础1.1 1.1 概率空间概率空间概率空间概率空间1.2 1.2 随机变量及分布随机变量及分布随机变量

27、及分布随机变量及分布1.3 1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.4 1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数1.5 1.5 n n维正态随机变量维正态随机变量维正态随机变量维正态随机变量1.6 1.6 条件数学期望条件数学期望条件数学期望条件数学期望1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征定义定义定义定义1.3.11.3.1 设设f f( (x x), ),g g( (x x) )是定义在是定义在 a,ba,b 上的两个有界函数，上的两个有界函数， a=xa=x0 0xx1 1xxn n=b=b是区间是

28、区间 a,ba,b 上的任一划分上的任一划分, ,x xk k=x=xk k-x-xk-1,k-1, x xk k在每一个子区间在每一个子区间 x xk-1k-1,x ,xk k 上任意取一点上任意取一点 k k作和式作和式 如果极限如果极限存在且与存在且与 a,ba,b 的分法和的分法和 k k的取法都无关，则称此极限为函的取法都无关，则称此极限为函数数f f( (x x) )对函数对函数g g( (x x) )在区间在区间 a,ba,b 上的上的StieltjesStieltjes积分，记为积分，记为 此时也称此时也称f f( (x x) )对对g g( (x x) )在在 a,ba,b

29、上上S S可积可积. .1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征定义定义定义定义1.3.21.3.2 设设f f( (x x), ),g g( (x x) )是定义在是定义在( ( , ,+ + ) )上的两个函数，上的两个函数，若在任意有限区间若在任意有限区间 a,ba,b , , f f( (x x) )对对g g( (x x) )在在 a,ba,b 上上S S可积可积, ,且极限且极限存在，则称此极限为存在，则称此极限为f f( (x x) )对对g g( (x x) )在无穷区间在无穷区间( ( , ,+ + ) )上的上的StieltjesStieltjes积分，简称积分，简称S

30、 S积分，记为积分，记为1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 在在S S积分中，当积分中，当g g( (x x) )取一些特殊形式时，积分可化为级数取一些特殊形式时，积分可化为级数和通常积分和通常积分. .若若g g( (x x) )在在( ( , ,+ + ) )上是阶梯函数，它的跳跃点为上是阶梯函数，它的跳跃点为x x1 1,x ,x2 2, ( (有限多或可列无限多个有限多或可列无限多个), ),则则若若g g( (x x) )在在( ( , ,+ + ) )上是可微函数它的导函数为上是可微函数它的导函数为g g ( (x x) ) , ,则则 1.3 随机变量的数字特征随机变量

31、的数字特征定义定义定义定义1.3.31.3.3 设函数设函数g g( (x x) )定义在无限区间定义在无限区间( ( , ,+ + ) )上，若积上，若积分分存在，则称此积分为存在，则称此积分为g g( (x x) )的的Fourier-StieltjesFourier-Stieltjes积分，简称积分，简称F-F-S S积分。积分。1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征定义定义定义定义1.3.41.3.4 设设X X是一随机变量是一随机变量, ,F F( (x x) )是其分布函数，若是其分布函数，若 则称则称 为随机变量为随机变量X X的数学期望或均值的数学期望或均值。 若若X X

32、是离散型随机变量，其分布律为是离散型随机变量，其分布律为P P( (X=xX=xi i)=)=p pi i,i=1,2,i=1,2, 则则 1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 若若X X是连续型随机变量，其概率密度函数为是连续型随机变量，其概率密度函数为f f( (x x) )则则定理定理定理定理1.3.11.3.1设设X X是一随机变量，其分布函数为是一随机变量，其分布函数为F F( (x x), ),y y= =g g( (x x) )是是连续函数，如果连续函数，如果 存在，则存在，则上述定理可推广到上述定理可推广到n n维随机变量的场合维随机变量的场合. .1.3 随机变量的数

33、字特征随机变量的数字特征定理定理定理定理1.3.21.3.2 设设X=X=( (X X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )是是n n维随机变量，其联合分布维随机变量，其联合分布函数为函数为F F( (x x1 1,x ,x2 2,x,xn n) ),g ,g( (x x1 1,x ,x2 2,x,xn n) )是连续函数，如果是连续函数，如果 存在，则存在，则1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征定义定义定义定义1.3.51.3.5 设设X X是随机变量，若是随机变量，若E|X|E|X|2 2+ 则称则称为随机变量为随机变量X X的方差的方差. .定义定义定义定义1.3.61.3.6

34、 设设X,YX,Y是随机变量，若是随机变量，若E|X|E|X|2 2+ , , E|Y|E|Y|2 2+DX0 0,DY,DY0 0, ,则称则称 为随机变量为随机变量X,YX,Y的相关系数。若的相关系数。若 XYXY= =0 0则称则称X,YX,Y不相关不相关1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 根据定理根据定理1.3.11.3.1，若，若X X的分布函数为的分布函数为F F( (x x) )则则当当X X是离散型随机变量是，其分布律为是离散型随机变量是，其分布律为 P P( (X=xX=xi i)=)=p pi i, i=1,2, i=1,2, 则则当当X X是连续型随机变量时，其

35、概率密度为是连续型随机变量时，其概率密度为f f( (x x) )，则，则 1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 根据定理根据定理1.3.21.3.2，若，若( (X,YX,Y) )的联合分布函数为的联合分布函数为F F( (x,yx,y) ) 则则当当( (X,YX,Y) )是离散型随机变量时，其联合分布律为是离散型随机变量时，其联合分布律为 P P( (X=xX=xi i,Y=y,Y=yi i) )=p=pij ij, i,j=1,2, i,j=1,2, 则则当当( (X,YX,Y) )是连续型随机变量时，其联合概率密度为是连续型随机变量时，其联合概率密度为f f( (x,yx,y

36、) )则则1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数学期望和方差具有下列随机变量的数学期望和方差具有下列5 5个个性质性质性质性质(1)(1) 设设a,ba,b是任意的常数，则是任意的常数，则E E( (aX+bYaX+bY) )=aEX+bEY=aEX+bEY; ;(2)(2) 设设X,YX,Y相互独立，则相互独立，则EXY=EXEYEXY=EXEY; ; (3) (3) 设设a,ba,b是任意的常数，是任意的常数，X,YX,Y相互独立，则相互独立，则 D D( (aX+bYaX+bY) )=a=a2 2DX+bDX+b2 2DYDY(4)(4) 设设E|X|E|X|2 2+

37、, , E|Y|E|Y|2 2+ 则则( (EXYEXY) )2 2EXEX2 2+EY+EY2 2; ;(5)(5) 设设X Xn n 0,n=1,2,0,n=1,2,则则称不等式称不等式( (EXYEXY) )2 2EXEX2 2+EY+EY2 2为为SchwarzSchwarz不等式不等式。1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征例例例例1.3.11.3.1 设设X X是随机变量，若是随机变量，若E|X|E|X|r r+r0 0则称则称EXEXr r 为随机变量的为随机变量的r r阶，设随机变量阶，设随机变量X X的的r r阶矩存在，则阶矩存在，则证明证明证明证明 设设X X的分布函

38、数为的分布函数为F F( (X X) ), ,则则 即即 称不等式称不等式 为马尔科夫不等式为马尔科夫不等式1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 特别地，在马尔科夫不等式中令特别地，在马尔科夫不等式中令r=2r=2，将，将X X换成换成X-EXX-EX可得重要的可得重要的ChebyshvChebyshv不等式不等式. . 定理定理定理定理1.3.31.3.3 设设X X是随机变量，则是随机变量，则DX=DX=0 0的充要条件是的充要条件是P P( (X=CX=C) )=1=1（C C是常数是常数）。1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 对于多个随机变量，方差和协方差之间具有下列

39、重要的对于多个随机变量，方差和协方差之间具有下列重要的性质。性质。设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n是是n n个随机变量，则个随机变量，则例例例例1.3.21.3.2 ( (MontmortMontmort配对问题配对问题配对问题配对问题) ) n n个人将自己的帽子放在一个人将自己的帽子放在一起，充分混合后每人随机地取出一顶帽子，试求出选中起，充分混合后每人随机地取出一顶帽子，试求出选中自己帽子的人数的均值和方差自己帽子的人数的均值和方差. .1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 解解解解 设设X X表示选中自己帽子的人数，令表示选中自己帽子的人数，令 第第i i个人选中自

40、己的帽子个人选中自己的帽子 否则否则i=1,2,n,i=1,2,n,则则又又 从而从而1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 所以所以由由 得得而当而当i i j j时时1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 所以所以 1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征定义定义定义定义1.3.71.3.7 设设X=X=( (X X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )是是n n维随机变量，则称维随机变量，则称为为n n维随机变量维随机变量X=X=( (X X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )的均值向量。称的均值向量。称 n n维随机变量维随机变量X=X=( (X X1 1,X,X

41、2 2,X,Xn n) )的协方差矩阵的协方差矩阵1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征定理定理定理定理1.3.41.3.4 设设B B是是n n维随机变量的协方差矩阵，则维随机变量的协方差矩阵，则B B是非负是非负定矩阵定矩阵. .证明证明证明证明 由于对任意的由于对任意的n n个实数个实数t t1 1,t ,t2 2,t,tn n二次型二次型即二次型即二次型 是非负定的，因而矩阵是非负定的，因而矩阵B B非负非负定定. .第第1章章 概率论基础概率论基础1.1 1.1 概率空间概率空间概率空间概率空间1.2 1.2 随机变量及分布随机变量及分布随机变量及分布随机变量及分布1.3 1.

42、3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.4 1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数1.5 1.5 n n维正态随机变量维正态随机变量维正态随机变量维正态随机变量1.6 1.6 条件数学期望条件数学期望条件数学期望条件数学期望1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数定义定义定义定义1.4.11.4.1 设设( ( , , F F , ,P P) )是一概率空间，是一概率空间，X,YX,Y都是都是F F 的实值的实值变量，则称变量，则称 为复随机变量。为复随机变量。复随机变量复随机变量Z Z是取复值的随机变量，它

43、的数学期望定义为是取复值的随机变量，它的数学期望定义为若若X X是实值随机变量，则是实值随机变量，则e ejtXjtX应是复随机变量。应是复随机变量。1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数定义定义定义定义1.4.21.4.2 设设X X是是( (实实) )随机变量，其分布函数为随机变量，其分布函数为F F( (x x) )则称则称为随机变量为随机变量X X的特征函数的特征函数. .由于由于e ejtXjtX = =costXcostX，+jsintX+jsintX, ,因此因此X X的特征函数也可以表示为的特征函数也可以表示为1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数 当当X X是离散

44、型随机变量时，其分布律为是离散型随机变量时，其分布律为 P P( (X=xX=xi i)=)=p pi i,i=1,2,i=1,2,则则当当X X是连续型随机变量时，其概率密度函数为是连续型随机变量时，其概率密度函数为f f( (x x) )则则由于由于因此随机变量因此随机变量X X的特征函数的特征函数 ( (t t) )总存在总存在。1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数例例例例1.4.11.4.1 设设X X服从单点分布，即服从单点分布，即P P( (X=cX=c) )= =1,1,其中其中c c为常数，为常数，则则X X的特征函数的特征函数例例1.4.2 设XB(n,p)即 k=0

45、,1,2,n,0p00则则X X的特征函数的特征函数例例例例1.4.41.4.4 设设X X服从区间服从区间 a,ba,b 上的均匀分布，即上的均匀分布，即X X的概率密度的概率密度函数为函数为 则则X X的特征函数的特征函数 1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数例例例例1.4.51.4.5 设设X XNN( ( , , 2 2) )，即，即X X的概率密度函数为的概率密度函数为 则则X X的特征函数的特征函数1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数 特别的，若特别的，若X XNN( (0,10,1) ) ，则特征函数，则特征函数 例例例例1.4.61.4.6 设设X X服从参数为

46、服从参数为 ( ( 00) )的指数分布，即的指数分布，即X X的概率的概率密度函数为密度函数为则则X X的特征函数的特征函数1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数 ( (t t) )具有下列具有下列7 7条性质条性质条性质条性质(1)(1)(2) (2) 其中其中 表示表示 的共轭；的共轭；(3) (3) 设随机变量设随机变量Y=aX+bY=aX+b，其中，其中a,ba,b是常数，则是常数，则 其中其中 分别表示随机变量分别表示随机变量X,YX,Y的特征函数了。的特征函数了。(4)(4) 在在( ( , ,+ + ) )上一致连续上一致连续。1.4

47、随机变量的特征函数随机变量的特征函数 (5)(5)设随机变量设随机变量X,YX,Y相互独立，又相互独立，又Z=X+YZ=X+Y，则，则 此式表明两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于此式表明两个相互独立的随机变量之和的特征函数等于各自特征函数的乘积各自特征函数的乘积。(6) (6) 是非负定的，即对于任意的正整数是非负定的，即对于任意的正整数n n，任意复数，任意复数 z z1 1,z ,z2 2,z,zn n和任意实数和任意实数t t1 1,t ,t2 2,t,tn n, ,有有 1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数 (7)(7) 设随机变量设随机变量X X的的n n阶原点矩存在，

48、则阶原点矩存在，则 存在存在k k( (k knn) )阶导阶导数，且数，且例例例例1.4.7 1.4.7 设设X X ( (), ),求求EX,EXEX,EX2 2,DX.,DX.解解解解 由于由于X X ( (), ),因而因而 故故1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数例例例例1.4.81.4.8 设设X X N N(0,(0, 2 2), ),求求EXEXn n解解解解 因为因为所以所以从而从而1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数 在连续概率分布的情况下，特征函数在连续概率分布的情况下，特征函数 因此因此f f( (t t) )应当是应当是 的反演，根据积分理论，在的反演

49、，根据积分理论，在绝对可积的条件下，即绝对可积的条件下，即 的条件下有反演公式的条件下有反演公式且反演是唯一的且反演是唯一的. .1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数定理定理定理定理1.4.11.4.1 设随机变量设随机变量X X的分布函数为的分布函数为F F( (x x) )，特征函数为，特征函数为 ，则对，则对F F( (x x) )的连续点的连续点x x1 1,x ,x2 2，有，有定理定理定理定理1.4.21.4.2 随机变量随机变量X X的分布函数的分布函数F F( (x x) )被它的特征函数被它的特征函数 惟一地确定。惟一地确定。由此定理可见，随机变量的概率分布函数与特征

50、函数是由此定理可见，随机变量的概率分布函数与特征函数是一一对应的。一一对应的。1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数例例例例1.4.91.4.9 设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n相互独立，且相互独立，且X Xk k ( (k k), ),k=1,2,nk=1,2,n试试用特征函数证明用特征函数证明证明证明证明证明 由于由于X X1 1,X,X2 2,X,Xn n相互独立，相互独立， X Xk k ( (k k), ),k=1,2,nk=1,2,n 故故从而从而所以所以1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数例例例例1.4.10 1.4.10 设设X X1 1,X,X2 2

51、,X,Xn n相互独立，且相互独立，且X Xk k N N( ( k k, , k k2 2), ), k=1,2,n,k=1,2,n, 试用试用特征函数求随机变量特征函数求随机变量 的概率分布的概率分布解解解解 由于由于X X1 1,X,X2 2,X,Xn n相互独立相互独立, ,且且X Xk k N N( ( k k, , k k2 2), ), k=1,2,nk=1,2,n 故故从而从而所以所以1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数定理定理定理定理1.4.3(1.4.3(Bochner-KhintchineBochner-Khintchine定理定理定理定理) ) 设设 ( (t

52、t) )满足满足 ( (0 0)=1)=1 , ,且在且在 tt+ + 上是连续的复值函数，则上是连续的复值函数，则 是特征函数是特征函数的充要条件为它是非负定的。的充要条件为它是非负定的。定义定义定义定义1.4.31.4.3 设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n是是n n维随机变量，其联合分布函维随机变量，其联合分布函数为数为F F( (x x) )=F=F( (x x1 1,x ,x2 2,x,xn n) ), ,则称则称为为n n维随机变量维随机变量X X的特征函数的特征函数. .1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数 若若X=X=( (X X1 1,X,X2 2,X,Xn

53、 n) )是离散型随机变量，其联合分布律为是离散型随机变量，其联合分布律为 P P( (X X1 1=x=x1 1,X,X2 2=x=x2 2,X,Xn n=x=xn n) ), ,则则 其中其中 是关于是关于X Xi i的可能取值的可能取值x xi i求和。求和。若若X=X=( (X X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )是连续型随机变量，其联合概率密度函是连续型随机变量，其联合概率密度函数为数为f(x)=f(f(x)=f(x x1 1,x ,x2 2, ,x, ,xn n) ) 则则1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数n n维随机变量的特征函数具有下列性质：维随机变量的特征函数

54、具有下列性质：(1)(1) (2)(2) (3)(3) 设设 ( (t t1 1,t ,t2 2,t,tn n) ) 是是n n维随机变量维随机变量X=X=( (X X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )的特征函的特征函数，则随机变量数，则随机变量Y=aY=a1 1X X1 1+a+a2 2X X2 2+a+an nX Xn n 的特征函数为的特征函数为 Y Y( (t t) )= = ( (a a1 1t,at,a2 2t t,a an nt t) ) (4) (4) ( (t t1 1,t ,t2 2,t,tn n) ) 在在R Rn n上一致连续；上一致连续；1.4 随机变量的特征函

55、数随机变量的特征函数 (5) (5) 设设 ( (t t1 1,t ,t2 2,t,tn n) )是是n n维随机变量维随机变量X=X=( (X X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )的特征函的特征函数数 是随机变量是随机变量X X1 1,X,X2 2,X,Xn n相互独立的充要相互独立的充要条件是条件是(6) (6) 设设 ( (t t1 1,t ,t2 2,t,tn n) )是是n n维随机变量维随机变量X=X=( (X X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )的特征函的特征函数，则数，则k k(1(1knk0s=a+jb,a0 . .1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数若若

56、X X是连续型的非负值随机变量，其概率密度函数为是连续型的非负值随机变量，其概率密度函数为f f( (x x) ), , 则则 称称 为为f f( (x x) )的的LaplaceLaplace变换，记为变换，记为 f f( (x x) )称为称为 的的LaplaceLaplace反变换反变换反变换反变换，它们相互唯一确定，它们相互唯一确定第第1章章 概率论基础概率论基础1.1 1.1 概率空间概率空间概率空间概率空间1.2 1.2 随机变量及分布随机变量及分布随机变量及分布随机变量及分布1.3 1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.4 1.4 随

57、机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数1.5 1.5 n n维正态随机变量维正态随机变量维正态随机变量维正态随机变量1.6 1.6 条件数学期望条件数学期望条件数学期望条件数学期望1.5 n维正态随机变量维正态随机变量在概率论中，若在概率论中，若( (X X1 1,X,X2 2) ) N N( ),( ),则则二二维维正正态态随随机机变变量量( (X X1 1,X,X2 2) )的的联联合概率密度函数合概率密度函数为为其中，其中， 为为随机随机变变量量X X1 1,X,X2 2的相关系数。的相关系数。1.5 n维正态随机变量维正态随机变量下面用向量和矩阵的形式来

58、表示二维正态分布的联合概下面用向量和矩阵的形式来表示二维正态分布的联合概率密度函数率密度函数. .为此，令为此，令x=(x=(x x1 1,x ,x2 2) )， =(=( 1 1 2 2) ) , ,于是于是 1.5 n维正态随机变量维正态随机变量 所以所以 =(x-=(x- ) )B B-1-1(x-(x- ) )T T于是于是1.5 n维正态随机变量维正态随机变量定义定义定义定义1.5.1 1.5.1 设设X=X=( (X X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )是是n n维随机变量，如果其联维随机变量，如果其联合概率密度函数为合概率密度函数为其中其中则称则称X=X=( (X X1 1

59、,X,X2 2,X,Xn n) )服从服从 为为均均值值向量、向量、B B为协为协方差矩方差矩阵阵的的n n维维正正态态分布，分布，记为记为XNXN( ( , B, B). ).1.5 n维正态随机变量维正态随机变量定理定理定理定理1.5.1 1.5.1 设设X X N N( ( ,B),B),则则存在存在n n阶阶正交矩正交矩阵阵A A，使得，使得 Y=( Y=(Y Y1 1,Y,Y2 2,Y,Yn n)=(X-)=(X- )A)AT T是是n n维维独立正独立正态态随机随机变变量，即量，即Y Y1 1,Y,Y2 2,Y,Yn n相互，且相互，且Y Yk kNN( (0,d0,dk k),

60、),其中其中d dk k00是是B B的特征的特征值值，k=1,2,nk=1,2,n。定理定理定理定理1.5.21.5.2 设设XXN N( ( ,B),B) ，则则X X的特征函数的特征函数 1.5 n维正态随机变量维正态随机变量定理定理定理定理1.5.3 1.5.3 设设X=X=( (X X1 1,X,X2 2,X,Xn n) ) N N( ( , ,B B) )(1) (1) 若若l l1 1,l ,l2 2,.l,.ln n是常数，是常数，则则 服从一服从一维维正正态态分布分布其中，其中， k k=EX=EXk k, k=1,2,n., k=1,2,n.(2) (2) 若若mnmn，则

61、则X X的的m m个分量构成的个分量构成的m m维维随机随机变变量量 服从服从m m维维正正态态分布分布 ，其中，其中1.5 n维正态随机变量维正态随机变量 (3) (3) 若若m m维随机变量维随机变量Y Y是是X X的线性变换，即的线性变换，即Y=XCY=XC，其中，其中C C是是n n m m阶矩阵，则阶矩阵，则Y Y服从服从m m维正态分布维正态分布N N( ( C,CC,CT TBCBC); );(4) (4) X X1 1,X,X2 2,X,Xn n相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是X X1 1,X,X2 2,X,Xn n两两不相两两不相关。关。第第1章章 概率论基础概率论基

62、础1.1 1.1 概率空间概率空间概率空间概率空间1.2 1.2 随机变量及分布随机变量及分布随机变量及分布随机变量及分布1.3 1.3 随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.4 1.4 随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数随机变量的特征函数1.5 1.5 n n维正态随机变量维正态随机变量维正态随机变量维正态随机变量1.6 1.6 条件数学期望条件数学期望条件数学期望条件数学期望1.6 条件数学期望条件数学期望定义定义定义定义1.6.1 1.6.1 设设( (X,YX,Y) )是离散型二维随机变量，其联合分布是离散型二维随机变量，其联合

63、分布律为律为P P( (X=xX=xi i,Y=y,Y=yi i) )=p=pij ij，i,j=1,2,i,j=1,2,如果如果 则则称称为为( (X,YX,Y) )关于关于X X在在Y=yY=yj j的条件下的条件分布律的条件下的条件分布律. .1.6 条件数学期望条件数学期望如果如果 则称则称为为( (X,YX,Y) )关于关于Y Y在在X=xX=xi i的条件下的的条件下的条件分布律条件分布律条件分布律条件分布律. . 称称为为( (X,YX,Y) )关于关于X X在在Y=yY=yj j的条件下的的条件下的条件分布函数条件分布函数条件分布函数条件分布函数. .称称为为( (X,YX,Y

64、) )关于关于Y Y在在X=xX=xi i的条件下的的条件下的条件分布函数条件分布函数条件分布函数条件分布函数. .1.6 条件数学期望条件数学期望 对于连续型二维随机变量，由于对于任意的对于连续型二维随机变量，由于对于任意的x,y,Px,y,P( (X=xX=x) )= =0 0, ,P P( (Y=yY=y) )= =0 0, ,因此就不能直接用条件概率公式引入条件分布因此就不能直接用条件概率公式引入条件分布函数了函数了. .下面我们用极限的方法来处理下面我们用极限的方法来处理. .给定给定y y，设对于任意固定的正数设对于任意固定的正数，P P( (y-y- Yy+Yy+ ) ) 且若对

65、于任意的且若对于任意的x x，有有上式给出了在条件上式给出了在条件y-y- Yy+Yy+ 下下X X的条件分布函数的条件分布函数. .1.6 条件数学期望条件数学期望定义定义定义定义1.6.2 1.6.2 给定给定y y，设对于任意固定的正数，设对于任意固定的正数，P P( (y-y- Yy+0)0，且若对于任意，且若对于任意 实数实数x x , ,极限极限存在，则称此极限为存在，则称此极限为( (X,YX,Y) )关于关于X X在条件在条件Y=yY=y下的条件分下的条件分布函数，记为布函数，记为P P( (X Xx|Y=yx|Y=y) )或是或是F FX|YX|Y( (x|yx|y) )1.

66、6 条件数学期望条件数学期望设设( (X,YX,Y) )的联合分布函数为的联合分布函数为F F( (x,yx,y) )，联合概率密度函数为，联合概率密度函数为 f f( (x,yx,y) )，若在点，若在点( (x,yx,y) )处处 f f( (x,yx,y) )连续，边缘概率密度函数连续，边缘概率密度函数f fY Y( (y y) )连续，且连续，且f fY Y( (y y) ) 0 0，则有，则有1.6 条件数学期望条件数学期望 即即所以所以( (X,YX,Y) )关于关于X X在条件在条件Y=yY=y下的条件概率密度函数为下的条件概率密度函数为类似地，类似地，条件分布的概念完全可推广到

67、条件分布的概念完全可推广到n n维随机变量的情形维随机变量的情形1.6 条件数学期望条件数学期望定义定义定义定义1.6.3 1.6.3 设设( (X,YX,Y) )是二维随机变量，是二维随机变量， F FX|YX|Y( (x|yx|y) ) , , F FY|XY|X( (y|xy|x) )分别是分别是X X和和Y Y的条件分布函数，则称的条件分布函数，则称为为X X在条件在条件Y=yY=y 下的条件数学期望下的条件数学期望. .称称为为Y Y在条件在条件X=xX=x 下的条件数学期望下的条件数学期望. .由于由于E E( (X|yX|y) )是随机变量是随机变量Y Y 可能取值可能取值y y

68、的函数，因此的函数，因此E E( (X|YX|Y) )是是随机变量随机变量Y Y的函数，称为的函数，称为X X在条件在条件Y Y下的条件数学期望；下的条件数学期望；类似地，称随机变量类似地，称随机变量类似地，称随机变量类似地，称随机变量X X的函数的函数的函数的函数E E( (Y|XY|X) ) 为为为为Y Y在条在条在条在条X X下的条件数学期望下的条件数学期望下的条件数学期望下的条件数学期望. .1.6 条件数学期望条件数学期望若若X,YX,Y是离散型随机变量，其可能取值分别是是离散型随机变量，其可能取值分别是x x1 1,x ,x2 2, , 和和 y y1 1,y ,y2 2,，则，则

69、若若X,YX,Y是连续型随机变量，则是连续型随机变量，则1.6 条件数学期望条件数学期望定义定义定义定义1.6.4 1.6.4 设设X=X=( (X X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )是是n n维维随机随机变变量，量， 为为X Xi i的条件分布函的条件分布函数数, ,则则称称为为X Xi i在条件在条件X X1 1=x=x1 1,X,Xi-1i-1=x=xi-1i-1,X,Xi+1i+1=x=xi+1i+1,X,Xn n=x=xn n下的下的条件数条件数条件数条件数学期望学期望学期望学期望. .称称E E( (X Xi i|X|X1 1,X,Xi-1i-1,X,Xi+1i+1,X,X

70、n n) )为为X Xi i在条件在条件X X1 1,X,Xi-1i-1,X,Xi+1i+1,X,Xn n下的下的条件数学期望条件数学期望条件数学期望条件数学期望。1.6 条件数学期望条件数学期望定理定理定理定理1.6.1 1.6.1 E E( (E E( (X Xi i|X|X1 1,X,Xi-1i-1,X,Xi+1i+1,X,Xn n)=)=EXEXi i定理定理定理定理1.6.2 1.6.2 设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n相互独立，则相互独立，则 E E( (X Xi i|X|X1 1,X,Xi-1i-1,X,Xi+1i+1,X,Xn n)=)=EXEXi i定理定理定理定

71、理1.6.3 1.6.3 设设X=X=( (X X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )是是n n维维随机随机变变量，量，g(g(x x1 1,x,xi-1i-1,x ,xi+1i+1,x,xn n) )是是连续连续函数，函数，则则 E E( (X Xi ig(Xg(X1 1,X,Xi-1i-1,X,Xi+1i+1,X,Xn n) )| X| X1 1,X,Xi-1i-1,X,Xi+1i+1,X,Xn n) ) = = g(Xg(X1 1,X,Xi-1i-1,X,Xi+1i+1,X,Xn n) ) E E( (X Xi i|X|X1 1,X,Xi-1i-1,X,Xi+1i+1,X,Xn n)

72、 )1.6 条件数学期望条件数学期望定理定理定理定理1.6.4 1.6.4 设设X=X=( (X X1 1,X,X2 2,X,Xn n) )是是n n维维随机随机变变量，量，kn-1kn-1则则 E E( (E E( (X Xn n|X|X1 1,，X Xn-1n-1) )|X|X1 1,X,Xk k) )=E=E( (X Xn n|X|X1 1,X,Xk k) )例例例例1.6.1 1.6.1 一一矿矿工被困在工被困在矿矿井中，要到达安全地井中，要到达安全地带带，有三个，有三个通道可供通道可供选择选择. .他从第一个通道出去要走他从第一个通道出去要走3 3个小个小时时可到达可到达安全地安全地

73、带带，从第二个通道出去要走，从第二个通道出去要走5 5个小个小时时又返回原又返回原处处，从第三个通道出去要走从第三个通道出去要走7 7小小时时也返回原也返回原处处。设设在任一在任一时时刻刻都等可能地都等可能地选选中其中一个通道，中其中一个通道，试问试问他到达安全地他到达安全地带带平平均要花多均要花多长时间长时间。1.6 条件数学期望条件数学期望解解解解 设设X X表示矿工到达安全地带所需时间，表示矿工到达安全地带所需时间，Y Y表示他选定的表示他选定的通道，则通道，则EX=EEX=E( (E E( (X|YX|Y) ) =E =E( (X|Y=1X|Y=1) )P P( (Y=1Y=1) )+

74、E+E( (X|Y=2X|Y=2) )P P( (Y=2Y=2) )+E+E( (X|Y=3X|Y=3) )P P( (Y=3Y=3) ) = =所以所以EX=15.EX=15.1.6 条件数学期望条件数学期望例例例例1.6.2 1.6.2 设某日进入某商店的顾客人数是随机变量设某日进入某商店的顾客人数是随机变量N N，X Xi i表示第表示第i i个顾客所花的钱数，个顾客所花的钱数，X X1 1,X,X2 2,是相互独立同分布的是相互独立同分布的随机变量，且与随机变量，且与N N相互独立，是求该日商店一天营业额相互独立，是求该日商店一天营业额的均值的均值. .1.6 条件数学期望条件数学期望解解解解