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1、28.2.2应用用举例例（一）（一）在直角三角形中在直角三角形中,除直角外除直角外,由已知由已知两两元素元素 求其余未知元素的过程叫解直角三角形求其余未知元素的过程叫解直角三角形.1.解直角三角形解直角三角形(1)三边之间的关系三边之间的关系:a2b2c2（勾股定理）；（勾股定理）；2.解直角三角形的依据解直角三角形的依据(2)两锐角之间的关系两锐角之间的关系: A B 90；(3)边角之间的关系边角之间的关系:tanAabsinAaccosAbc(必有一边必有一边)abc【温故知新温故知新】例例3： 2012年年6月月18日日,“神舟神舟”5号载人航天飞船与号载人航天飞船与“天天宫宫”目标飞
2、行器成功实现交会对接。目标飞行器成功实现交会对接。“神舟神舟”九号与九号与“天宫天宫”一号的组合体在离地球表面一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面上道上运行，如图，当组合体运行到地球表面上P点的点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为点的距离是多少（地球半径约为6 400km，取取3.142，结果取整数），结果取整数） 分析分析：从组合体中能从组合体中能直接看到的地球表面最直接看到的地球表面最远点，是视线与地球相远点，是视线与
3、地球相切时的切点切时的切点OQFP例题讲解例题讲解 如图，本例可以抽象为以地球中心为圆心、地球半径为半径的O的有关问题：其中点F是组合体的位置，FQ是O的切线，切点Q是从组合体中观测地球时的最远点弧PQ 的长就是地面表面上P、Q两点间的距离。为计算弧PQ的长需先求出POQ（即a）的度数例题讲解例题讲解 解：在图中，解：在图中，FQ是是 O的切线，的切线，FOQ是直角三角形是直角三角形 弧弧PQ的长为的长为 当组合体在当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离的最远点距离P点约点约2051kmOQFP例题讲解例题讲解 仰角和俯角仰角和俯角铅铅垂垂线线水平
4、线水平线视线视线视线视线仰角仰角俯角俯角在在视视线线与与水水平平线线所所成成的的角角中中，视视线线在在水水平平线线上上方方的的是是仰角仰角，视线在水平线，视线在水平线下方下方的是的是俯角俯角例例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为的仰角为30，看这栋高楼底部的俯，看这栋高楼底部的俯 角为角为60，热气球，热气球与高楼的水平距离为与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精，这栋高楼有多高（结果精确到取整数）确到取整数）277m分析分析：我们知道，在视线与水平线所：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，成的
5、角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，在图中，a=30,=60RtRtABCABC中，中，a a =30=30，ADAD120120，所以利用解直角三角形的知识求出所以利用解直角三角形的知识求出BDBD；类似地可以求出；类似地可以求出CDCD，进而求出，进而求出BCBCABCD仰角仰角水平线水平线俯角俯角例题讲解例题讲解 1. 建筑物建筑物BC上有一旗杆上有一旗杆AB，由距，由距BC40m的的D处观察处观察旗杆顶部旗杆顶部A的仰角的仰角60，观察底部，观察底部B的仰角为的仰角为45，求，求旗杆的高度（精确到旗杆的高度（精确到0.1
6、m）ABCD40m5445ABCD40m5445课内练习课内练习 3045BOA东东西西北北南南【方位角方位角】 指南或指北的方向线与目标方向指南或指北的方向线与目标方向线构成小于线构成小于900的角的角,叫做方位角叫做方位角.如图：点如图：点A在在O的北偏东的北偏东30点点B在点在点O的南偏西的南偏西45（西南方向）（西南方向）【温故知新温故知新】例例5. 如如图，一艘海，一艘海轮位位于灯塔于灯塔P的北偏的北偏东65方方向，距离灯塔向，距离灯塔80海里的海里的A处，它沿正南方向航行，它沿正南方向航行一段一段时间后，到达位于后，到达位于灯塔灯塔P的南偏的南偏东34方向方向上的上的B处，这时，海
7、，海轮所所在的在的B处距离灯塔距离灯塔P有多有多远？ （精确到（精确到0.01海里）海里）6534PBCA解：如图解：如图 ，在，在RtAPC中，中，PCPAcos（9065）80cos25800.91=72.8在在RtBPC中，中，B34当海轮到达位于灯塔当海轮到达位于灯塔P的南偏东的南偏东34方向时，它方向时，它距离灯塔距离灯塔P大约大约130.23海里海里6534PBCA练习练习 ：海中有一个小岛海中有一个小岛A，它的周围，它的周围8海里范围内海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏东在北偏东60方向上，航行方向上，
8、航行12海里到达海里到达D点，这时测得点，这时测得小岛小岛A在北偏东在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？向东航行，有没有触礁的危险？BA ADF601230BADF解：由点解：由点A作作BD的垂线的垂线交交BD的延长线于点的延长线于点F，垂足为垂足为F，AFD=90由题意图示可知由题意图示可知DAF=30设设DF= x , AD=2x在在RtABF中，中，解得解得x=610.4 8没有触礁危险没有触礁危险3060【坡度坡度与与坡角坡角】坡度一般用坡度一般用i来表示，即来表示，即 ,一般写成一般写成i=1:m,如如i=1:5 (1)
9、坡面的铅直高度坡面的铅直高度h 和水平宽度和水平宽度 的比叫做的比叫做坡度坡度显然，坡度越大，坡角 就越大，坡面就越陡.h水库水库2.坡度与坡角坡度与坡角 的关系的关系(2)坡面与水平面的夹角坡面与水平面的夹角 叫叫坡角坡角例例6 一段河坝的横断面为等腰梯形一段河坝的横断面为等腰梯形ABCD,试根试根据下图中的数据求出坡角据下图中的数据求出坡角和坝底宽和坝底宽AD.(单位是单位是米米,结果保留根号结果保留根号)ABCDF4E6练习练习. 如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中（图中i=1:3是指坡面的铅直高度是指坡面的铅直高度DE与水平宽度与水平宽度CE的比），根据
10、图中数据求：的比），根据图中数据求：（1）坡角）坡角a和和;（2）坝底底宽BC和斜坡和斜坡CD的的长（精确到（精确到0.1m）BADFEC6mi=1:3i=1:1.53m利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案解直角三角形应用解直角三角形应用 中考题列举中考题列举（2014四川巴中）如四川巴中）如图，一水，一水库大大坝的横断面的横断面为梯形梯形ABCD，坝顶BC宽6米，米，坝高高20米，斜米，斜坡坡AB
11、的坡度的坡度i=1：2.5，斜坡，斜坡CD的坡角的坡角为30，求求坝底底AD的的长度度 （2014四川凉山州）如四川凉山州）如图，河堤横断面迎水坡，河堤横断面迎水坡AB的坡比是的坡比是 ，堤高，堤高BC=10m，则坡面，则坡面AB的的长度是（长度是（ ）（2014上海）已知传送带与水平面所成斜坡的上海）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面，如果它把物体送到离地面10米高米高的地方，那么物体所经过的路程为的地方，那么物体所经过的路程为米米4.（2014云南省）如图，小明在云南省）如图，小明在M处用高处用高1米（米（DM=1米）的测角仪测得旗杆米）的测角仪测得
12、旗杆AB的的顶端顶端B的仰角为的仰角为30，再向旗杆方向前进，再向旗杆方向前进10米到米到F处，又测得旗杆顶端处，又测得旗杆顶端B的仰角为的仰角为60，请求出旗杆，请求出旗杆AB的高度的高度 .3.（ 2014广广东）如）如图，某数学，某数学兴趣小趣小组想想测量一棵量一棵树CD的高度，他的高度，他们先在点先在点A处测得得树顶C的仰角的仰角为30，然后沿，然后沿AD方向方向前行前行10m，到达，到达B点，在点，在B处测得得树顶C的的仰角高度仰角高度为60（A、B、D三点在同一直三点在同一直线上）上）请你根据他你根据他们测量数据量数据计算算这棵棵树CD的高度的高度5.（2014自贡）自贡）如如图，
13、某学校新，某学校新建了一座吴玉章建了一座吴玉章雕塑，小林站在雕塑，小林站在距离雕塑距离雕塑2.7米的米的A处自自B点看雕塑点看雕塑头顶D的仰角的仰角为45，看雕塑底部，看雕塑底部C的仰角的仰角为30，求塑像求塑像CD的高度的高度. 6.(2014东营东营)热气球的探测器显示，从热热气球的探测器显示，从热气球底部气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为处看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋楼底部的俯角为看这栋楼底部的俯角为60，热气球，热气球A处与高处与高楼的水平距离为楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高，这栋高楼有多高 （2014昆明）如图，在数学实践课中，昆明）如图，在数学实践课中，小明为了测量学
14、校旗杆小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地的高度，在地面面A处放置高度为处放置高度为1.5米的测角仪米的测角仪AB，测，测得旗杆顶端得旗杆顶端D的仰角为的仰角为32，AC为为22米，米，求旗杆求旗杆CD的高度的高度. （2014湖南张家界）如湖南张家界）如图：我：我渔政政310船在南海船在南海海面上沿正海面上沿正东方向匀速航行，在方向匀速航行，在A点点观测到我到我渔船船C在北偏在北偏东60方向的我国某方向的我国某传统渔场捕捕鱼作作业若若渔政政310船航向不船航向不变，航行半小，航行半小时后到达后到达B点，点，观测到我到我渔船船C在在东北方向上北方向上问：渔政政310船再船再按原航向航行多按原航
15、向航行多长时间，离，离渔船船C的的距离最近？（距离最近？（渔船船C捕捕鱼时移移动距离距离忽略不忽略不计，结果不果不取近似取近似值）(20142014年河南年河南) ) 在中俄在中俄“海上海上联合合2014”反潜演反潜演习中，我中，我军舰A测得潜艇得潜艇C的俯角的俯角为300位于位于军舰A正上方正上方1000米的反潜直升机米的反潜直升机B侧得潜艇得潜艇C的俯角的俯角为680.试根据以上数据求出潜艇根据以上数据求出潜艇C离开海离开海平面的下潜深度平面的下潜深度. （2014四川内江）四川内江）“马航事件航事件”的的发生引生引起了我国政府的高度重起了我国政府的高度重视，迅速派出了，迅速派出了舰船和船
16、和飞机到相关海域机到相关海域进行搜行搜寻如如图，在，在一次空中搜一次空中搜寻中，水平中，水平飞行的行的飞机机观测得得在点在点A俯角俯角为30方向的方向的F点点处有疑似有疑似飞机机残骸的物体（残骸的物体（该物体物体视为静止）静止）为了便了便于于观察，察，飞机机继续向前向前飞行了行了800米到达米到达B点，此点，此时测得点得点F在点在点B俯角俯角为45的方向的方向上，上，请你你计算当算当飞机机飞临F点的正上方点点的正上方点C时（点（点A、B、C在同一直在同一直线上），上），竖直直高度高度CF约为多少米？多少米？ AB=800米米（2014山东临沂）如图，在某监测点山东临沂）如图，在某监测点B处望见处望见一艘正在作业的渔船在南偏西一艘正在作业的渔船在南偏西15方向的方向的A处，处，若渔船沿北偏西若渔船沿北偏西75方向以方向以40海里海里/小时的速度小时的速度航行，航行半小时后到达航行，航行半小时后到达C处，在处，在C处观测到处观测到B在在C的北偏东的北偏东60方向上，则方向上，则B、C之间的距离为之间的距离为（）（）
