《8.3极坐标系下的二重积分ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《8.3极坐标系下的二重积分ppt课件（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.38.3极坐标系下的二重积分极坐标系下的二重积分P(r,P(r, ) r=r() r=r( ) )oorr)rP Pr)r=r(r=r( ) )yx如如: r=a r=2cosr=a r=2cos r=2sin r=2sin 1 有些有些二重积分用直角坐标计算比较繁琐，甚至无法计算，如例二重积分用直角坐标计算比较繁琐，甚至无法计算，如例6 6。x x2 2+y+y2 2=1=1x x2 2+y+y2 2=4=4x xy yD D1 1D2 注记注记 ：对于一个二重积分，当：对于一个二重积分，当： 积分区域积分区域D D的边界曲线用极坐标方程表示比较的边界曲线用极坐标方程表示比较 容易；容易
2、； 被积函数用极坐标变量被积函数用极坐标变量r r、 来来表达比较简单表达比较简单 这时，用极坐标计算会带来方便。这时，用极坐标计算会带来方便。因为直角坐标与极坐标之间有关系：因为直角坐标与极坐标之间有关系： 所以极坐标系下二重积分的表达式为所以极坐标系下二重积分的表达式为 34在极坐标系下计算二重积分，同样是化为二次在极坐标系下计算二重积分，同样是化为二次 积分来计算，同样有选择积分次序和确定积分积分来计算，同样有选择积分次序和确定积分 限的问题。但积分次序多以先对限的问题。但积分次序多以先对r后对后对 的次序，的次序， 而确定积分限可分为三种情形：而确定积分限可分为三种情形：5 于是得到在
3、极坐标下于是得到在极坐标下二重积分化为二次积分的公式：二重积分化为二次积分的公式：1 1 若积分区域若积分区域D：或写作或写作62 2若极点在若极点在D的内部的内部则则D可以用不等式表示可以用不等式表示:这时有这时有若若D由两条封闭曲线围成（如图），则由两条封闭曲线围成（如图），则73 3若极点若极点O O在在D D的边界上，且的边界上，且D D由射线由射线 = = 、 = = 和连续曲线和连续曲线r=r(r=r( ) )围成。即围成。即这时这时例如例如orr=r( ( ) )ro r=r( ( ) ) 8例：例：直直角角坐坐标标极极坐坐标标解解9利用利用 把积分区域的边界曲把积分区域的边界曲
4、线化为极坐标形式：线化为极坐标形式：解解10于是于是11例例3 3 计算计算 ，其中，其中D是以是以解解 D可以表示成可以表示成原点为圆心，半径为原点为圆心，半径为a的圆域的圆域.12用极坐标用极坐标解解13例例5 计算计算 其中其中D 为为 解解所以所以D可表示为可表示为圆的方程：圆的方程：和和x轴所围成的区域，轴所围成的区域，并说明该积分的几何意义并说明该积分的几何意义. 表示成极坐标形式：表示成极坐标形式：14于是，利用极坐标得于是，利用极坐标得：15几何意义几何意义圆柱面圆柱面是球面是球面16 当积分区域为当积分区域为(部分部分)圆、扇形或扇面等圆、扇形或扇面等常用极坐标计算常用极坐标计算.形状时，函数含有形状时，函数含有直角坐标与极坐标的关系：直角坐标与极坐标的关系：用极坐标计算二重积分时，常常需要将用极坐标计算二重积分时，常常需要将用直角坐标表示的区域化为极坐标的表示用直角坐标表示的区域化为极坐标的表示.注意注意小结小结17
