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1、 第四章第四章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何表示法表示法:向量的模向量的模 : 向量的大小向量的大小,一、向量的概念一、向量的概念1.向量向量:(又称又称矢量矢量). 既有既有大小大小, 又有又有方向方向的量称为的量称为向量向量2.向径向径 (矢径矢径):3.自由向量自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.4.单位向量单位向量:模为 1 的向量,5.零向量零向量: 模为 0 的向量,有向线段有向线段 M1 M2 ,或或 a 第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算6.若向量若向量 a 与与 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 则称则称 a 与与 b 相等相等,
2、记作记作 ab ;规定规定: 零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行 ;8.若向量若向量 a 与与 b 方向相同或相反方向相同或相反,则称则称 a 与与 b 平行平行, ab ;记作记作9.因平行向量可平移到同一直线上因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量故两向量平行平行又称又称 两向量两向量共线共线 .7.与与 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量称为但方向相反的向量称为 a 的的负向量负向量,记作记作a ;二、向量的线性运算二、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:2. 2. 向量的减法向量的减法向量的减法向量的减法3. 3. 向量与数的乘法向量与数的
3、乘法向量与数的乘法向量与数的乘法 是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作运算律 :结合律分配律因此结论：结论：结论：结论： 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一实数)ab三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o , 坐标面 卦限(八个)zox面1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念向径在直角坐标系下在直角坐标系下坐标轴上的点 P, Q , R ;坐标面上的点 A , B , C点点 M特殊点的坐标 :有序数组(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,
4、0,0) ;坐标轴 : 坐标面 :2. 2. 向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M 则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,任意向量 r 可用向径 OM 表示.设则3.平行向量对应坐标成比例:1.2.4.四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算已知向量5.6.已知点（终点坐标减去起点坐标）五、两向量的数量积五、两向量的数量积1. 定义定义设向量的夹角为 ,称 记作数量积 (点积) .2. 性质性质为两个非零向量, 则有 3. 3. 运算律运算律运算律运算律(1) 交换律(2) 结合律(
5、3) 分配律设则当为非零向量时, 由于（3）两向量的夹角公式）两向量的夹角公式 , 得4. 数量积的坐标表示数量积的坐标表示（1）（2） 例例4-1. 已知向量已知向量 ，则，则 与与 的夹角为的夹角为思考思考: 右图三角形面积S六、两向量的向量积六、两向量的向量积定义向量方向 :,即垂直向量所在的平面.模 : (叉积)记作向量积 ,称1. 定义定义2. 2. 性质性质性质性质为非零向量, 则3. 运算律运算律(2) 分配律(3) 结合律4. 4. 向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法向量积的行
6、列式计算法例例例例4-2.4-2. 已知三点已知三点已知三点已知三点角形角形 ABC 的面积的面积. 解解: 如图所示,求三求三例例4-4. 若若 ，则，则 例例4-3. 设向量设向量 ，则，则 6.两向量平行两向量平行:7.两向量垂直两向量垂直:8.两向量的夹角公式两向量的夹角公式:例例4-5. 已知向量的夹角且解：解：(2008-4) 设向量设向量 ，则，则 等于等于( )A.（2，5，4） B.（2，5，4）C.（2，5，4） D.（2，5，4）(2007-10) 已知已知 均为单位向量，且均为单位向量，且 ，则以向，则以向量量 为邻边的平行四边形的面积为为邻边的平行四边形的面积为_ (
7、2006-10)设设 ，则，则 (2005-10)设向量设向量 互相垂直，互相垂直， 则则 .一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称式为平面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有 故第二节第二节 平面方程平面方程例例例例4-6.4-6.4-6.4-6.求过三点求过三点求过三点求过三点即解解: 取该平面 的法向量为的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程特别特别特别特别, , , ,当平面与三坐标轴的交点分别为当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程. 时,平面方程为 二、平面的一
8、般方程二、平面的一般方程平面的点法式方程此方程称为平面的一般方程平面的一般方程. .的平面, 方程的图形是法向量为 特殊情形特殊情形特殊情形特殊情形 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 轴; Ax+Cz+D=0表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示平行于 y 轴的平面;平行于 z 轴的平面;平行于平行于 xoy 面面 的平面;平行于平行于 yoz 面面 的平面；平行于平行
9、于 zox 面面 的平面.例例例例4-7.4-7. 求通过求通过 x x 轴和点轴和点( 4, 3, 1) ( 4, 3, 1) 的平面的平面方程方程. .解解: 因平面通过 x 轴 ,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.特别有下列结论：特别有下列结论：特别有下列结论：特别有下列结论：因此有例例例例4-8.4-8. 一平面通过两点一平面通过两点一平面通过两点一平面通过两点垂直于平面垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 .
10、解解: 设所求平面的法向量为即的法向量约去C , 得即和和则所求平面故方程为 且且例例4-9.4-9.求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程.解解: 已知二平面的法向量为已知二平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得1.平面基本方程平面基本方程一般式点法式截距式内容小结内容小结2.平平面面与平面与平面之间的关系之间的关系平面平面（1）垂直）垂直:（2）平行）平行:（3）夹角公式）夹角公式:因此其一般式方程1 1. 一般式方程一般式方程 直线可视为两平面交线，(不唯一)第三节第三节 空间直线方程空间直线方程一、空间直线方程一、空间直线方程2. 2. 对称式方程对称式方程对称式方程
11、对称式方程故有设直线上的动点为 则此式称为直线的对称式方程对称式方程(也称为点向式方程点向式方程)已知直线上一点和它的方向向量方向向量 3. 3. 参数式方程参数式方程参数式方程参数式方程设得参数式方程 :例例例例4-10.4-10.4-10.4-10.用对称式及参数式表示直线用对称式及参数式表示直线解解: :先在直线上找一点.再求直线的方向向量令 x = 1, 解方程组,得已知直线的相交两平面的法向量法向量为是直线上一点 .故所给直线的对称式方程为参数式方程为解题思路解题思路: 先找直线上一点一点;再找直线的方向向量方向向量.二、线面间的位置关系二、线面间的位置关系1. 两直线的夹角两直线的
12、夹角 则两直线夹角 满足特别有特别有:例例例例4-114-11. . . . 求以下两直线的夹角求以下两直线的夹角解解: 直线直线二直线夹角 的余弦为从而的方向向量为的方向向量为当直线与平面垂直时,规定其夹角线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;2.2. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时,设直线 L 的方向向量为 平面 的法向量为则直线与平面夹角 满足直线和它在平面上的投影直特别有特别有: :解解: : 取已知平面的法向量则直线的对称式方程为直的直线方程. 为所求直线的方向向量. 垂 例例例例4-12.4-12. 求过点求过点(1,(1,2 ,
13、 4)2 , 4) 且与平面且与平面1. 1. 空间直线方程空间直线方程空间直线方程空间直线方程一般式对称式参数式内容小结内容小结直线2. 2. 线与线的关系线与线的关系线与线的关系线与线的关系直线（1）垂直）垂直:（2）平行）平行:（3）夹角公式）夹角公式:平面 :L L / 3. 3. 面与线间的关系面与线间的关系面与线间的关系面与线间的关系直线 L :（1）垂直）垂直:（2）平行）平行:（3）夹角公式）夹角公式:(2007-19) 求过点求过点 且垂直于直线且垂直于直线 的平面方程的平面方程.(2008-17) 设平面设平面 经过点经过点 ，求经过点，求经过点 且与平面且与平面 垂直的直线方程垂直的直线方程.(2005-18)求过点求过点 且通过直线且通过直线 的平面方程的平面方程.(2006-19)求过点求过点 且与两平面且与两平面 都平行的直线方程都平行的直线方程.
