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1、在交换代数中，一个环R上的投射模投射模是自由模的推广，它有多种等价的定义；就几何的观点，投射模之于自由模一如向量丛之于平凡向量丛。在范畴论的语言中，投射模可以推广为一个阿贝尔范畴中的投射对象。投射模首见于昂利嘉当与塞缪尔艾伦伯格的重要著作HomologicalAlgebra，由此定义的投射分解是同调代数的根本概念之一。定义定义此节给出投射模的两种等价定义。自由模的直和项自由模的直和项投射模最直接的刻划是一个自由模的直和项；换言之，一个模P是投射模，当且仅当存在另一个模Q使得是自由模。此时P是F的一个投影态射的项。提升性质提升性质较容易操作也较符合范畴论思想的定义是利用提升性质提升性质。模P是投
2、射模，当且仅当对任何模满射及模态射，存在模态射使得请留意：在此不要求唯一性。用交换图表现那么更明了：此定义的优势在于它可以推广到阿贝尔范畴，从而引至投射对象的概念，在此并不需要考虑自由对象。反转箭头那么得到对偶概念内射模。另一种在探讨 Ext 函子时特别有用的表述如下：模P是投射模，当且仅当任何正合序列都诱导出正合序列换言之，Hom(P, ) 是正合函子；实那么对任何模M，函子 Hom(M, ) 总是左正和的，而投射性相当于右正合性。由此立刻得到投射模的同调刻划：P是投射模当且仅当向量丛与局部自由模向量丛与局部自由模投射模理论的想法之一是向量丛的类比，对于紧豪斯多夫空间上的实值连续函数环，或紧
3、光滑流形上的光滑函数，此类比有严格的表述，详阅条目Swan 定理。向量丛是局部自由的； 只要环上有适宜的局部化概念， 例如对环的一个积性子集局部化，那么可以定义局部自由模局部自由模。对于诺特环上的有限生成模，其投射性等价于局部自由性。对于非诺特环，那么存有局部自由但非投射模的例子。性质性质投射模的直和与直和项仍是投射模。假设，那么Re是个投射左R-模。投射模的子模不一定是投射模。使得所有投射左模的子模都是投射左模的环称作左继承的。一个环上的全体有限生成投射模构成一个正合范畴亦见代数 K-理论。域或除环上的向量空间是自由模，因而是投射模。使所有模为投射模的环称为半单环。将阿贝尔群视为-模；那么投
4、射模对应于自由阿贝尔群。一般而言，此性质对主理想域也成立。投射模皆为平坦模，反之不然，例如是平坦-模，但是非投射。关于“局部自由投射的想法，Kaplansky 证出如下定理：局部环上的投射模皆为自由模。有限生成投射模的情形容易证明，一般情形那么较困难。塞尔问题塞尔问题Quillen-Suslin 定理是另一个深入的结果：它断言假设R是域或主理想域，而是其上的多项式环，那么任何投射R-模都是自由模。此问题在域的情形由塞尔首先提出。Bass 解决了非有限生成模的情形，Quillen 与Suslin 那么同时而独立地处理有限生成模的情形。内射模内射模英语：injective module，在模论中，
5、是具有与有理数视为-模相似性质的模。内射模是投射模的对偶概念，由 Reinhold Baer 于 1940 年引进。定义定义一个环R上的左模Q假设满足以下等价条件，那么称之为内射模内射模：假设Q是另一个左R-模M的子模，那么存在另一个子模。使得假设使得是左R-模的单射，。图示如下：为同态，那么存在同态任何短正合序列函子 HomR( ,Q) 为正合函子。都分裂。右模的定义类此。抽象地说，内射模乃是模范畴中的内射对象。例子例子零模是内射模的平凡例子。设R为域，那么任何R-模即R-向量空间都是内射模，此点可由基的性质证明。设G为紧群例如有限群，k为特征为零的域。根据紧群的表示理论，可知任何表示的子表
6、示都是其直和项；假设翻译为模的语言，即是：群代数kG上的所有模都是内射模。设A为域k上含单位元的有限维结合代数。那么逆变函子 Homk( ,k) 给出有限生成左A-模与有限生成右k-模的对偶性。因此，有限生成的左A-模在同构的意义下皆可写作 Homk(P,k)，其中P是某个有限生成的投射右A-模。在一般的环上也存在充足的在内射分解的意义下投射模，以下将述及相关理论。初步的例子包括：射对加法形成内射-模。群n 1 是内-模，而非内射-模。性质性质内射模的直积包括无穷直积 仍是内射模， 内射模的有限直和仍为内射模。 一般而言，内射模的子模、商模或无穷直和并不一定是内射模。Baer 在其论文中证明了
7、一个有用的结果，通常称作 Baer 判准：一个左R-模Q是内射模假设且唯假设定义在任一理想I上的态射都能延拓到整个R上。利用此判准，可证明主理想域R上的模Q是内射模假设且唯假设Q可除，即：对任何向量空间都是内射模。，存在使得rq =q，由此可证是内射-模，最重要的内射模当属： 它是-模范畴中的内射上生成元内射上生成元， 换言之， 这是内射模，中，其中a是够大的基数。由此可知任何-而且任何-模皆可嵌入某个模皆可嵌入某个内射-模。 此性质对任意环R上的左模都成立， 要点在于利用的特性构造左R-模范畴中的内射上生成元。我们也可以定义模的内射包根本上是包含一个模的最小内射模。任意模M都有内射分解，这是
8、形式如下的正合序列：其中每个Ij都是内射的。内射分解可以用以定义模的内射维度根本上是内射分解的最短长度，可能是无限的及导函子。不可分解内射模的自同态环是局部环。3 平坦模在抽象代数中，一个环R上的平坦模平坦模是一个R-模M，使得函子的正合性；假设此函子还是忠实函子，那么称之为忠实平坦模忠实平坦模域上的向量空间都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部诺特环上的有限生成模，平坦性、射影性与自由性三者等价。自塞尔的论文?代数几何与微分几何?以降， 平坦性便在同调代数与代数几何中扮演重要角色。其几何意义甚深，详见条目平坦态射。保持序列交换环的情形交换环的情形当R为交换环，一个R-模的
9、平坦性等价于正合函子。将环R对一个积性子集S的局部化SR视作R-模，那么它是平坦的。当R是诺特环而M是有限生成R-模时，平坦性在下述意义等价于局部自由模局部自由模：M是平坦R-模假设且唯假设对任何素理想，局部化件中的仅须考虑极大理想即可。是自由-模。事实上，对条 1是个从R-模到R-模之一般的环一般的环当R非交换时的定义须作如下修改：假设M是左R-模，那么称之左平坦模，假设且唯假设对M的张量积将右R-模的正合序列映至阿贝尔群的正合序列。环上的张量积总是右正合函子，所以左R-模M是平坦模的充要条件是：对任何右R-模的单射，取张量积后的同态仍为单射。极限极限一般来说，平坦模的归纳极限仍是平坦模；此
10、陈述可由与 HomR(M, ) 的伴随性质形式地推出。平坦模的子模与商模不一定是平坦模，然而我们有下述定理：一个平坦模的同态像是平坦模，假设且唯假设其核为纯子模。Lazard 在 1969 年证明了：模M平坦的充要条件是它可表成有限生成自由模的归纳极限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。一个阿贝尔群是平坦-模的充要条件是其中没有挠元。与与 TorTor 函子的关系函子的关系平坦性也可以用 Tor 函子的消没性表示。 Tor 函子是张量积的左导函子。 一个左R-模M的平坦性等价于价于本性质：考虑短正合序列假设A,C平坦，那么B亦然。假设B,C平坦，那么A亦然。假设A,B平坦，C不一定平坦；假设
11、假设A是B的纯子模而B平坦，那么可推出A与C皆平坦。； 类此， 一个右R-模N的平坦性等。藉 Tor 函子的长正合序列可以导出以下关于根局部判准局部判准设R为交换环，为一理想，那么我们有下述平坦性的局部判准局部判准。定理定理Bourbaki. 以下诸条件等价：1.M是平坦R-模。2.3.是平坦R /I-模，且是平坦R /I-模，且典范同态。是平坦R /Is-模。为同构。4. 对所有R-模N，有5. 对所有R-模N，有6. 对所有7.，是平坦R /I-模，且典范态射为同构。此判准在代数几何中的用途尤大。平坦分解平坦分解一个模M的平坦分解平坦分解是如下形式的正合序列：使得其中每个Fi都是平坦模。任何射影分解都是平坦分解。忠实平坦模忠实平坦模一个R-模M被称作忠实平坦忠实平坦的，假设且唯假设也就是说：1.M是个平坦R-模。2. 典范映射当R为交换环时，有以下几种等价的刻划：是个忠实的正合函子。这是单射。M是忠实平坦的。M是平坦的，且M是平坦的，且对所有极大理想一个序列正合，假设且唯假设。都有正合。
