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1、第五节函数展开成幂级数 第十一章第十一章 两类问题：两类问题：求求 和和展展 开开第五节函数展开成幂级数 第十一章第十一章 一、函数的幂级数展开式一、函数的幂级数展开式 泰勒泰勒 ( Taylor ) 级数级数 二、函数展开成幂级数的充分必要条件二、函数展开成幂级数的充分必要条件 三、函数展开成幂级数的方法三、函数展开成幂级数的方法 一、函数的幂级数展开式一、函数的幂级数展开式 泰勒泰勒 ( Taylor ) 展开式展开式 定义定义问题问题:(1) 如果能展开如果能展开, an 是什么是什么?(2) 展开式是否唯一展开式是否唯一?(3) 在什么条件下才能展开成幂级数在什么条件下才能展开成幂级数
2、?1. 函数展开成幂级数函数展开成幂级数2. an 的确定、的确定、展开式的唯一性展开式的唯一性若在邻域若在邻域U(x0 ,R) 内任意阶可导的函数内任意阶可导的函数f (x) 能展成幂级数能展成幂级数:定理定理11.13 则其系数则其系数且展开式是且展开式是唯一唯一的的.证证则则系数是唯一的系数是唯一的,麦克劳林级数麦克劳林级数 (x0 = 0):定义定义11.3泰勒系数泰勒系数3. 泰勒级数泰勒级数(2) 收敛域收敛域 ？(3) 在收敛域在收敛域 I 内，级数是否内，级数是否一定一定收敛到收敛到 f (x) ?4. 泰勒级数基本问题泰勒级数基本问题即即答：答：不一定不一定. .反例：反例：
3、由此可见，由此可见，在在 x = 0点任意可导点任意可导,处处处处不不收敛于收敛于设设 f (x) 在区间在区间 I上具有各阶导数上具有各阶导数, 二、函数展开成幂级数的充分必要条件二、函数展开成幂级数的充分必要条件则则 f (x) 在在 I 上能展开成泰勒级数，即上能展开成泰勒级数，即定理定理11.14 证证必要性必要性泰勒多项式泰勒多项式泰勒级数泰勒级数充分性充分性三、函数展开成幂级数的方法三、函数展开成幂级数的方法 1. 直接展开法直接展开法1 求求 f (n)(x) , f (n)(0) , n = 0, 1, 2, ;2 写出幂级数写出幂级数3 判断判断展开方法展开方法直接展开法直接
4、展开法 用泰勒公式用泰勒公式间接展开法间接展开法 用已有展开式用已有展开式 并求收敛半径并求收敛半径 R ;步骤：步骤：例例1 将将展开成展开成 x 的幂级数的幂级数. 解解 收敛半径收敛半径 即即余项满足余项满足3=?例例2 将将展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解 收敛半径收敛半径 余项满足余项满足3例例3 将将展开成展开成 x 的幂级数的幂级数 (m: 任意常数任意常数) . 解解 2 麦克劳林级数麦克劳林级数3 设和函数为设和函数为 二项展开式二项展开式: 注注 12 m 为正整数时为正整数时, 得得二项式定理二项式定理:时二项展开式分别为时二项展开式分别为32. 间接展开法间接展
5、开法例例4 将将展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解 逐项求导逐项求导:根据展开式的唯一性根据展开式的唯一性, 利用利用常见展开式常见展开式, 通通过过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求逐项求导导, 逐项积分逐项积分等方法等方法, 求展开式求展开式.例例5 将将展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.解解 连续连续, 因因右端幂级数在右端幂级数在 x 1 收敛收敛 ,故展开式对故展开式对 x 1 也成立也成立,收敛域为收敛域为注注 取取x = 1得得,例例6 将将展成展成的幂级数的幂级数. 解解 注注思路：思路：变量代回即可变量代回即可.例例7解解例例8解解事实
6、上，事实上，例例9解解拆拆配配化一化一展展范围范围内容小结内容小结1. 函数的幂级数展开法函数的幂级数展开法(1) 直接展开法直接展开法 用泰勒公式用泰勒公式 ;(2) 间接展开法间接展开法 用幂级数性质及已有展开式用幂级数性质及已有展开式.2. 常用函数的幂级数展开式常用函数的幂级数展开式思考题思考题1. 函数函数处处 “有泰勒级数有泰勒级数” 与与 “能展成泰能展成泰勒级数勒级数” 有何不同有何不同 ?提示提示 后者必需证明后者必需证明前者无此要求前者无此要求.2. 如何求如何求的幂级数的幂级数 ?提示提示解解备用题备用题 例例6-1例例5-1 将将在在x = 0处展为幂级数处展为幂级数.解解故故例例7-1 将将展成展成 x1 的幂级数的幂级数. 解解 例例8-1将函数展开成将函数展开成 x 的幂级数的幂级数:解解x1 时时, 级数条件收敛级数条件收敛,故故问题问题: : f( (x) )的的导数导数 易展易展? ?积分积分例例8-2解解不易积分不易积分,试求导数试求导数,再展开再展开.导函数仍导函数仍不易展不易展,再求导再求导.
