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1、4 4 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型） 随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型（古典概型） 条件概率 独立性一、古典概型一、古典概型1. 假定某个试验有有限个可能的结果假定某个试验有有限个可能的结果2.所有结果在试验中有同等可能的出现机所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即每个基本事件发生的可能性相同会，即每个基本事件发生的可能性相同. “等可能性等可能性”e1, e2, ，en ,二、古典概型中事件的概率计算二、古典概型中事件的概率计算 设试验设试验E是是古典概型古典概型, 其样本空间其样本空间S由由n个个样本点组成样本点组成 , 事件事件A由由k个样本点组成个
2、样本点组成 . 则事则事件件A的概率为：的概率为： A包含的样本点数包含的样本点数 P(A)k/n S中的样本点总数中的样本点总数2 3479108615 例如，一个袋子中装有例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同个大小、形状完全相同的球的球. 将球编号为将球编号为110 .把球搅匀，蒙上眼睛，从把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球中任取一球.S=1,2,10 ,记记 A=摸到摸到2号球号球 P(A)=?记记 B=摸到红球摸到红球 P(B)=?从从3个元素取出个元素取出2个个的排列总数有的排列总数有6种种从从3个元素取出个元素取出2个个的组合总数有的组合总数有3种种排列组合是计算古典概率的重
3、要工具排列组合是计算古典概率的重要工具 . 某城市的电话号码由某城市的电话号码由8个数字组成，每个个数字组成，每个数字可能是从数字可能是从0- -9这十个数字中的任一个，求电这十个数字中的任一个，求电话号码由话号码由8 8个不同数字组成的概率个不同数字组成的概率. .三、古典概型计算举例三、古典概型计算举例例例1 将一枚硬币抛掷三次，求至少有一次出将一枚硬币抛掷三次，求至少有一次出现正面的概率现正面的概率解：解：设设A为为“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”“全为反面全为反面”请问：请问： 将一枚硬币抛掷三次，考察出现正将一枚硬币抛掷三次，考察出现正面的次数，此是否是一个等可能概型？面的次
4、数，此是否是一个等可能概型？例例2 4只白球和只白球和2只红球放在一袋中，随机取球只红球放在一袋中，随机取球两次，每次取一只，分别作两次，每次取一只，分别作(a)放回抽样，放回抽样，(b)不放回抽样，求不放回抽样，求（1）取到两球都是白球的概率）取到两球都是白球的概率（2）两球同色的概率）两球同色的概率（3）取到两球中至少有一白球的概率）取到两球中至少有一白球的概率A：两球都是白色：两球都是白色B：两球都是红色两球都是红色C：两球中至少有一白球两球中至少有一白球例例3 将将n只球随机的放入只球随机的放入N(Nn)个盒子中去，个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率试求每个盒子至多有一只球的概
5、率 有有r 个人，每个人的生日是个人，每个人的生日是365天的任何天的任何一天是等可能的，试求事件一天是等可能的，试求事件“至少有两人同至少有两人同天生日天生日”的概率的概率. 人数人数 至少有两人同至少有两人同 生日的概率生日的概率 20 0.411 21 0.444 22 0.476 23 0.507 24 0.538 30 0.706 40 0.891 50 0.970 60 0.994 所有这些概率都是在假定所有这些概率都是在假定一个人的生日在一个人的生日在 365天的任天的任何一天是等可能的前提下计何一天是等可能的前提下计算出来的算出来的. 实际上实际上,这个假这个假定并不完全成立，
6、有关的实定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大际概率比表中给出的还要大 . 当人数超过当人数超过23时，打赌说时，打赌说至少有两人同生日是有利的至少有两人同生日是有利的.例例4 有有N件产品，其中有件产品，其中有D件次品，今从中任件次品，今从中任取取n件，恰有件，恰有k件次品的概率是多少？（不放回件次品的概率是多少？（不放回抽样）抽样）超几何分布超几何分布例例5 袋中有袋中有a只白球，只白球，b只红球，只红球，k个人依次在袋个人依次在袋中取一只球，（中取一只球，（1）放回抽样）放回抽样 (2)不放回抽样，不放回抽样，求第求第i（i=1,2,k）人取到白球（用人取到白球（用B表示）的表
7、示）的概率概率解：解：例例6 1-2000的整数中随机的取一个数，取到的的整数中随机的取一个数，取到的整数既不能被整数既不能被6整除，又不能被整除，又不能被8整除的概率。整除的概率。解：解：A :能被能被6整除，整除，B:能被能被8整除整除例例7 15名新生随机平均的分到三个班级，其中名新生随机平均的分到三个班级，其中有优秀有优秀 生生3名，问（名，问（1）每一个班级各分配到一）每一个班级各分配到一名优秀生的概率；（名优秀生的概率；（2）3名优秀生分在同一个名优秀生分在同一个班的概率。班的概率。例例8 把把C、C、E、E、I、N、S七个字母分七个字母分别写在七张同样的卡片上，并且将卡片放入别写
8、在七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一个英文单词：排列结果恰好拼成一个英文单词：C ISN C EE问：在多大程度上认为这样的结果问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？是奇怪的，甚至怀疑是一种魔术？拼成英文单词拼成英文单词SCIENCE 的情况数为的情况数为故该结果出现的概率为：故该结果出现的概率为： 这个概率很小，这里算出的概率有如这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：下的实际意义：如果多次重复这一
9、抽卡试如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心的事件在验，则我们所关心的事件在1260次试验中次试验中大约出现大约出现1次次 .解：七个字母的排列总数为解：七个字母的排列总数为7！ 这样小概率的事件在一次抽卡的试验这样小概率的事件在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术是魔术. 具体地说，可以具体地说，可以99.9%的把握怀疑这的把握怀疑这是魔术是魔术. “等可能性等可能性”是一种假设，在实际应用是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点是等可能的认为各基本事件或样
10、本点是等可能的.1、在应用古典概型时必须注意、在应用古典概型时必须注意“等可能性等可能性”的条件的条件.需要注意的是：需要注意的是： 在许多场合，在许多场合，由对称性和均衡性，由对称性和均衡性，我我们就可以认为基本事件是等可能的并在此们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率基础上计算事件的概率.2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏注意不要重复计数，也不要遗漏.例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只只鞋子中鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的概率是多
11、少？的概率是多少？ 下面的算法错在哪里？下面的算法错在哪里？错在同样的错在同样的“4只配只配成两双成两双”算了两次算了两次.97321456810从从5双中取双中取1双，从剩双，从剩下的下的 8只中取只中取2只只例如：从例如：从5双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取4只，这只，这4只只鞋子中鞋子中“至少有两只配成一双至少有两只配成一双”（事件（事件A）的概率是多少？的概率是多少？ 正确的答案是：正确的答案是：请思考：请思考：还有其它解法吗？还有其它解法吗？2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏注意不要重复计数，也不要遗漏.3、
12、许多表面上提法不同的问题实质上属于同、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：一类型： 有有n个人，每个人都以相同的概率个人，每个人都以相同的概率 1/N (Nn)被分在被分在 N 间房的每一间中，求指定的间房的每一间中，求指定的n间房中各有一人的概率间房中各有一人的概率.人人房房3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：一类型： 有有n个旅客，乘火车途经个旅客，乘火车途经N个车个车站，设每站，设每个人在每站下车的概率为个人在每站下车的概率为1/ N(N n) ，求指求指定的定的n个站各有一人下车的概率个站各有一人下车的概率.旅客旅客车站车站 在
13、解决许多概率问题时，往往需要在在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息有某些附加信息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.一、条件概率一、条件概率1. 概念概念如在事件如在事件A发生的条件下求事件发生的条件下求事件B发生的发生的概率，将此概率记作概率，将此概率记作P(B|A). 一般一般 P(B|A) P(B) 5 5 条件概率条件概率 例如，抛一枚硬币两次，观察出现正反面例如，抛一枚硬币两次，观察出现正反面的情况，的情况，A为为“至少有一次正面至少有一次正面” ，B为为“两两次掷出同一面次掷出同一面”，求，求A已经发生的条件下已经发生的条件下B发发生的概率。生的概率。P(B|A)
14、P(B)P(B|A) P(AB) 若事件若事件A已发生已发生, 则为使则为使 B也也发生发生 , 试验结果必须是既试验结果必须是既在在 B 中又在中又在A中的样本点中的样本点 , 即即此点必属于此点必属于AB. 由于我们已经由于我们已经知道知道A已发生已发生, 故故A变成了新的变成了新的样本空间样本空间 , 于是有于是有(1). 设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(A)0,则称则称 (1)2. 条件概率的定义条件概率的定义为在事件为在事件A发生的条件下发生的条件下,事件事件B的条件概率的条件概率.3. 条件概率的性质条件概率的性质设设A是一事件，且是一事件，且P(A)0,则则1. 对任一
15、事件对任一事件A，0P(B|A)1; 2. 对于必然事件对于必然事件S，P(S|A)=1.而且，前面对概率所证明的一些重要性质而且，前面对概率所证明的一些重要性质都适用于条件概率都适用于条件概率.3.设设B1,Bn ,互不相容，则互不相容，则 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:P(B|A）=A所含样本点总数所含样本点总数AB中中B所含样本点所含样本点个数个数例例1 一只盒子装有一只盒子装有4只产品，其中只产品，其中3只一等品，只一等品，1只二等品，从中取产品二次，不放回抽样，只二等品，从中取产品二次，不放
16、回抽样，每次任取一只，设每次任取一只，设A为为“第一次取到的是一第一次取到的是一等品等品”，B为为“第二次取到的是一等品第二次取到的是一等品”，求求P(B|A)将产品编号，将产品编号，1、2、3表示一等品，表示一等品，4表表示二等品。示二等品。S=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3)A=(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,4),(2,3),(3,1),(3,2),(3,4)AB=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)例例2 设某种动物由出生
17、算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上的年以上的概率为概率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4. 问现问现年年20岁的这种动物，它能活到岁的这种动物，它能活到25岁以上的概岁以上的概率是多少？率是多少？解：设解：设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4所求为所求为P(B|A) .注意注意P(AB)与与P(B | A)的区别！的区别！请看下面的例子请看下面的例子 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中300件件是乙厂生产的是乙厂生产的. 而在这而在这300个零件中，有
18、个零件中，有189个是个是标准件，现从这标准件，现从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问这个这个零件是乙厂生产的标准件零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？的概率是多少？所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产设设A=零件是乙厂生产零件是乙厂生产B=是标准件是标准件所求为所求为P(AB) .设设A=零件是乙厂生产零件是乙厂生产B=是标准件是标准件若改为若改为“发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少问它是标准件的概率是多少?”求的是求的是 P(B|A) .A发生
19、发生,在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(B|A)中作为条件中作为条件.甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产由条件概率的定义：由条件概率的定义： 若若P(A)0, 则则P(AB)=P(A)P(B|A) (2)二、二、 乘法公式乘法公式 若若P(B)0, 则则P(AB)=P(B)P(A|B) (3) 若若P(AB)0, 则则P(A)0P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A) 当当P(A1A2An-1)0时，有时，有P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1)例例3 袋子中包含袋子中包含t个白
20、球和个白球和r个红球个红球. 随机地随机地抽取一个球，观看颜色后放回，并且再加进抽取一个球，观看颜色后放回，并且再加进a个与所抽出的球具有相同颜色的球个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种这种手续进行四次，试求第一、二次取到红球且手续进行四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率第三、四次取到白球的概率. 解：解：Ai(i=1,2,3,4)表示表示“第第i次取到红球次取到红球”例例4 一种透镜，第一次落下时打破的概率为一种透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为的概率为7/10，若前两次落下未打破，第三，若
21、前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为次落下打破的概率为9/10，求透镜三次落下，求透镜三次落下而未打破的概率。而未打破的概率。解：解：Ai(i=1,2,3)表示表示“第第i次落下打破次落下打破”由条件概率的定义：由条件概率的定义： 若若P(A)0, 则则P(AB)=P(A)P(B|A) (2)三、三、 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 若若P(B)0, 则则P(AB)=P(B)P(A|B) (3) 全概率公式和贝叶斯公式主要用于全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率计算比较复杂事件的概率, 它们实质上它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用是加法公式和乘法公式的综
22、合运用. 综合运用综合运用乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0加法公式加法公式P(A B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥定义定义：设：设S为试验为试验E的样本空间，的样本空间，B1,B2,Bn为为E的一组事件，若的一组事件，若则称则称B1,B2,Bn为为S的一个划分的一个划分 设设B1,B2,Bn是是S的的一一个个划划分分，且且P(Bi)0， i =1,2,n, 另有一事件另有一事件A, 则则 全概率公式全概率公式: 在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(A)不易不易,但但A总是总是伴随着某个伴随着某个Bi出现，适当地去构造这一组出现，适当地去构造这一组B
23、i往往可以简化计算往往可以简化计算.全概率公式的来由全概率公式的来由, 不难由上式看出不难由上式看出:“全全”部概率部概率P(A)被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:设设S为试验为试验E的样本空间，的样本空间，B1,B2,Bn为为E的一个划分，若的一个划分，若P(A)0且且P(Bi)0， i =1,2,n, 贝叶斯公式贝叶斯公式:常用的公式：常用的公式：例例6 某电子元件厂所用的元件来自三个制造厂，以某电子元件厂所用的元件来自三个制造厂，以往记录数据如下：往记录数据如下：三家工厂的产品在仓库中均匀混合，且无区别三家工厂的产品在仓库中均匀混
24、合，且无区别标志标志（1）随机取一只元件，是次品的概率。）随机取一只元件，是次品的概率。制造厂制造厂次品率次品率提供份额提供份额10.020.1520.010.8030.030.05（2）已知取到的是次品，问次品来自哪一家工厂）已知取到的是次品，问次品来自哪一家工厂的可能性最大？的可能性最大？贝叶斯公式所求的是条件概率，是已知贝叶斯公式所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小小.在实际中有很多应用，它可以帮助人们在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因确定某结果发生的最可能原因. 由由此此可可以以形形象象地地把把
25、全全概概率率公公式式看看成成为为“由由原原因因推推结结果果”，每每个个原原因因对对结结果果的的发发生生有有一一定定的的“作作用用”，即即结结果果发发生生的的可可能能性性与与各各种种原原因因的的“作作用用”大大小小有有关关. 全全概概率率公公式式表表达了它们之间的关系达了它们之间的关系 .例例7 对以往数据分析，当机器调整良好时，产品的对以往数据分析，当机器调整良好时，产品的合格率为合格率为98%，而当机器发生故障时合格率为，而当机器发生故障时合格率为55%，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为，每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%，已知某日早上第一件产品是合格品时，已知某日早上第
26、一件产品是合格品时，机器机器调整得良好的概率是多少？调整得良好的概率是多少？ 解：解： A：产品合格：产品合格 B：机器良好：机器良好 例例 8 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者，患者对一种试验反应是阳性的概率为对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常，正常人对这种试验反应是阳性的概率为人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. 已知已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|
27、C)=0.95, P(A| )=0.04求解如下求解如下:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性， 求求P(C|A).由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 代入数据计算得代入数据计算得: P(CA)= 0.087 即使检出阳性，尚可不必过早下结论有即使检出阳性，尚可不必过早下结论有癌症，这种可能性只有癌症，这种可能性只有8.7% (平均来说，平均来说，1000个人中大约只有个人中大约只有87人确患癌症人确患癌症)，此时，此时医生常要通过再试验来确认医生常要通过再试验来确认. 不能将不能将P(C|A)与与P(A|C)混淆混淆 8支步枪中有支步枪中有5 5支已校准过支已校准过,3,3支未校支未校准准. .一名射手用校准过的枪射击时一名射手用校准过的枪射击时, ,中靶的概率中靶的概率为为0.8;0.8;用未校准的枪射击时用未校准的枪射击时, ,中靶的概率为中靶的概率为0.3.0.3.现从现从8 8支枪中任取一支用于射击支枪中任取一支用于射击, ,结果中靶结果中靶. . 求求: :所用的枪是校准过的概率所用的枪是校准过的概率. . 设设A=A=射击时中靶射击时中靶, , B B1 1=使用的枪校准过使用的枪校准过, , 解解:例例9
