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1、基于基于MATLAB的概率统计数值实验的概率统计数值实验一、古典概型一、古典概型主讲教师主讲教师：董庆宽：董庆宽 副教授副教授研究方向研究方向：密码学与信息安全：密码学与信息安全电子邮件：电子邮件：个人主页：个人主页：http:/ 内容介绍内容介绍一、古典概型一、古典概型MATLAB常用的及与随机数产生相关的函数常用的及与随机数产生相关的函数实验实验1：计算超几何分布：计算超几何分布实验实验2：频率稳定性实验：频率稳定性实验实验实验3：利用频率估计自然对数底：利用频率估计自然对数底e实验实验4：蒲丰投针实验，利用频率估计圆周率：蒲丰投针实验，利用频率估计圆周率 实验实验5：生日悖论实验：生日悖
2、论实验2/21一、古典概型一、古典概型利用利用MATLAB 软件的图形可视功能将概率统计的内容用图形表示出来，软件的图形可视功能将概率统计的内容用图形表示出来，以加深对概率的理解以加深对概率的理解MATLAB常用的及与随机数产生相关的函数常用的及与随机数产生相关的函数lfactorial(n) ：阶乘，阶乘，n!，可通过阶乘来计算排列组合数，可通过阶乘来计算排列组合数l1.rand(m,n)：生成：生成mn的随机矩阵，每个元素都在的随机矩阵，每个元素都在(0,1)间，生成方式为均间，生成方式为均匀分布。匀分布。l2.randn(m,n)：生成：生成mn的随机矩阵，每个元素都在的随机矩阵，每个元
3、素都在(0,1)间，生成方式为间，生成方式为正态分布正态分布l3.randperm(m)：生成一个：生成一个1m的随机整数排列的随机整数排列l4.perms(1:n)：生成一个：生成一个1n的全排列，共的全排列，共n!个个l5.取整函数系列：取整函数系列：（1）fix(x)：截尾法取整；：截尾法取整；（2）floor(x)：退一法取整（不超过：退一法取整（不超过x的最大整数）；向负方向舍入的最大整数）；向负方向舍入（3）ceil(x)：进一法取整（：进一法取整（= floor(x)+1）；）； 向正方向舍入向正方向舍入（4）round(x)：四舍五入法取整。：四舍五入法取整。l6.unique
4、(a)：合并：合并a中相同的项中相同的项l7.prod(x)：向量：向量x的所有分量元素的积的所有分量元素的积3/21一、古典概型一、古典概型示例： rand(1) %生成一个(0,1)间的随机数 ans = 0.8147 rand(2,2) %生成一个22阶(0,1)间的随机数矩阵ans = 0.9134 0.0975 0.6324 0.2785 randperm(5) %生成一个15的随机整数排列ans = 4 1 5 2 3 a=1 2 4 2 3 3 2;unique(a)ans = 1 2 3 44/21实验实验 1：计算超几何分布的结果：计算超几何分布的结果l设有设有N件产品，其中
5、件产品，其中D件次品，今从中任取件次品，今从中任取n件件l问其中恰有问其中恰有k(k D)件次品的概率是多少？件次品的概率是多少？l（令（令N=10，D=3，n=4，k=2）解：编辑组合函数解：编辑组合函数zuhe.m文件文件lfunction y=Com(n,r)ly=factorial(n)/(factorial(r)*factorial(n-r)计算如下：计算如下：l N=10; D=3; n=4; k=2;lp=Com(3,2)*Com(10-3,4-2)/Com(10,4)=0.35/21实验实验2 频率稳定性实验频率稳定性实验l随机投掷均匀硬币，观察国徽朝上与国徽朝下的频率随机投掷
6、均匀硬币，观察国徽朝上与国徽朝下的频率解解l n= 3000100000000;m=0; lfor i=1:nl t=randperm(2); %生成一个生成一个12的随机整数排列的随机整数排列l x=t-1; %生成一个生成一个01的随机整数排列的随机整数排列l y=x(1); %取取x排列的第一个值排列的第一个值l if y=0;l m=m+1;l endlendlp1=m/nlp2=1-p16/21 试验次数n300050001万万2万万3万万国徽朝上频率0.50400.50060.48790.49990.5046国徽朝下频率0.49600.49940.51210.50010.4954试
7、验次数n5万万10万万100万万100万万1亿亿国徽朝上频率0.50210.49990.49990.50010.5000国徽朝下频率0.49790.50010.50010.49990.5000可见当可见当 时，时，7/21实验实验3 用频率估计自然对数用频率估计自然对数el某班有某班有n个人，每人各有一支枪，这些枪外形一样。某次夜间紧急个人，每人各有一支枪，这些枪外形一样。某次夜间紧急集合，若每人随机地取走一支枪，求没有一个人拿到自己枪的概率集合，若每人随机地取走一支枪，求没有一个人拿到自己枪的概率？解：记事件解：记事件Ai为第为第i个人拿到自已枪，事件个人拿到自已枪，事件 为第为第i个人没拿
8、到自己枪，个人没拿到自己枪，易知：易知：l ； ，l又记又记 p0为没有一个人拿到自己枪的概率。为没有一个人拿到自己枪的概率。l由乘法公式可知由乘法公式可知l 8/21于是于是 所以所以特别地，当特别地，当n较大时，较大时， 。 因此，可随机模拟出没有人拿到自己枪的频率，根据频率的因此，可随机模拟出没有人拿到自己枪的频率，根据频率的稳定性，近似当做概率，然后去估计自然对数稳定性，近似当做概率，然后去估计自然对数e。并考虑估计精。并考虑估计精度与人数是否有关系，为什么。算法如下：度与人数是否有关系，为什么。算法如下： 9/211 1、产生、产生n个随机数的随机序列；个随机数的随机序列；2 2、检
9、验随机列与自然列是否至少有一个配对；、检验随机列与自然列是否至少有一个配对；3 3、对没有一个配对的序列进行累积、对没有一个配对的序列进行累积 t t； 4 4、重复、重复1 1、2 2、3 3步步 m 次；次； 5 5、估计、估计具体程序及相关结果如下页图具体程序及相关结果如下页图l注：注：自然常数自然常数 e2.7183 m=40000;n=50;t=0;for j=1:m k=0; sui=randperm(n); for i=1:n if sui(i)=i k=k+1; else k=k; end end if k=0 t=t+1; else t=t; endende=m/te = 2
10、.7313模拟次数m400004000040000人数n100020005000e2.71552.70822.7202模拟次数m400040000400000人数n505050e2.73792.73132.719411/21实验实验4：蒲丰：蒲丰(Buffon)投针实验，用频率估计投针实验，用频率估计 值值l在画有许多间距为在画有许多间距为d的等距平行线的白纸上，随机投掷一根长为的等距平行线的白纸上，随机投掷一根长为l(l d)的均匀直针，的均匀直针，求针与平行线相交的概率，并计算求针与平行线相交的概率，并计算 的近似值的近似值解：设针与平行线的夹角为解：设针与平行线的夹角为 (0 )，针的中
11、心与最近直线的距离为，针的中心与最近直线的距离为x(0 x d/2)。针与平行线相交的充要条件是。针与平行线相交的充要条件是x (l/2)sin ，这里，这里x(0 x d/2并并且且0 。建立直角坐标系建立直角坐标系,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，总的区域即形区域，总的区域即x和和 所有可能取值构成的矩形区域，且所有可能取值是所有可能取值构成的矩形区域，且所有可能取值是机会均等的，符合几何概型，机会均等的，符合几何概型，则所求概率为则所求概率为故可得故可得 的近似计算公式的近似计算公式 ，其中，其中n为随机试验次数，为随机试验次数，m
12、为针与平行线为针与平行线相交的次数。相交的次数。12/21解解 l clear,clfln=10000000;l=0.5;m=0;d=1;lfor i=1:nl x=(l/2)*sin(rand(1)*pi); y=rand(1)*d/2;l if x=yl m=m+1;l endlendlp1=m/nlpai=2*n*l/(m*d)确定针与平确定针与平行线的角度行线的角度确定针中心确定针中心点的位置点的位置13/21试验次数n5千千1万万10万万100万万1000万万针长l/平行间距d3/103/103/103/103/10相交频率0.18360.19710.18870.19050.1912
13、的近似值3.26803.04413.17983.14983.1387试验次数n5千千1万万10万万100万万1000万万针长l/平行间距d2/52/52/52/52/5相交频率0.24960.25620.25490.25440.2543的近似值3.20513.12263.13863.14513.143314/21试验次数n5千千1万万10万万100万万1000万万针长l/平行间距d1/21/21/21/21/2相交频率0.32540.31480.31580.31780.3183的近似值3.07313.17663.16673.14703.1417试验次数n5千千1万万10万万100万万1000万
14、万针长l/平行间距d4/54/54/54/54/5相交频率0.51420.51340.50860.50930.5093的近似值3.11163.11653.14603.14183.141815/21试验次数n5千千1万万10万万100万万1000万万针长l/平行间距d17/2017/2017/2017/2017/20相交频率0.54320.54520.54200.54120.5410的近似值3.12963.11813.13663.14133.1426试验次数n5千千1万万10万万100万万1000万万针长l/平行间距d9/109/109/109/109/10相交频率0.58600.57000.5
15、7560.57330.5731的近似值3.07173.15793.12723.13953.141016/21实验实验5 生日悖论实验生日悖论实验l在在100100个人的团体中，不考虑年龄差异，研究是否有两个以上的人个人的团体中，不考虑年龄差异，研究是否有两个以上的人生日相同。假设每人的生日在一年生日相同。假设每人的生日在一年365365天中的任意一天是等可能的，天中的任意一天是等可能的，那么随机找那么随机找n n个人个人( (不超过不超过365365人人) )。l (1)(1)求这求这n n个人生日各不相同的概率是多少？从而求这个人生日各不相同的概率是多少？从而求这n n个人中个人中至少有两个
16、人生日相同这一随机事件发生的概率是多少？至少有两个人生日相同这一随机事件发生的概率是多少？l (2)(2)近似计算在近似计算在3030名学生的一个班中至少有两个人生日相同的名学生的一个班中至少有两个人生日相同的概率是多少概率是多少17/21解解: (1)l clear,clflfor n=1:100l p0(n)=prod(365:-1:365-n+1)/365n;l p1(n)=1-p0(n);lendlp1=ones(1,100)-p0;ln=1:100;lplot(n,p0,n,p1,-)lxlabel(人数人数),ylabel(概率概率)llegend(生日各不相同的概率生日各不相同的
17、概率,至少两人生日相同的概率至少两人生日相同的概率)laxis(0 100 -0.1 1.199),grid on18/21p1(30)=0.7063, p1(60)= 0.994119/21(2) 在在30名学生中至少两人生日相同的概率为名学生中至少两人生日相同的概率为70.63。下面进行计算机仿真。下面进行计算机仿真。l随机产生随机产生30个正整数，代表一个班个正整数，代表一个班30名学生的生日，然后观察是否有两人以上生日名学生的生日，然后观察是否有两人以上生日相同。当相同。当30个人中有两人生日相同时，输出个人中有两人生日相同时，输出“1”，否则输出，否则输出“0”。如此重复观察。如此重
18、复观察100次，计算出这一事件发生的频率次，计算出这一事件发生的频率f100l clear,clfln=0;lfor m=1:100 %做做100次随机试验次随机试验l y=0;l x=1+fix(365*rand(1,30); %产生产生30个随机数个随机数l for i=1:29 %用二重循环寻找用二重循环寻找30个随机数个随机数 中是否有相同数中是否有相同数l for j=i+1:30l if x(i)=x(j)l y=1;break;l end l endl end l n=n+y; %累计有两人生日相同的试验次数累计有两人生日相同的试验次数lendlf=n/m %计算频率计算频率20/21作业作业l1. 利用实验利用实验3求自然对数底求自然对数底e，精确到，精确到2.71828，并给出得到该精确值，并给出得到该精确值时的实验次数时的实验次数l2. 求求15个人中至少两人生日相同的概率个人中至少两人生日相同的概率21/2122/22谢谢！谢谢！
