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1、信号与系信号与系统B第二章 连续系统的时域分析第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应 一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 二、关于二、关于0-0-和和0+0+初始值初始值 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 一、冲激响应一、冲激响应 二、阶跃响应二、阶跃响应2.3 2.3 卷积积分卷积积分 一、信号时域分解与卷积一、信号时域分解与卷积 二、卷积的图解二、卷积的图解2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 一、卷积代数一、卷积代数 二、奇异函数的卷积
2、特性二、奇异函数的卷积特性 三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质 四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性点击目录点击目录 ，进入相关章节，进入相关章节 LTI连续系统的时域分析，归结为：连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线建立并求解线性微分方程性微分方程。 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故，故称为称为时域分析法时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。是学习各种变换域分析法的基础。 第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应
3、连续系统的响应2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应微分方程的经典解：微分方程的经典解： y(t)(完全解完全解) = yh(t)(齐次解齐次解) + yp(t)(特解特解）齐次解齐次解是齐次微分方程是齐次微分方程 y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
4、 的解。的解。yh(t)的函数形式的函数形式由上述微分方程的由上述微分方程的特征根特征根确定。确定。例例 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）当）当f(t) = 2e- -t，t0；y(0)=2，y(0)= - -1时的全解；时的全解； （2）当）当f(t) = e- -2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。时的全解。 特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。的函数形式与激励函数的形式有关。P41表表2-1、2-2齐次解齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与
5、激励f(t)的函数形式无关，称为系统的的函数形式无关，称为系统的固有响应固有响应或或自由响应自由响应；特解特解的函数形式由激励确定，称为的函数形式由激励确定，称为强迫响应强迫响应。2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应解解: (1) 特征方程为特征方程为2 + 5+ 6 = 0 其特征根其特征根1= 2，2= 3。齐次解为。齐次解为 yh(t) = C1e 2t + C2e 3t由表由表2-2可知，当可知，当f(t) = 2e t时，其特解可设为时，其特解可设为 yp(t) = Pe t将其代入微分方程得将其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t =
6、2e t 解得解得 P=1于是特解为于是特解为 yp(t) = e t全解为：全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中其中 待定常数待定常数C1,C2由初始条件确定。由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 （2）齐齐次次解解同同上上。当当激激励励f(t)=e2t时时，其其指指数数与与特特征征根根之一相重。由表知：其特解为之一相重。由表知：其特解为 yp(t
7、) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以所以 P1= 1 但但P0不能求得。全解为不能求得。全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t将初始条件代入，得将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一项的系数上式第一项的系数C1+P0
8、= 2，不能区分，不能区分C1和和P0，因而也，因而也不能区分自由响应和强迫响应。不能区分自由响应和强迫响应。 2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应二、关于二、关于0-和和0+初始值初始值 若输入若输入f(t)是在是在t=0时接入系统，则确定待定系数时接入系统，则确定待定系数Ci时用时用t = 0+时刻的时刻的初始值初始值，即，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。 而而y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。的历史信息。 在在t=0-时，激励尚未接
9、入，该时刻的值时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映反映了了系统的历史情况系统的历史情况而与激励无关。称这些值为而与激励无关。称这些值为初始状初始状态态或或起始值起始值。 通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。通常，对于具体的系统，初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态这样为求解微分方程，就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。下列举例说明。 例例：描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知已知y(0-)=2，y(0-)= 0
10、，f(t)=(t)，求，求y(0+)和和y(0+)。 解解：将输入将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1）利用利用系数匹配法系数匹配法分析：上式对于分析：上式对于t=0-也成立，在也成立，在0-t 0 2.1 LTI2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应（2）零状态响应零状态响应yzs(t) 满足满足 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs (t) = 2(t) + 6(t) 并有并有 yzs (0-) = yzs(0-) = 0由于上式等号右端含有由于上式等号右端含有(t)，故，故
11、yzs”(t)含有含有(t)，从而，从而yzs(t)跃变，即跃变，即yzs(0+)yzs(0-)，而，而yzs (t)在在t = 0连续，即连续，即yzs (0+) = yzs (0-) = 0，积分得，积分得 yzs(0+)- yzs(0-)+ 3yzs (0+)- yzs (0-)+2 因此，因此，yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2 对对t0时，有时，有 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs (t) = 6不难求得其齐次解为不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解为常数，其特解为常数3，于是有于是有 yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t
12、 + 3代入初始值求得代入初始值求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0 2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应 由单位冲激函数由单位冲激函数(t)所引起的所引起的零状态响应零状态响应称为称为单位冲单位冲激响应激响应，简称冲激响应，记为，简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t) 例例1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 根据根据h(t)的定义的定义 有有 h”(t) + 5h(t
13、) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。 2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系数平衡法。，故利用系数平衡法。h”(t)中含中含(t)，h(t)含含(t)，h(0+)h(0-)，h(t)在在t=0连续，即连续，即h(0+)=h(0-)。积分得。积分得 h(0+) - h(0-) + 5h(0+) - h(0-) + 6 = 1考虑考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得，由上式可得 h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1对对t0时，有时，有 h”
14、(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系统的冲激响应为一齐次解。故系统的冲激响应为一齐次解。 微分方程的特征根为微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始条件求得代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以所以 h(t)=( e-2t - e-3t)(t) 2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 例例2 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。 解解 根据根据h(t)
15、的定义的定义 有有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0 先求先求h(0+)和和h(0+)。由方程可知，由方程可知， h(t) 中含中含(t)故令故令 h(t) = a(t) + p1(t) pi(t) 为不含为不含(t) 的某函数的某函数 h(t) = a(t) + b(t) + p2(t) h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t)代入式代入式(1)，有，有2.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) +
16、 b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t) = ”(t) + 2(t) + 3(t) 利用利用(t) 系数匹配，得系数匹配，得 a =1 ，b = - 3，c = 12所以所以 h(t) = (t) + p1(t) （2） h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3） h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3(t) （4）对式对式(3)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+) h(0-)
17、= 3对式对式(4)从从0-到到0+积分得积分得 h(0+) h(0-) =12故故 h(0+) = 3， h(0+) =122.2 2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应微分方程的特征根为微分方程的特征根为 2， 3。故系统的冲激响应为。故系统的冲激响应为 h(t)= C1e2t + C2e3t ， t0代入初始条件代入初始条件h(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以 h(t)= 3e2t 6e3t , t 0结合式结合式(2)得得 h(t)= (t) + (3e2t 6e3t)(t)对对t0时，有时，有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t
18、) = 0二、阶跃响应二、阶跃响应g(t)= T (t) ，0由于由于(t) 与与(t) 为微积分关系，故为微积分关系，故2.3 2.3 卷积积分卷积积分2.3 2.3 卷积积分卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1 . .信号的时域分解信号的时域分解(1) (1) 预备知识预备知识问问 f1(t) = ? p(t)直观看出直观看出2.3 2.3 卷积积分卷积积分(2) (2) 任意信号分解任意信号分解“0”号脉冲高度号脉冲高度f(0) ,宽度为宽度为，用，用p(t)表示为表示为：f(0) p(t)“1”号脉冲高度号脉冲高度f() ,宽度为宽度为，用，用p(t -
19、- )表示为：表示为： f() p(t - - )“- -1”号脉冲高度号脉冲高度f(- -) 、宽度为、宽度为，用，用p(t + +)表示为表示为： f ( - - ) p(t + + )2.3 2.3 卷积积分卷积积分2 . .任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应yzs(t)f (t)根据根据h(t)的定义：的定义：(t) h(t) 由时不变性：由时不变性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齐次性：由齐次性：f () h(t - -)由叠加性：由叠加性：f (t)yzs(t)卷积积分卷积积分2.3 2.3 卷积积分卷积积分3 . .卷积积分的定义卷积积分
20、的定义已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数f1(t)和和f2(t)，则定义积分则定义积分 为为f1(t)与与f2(t)的的卷积积分卷积积分，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分变量，为积分变量，t为参变量。结果仍为为参变量。结果仍为t 的函数。的函数。 2.3 2.3 卷积积分卷积积分例例：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yzs(t)。解解： yzs(t) = f (t) * h(t)当当t t时，时，(t -
21、) = 02.3 2.3 卷积积分卷积积分二、卷积的图解法二、卷积的图解法卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（1）换元换元： t换为换为得得 f1()， f2()（2）反转平移反转平移：由：由f2()反转反转 f2()右移右移t f2(t-)（3）乘积乘积： f1() f2(t-) （4）积分积分： 从从 到到对乘积项积分。对乘积项积分。注意：注意：t为参变量。为参变量。下面举例说明。下面举例说明。2.3 2.3 卷积积分卷积积分例f (t) ,h(t) 如图所示，求yzs(t)= h(t) * f (t) 。解 采用图形卷积 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移
22、平移t t 0时时 , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h() = 0，故故 yzs(t) = 0 0t 1 时时, f ( t - -)向右移向右移 1t 2时时 3t 时时f ( t - -) h() = 0，故故 yzs(t) = 0h(t)函数形式复杂函数形式复杂 换元为换元为h()。 f (t)换元换元 f () 2t 3 时时02.3 2.3 卷积积分卷积积分图解法图解法一般比较繁琐，但一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。还是比较方便的。确定积确定积分的上下限是关键。分的上下限是关键。例例：f1(t)、 f2(t)如图所
23、示，已知如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？f1(- -)f1(2- -)解解：（1）换元）换元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）积分，得）积分，得f(2) = 0（面积为（面积为0）2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）
24、。面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。 一、卷积代数一、卷积代数满足乘法的三律：满足乘法的三律：1.交换律交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)2. 分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)3. 结合律结合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质二、奇异函数的卷积特性二、奇异函数的卷积特性1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 证：证：f(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)
25、*(t) = f(t) 证：证：f(t)*(n)(t) = (-1)n f (n)(t)3. f(t)*(t)(t) *(t) = t(t)2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质三、卷积的微积分性质三、卷积的微积分性质1.证：上式证：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.证：上式证：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在f1( ) = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t
26、)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质例例1： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求求f1(t)* f2(t) 解解：通常复杂函数放前面，代入定义式得：通常复杂函数放前面，代入定义式得 f2(t)* f1(t)=注意：套用注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 显然是错误的显然是错误的。例例2：f1(t) 如图如图, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) 解法一解法一： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t
27、)f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质解解：f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)= (t) * f2(t) (t 2) * f2(t) (t) * f2(t)= f2 (-1)(t)四、卷积的时移特性四、卷积的时移特性若若 f(t) = f1(t)* f2(t)，则则 f1(t t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 前例前例：f1(t) 如图如图, f
28、2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) 利用时移特性，有利用时移特性，有 (t 2) * f2(t)= f2 (-1)(t 2)f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质例例：f1(t), f2(t)如图，求如图，求f1(t)* f2(t) 解解： f1(t) = 2 (t) 2 (t 1) f2(t) = (t+1) (t 1) f1(t)* f2(t) = 2 (t)* (t+1) 2 (t)* (t 1) 2 (t 1)* (t+1) +2 (t 1)* (t 1) 由于由于 (t)* (t
29、) = t (t) 据时移特性，有据时移特性，有f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) (t+1) - 2 (t 1) (t 1) 2 t (t) +2 (t 2) (t 2)2.4 2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质求卷积是本章的重点与难点。求卷积是本章的重点与难点。求解求解卷积的方法卷积的方法可归纳为：可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质利用性质。比较灵活。比较灵活。三者常常结合起来使用。三者常常结合起来使用。同学们同学们来学校和回家的路上要注意安全同学们同学们来学校和回家的路上要注意安全
