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1、本章内容本章内容1.1 空间几何体的结构空间几何体的结构1.2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图1.3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积第一章小结第一章小结本章小结本章小结本章小结知识要点知识要点例题选讲例题选讲补充练习补充练习复习参考题复习参考题自我检测题自我检测题1. 多面体和旋转体多面体和旋转体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体多面体. 由一个平面图形绕它所在平面内的一条由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体旋转体.棱柱棱柱, 棱锥棱锥, 棱台是
2、多面体棱台是多面体.圆柱圆柱, 圆锥圆锥, 圆台是旋转体圆台是旋转体.返回目录返回目录2. 棱柱的几何特征棱柱的几何特征(1) 有两个面平行有两个面平行;(2) 其余各面都是四边形其余各面都是四边形;(3) 每相邻两个四边形的公共边都互相平行每相邻两个四边形的公共边都互相平行.3. 棱锥的几何特征棱锥的几何特征(1) 有一个面是多边形有一个面是多边形.(2) 其余各面都是三角形其余各面都是三角形.(3) 这些三角形都有一个公共顶点这些三角形都有一个公共顶点.4. 棱台的几何特征棱台的几何特征(2) 侧棱交于一点侧棱交于一点.(1) 两底面平行两底面平行.(3) 各侧面是梯形各侧面是梯形.5.
3、圆柱的结构特征圆柱的结构特征(1) 两底面是圆且平行全等两底面是圆且平行全等.(2) 母线互相平行且平行于轴母线互相平行且平行于轴. (3) 母线、轴、母线端点与底面圆心的连线母线、轴、母线端点与底面圆心的连线, 四线围成矩形四线围成矩形. 以矩形的一边所在直线为旋转轴以矩形的一边所在直线为旋转轴, 其余其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱圆柱.6. 圆锥的结构特征圆锥的结构特征 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴转轴, 其余两边旋转形成的曲面所围成的几何其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做体叫做圆锥圆锥
4、.(1) 底面是圆底面是圆.(3) 母线母线、底面圆半径底面圆半径、轴围成直角三角形轴围成直角三角形.(2) 母线长相等母线长相等.7. 圆台的结构特征圆台的结构特征 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 底面与截面间的部分叫做底面与截面间的部分叫做圆台圆台.(2) 各母线与轴交于一点各母线与轴交于一点.(1) 两底面是相互平行的圆两底面是相互平行的圆,(3) 轴轴, 母线母线, 上、下底面圆半径上、下底面圆半径构成直角梯形构成直角梯形.8. 球的结构特征球的结构特征 以半圆的直径所在直线为旋转轴以半圆的直径所在直线为旋转轴, 半圆半圆面旋转一周形成的几何体叫
5、做面旋转一周形成的几何体叫做球体球体. (1) 过球心的截面是个圆过球心的截面是个圆(大圆大圆), 圆心即圆心即球心球心, 圆半径即球半径圆半径即球半径;(2) 不过球心的截面也是圆不过球心的截面也是圆(小圆小圆).9. 三视图三视图正视图正视图: 从前向后正面观看效果从前向后正面观看效果.侧视图侧视图: 从左向右观看效果从左向右观看效果.俯视图俯视图: 从上向下观看效果从上向下观看效果.10. 斜二测画平面图形的水平放置直观图斜二测画平面图形的水平放置直观图(1) 在原图上恰当建立直角坐标系在原图上恰当建立直角坐标系;(2) 在所画图位置建立在所画图位置建立45 斜角坐标系斜角坐标系;(3)
6、 在斜角坐标系中取点连线在斜角坐标系中取点连线: 保持与各坐标轴平行保持与各坐标轴平行, 平行于平行于 x 轴的长不变轴的长不变, 平行于平行于 y 轴轴 的长减半的长减半;(4) 擦去坐标系和辅助线擦去坐标系和辅助线.圆的水平放置图为椭圆圆的水平放置图为椭圆.11. 斜二测画立体图形的直观图斜二测画立体图形的直观图(1) 画出底面的水平放置图画出底面的水平放置图;(2) 添加添加 z 轴轴;(3) 画竖直线段平行画竖直线段平行 z 轴轴, 长不变长不变;(4) 连接各线段连接各线段;(5) 擦去坐标系和辅助线擦去坐标系和辅助线.12. 棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台的表面积表面积为
7、各个面多边形的面积之和表面积为各个面多边形的面积之和.13. 圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台的表面积底面积加侧面积底面积加侧面积.底面积底面积: S底底= =p p r2.圆柱侧面积圆柱侧面积: S柱侧柱侧= =2p p rh.圆锥侧面积圆锥侧面积: S锥侧锥侧= =p p rl.圆台侧面积圆台侧面积: S台侧台侧= =p p l (r+ +r ).柱体体积柱体体积: V柱柱 = = Sh.锥体体积锥体体积:台体体积台体体积:14. 柱体、锥体、台体体积柱体、锥体、台体体积15. 球的体积球的体积16. 球的表面积球的表面积 S表球面表球面 = = 4p pR2.返回目录返回目录 例
8、例 1. 将正方体将正方体 (如图如图 1 ) 截去两个三棱锥截去两个三棱锥, 得得到图到图 2 所示的几何体所示的几何体, 则该几何体的左视图为则该几何体的左视图为 ( )(A)(B)(C)(D)A1B1C1D1ABCDB1D1ABCD左视左视(图图1)(图图2)看投影效果看投影效果:D1D 投影投影.B1B 投影投影.D1DBB1D1B1 投影投影.AD、BC 投影投影.CAAD1 投影投影 (可见可见). B1C 投影投影 (不可见不可见).B 例例2. 若某几何体的三视图如图所示若某几何体的三视图如图所示, 则这个几则这个几何体的直观图可以是何体的直观图可以是 ( )正视图正视图侧视图
9、侧视图俯视图俯视图(A)(B)(C)(D)分析分析:由正视图可知由正视图可知: 排除排除 A, B 选项选项;由俯视图可得由俯视图可得 D 选项正确选项正确.D 例例3. 一个正三棱柱的侧棱长和底面边一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等长相等, 体积为体积为 它的三视图中的俯它的三视图中的俯视图如图所视视图如图所视, 左视图是一个矩形左视图是一个矩形, 则这则这个矩形的面积是个矩形的面积是 ( ) (A) 4 (B) (C) 2 (D)分析分析: 根据题设描述根据题设描述, 可画出三棱柱的直观图可画出三棱柱的直观图.A1B1C1ABCDD1设棱长为设棱长为 a, 则底面三角形的高则底面三角形的高
10、CD= =体积体积解得解得 a= =2.则左视图是则左视图是 矩形矩形CDD1C1,其面积其面积 S= =CDC1C.B则左视图的矩形面积则左视图的矩形面积 S= = 例例4. 已知一个几何体的三视图如图所视已知一个几何体的三视图如图所视, 则该则该几何体的体积为几何体的体积为 ( ) (A) (B) 3p p (C) (D) 6p p2422俯视图俯视图正视图正视图侧视图侧视图分析分析:由三视图画出几由三视图画出几何体的直观图何体的直观图.分为两部份求体积分为两部份求体积,下面是圆柱下面是圆柱, 上面是相上面是相同圆柱的一半同圆柱的一半.其体积为其体积为V= =12p p 2= =3p p.
11、B 例例5. 已知两个圆锥有公共的底面已知两个圆锥有公共的底面, 且两圆锥的且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个圆面上顶点和底面的圆周都在同一个圆面上, 若两圆锥的体若两圆锥的体积积之和为之和为 6, 且底面积是这个球面面积的且底面积是这个球面面积的 则这个球则这个球的体积为的体积为 .解解: 根据题设画出直观图根据题设画出直观图.两圆锥的体积之和两圆锥的体积之和OO PQArR联列联列解方程组得解方程组得则球的体积为则球的体积为= =16.16返回目录返回目录共共10题题 1. 一个几何体的正视图和侧视图都是一个矩形一个几何体的正视图和侧视图都是一个矩形, 则这个几何体可能是下列几何体中的则
12、这个几何体可能是下列几何体中的 . 棱锥棱锥; 棱柱棱柱; 圆锥圆锥; 圆柱圆柱; 球球. 2. 某几何体的正视图和侧视图均如图所示某几何体的正视图和侧视图均如图所示, 则该几何体的俯视图不可能是则该几何体的俯视图不可能是 ( )(A)(B)(C)(D) 3. 在一个几何体的三视图中在一个几何体的三视图中, 正视图和俯视图如图正视图和俯视图如图, 则相应的侧视图可以为则相应的侧视图可以为 ( )正视图正视图俯视图俯视图(A)(B)(C)(D) 4. 将长方体截去一个四棱锥将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如图所示得到的几何体如图所示, 则该几何则该几何体的左视图为体的左视图为 ( )(A)
13、(B)(C)(D) 5. 一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的直观图可以是则这个几何体的直观图可以是 ( )(B)(A)(C)(D)正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图 8. 一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示, 它的表面积等于它的表面积等于 . 7. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示, 则其侧面积等于则其侧面积等于 ( ) (A) (B) 2 (C) (D) 6111正视图正视图6355侧视图侧视图俯视图俯视图6355(8题题) 9. 一个四面体的三视图如图所示一个四面体的三视图如图所
14、示, 该四面体四个面的面积中最该四面体四个面的面积中最大的是大的是 ( ) (A) 8 (B) (C) 10 (D)443正视图正视图俯视图俯视图侧视图侧视图(9题题) 10. 纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开将正方体剪开, 外面朝上展平外面朝上展平, 得到如图的平面图形，则标得到如图的平面图形，则标“”的面的方位是的面的方位是 (A)南南 (B)北北 (C)西西 (D)下下上上东东(10题题) 6. 一个锐角为一个锐角为30 的直角三角形的直
15、角三角形, 其斜边长为其斜边长为4, 以斜边为轴旋转一周所得的几何体的体积等于以斜边为轴旋转一周所得的几何体的体积等于 . 1. 一个几何体的正视图和侧视图都是一个矩形一个几何体的正视图和侧视图都是一个矩形, 则这个几何体可能是下列几何体中的则这个几何体可能是下列几何体中的 . 棱锥棱锥; 棱柱棱柱; 圆锥圆锥; 圆柱圆柱; 球球.棱锥棱锥棱柱棱柱圆锥圆锥圆柱圆柱球球 2. 某几何体的正视图和侧视图均如图某几何体的正视图和侧视图均如图所示所示, 则该几何体的俯视图不可能是则该几何体的俯视图不可能是 ( )(A)(B)(C)(D)分析分析:A, B, C 选项都有可能是俯视图选项都有可能是俯视图
16、,只有只有 D 选项不可能选项不可能.D 选项对应的正视图应如图选项对应的正视图应如图:D 3. 在一个几何体的三视图中在一个几何体的三视图中, 正视图正视图和俯视图如图和俯视图如图, 则相应的侧视图可以为则相应的侧视图可以为 ( )正视图正视图俯视图俯视图(A)(B)(C)(D)分析分析: 由正视图知由正视图知, 几何体的正背后不可能是几何体的正背后不可能是圆柱圆柱,排除排除 A, B 选项选项.由俯视图知侧视图中间的一条棱可见由俯视图知侧视图中间的一条棱可见, 应是实线应是实线,排除排除 C 选项选项.直观图效果如图直观图效果如图:D 4. 将长方体截去一个四棱锥将长方体截去一个四棱锥,
17、得得到的几何体如图所示到的几何体如图所示, 则该几何体的左则该几何体的左视图为视图为 ( )(A)(B)(C)(D)ABCDABCDABCDABCDACDABCD分析分析:在直观图上标出对应左视图的字母在直观图上标出对应左视图的字母.标出选项中左视图的字母标出选项中左视图的字母.观察直观图中观察直观图中, 连线段都是连接各顶点的连线段都是连接各顶点的,所以应选所以应选 D 选项选项.D排除排除 A, B 选项选项.直观图中没有直观图中没有AC的连线的连线, 只有只有BD的连线的连线, 5. 一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示, 则这个几何体的直观图可以是则这个几何体的直观图可
18、以是 ( )正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图(B)(A)(C)(D)分析分析: 由正视图排除由正视图排除 A, C 选项选项.由侧视图知应选由侧视图知应选BB 选项选项. 6. 一个锐角为一个锐角为30 的直角三角形的直角三角形, 其斜边长为其斜边长为4, 以斜边为轴旋转一周所得的几何体的体积等于以斜边为轴旋转一周所得的几何体的体积等于 .30 ABCD解解: 所得旋转体是两个同底所得旋转体是两个同底的圆锥的组合体的圆锥的组合体 (如图如图).其体积为其体积为在在 RtABC中中, AB= =4, BAC= =30 ,可求得可求得 BC= =2,则斜边上的高则斜边上的高 CD= =几何体的
19、体积为几何体的体积为= =4p p.4p p 7. 若一个底面是正三角形的三棱若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示柱的正视图如图所示, 则其侧面积等则其侧面积等于于 ( ) (A) (B) 2 (C) (D) 6111解解:21画出三棱柱的直观图画出三棱柱的直观图,其侧面积是三个全等的矩形面积其侧面积是三个全等的矩形面积之和之和:S侧侧= =3 2 1= =6.D 8. 一个几何体的三视图如一个几何体的三视图如图所示图所示, 它的表面积等于它的表面积等于 .正视图正视图6355侧视图侧视图6355俯视图俯视图解解: 画出几何体的直观图画出几何体的直观图.几何体是由一个半球几何体是由一个
20、半球和一个圆锥组成和一个圆锥组成.半球半径与圆锥半球半径与圆锥底面半径底面半径 r= =3,圆锥母线圆锥母线 l= =5.表面积表面积 S= =2p p r2+ += =33p p.33p p 9. 一个四面体的三视图如图一个四面体的三视图如图所示所示, 该四面体四个面的面积中该四面体四个面的面积中最大的是最大的是 ( ) (A) 8 (B) (C) 10 (D)443正视图正视图俯视图俯视图侧视图侧视图解解: 画出四面体的直观图画出四面体的直观图.SABC43SSAB= =SABC= =SSAC= =SSBC= =C4 10. 纸质的正方体的六个面根据纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为
21、上其方位分别标记为上、下下、东东、南南、西西、北。现在沿该正方体的一些棱将正方北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开体剪开, 外面朝上展平外面朝上展平, 得到右侧得到右侧的平面图形，则标的平面图形，则标“”的面的方位的面的方位是是 (A)南南 (B)北北 (C)西西 (D)下下上上 东东法二法二: 先画好一个正方体先画好一个正方体, 把把“上上”放在上底面放在上底面,法一法一: 用一张演草纸写上图上的字和符号折一下用一张演草纸写上图上的字和符号折一下.然后按图中的折法放另外的字和符号然后按图中的折法放另外的字和符号.上上符号在后面的平面内符号在后面的平面内,按方位即可知道是北方按方位即可知道是
22、北方,(这里用了一个小小的地理知识这里用了一个小小的地理知识).返回目录返回目录复习参考题复习参考题A 组组 1. 填空题填空题 (1) 伐木工人将树伐倒后伐木工人将树伐倒后, 再将枝杈砍掉再将枝杈砍掉, 根根据需要将其截成不同长度的圆木据需要将其截成不同长度的圆木, 圆木可以近似地看圆木可以近似地看成是成是 体体. (2) 用铁丝作一个三角形用铁丝作一个三角形, 在三个顶点上分别固在三个顶点上分别固定一个筷子定一个筷子, 把三根筷子的另一端也用铁丝连接成一把三根筷子的另一端也用铁丝连接成一个三角形个三角形, 从而获得一个几何体模型从而获得一个几何体模型, 如果筷子的如果筷子的长度相同长度相同
23、, 那么这个几何体可能是那么这个几何体可能是 .圆柱圆柱三棱柱三棱柱 (3) 正方形边长扩大到原来的正方形边长扩大到原来的 n 倍倍, 其面积扩大其面积扩大到原来的到原来的 倍倍; 正方体棱长扩大到原来的正方体棱长扩大到原来的 n 倍倍, 其表面积扩大到原来的其表面积扩大到原来的 倍倍; 体积扩大到原来的体积扩大到原来的 倍倍.正方形正方形: 原边长为原边长为 a,扩大后边长为扩大后边长为 na.原面积原面积: a2,扩大后面积扩大后面积: (na)2= =n2a2.面积扩大为原来的面积扩大为原来的 n2 倍倍.n2正方体正方体: 原棱长为原棱长为 a,扩大后边长为扩大后边长为 na.原面积原
24、面积: 6a2, 扩大后面积扩大后面积: 6(na)2= =n2(6a2).表面积扩大为原来的表面积扩大为原来的 n2 倍倍.n2原体积原体积: a3,扩大后面积扩大后面积: (na)3= =n3a3.体积扩大为原来的体积扩大为原来的 n3 倍倍.n3 (4) 圆半径扩大到原来的圆半径扩大到原来的 n 倍倍, 其面积扩大到原其面积扩大到原来的来的 倍倍; 球半径扩大到原来的球半径扩大到原来的 n 倍倍, 其表面积其表面积扩大到原来的扩大到原来的 倍倍; 体积扩大到原来的体积扩大到原来的 倍倍.圆圆: 原半径为原半径为 r,扩大后半径为扩大后半径为 nr.原面积原面积: p pr2, 扩大后面积
25、扩大后面积: p p(na)2= =n2(p pa2).面积扩大为原来的面积扩大为原来的 n2 倍倍.球球: 原半径为原半径为 R, 扩大后半径为扩大后半径为 nR.原面积原面积: 4p pR2, 扩大后面积扩大后面积: 4p p(nR)2= =n2(4p pR2).表面积扩大为原来的表面积扩大为原来的 n2 倍倍.扩大后体积扩大后体积:体积扩大为原来的体积扩大为原来的 n3 倍倍.n2原体积原体积:n2n3 (5) 圆柱的底面不变圆柱的底面不变, 体积扩大到原来的体积扩大到原来的 n 倍倍, 则高扩大到原来的则高扩大到原来的 倍倍; 反之反之, 高不变高不变, 底面半底面半径扩大到原来的径扩
26、大到原来的 倍倍.原底面积为原底面积为 S, 高为高为 h, 体积为体积为 Sh.扩大后体积为扩大后体积为 nSh= =S(nh).则扩大后的高为则扩大后的高为 nh, 扩大为原来的扩大为原来的 n 倍倍.n原底面半径为原底面半径为 r, 高为高为 h, 体积为体积为 p pr2h.扩大后体积为扩大后体积为 n(p pr2h)扩大后的底面半径为扩大后的底面半径为 扩大为原来的扩大为原来的 倍倍. 2. 仿照下图仿照下图(1), 画出画出 (2) 、(3) 、(4) 中中 L 围围绕绕 l 旋转一周形成的空间几何体旋转一周形成的空间几何体:lLlLlL(1)(2)(3)(4)lLlLlL3. 已
27、知几何体的三视图如下已知几何体的三视图如下, 画出它的直观图画出它的直观图. 4. 按第按第 3 题的三视图题的三视图, 用硬纸制作模型用硬纸制作模型, 并并将它们设计成学习用品或装饰物将它们设计成学习用品或装饰物.(略略) 5. 如图如图, 圆柱内有一个三棱柱圆柱内有一个三棱柱, 三棱柱的底面三棱柱的底面在圆柱底面内在圆柱底面内, 并且底面是正三角形并且底面是正三角形, 如果圆柱的如果圆柱的体积是体积是 V, 底面直径与母线长相等底面直径与母线长相等, 那么三棱柱的体那么三棱柱的体积是多少积是多少?ABCA B C D解解:设圆柱底面半径为设圆柱底面半径为 r, 则则母线长为母线长为 2r,
28、 V = = p p r22r = = 2p pr3,得得如图如图, CD为直径时为直径时, CAD= =90 , ACD= =30 ,则则可算得可算得ABC的高为的高为则则 V三棱柱三棱柱= =(答略答略) 6. 如图是一个漏斗形铁管接头如图是一个漏斗形铁管接头, 它的母线长是它的母线长是 35 cm, 两底面直径分别是两底面直径分别是 50 cm 和和 20 cm, 制作制作 1 万万个这样的接头需要多少平方米的铁皮个这样的接头需要多少平方米的铁皮 (p p 取取 3.1, 结果结果精确到精确到 1 m2)?解解: 一个漏斗所需的铁皮为圆台一个漏斗所需的铁皮为圆台= =1225p p (
29、(cm2),1 万个漏斗所用铁皮为万个漏斗所用铁皮为12250000p p cm2侧面积侧面积,3798 m2.答答: 制作制作 1 万个这样的接头约需万个这样的接头约需3798平方米的铁皮平方米的铁皮. 7. 三个直角三角形如图放置三个直角三角形如图放置, 它们围绕固定直线它们围绕固定直线旋转一周形成几何体旋转一周形成几何体, 画出它的三视图画出它的三视图, 并求出它并求出它的表面积和体积的表面积和体积.333246正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图解解: 旋转后的几何体如图旋转后的几何体如图, 7. 三个直角三角形如图放置三个直角三角形如图放置, 它们围绕固定直线它们围绕固定直线旋转一周
30、形成几何体旋转一周形成几何体, 画出它的三视图画出它的三视图, 并求出它并求出它的表面积和体积的表面积和体积.333246解解: 三角形斜边是圆锥母线长三角形斜边是圆锥母线长,三个圆锥的母线长分别是三个圆锥的母线长分别是则表面积则表面积 S = =388.体积体积 V = =176. 8. 用硬纸依据如图所示用硬纸依据如图所示 (单位单位: cm) 的平面图形的平面图形制作一个几何体制作一个几何体, 画出该几何体的三视图并求出其画出该几何体的三视图并求出其表面积表面积.270 43119解解: 所制作的几何体所制作的几何体上面是个圆锥上面是个圆锥, 下面是个圆下面是个圆柱的组合体柱的组合体 (
31、如图如图).正视图正视图则视图则视图俯视图俯视图表面积表面积 S = = = 27p p85 (cm2). 9. 一个红色的棱长是一个红色的棱长是 4 cm 的立方体的立方体, 将其适当分割将其适当分割成棱长为成棱长为 1 cm 的小正方体的小正方体, 问问: (1) 共得到多少个棱长为共得到多少个棱长为 1 cm 的小正方体的小正方体? (2) 三面涂色的小正方体有多少个三面涂色的小正方体有多少个? 表面积之和为多表面积之和为多少少? (3) 二面涂色的小正方体有多少个二面涂色的小正方体有多少个? 表面积之和为多表面积之和为多少少? (4) 一面涂色的小正方体有多少个一面涂色的小正方体有多少
32、个? 表面积之和为多表面积之和为多少少? (5) 六个面均没有涂色的小正方体有多少个六个面均没有涂色的小正方体有多少个? 表面积表面积之和为多少之和为多少? 它们占有多少立方厘米的空间它们占有多少立方厘米的空间?解解: (1)小正方体共有小正方体共有4 4 4= =64(个个).如图如图,(2) 八个顶点处的小正方体三面涂色八个顶点处的小正方体三面涂色,每个小正方体的表面积为每个小正方体的表面积为 6 cm2,共有共有 8 个三面涂色的小正方体个三面涂色的小正方体,其表面积之和为其表面积之和为 6 8= =48 (cm2). 9. 一个红色的棱长是一个红色的棱长是 4 cm 的立方体的立方体,
33、 将其适当分割将其适当分割成棱长为成棱长为 1 cm 的小正方体的小正方体, 问问: (1) 共得到多少个棱长为共得到多少个棱长为 1 cm 的小正方体的小正方体? (2) 三面涂色的小正方体有多少个三面涂色的小正方体有多少个? 表面积之和为多表面积之和为多少少? (3) 二面涂色的小正方体有多少个二面涂色的小正方体有多少个? 表面积之和为多表面积之和为多少少? (4) 一面涂色的小正方体有多少个一面涂色的小正方体有多少个? 表面积之和为多表面积之和为多少少? (5) 六个面均没有涂色的小正方体有多少个六个面均没有涂色的小正方体有多少个? 表面积表面积之和为多少之和为多少? 它们占有多少立方厘
34、米的空间它们占有多少立方厘米的空间?解解: (3) 大正方体每条棱上除了顶点大正方体每条棱上除了顶点外的小正方体都是两面涂色外的小正方体都是两面涂色, 共有共有2 12= =24 (个个).表面积之和为表面积之和为 6 24= =144 (cm2). 9. 一个红色的棱长是一个红色的棱长是 4 cm 的立方体的立方体, 将其适当分割将其适当分割成棱长为成棱长为 1 cm 的小正方体的小正方体, 问问: (1) 共得到多少个棱长为共得到多少个棱长为 1 cm 的小正方体的小正方体? (2) 三面涂色的小正方体有多少个三面涂色的小正方体有多少个? 表面积之和为多表面积之和为多少少? (3) 二面涂
35、色的小正方体有多少个二面涂色的小正方体有多少个? 表面积之和为多表面积之和为多少少? (4) 一面涂色的小正方体有多少个一面涂色的小正方体有多少个? 表面积之和为多表面积之和为多少少? (5) 六个面均没有涂色的小正方体有多少个六个面均没有涂色的小正方体有多少个? 表面积表面积之和为多少之和为多少? 它们占有多少立方厘米的空间它们占有多少立方厘米的空间?解解: (4) 大正方体每个面的中间有大正方体每个面的中间有4 6= =24 (个个),其表面积之和为其表面积之和为 6 24= =144 (cm2).4个小正方体是一面涂色的个小正方体是一面涂色的, 共有共有 9. 一个红色的棱长是一个红色的
36、棱长是 4 cm 的立方体的立方体, 将其适当分割将其适当分割成棱长为成棱长为 1 cm 的小正方体的小正方体, 问问: (1) 共得到多少个棱长为共得到多少个棱长为 1 cm 的小正方体的小正方体? (2) 三面涂色的小正方体有多少个三面涂色的小正方体有多少个? 表面积之和为多表面积之和为多少少? (3) 二面涂色的小正方体有多少个二面涂色的小正方体有多少个? 表面积之和为多表面积之和为多少少? (4) 一面涂色的小正方体有多少个一面涂色的小正方体有多少个? 表面积之和为多表面积之和为多少少? (5) 六个面均没有涂色的小正方体有多少个六个面均没有涂色的小正方体有多少个? 表面积表面积之和为
37、多少之和为多少? 它们占有多少立方厘米的空间它们占有多少立方厘米的空间?解解: (5) 去掉涂有色的就是没有涂色的去掉涂有色的就是没有涂色的,64- -8- -24- -24= =8 (个个),其表面积之和为其表面积之和为 6 8= =48 (cm2).其体积之和为其体积之和为 1 8= =8 (cm3).即没涂色的小正方体共占即没涂色的小正方体共占 8 立方厘米的空间立方厘米的空间. 10. 直角三角形三边长分别是直角三角形三边长分别是 3 cm, 4 cm, 5 cm,绕三边旋转一周分别形成三个几何体绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三想象并说出三个几何体的结构个几何体的结构,
38、 画出它们的三视图画出它们的三视图, 求出它们的表求出它们的表面积和体积面积和体积.343434解解: 旋转后的效果如图旋转后的效果如图.(1)(2)(3)(1) 的三视图的三视图:正视图正视图则视图则视图俯视图俯视图表面积表面积:= =36p p (cm2).体积体积:= =16p p (cm3). 10. 直角三角形三边长分别是直角三角形三边长分别是 3 cm, 4 cm, 5 cm,绕三边旋转一周分别形成三个几何体绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三想象并说出三个几何体的结构个几何体的结构, 画出它们的三视图画出它们的三视图, 求出它们的表求出它们的表面积和体积面积和体积.3
39、43434解解: 旋转后的效果如图旋转后的效果如图.(1)(2)(3)(2) 的三视图的三视图:正视图正视图则视图则视图俯视图俯视图表面积表面积:= =24p p (cm2).体积体积:= =12p p (cm3). 10. 直角三角形三边长分别是直角三角形三边长分别是 3 cm, 4 cm, 5 cm,绕三边旋转一周分别形成三个几何体绕三边旋转一周分别形成三个几何体. 想象并说出三想象并说出三个几何体的结构个几何体的结构, 画出它们的三视图画出它们的三视图, 求出它们的表求出它们的表面积和体积面积和体积.343434解解: 旋转后的效果如图旋转后的效果如图.(1)(2)(3)(3) 的三视图
40、的三视图:正视图正视图则视图则视图俯视图俯视图表面积表面积:= =16.8p p (cm2).体积体积:= =9.6p p (cm3).r斜边上的高斜边上的高B 组组 1. 由由 8 个面围成的几何体个面围成的几何体, 每一个面都是正三每一个面都是正三角形角形, 并且有四个顶点并且有四个顶点 A, B, C, D 在一个平面内在一个平面内, ABCD 是边长为是边长为 30 cm 的正方形的正方形. (1) 想象几何体的结构想象几何体的结构, 并画出它的三视图和并画出它的三视图和直观图直观图; (2) 求出此几何体的表面积和体积求出此几何体的表面积和体积; (3) 用硬纸制作这个模型用硬纸制作
41、这个模型.B 组组 1. 由由 8 个面围成的几何体个面围成的几何体, 每一个面都是正三每一个面都是正三角形角形, 并且有四个顶点并且有四个顶点 A, B, C, D 在一个平面内在一个平面内, ABCD 是边长为是边长为 30 cm 的正方形的正方形. (1) 想象几何体的结构想象几何体的结构, 并画出它的三视图和并画出它的三视图和直观图直观图;解解: 几何体如图几何体如图:直直观观图图 :正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图30B 组组 1. 由由 8 个面围成的几何体个面围成的几何体, 每一个面都是正三每一个面都是正三角形角形, 并且有四个顶点并且有四个顶点 A, B, C, D 在一个
42、平面内在一个平面内, ABCD 是边长为是边长为 30 cm 的正方形的正方形.解解: 求得每个正三角形的高为求得每个正三角形的高为 h斜高斜高= =直直观观图图 :(2) 求出此几何体的表面积和体积求出此几何体的表面积和体积;30则表面积为则表面积为 S = =体积体积 V= =一个棱锥的高一个棱锥的高 h= =B 组组 1. 由由 8 个面围成的几何体个面围成的几何体, 每一个面都是正三每一个面都是正三角形角形, 并且有四个顶点并且有四个顶点 A, B, C, D 在一个平面内在一个平面内, ABCD 是边长为是边长为 30 cm 的正方形的正方形.提示提示:直直观观图图 :30(3) 用
43、硬纸制作这个模型用硬纸制作这个模型.将硬纸剪裁成如图形状将硬纸剪裁成如图形状, 沿虚线折起沿虚线折起. 2. 一个长、宽、高分别是一个长、宽、高分别是 80 cm、60 cm、55 cm的水槽中有水的水槽中有水 200000 cm3, 现放入一个直径为现放入一个直径为 50 cm的木球的木球, 如果木球的三分之二在水中如果木球的三分之二在水中, 三分之一在三分之一在水上水上, 那么水是否会从水槽中流出那么水是否会从水槽中流出?解解: 水槽容积为水槽容积为80 60 55V水槽水槽 = = =264000 (cm3),三分之二球的体积为三分之二球的体积为43633 (cm3),= =243633
44、 (cm3)V水槽水槽,答答: 水不会流出水槽水不会流出水槽. 3. 你见过如图所示的纸篓吗你见过如图所示的纸篓吗? 仔细观察它的几仔细观察它的几何结构何结构, 可以发现可以发现, 它可以由多条直线围成它可以由多条直线围成, 你你知道它是怎么形成的吗知道它是怎么形成的吗?解解: 如图如图,OO AB取正方体上下底面取正方体上下底面的中心连线的中心连线OO 为转轴为转轴, 旋转某一旋转某一侧面的对角线段侧面的对角线段AB, 得到的旋转面得到的旋转面即是所示纸篓即是所示纸篓. 效果如图效果如图. 4. 一块边长为一块边长为 10 cm 的正方形铁片按如图所示的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下的阴
45、影部分裁下, 然后用余下的四个全等的等腰三然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器角形加工成一个正四棱锥形容器, 试把容器的容积试把容器的容积V表示为表示为 x 的函数的函数.5x10EABCDOF5x解解: 棱锥底面正棱锥底面正方形的边长为方形的边长为 x cm,棱锥的高为棱锥的高为则容积则容积 V = =自我检测题自我检测题返回目录返回目录【自我检测题自我检测题】 一、选择题: 1. 下列命题中正确的是 ( ) (A) 有两个面平行, 其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 (B) 有两个面平行, 其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 (C) 有两个面平行, 其余各面都是四边形,
46、并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 (D) 用一个平面去截棱锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 2. 如下图所示, 最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面, 下底面圆心为顶点的圆锥而得, 现用一个竖直的平面去截零点几何体, 则所截得的截止面图形可能是( ) (A) (B) (C) ( D) 3. 如图, 一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形, 如果直角三角形的直角边的长为1, 那么这个几何体的体积为( ) (A) (B) (C) (D) 1 4. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是( ) (A) (B) (C) (D) p
47、 5. 如右图所示的正方体中, M、N 分别是 AA1、CC1的中点, 作四边形 D1MBN, 则四边形D1MBN 在正方体各个面上的正投影图形中, 不可能出现的是( )正视图侧视图俯视图ABCDMNA1B1C1D1(A)(B)(C)(D) 6. 如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=6, AD=4, AA1=3, 分别过 BC、A1D1 的两个平行截面将长方体分成三部分, 其体积分别记为 V1=VAEA1-DFD1, V2=VEBE1A1-FCF1D1, V3=VB1E1B-C1F1C. 若V1:V2:V3=1:4:1, 则截面 A1EFD1 的面积为( ) (A) (B)
48、(C) (D) 二、填空题: 7. 从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点 E、F、G, 过此三点作长方体的截面, 那么截去的几何体是 . 8. 两个球的体积之比为 8:27, 那么这两个球的表面积之比为 . 9. 平行投影与中心投影的不同之处在于: 平行投影的投影线 , 而中心投影的投影线 . 三、解答题: 10. 已知长方体的全面积为11, 十二条棱长之和为24, 求这个长方体的对角线的长. 11. 已知一个半径为 的球有一个内接正方体(即正方体的顶点都在球面上), 求这个球的球面面积与其内接正方体的全面积之比. 12. 如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为 a 的正方体ABCD-A1
49、B1C1D1中分离出来的. (1) DC1D1 在图中的度数和它表示的角的真实度数都是 45, 对吗? (2) A1C1D 的真实度数是 60, 对吗? (3) 设 BC=1 m, 如果用图示中这样一个装置来盛水, 那么最多能盛多少体积的水?ABCDE1F1A1B1C1D1EFBCDA1B1C1D1一、一、选择题选择题: 1. 下列命题中正确的是下列命题中正确的是 ( ) (A) 有两个面平行有两个面平行, 其余各面都是四边形的几其余各面都是四边形的几何体叫棱柱何体叫棱柱 (B) 有两个面平行有两个面平行, 其余各面都是平行四边形其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱的几何体叫棱柱 (C) 有两
50、个面平行有两个面平行, 其余各面都是四边形其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱叫棱柱 (D) 用一个平面去截棱锥用一个平面去截棱锥, 底面与截面之间的底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台部分组成的几何体叫棱台A 选项错选项错.如图如图:一、一、选择题选择题: 1. 下列命题中正确的是下列命题中正确的是 ( ) (A) 有两个面平行有两个面平行, 其余各面都是四边形的几其余各面都是四边形的几何体叫棱柱何体叫棱柱 (B) 有两个面平行有两个面平行, 其余各面都是平行四边形其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱的几何
51、体叫棱柱 (C) 有两个面平行有两个面平行, 其余各面都是四边形其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱叫棱柱 (D) 用一个平面去截棱锥用一个平面去截棱锥, 底面与截面之间的底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台部分组成的几何体叫棱台B 选项错选项错, 如图如图:前后两个面平行前后两个面平行, 其他各面是平行四边形其他各面是平行四边形,但这些四边形每相邻两个面的公共边不都互相平行但这些四边形每相邻两个面的公共边不都互相平行.一、一、选择题选择题: 1. 下列命题中正确的是下列命题中正确的是 ( ) (A) 有两个
52、面平行有两个面平行, 其余各面都是四边形的几其余各面都是四边形的几何体叫棱柱何体叫棱柱 (B) 有两个面平行有两个面平行, 其余各面都是平行四边形其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱的几何体叫棱柱 (C) 有两个面平行有两个面平行, 其余各面都是四边形其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱叫棱柱 (D) 用一个平面去截棱锥用一个平面去截棱锥, 底面与截面之间的底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台部分组成的几何体叫棱台C 选项对选项对, 符合棱柱特征符合棱柱特征.D 选项错选项错, 所截平面没确定平行于底面所截平
53、面没确定平行于底面.C 2. 如下图所示如下图所示, 最左边的几何体由一个圆柱中挖最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面去一个以圆柱的上底面为底面, 下底面圆心为顶点的下底面圆心为顶点的圆锥而得圆锥而得, 现用一个竖直的平面去截这个几何体现用一个竖直的平面去截这个几何体, 则则所截得的截面图形可能是所截得的截面图形可能是 ( )(A) (B) (C) ( D) 分析分析: 沿轴截下沿轴截下,平行于轴截下平行于轴截下,D截面为截面为.截面为截面为. 3. 如图如图, 一个空间几何体的正视图、侧视图、一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形俯视图为全等的等腰直角
54、三角形, 如果直角三角形的如果直角三角形的直角边的长为直角边的长为 1, 那么这个几何体的体积为那么这个几何体的体积为 ( ) (A) (B) (C) (D) 1正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图ABCSABC解解: 画出直观图画出直观图.SCSC底面积底面积 SABC= =棱锥高为棱锥高为 SC= =1,则体积为则体积为A 4. 球的表面积与它的内接正方体的表面积之比球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是是 ( ) (A) (B) (C) (D) p p解解: 如图如图, 内接正方体的对角线内接正方体的对角线长就是球的直径长就是球的直径 2R.设正方体的棱为为设正方体的棱为为 a,则则
55、a2+ +a2+ +a2= =(2R)2,解得解得球的表面积为球的表面积为 S球表面球表面= =4p pR2,正方体表面积为正方体表面积为 S正表面正表面= =6a2C 5. 如图所示的正方体中如图所示的正方体中, M、N 分别是分别是 AA1、CC1的中点的中点, 作四边形作四边形 D1MBN, 则四边形则四边形 D1MBN 在正方在正方体各个面上的正投影图形中体各个面上的正投影图形中, 不可能出现的是不可能出现的是 ( )ABCDMNA1B1C1D1(A)(B)(C)(D)分析分析: 在上下底面投影为在上下底面投影为 A选项选项.在左右侧面投影为在左右侧面投影为 C 选项选项.在前后正面投
56、影为在前后正面投影为 B 选项选项.D 6. 如图如图, 在长方体在长方体 ABCD-A1B1C1D1中中, AB= =6, AD= =4, AA1= =3, 分别过分别过 BC、A1D1 的两个平行截面将的两个平行截面将长方体分成三部分长方体分成三部分, 其体积分别记为其体积分别记为 V1= =VAEA1-DFD1, V2= =VEBE1A1-FCF1D1, V3= =VB1E1B-C1F1C. 若若 V1:V2:V3= =1:4:1, 则截面则截面 A1EFD1 的面积为的面积为 ( ) (A) (B) (C) (D)ABCDE1F1A1B1C1D1EF解解: 三部分是横放的三个棱柱三部分
57、是横放的三个棱柱,其高相等其高相等.= =6AE.= =12EB.则则 AE:EB= =1:2, 得得 AE= =2,于是得于是得则截面则截面 A1EFD1 的面积为的面积为S= =A1EADB 二、二、填空题填空题: 7. 从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点E、F、G, 过此三点作长方体的截面过此三点作长方体的截面, 那么截去的几那么截去的几何体是何体是 .GABCDA1B1C1D1EF三棱锥三棱锥如图如图: 8. 两个球的体积之比为两个球的体积之比为 8:27, 那么这两个球的那么这两个球的表面积之比为表面积之比为 .设两球的半径分别为设两球的
58、半径分别为 R1, R2.解解:4:9 9. 平行投影与中心投影的不同之处在于平行投影与中心投影的不同之处在于: 平行平行投影的投影线投影的投影线 , 而中心投影的投影线而中心投影的投影线 .互相平行互相平行交于一点交于一点 三、三、解答题解答题: 10. 已知长方体的全面积为已知长方体的全面积为 11, 十二条棱长之和十二条棱长之和为为 24, 求这个长方体的对角线的长求这个长方体的对角线的长.ABCDA1B1C1D1解解: 如图如图,设同一顶点的三条棱长设同一顶点的三条棱长分别为分别为 a, b, c, 则对角线长为则对角线长为abc 2(ab+ +bc+ +ac)= =11,又又 4(a
59、+ +b+ +c)= =24,(a+ +b+ +c)2= =36,a2+ +b2+ +c2+ +2(ab+ +bc+ +ac)= =36,a2+ +b2+ +c2= =25,对角线的长为对角线的长为 5. 11. 已知一个半径为已知一个半径为 的球有一个内接正方体的球有一个内接正方体(即正方体的顶点都在球面上即正方体的顶点都在球面上), 求这个球的球面面求这个球的球面面积与其内接正方体的全面积之比积与其内接正方体的全面积之比.解解: 如图如图, 内接正方体的对角线内接正方体的对角线设正方体的棱为为设正方体的棱为为 a,解得解得 a= =2.球的表面积为球的表面积为 S球表面球表面= =正方体表
60、面积为正方体表面积为 S正表面正表面= =6a2长就是球的直径长就是球的直径则对角线则对角线= =24,即球面面积与正方体全面积之比为即球面面积与正方体全面积之比为 12. 如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为 a 的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中分离出来的中分离出来的. (1) DC1D1 在图中的度数和它表示的角的真实在图中的度数和它表示的角的真实度数都是度数都是 45 , 对吗对吗? (2) A1C1D 的真实度数是的真实度数是 60 , 对吗对吗? (3) 设设 BC= =1 m, 如果用图示中这样一个装置来如果用图示中这样一个装置来
61、盛水盛水, 那么最多能盛多少体积的水那么最多能盛多少体积的水?BCDA1B1C1D1答答: (1) 是对的是对的, 正方体侧面正方体侧面CDD1C1为正视图为正视图, 形状不变形状不变.(2) 是对的是对的,形的对角线相等形的对角线相等, 即即 A1C1= =C1D= =DA1,等边三角形一内角等于等边三角形一内角等于60 .因为三个全等的正方因为三个全等的正方 12. 如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为 a 的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中分离出来的中分离出来的. (1) DC1D1 在图中的度数和它表示的角的真实在图中的度数和它表示的角的真实度数都是度数都是 45 , 对吗对吗? (2) A1C1D 的真实度数是的真实度数是 60 , 对吗对吗? (3) 设设 BC= =1 m, 如果用图示中这样一个装置来如果用图示中这样一个装置来盛水盛水, 那么最多能盛多少体积的水那么最多能盛多少体积的水?BCDA1B1C1D1BCDA1B1C1D1装置如图放置装置如图放置,盛水部分为三棱锥盛水部分为三棱锥C-C1B1D1, 其体积为其体积为答答: 最多能盛最多能盛 的水的水.(3)耶！这一章完啦！
