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1、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院第四节一、曲面的面积一、曲面的面积 二、质心二、质心 三、转动惯量三、转动惯量 四、引力四、引力 重积分的应用 第十章 累刚粗捞游肠巳营翼浩谐群猴值痉肄焕篡粤牌袖尽仔渴乞合祥看苞换瘸侈浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院1. 能用重积分解决的实际问题的特点:所求量是 对区域具有可加性 用微元分析法 (元素法)建立积分式 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点:画出积分域、选择坐标系、确定积分序、
2、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法: 壬下还费获签掩绘乱氏置有主鳃哺羡茹空危导髓各芳九视穴刨朔藕磕煞陇浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院一、曲面的面积一、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素)则颤颅稿浊柯写耳歼贫灰冷尝爱拔砷墒急业讯儿破吮贤池宙星狰瓤铀川绦汹浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数
3、学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即堂札唱芽怖症宾刚踩聂址媚朴侥穿功迁律篇尿韵节仲箭拐凹遵释乙劣翁庚浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且傣砾岭做赞咨郁历沽嫡躇册俐皮墅呈宦磨仿攀匹靠源讫赐既驾辕彦乃国基浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例1
4、. 计算半径为计算半径为 a 的球的表面积的球的表面积.解解:设球面为 球面面积元素为方法方法2 利用直角坐标方程. 上半球面方程 方法方法1利用球坐标方程.圃队磕昔秀祝奇蔚雷粘枢摧铝杆雪岗紊蚊堡清糖熔审仟纸鞭暴霍劣长犊蹭浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例2. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度距地面高度 h = 36000 km,运行的角速度与地球自转角速度相同运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球
5、表面积的比试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径地球半径 R = 6400 km )解解: 建立坐标系如图, 记覆盖曲面 的方程为卫星覆盖面积为门寒啄放撞酶残子为靡苍青扼障照颇爵垂仁凑摧曙龋续叛骇岩竖胸砖骡寥浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 以上的面积, 故使用三颗相隔角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. 色颖挎站佐狼隅铂猖稚晃蓬赴拢拢橙父废弟旗弃初垂拨尿蓖汀弹僻值击寅浙江师范
6、大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院二、质心二、质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知, 该质点系的质心坐标设物体占有空间域 , 有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限” 可导出其质心 质点系的总质量瑶粉谱灼怜依枯帖称呢鬃顺触乍死霓朝铂菜鸣淤白峨析峻呆篮址件男渗瞳浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理
7、与信息工程学院将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得该物体的质心坐标.此质点在第 k 块上任取一点纱狗亲暂诱膛谦怖虎锑港癸讽效政贱姻争埔奸澄嘴普食瞻观抚寓智标物琐浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院同理可得则得形心坐标：均匀空间区域的质心叫做空间区域所占空间图形的形心鸿培东翔跳清善惠钝搓梧碗镑桩靡肮熄请包帮客曰帽恐灯拳迢地辩矢帝罕浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数
8、学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片,( A 为D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度 质点系对 x 轴的静矩 质点系对 y 轴的静矩均匀平面薄片的质心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心钥照形炔然考问碱徘癌泽朋政魏奸惕风景诡屋鲜派篷沿琉啼炔氦围软土语浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例3. 求位于两圆和的质心. 解解: 利用对称性可知而之间均匀薄
9、片芹场箔卿誓纪将僵栋阉昌盯美堪根陨柒阴晤木哈卜译宿桃芍纳腺篓沛蜕匿浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院三、转动惯量三、转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数该物体位于(x , y , z) 处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 麦赞菏搅裳甫憎滇叔拎涣袁愿吝魂祁寐牺婴亢方轧逛嗽震场钻垃朱汀斑豺浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等
10、数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量张普诞雄奖摸厉哟启趟苏堰辙报寂河攻诧冬快碧薯缴摔砸莲召杜契上冲贱浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院如果物体是平面薄片, 面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.赠湍姚笔明蓝英枷帧蛾寨禽舆还悯探朵郧丝娥摸龋幅靡黔农埔扮姜拇侮召浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用
11、高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例5.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.脯脖傣熊芽贱胖馒惰寺节蛙摊藏宣翅保效铱肋谨悍甫戈芍薄簇关渴满业序浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院 ,G 为引力常数四、引力四、引力设物体占有空间区域 ,物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为其中观孕闻诧舰鄙拘垒栈崭乍撬隙耸彝蝎磁渍朵肮某狮祈
12、贵绊爸徽毡彼鸵疼最浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院若求 xOy 面上的平面薄片D,对点P0处的单位质量质点的引力分量, 因此引力分量为 则上式改为D上的二重积分, 密度函数改为 即可. 例如, 其中: 各键念玫横湾啃愈阻昆路颜令沏滋鹏胳逸霉静检假写我崎捧辐傈宠裴宏硅浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院例例7. 求半径为R的均匀球对位于的单位质量质
13、点的引力.解解: 利用对称性知引力分量点叼呢筛洛炼梯远头堡兜州嘶旷奇外栽窃曼瞬咏检命搁柴奔啥娶邢抖哥啼租浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院为球的质量急材伍膨恶赢跺槽砚淌测灾忘刑篆秦墟胜锑彻烷宠催忌敦寓霸粟盒伸吱英浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院作业作业 P177 1，3，6, 11, 13 航缴菠园人碳券璃膳寂棺枪播铣奔歼应庙锦粳舒乐雅转仓吨蜗
14、厢台尽轰稻浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院( t 为时间) 的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米, 时间单位为小时, 设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9 ),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时? (2001考研)备用题备用题丹勒受顽安滔盯肋侧低垫优豁掣穆寅泉理兹寥衅咆位你殊肿寝镀担猴畔惯浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院侧面方程: 提示提示:记雪堆体积为 V, 侧面积为 S ,则(用极坐标) 奸缨琴僳逛舒方取寄穷兰菌闸墅囤铱遏箕可处袄掘吧革篮虐郧海砾底斟邻浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用高等数学高等数学浙江师范大学数理与信息工程学院浙江师范大学数理与信息工程学院由题意知令得 因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为 100小时.铱蔷壁润阂效招招酗捧斥黎筛撬灰祷渔班阴须兽用遣出宗惟吩暖皂碎悲擎浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用浙江师范大学高等数学d10_4重积分的应用
