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1、垂直于弦的直径 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究实践探究把把一个圆沿着它的任意一条直径对折，一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，判断：任意一条直径都是圆的对称轴（判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ）X任何一条直径所在的直线任何一条直径所在的直线任何一条直径所在的直线任何一条直径所在的直线都是对称轴。都是对称轴。都是对称轴。都是对称轴。OABCDE 如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使
2、CDAB，垂足为，垂足为E . 条件条件CD为直径为直径CDAB垂径定理的几何语言叙述垂径定理的几何语言叙述:CD为直径，为直径，AE=BE，AC=BC，AD=BD（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（1 1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？结论结论AE=BEAC=BCAD=BD垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧CDABOOO在下列哪个图中有在下列哪个图中有AE=BEAE=BE，ABCD（1）（2
3、）（3）DCABCABEEE AC=BCAC=BC，AD=BD.AD=BD.找一找找一找DAE=BEAE=BE吗？吗？ 例例1 已知：如图，在已知：如图，在 O中，弦中，弦 AB的长为的长为8cm，圆心圆心 O到到AB的距离为的距离为3cm. 求：求： O的半径的半径.则则OEOE3cm3cm，AEAEBEBE. .ABAB8cm 8cm AEAE4cm 4cm 在在RtRtAOEAOE中，根据勾股定理中，根据勾股定理OAOA5cm 5cm O O的半径为的半径为5cm.5cm.A AB B.O OE E 解：连结解：连结OAOA，过，过O O作作OEOEABAB，垂足为垂足为E E，练习练习
4、1 1：一条排水管的截面如图所示一条排水管的截面如图所示一条排水管的截面如图所示一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径已知排水管的半径已知排水管的半径已知排水管的半径OB=10OB=10，水面宽水面宽水面宽水面宽AB=16AB=16AB=16AB=16。求截面圆心求截面圆心求截面圆心求截面圆心O O O O到水面的距离。到水面的距离。到水面的距离。到水面的距离。DC1088解解: :作作OCABOCAB于于C,C, 由垂径定理得由垂径定理得: :AC=BC= AB= AC=BC= AB= 16=816=8 由勾股定理得由勾股定理得: :答答: :截面圆心截面圆心截面圆心截面圆心O O O
5、O到水面的距离为到水面的距离为到水面的距离为到水面的距离为6.6.6.6.1212排水管中水最深是多少排水管中水最深是多少? ?6CD=ODCD=ODOCOC =10=106=46=4变式一变式一：若已知排水管的半径若已知排水管的半径若已知排水管的半径若已知排水管的半径OB=13OB=13，截面圆心截面圆心截面圆心截面圆心OO到水面的距离到水面的距离到水面的距离到水面的距离OC=5OC=5，求水面宽求水面宽求水面宽求水面宽ABAB。变式二：变式二：若已知排水管的水面宽若已知排水管的水面宽若已知排水管的水面宽若已知排水管的水面宽AB=8AB=8。截面圆心截面圆心截面圆心截面圆心OO到水面的距离到
6、水面的距离到水面的距离到水面的距离OC=3OC=3，求排水管的半径求排水管的半径求排水管的半径求排水管的半径OBOB。DC10886练习练习1 1：一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10OB=10OB=10OB=10，水面宽，水面宽，水面宽，水面宽AB=16AB=16AB=16AB=16。求截面圆心。求截面圆心。求截面圆心。求截面圆心O O O O到水面的距离。到水面的距离。到水面的距离。到水面的距离。若弦心距为若弦心距为d d，半，半径为径为R R，弦长
7、为，弦长为a a, ,则这三者之间有怎则这三者之间有怎样的关系？样的关系？d dR Ra a2d2+( )2=R22a解：解：如图，设半径为如图，设半径为R，在在tAODtAOD中，中，由勾股定理，得由勾股定理，得解得解得 R27.9（m）.答：赵州桥的主桥拱半径约为答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.D37.47.2赵州桥主桥拱的跨度赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m, 拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你能求出赵州桥，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？主桥拱的半径吗？AB=37.4,CD=7.2R R18.7R-7.2R-7.2 例例
8、2 已知：如图，在以已知：如图，在以 O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C、 D两点。两点。求证：求证：ACBD。则则 AEAEBEBE，CECEDEDE。 AEAECECEBEBEDEDE。所以，所以，ACACBDBD.ACDBOE证明：过证明：过O O作作OEABOEAB， 垂足为垂足为E E。1.1.如图，在如图，在O O中，中，ABAB、ACAC为互相垂直且相等的两条为互相垂直且相等的两条弦，弦，ODODABAB于于D D，OEOEACAC于于E E，求证四边形，求证四边形ADOEADOE是正是正方形方形DOABCE证明证明：四边形四边
9、形ADOEADOE为矩形，为矩形， 又又AC=ABAC=AB AE=AD AE=AD 四边形四边形ADOEADOE为正方形为正方形. .OEACOEAC，ODABODAB，ACABACABOEA=ODA=BAC=90OEA=ODA=BAC=90练习：DOABCE课堂小结课堂小结 请大家围绕以下请大家围绕以下两两个问题小结本节课个问题小结本节课 学习了一个与圆有关的重要定理学习了一个与圆有关的重要定理，定定 理的内容是什么？理的内容是什么？ 在圆中解决与弦有关问题时经常在圆中解决与弦有关问题时经常 做的辅助线做的辅助线是什么？是什么？ 1.1.垂垂径径定定理理相相当当于于说说一一条条直直线线如如
10、果果具具备备（1 1）过过圆圆心心；（2 2）垂垂直直于于弦弦；则则它它有有以以下下性性质质（3 3）平平分分弦弦；（4 4）平平分分弦弦所所对对的的劣劣弧弧；（5 5）平平分分弦弦所所对的优弧对的优弧. .2.2.在在圆圆中中解解决决有有关关弦弦的的问问题题时时，经经常常是是过过圆圆心心作作弦弦的的垂垂线线段段，连连结结半半径径等等辅辅助助线线，为为应应用用垂垂径径定定理创造条件理创造条件.课堂小结课堂小结A AB B.O OE EA AB BD DC CO OE E1 1半径为半径为4cm4cm的的O O中，弦中，弦ABAB=4cm,=4cm, 那么圆心那么圆心O O到弦到弦ABAB的距离是的距离是 . .2 2O O的直径为的直径为10cm10cm，圆心圆心O O到弦到弦ABAB的的 距离为距离为3cm3cm，则弦则弦ABAB的长是的长是 . .3 3半径为半径为2cm2cm的圆中，过半径中点且的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是垂直于这条半径的弦长是 . . 8cmA AB BO OE EA AB BO OE EO OA AB BE E不学自知不学自知, ,不问自晓不问自晓, ,古今古今行事行事, ,未之有也未之有也. .努力吧同学们！努力吧同学们！
