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1、近世代数近世代数绪论绪论 初等代数、线性代数、高等代数都称为初等代数、线性代数、高等代数都称为近世代数（近世代数（modern algebra）也称为）也称为经典代数（经典代数（classical algebra），研究的对），研究的对象是代数方程和线性方程组。象是代数方程和线性方程组。抽象代数（抽象代数（abstract algebra），研究的），研究的对象是代数系统对象是代数系统 （带有封闭运算的集合）。（带有封闭运算的集合）。 6/8/2020 11:12学习近世代数的意义学习近世代数的意义几个有趣的应用实例几个有趣的应用实例1.项链问题项链问题2.分子结构的计数问题分子结构的计数问题
2、3.正多面体着色问题正多面体着色问题4.图的构造与计数问题图的构造与计数问题5.开关线路的构造与计数问题开关线路的构造与计数问题6.数字通信的可靠性问题数字通信的可靠性问题7.几何作图问题几何作图问题8.代数方程根式求解问题代数方程根式求解问题 6/8/2020 11:121.项链问题项链问题问题的提法：问题的提法：用用n种颜色的珠子做成有种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链，颗珠子的项链，问可做成多少种不同类型的项链？问可做成多少种不同类型的项链？ 这里所说的不同类型的项链，指两个这里所说的不同类型的项链，指两个项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。 6/8/202
3、0 11:12数学上的确切描述数学上的确切描述 设由设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形边形来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。12354678 沿逆时针方向给珠子标号，沿逆时针方向给珠子标号，由于每一颗珠子的颜色有由于每一颗珠子的颜色有n种选种选择，因而用乘法原理，这些有标择，因而用乘法原理，这些有标号的项链共有号的项链共有nm种。种。但其中有一些可以通过旋转一个角但其中有一些可以通过旋转一个角度或翻转度或翻转180度使它们完全重合，度使它们完全重合，我们称为是本质相同的，我们要考我们称为是本质相同的，我们要考虑的是无论
4、怎么旋转、翻转都不能虑的是无论怎么旋转、翻转都不能使它们重合的项链类型数。使它们重合的项链类型数。 6/8/2020 11:12例例例例1 1 用黑白两种颜色的珠子做成有用黑白两种颜色的珠子做成有用黑白两种颜色的珠子做成有用黑白两种颜色的珠子做成有5 5颗珠子的项链颗珠子的项链颗珠子的项链颗珠子的项链利用枚举法，得到一共利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。种不同类型的项链。随着随着n、m的增加，用枚举法解决越来越难，的增加，用枚举法解决越来越难，采用群论方法解决是最简单、有效的方法。采用群论方法解决是最简单、有效的方法。 6/8/2020 11:122.分子结构的计数问题分子结构的计数问题
5、 在化学中研究由某几种元素可合成多少种在化学中研究由某几种元素可合成多少种不同物质的问题，由此可以指导人们在大自不同物质的问题，由此可以指导人们在大自然中寻找或人工合成这些物质。然中寻找或人工合成这些物质。例例2 在一个苯环上结合在一个苯环上结合H原子或原子或CH3原子团，原子团，问可能形成多少种不同的化合物？问可能形成多少种不同的化合物？CCCCCCCH3CH3HHHH如果假定苯环上相邻如果假定苯环上相邻C原子原子之间的键是互相等价的，则之间的键是互相等价的，则此问题就是两种颜色此问题就是两种颜色6颗珠颗珠子的项链问题。子的项链问题。 6/8/2020 11:123.正面体着色问题正面体着色
6、问题 对一个正多面体的顶点或面用对一个正多面体的顶点或面用n种颜色进种颜色进 下面以六面体为例说明此问题的数学描述。下面以六面体为例说明此问题的数学描述。例例3 用用n种颜色对六面体的面着色，问有多种颜色对六面体的面着色，问有多 首先建立此问题的数学模首先建立此问题的数学模型，将问题中的一些概念给型，将问题中的一些概念给以量化：以量化：少种不同的着色方法？少种不同的着色方法？行着色，问有多少种不同的着色方法？行着色，问有多少种不同的着色方法？ 6/8/2020 11:12 设设n种颜色的集合为种颜色的集合为 A=a1 ，a2 ， an 正六面体的面集合为正六面体的面集合为 B=b1 ，b2 ，
7、 b3 ， b4 ， b5 ， b6则每一种着色方法对应一个映射：则每一种着色方法对应一个映射：f：B A，反之，每一个映射对应一种着色法。由乘法，反之，每一个映射对应一种着色法。由乘法原理，全部着色法的总数为原理，全部着色法的总数为n6，但这样的着色，但这样的着色法与面的编号有关，其中有些着色法可适当旋法与面的编号有关，其中有些着色法可适当旋转正六面体使它们完全重合，称它们本质相同转正六面体使它们完全重合，称它们本质相同，我们要求本质不同的着色法的数目。，我们要求本质不同的着色法的数目。 6/8/2020 11:12两种颜色两种颜色 （红、绿）（红、绿） n=26面红5面红、1面绿4面红、2
8、面绿3面红、3面绿2面红、4面绿1面红、5面绿6面绿利用枚举法，得到一共利用枚举法，得到一共10种不同的着色法。种不同的着色法。对于一般的情况，目前只能用群论方法解决。对于一般的情况，目前只能用群论方法解决。1122211 6/8/2020 11:124.图的构造与计数问题 图论的一些基本概念：图论的一些基本概念： 设设V=v1, v2,vn称为称为顶点顶点集（集（vertex set）,E是由是由V的一些的一些2元子集构成的集合，称元子集构成的集合，称为为边集边集（edge set） ，则有序对，则有序对(V,E)称为一个称为一个图图(graph)，记作，记作G=(V,E)。 作图：每一个顶
9、点用圆圈表示，对边集中作图：每一个顶点用圆圈表示，对边集中的每一个元素的每一个元素i，j用一条直线或曲线连接顶用一条直线或曲线连接顶点点i与与j，顶点的位置及边的长短，形状均无关紧，顶点的位置及边的长短，形状均无关紧要。要。 6/8/2020 11:12例如例如设设V=1,2,10,E=1,2,2,3,3,4,4,5,1,5,1,6,2,7,3,8,4,9,5,10,6,8,7,9,8,10,6,9,7,10图图G=(V,E)为为12345687910此图为图论中有名的此图为图论中有名的彼得松（彼得松（Petersen）图）图 6/8/2020 11:12例例4 画出所有点数为画出所有点数为3
10、的图的图123G1G2123123G3123G4123G5123G6123G7123G8故可形成故可形成8个图。如果不考虑点号，有些图可以完全个图。如果不考虑点号，有些图可以完全重合，这样的图称它们是同构的。例如重合，这样的图称它们是同构的。例如G2G3 G4是同构的。可以看出这是同构的。可以看出这8个图中共有个图中共有4个互不同构的个互不同构的图。图。问题：问题：n个点的图中互不同构的图有多少个？个点的图中互不同构的图有多少个？ 6/8/2020 11:125.开关线路的构造与计数问题开关线路的构造与计数问题 一个有两种状态的电子元件称为一个开关，一个有两种状态的电子元件称为一个开关，例如普
11、通的电灯开关，二极管等。由一些开关例如普通的电灯开关，二极管等。由一些开关组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路组成的二端网络称为开关线路。一个开关线路的两端也只有两种状态：通与不通。的两端也只有两种状态：通与不通。 问题：用问题：用n个开关可以构造出多少种不同的个开关可以构造出多少种不同的开关线路？开关线路？ 首先必须对此问题建立一个数学模型，然首先必须对此问题建立一个数学模型，然后用适当的数学工具来解决它。后用适当的数学工具来解决它。 6/8/2020 11:12 我我们们用用n个个变变量量x1， x2， xn代代表表n个个开开关关，每每一一个个变变量量xi的的取取值值只只能能是是0或或
12、1，代代表表开开关关的的两两个个状状态态。开开关关线线路路的的状状态态也也用用一一个个变变量量f来来表表示示，f的的取取值值也也是是0或或1，代代表表开开关关线线路路的的两两个个状状态态。f是是x1， x2， xn的的函函数数，称称f为为开开关关函函数数，记记作作 f(x1， x2， xn) 令令A=0，1，则，则f是是AAA到到A的一个的一个函数，反之函数，反之f：AAA A对应一个开关线对应一个开关线路。因此，开关线路的数目就是开关函数的数目。路。因此，开关线路的数目就是开关函数的数目。 6/8/2020 11:12 f的定义域的定义域AAA中的元素个数为中的元素个数为2n，f在每个元素上
13、的取值有两种可能，所以在每个元素上的取值有两种可能，所以全部开关函数的数目为全部开关函数的数目为22n，这也就是，这也就是n个开个开关的开关线路的数目。关的开关线路的数目。 如如果果不不考考虑虑开开关关的的标标号号，则则若若开开关关线线路路结结构构完完全全相相同同，称称这这些些开开关关线线路路是是本本质质相相同同的的。要要进进一一步步解解决决本本质质上上不不同同的的开开关关线线路路的的数数目目问题，必须用群论的方法。问题，必须用群论的方法。 6/8/2020 11:126. 数字通信的可靠性问题数字通信的可靠性问题 现现代代通通信信中中用用数数字字代代表表信信息息，用用电电子子设设备备进进行行
14、发发送送、传传递递和和接接收收，并并用用计计算算机机加加以以处处理理。由由于于信信息息量量大大，在在通通信信过过程程中中难难免免会会出出现现错错误误。为为了了减减少少错错误误，除除了了改改进进设设备备外外，还还可可以以从从信信息息的的表表示示方方法法上上想想办办法法。用用数数字字表表示示信信息息的的方方法法称称为为编编码码。编编码码学学就就是是一一 门门 研研 究究 高高 效效 编编 码码 方方 法法 的的 学学 科科 。 下下面面用用两两个个简简单单的的例例子子来来说说明明检检错错码码与与纠错码的概念。纠错码的概念。 6/8/2020 11:12例例5 简单检错码简单检错码奇偶性检错码奇偶性
15、检错码 设用设用6位二进制码来表示位二进制码来表示26个英文字母，其中个英文字母，其中前前5位顺序表示字母，第位顺序表示字母，第6位做检错用，当前位做检错用，当前5位的位的数码中数码中1的个数为奇数时，第的个数为奇数时，第6位取位取1，否则第，否则第6位位是是0。这样编出的码中。这样编出的码中1的个数始终是偶数个。例的个数始终是偶数个。例如，如，A：000011 B：000101 C：000110D：001001 用这种码传递信息时可检查错误。当接收方收到的用这种码传递信息时可检查错误。当接收方收到的码中含有奇数个码中含有奇数个1时，则可断定该信息是错的，可时，则可断定该信息是错的，可要求发送
16、者重发。因而，同样的设备，用这种编码要求发送者重发。因而，同样的设备，用这种编码方法可提高通信的准确度。方法可提高通信的准确度。 6/8/2020 11:12例例6 简单纠错码简单纠错码重复码重复码 设用设用3位二进制重复码表示位二进制重复码表示A，B两个字母两个字母如下：如下： A：000 B：111则接收的一方对收到的信息码不管其中是否则接收的一方对收到的信息码不管其中是否有错，均可译码如下：有错，均可译码如下：000 001 010 011 100 101 110 111A A A B A B B B这就意味着，对其中的错误信息做了纠正。这就意味着，对其中的错误信息做了纠正。 利用近世代
17、数的方法可得到更高效的检利用近世代数的方法可得到更高效的检错码与纠错码。错码与纠错码。 6/8/2020 11:127. 几何作图问题几何作图问题 古代数学家们曾提出一个有趣的作图问题：用古代数学家们曾提出一个有趣的作图问题：用圆规和直尺圆规和直尺能做出哪些图形？能做出哪些图形？ 而且规定所用的直尺不能有刻度和不能在其上而且规定所用的直尺不能有刻度和不能在其上做记号。为什么会提出这样的问题呢？做记号。为什么会提出这样的问题呢？ 一方面是由于生产发展的需要，圆规、直尺是一方面是由于生产发展的需要，圆规、直尺是丈量土地的基本工具，且最初的直尺是没有刻度丈量土地的基本工具，且最初的直尺是没有刻度的；
18、另一方面，从几何学观点看，古人认为直线与的；另一方面，从几何学观点看，古人认为直线与圆弧是构成一切平面图形的要素。据说，古人还认圆弧是构成一切平面图形的要素。据说，古人还认为只有使用圆规与直尺作图才能确保其严密性。且为只有使用圆规与直尺作图才能确保其严密性。且整个平面几何学是以圆规与直尺作为基本工具。整个平面几何学是以圆规与直尺作为基本工具。 6/8/2020 11:12历史上（困扰人们很久）的著名问题：历史上（困扰人们很久）的著名问题： 二倍立方体问题二倍立方体问题：作一个立方体使其体：作一个立方体使其体积为一已知立方体体积的两倍。积为一已知立方体体积的两倍。 三等分任意角问题三等分任意角问
19、题：给定一个任意角，：给定一个任意角，将其三等分。将其三等分。 圆化方问题圆化方问题：给定一个圆（已知半径为：给定一个圆（已知半径为r ），作一个正方形使其面积等于已知圆的），作一个正方形使其面积等于已知圆的面积。面积。 n等分一个圆周等分一个圆周。 这些问题直到近世代数理论出现后才得到这些问题直到近世代数理论出现后才得到完全的解决。完全的解决。 6/8/2020 11:128. 代数方程根式求解问题代数方程根式求解问题 我们知道，任何一个一元二次代数方程我们知道，任何一个一元二次代数方程可用根式表示它的两个解。对于一元三次和可用根式表示它的两个解。对于一元三次和四次代数方程，古人们经过长期的
20、努力也巧四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧妙地做到了这一点。于是人们自然要问：是妙地做到了这一点。于是人们自然要问：是否任何次代数方程的根均可用根式表示？许否任何次代数方程的根均可用根式表示？许多努力都失败了，但这些努力促使了近世代多努力都失败了，但这些努力促使了近世代数的产生，并最终解决了这个问题：五次以数的产生，并最终解决了这个问题：五次以上代数方程没有根式解。上代数方程没有根式解。 6/8/2020 11:12伽伽罗罗华华（variste Galois，公公元元1811年年公公元元1832年年）是是法法国国对对函函数数论论、方方程程式式论论和和数数论论作作出出重重要要贡贡献献的的数数
21、学学家家，他他的的工工作作为为群群论论（一一个个他他引引进进的的名名词词）奠奠定定了了基基础础；所所有有这这些些进进展展都都源源自自他他尚尚在在校校就就读读时时欲欲证证明明五五次次多多项项式式方方程程根根数数解解（Solution by Radicals）的的不不可可能能性性（其其实实当当时时已已为为阿阿贝贝尔尔（Abel）所所证证明明，只只不不过过伽伽罗罗华华并并不不知知道道），和和描描述述任任意意多多项项式式方方程程可可解解性性的的一一般般条条件件的的打打算算。虽虽然然他他已已经经发发表表了了一一些些论论文文，但但当当他他于于1829年年将将论论文文送送交交法法兰兰西西科科学学院院时时，第
22、第一一次次所所交交论论文文却却被被柯柯西西（Cauchy）遗遗失失了了，第第二二次次则则被被傅傅立立叶叶（Fourier）所所遗遗失失；他他第第三三次次送送交交科科学学院院的的论论文文被被泊泊松松（Poisson）所所拒拒绝绝。伽伽罗罗华华死死于于一一次次决决斗，时年斗，时年21岁。他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色岁。他被公认为数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一。彩的人物之一。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年。了几十年。 6/8/2020 11:12 伽利略死后，直到伽利略死后，直到19世纪末期，他的理世纪末期
23、，他的理论才由别的数学家加以进一步的发展和系统论才由别的数学家加以进一步的发展和系统的阐述。的阐述。 这样一门具有悠久历史、充满许多有趣这样一门具有悠久历史、充满许多有趣问题和故事的数学分支，在近代又得到了蓬问题和故事的数学分支，在近代又得到了蓬勃发展和广发应用，出现了许多应用与某一勃发展和广发应用，出现了许多应用与某一领域的专著，正吸引越来越多的科技人员和领域的专著，正吸引越来越多的科技人员和学生来学习和掌握它。学生来学习和掌握它。 6/8/2020 11:12学习内容学习内容第一章第一章 基本概念基本概念第二章第二章 群论群论第三章第三章 环与域环与域第四章第四章 整环里的因子分解整环里的因子分解 6/8/2020 11:12
