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1、正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质定义域和值域定义域和值域正弦函数正弦函数定义域：定义域：R值域：值域：-1，1余弦函数余弦函数定义域：定义域：R值域：值域：-1，1练习练习 判断下列等式是否成立？判断下列等式是否成立？一、周期性：一、周期性：（1 1）图象特征：图象从轴看等距离重复出现；）图象特征：图象从轴看等距离重复出现；（2 2）数值特征：当自变量）数值特征：当自变量x x每增加每增加 的整数倍时，函的整数倍时，函数值重复出现。数值重复出现。（3 3）定义：定义：若存在一个若存在一个非零常数非零常数T T，使得当，使得当x x取定义域取定义域内的内的每一个值每一个值时，都有
2、时，都有f(x+T)=f(x) f(x+T)=f(x) 成立，则称函数成立，则称函数f(x)f(x)为为周期函数周期函数；非零常数；非零常数 T T叫做这个函数的叫做这个函数的周期周期（4）最小正周期：最小正周期：如果在周期函数的所有周如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，则称这个最小的期中存在一个最小的正数，则称这个最小的正数为函数的最小正周期正数为函数的最小正周期。如正弦函数的和余弦函数的的最小正周期为如正弦函数的和余弦函数的的最小正周期为3 3、周期函数不一定存在最小正周期。例如、周期函数不一定存在最小正周期。例如f(x)=cf(x)=c2 2、非唯一性、非唯一性周期函数的周期不
3、止一个，例如，周期函数的周期不止一个，例如， 都是正弦函数的都是正弦函数的周期。周期。注意点：注意点：1 1、存在性、存在性要求对于定义域中的每一个值要求对于定义域中的每一个值x, x,均均有有f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)。例1 求下列三角函数的周期： 解：（1） 由周期函数的定义知道，原函数的周期为 2（2） 由周期函数的定义知道，原函数的周期为（3） 由周期函数的定义知道，原函数的周期为4正弦函数的图象正弦函数的图象探究探究余弦函数的图象余弦函数的图象问题：它们的图象有何问题：它们的图象有何对称性对称性？ 它们的形状相同，且都夹在两条平行直线y=1与y=-1之间。正弦函数是
4、奇函数，余弦函数是偶函数由诱导公式 正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称 它们的位置不同，正弦曲线交y轴于原点，余弦曲线交y轴于点（0，1）.例判断下列函数的奇偶性例判断下列函数的奇偶性非奇函数非偶函数奇函数非奇函数非偶函数1、_，则，则f（x）在这个区间上是）在这个区间上是增增函数函数.正弦余弦函数的单调性正弦余弦函数的单调性函数函数若在指定区间任取若在指定区间任取 ， 且且 ，都有：，都有：函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。观察正余弦函数的图象，探究其单调性观察正余弦函数的图象，探究其单调性2、_，则，则f（x）在这个区间上是）在这个
5、区间上是减减函数函数.增函数：上升增函数：上升减函数：下降减函数：下降 正弦函数的单调性正弦函数的单调性 y=sinx (x R)xyo-1234-2-31 x sinx 0 -1 0 1 0 -1探究：正弦函数的单调性探究：正弦函数的单调性当当 在区间在区间上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，sin的值由的值由 增大到增大到 。当当 在区间在区间上时，曲线逐渐下降，上时，曲线逐渐下降， sin的值由的值由 减小到减小到 。探究：正弦函数的单调性探究：正弦函数的单调性正弦函数的增区间为：正弦函数的增区间为：其值从其值从1增大到增大到1；正弦函数的减区间为：正弦函数的减区间为：其值从其值从1
6、减小到减小到1。探究：正弦函数的最大值和最小值探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：最大值：当当 时，时， 有最大值有最大值最小值：最小值：当当 时，时，有最小值有最小值 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R) xcosx - 0 -1 0 1 0 -1yxo-1234-2-31探究：余弦函数的单调性探究：余弦函数的单调性当当 在区间在区间上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。曲线逐渐下降，曲线逐渐下降， sin的值由的值由 减小到减小到 。当当 在区间在区间上时，上时，探究：余弦函数的单调性探究：余弦函数的单调性由余弦函数的周期性知：
7、由余弦函数的周期性知：其值从其值从1减小到减小到1。减区间为：减区间为：其值从其值从1增大到增大到1 ；增区间为：增区间为：探究：余弦函数的最大值和最小值探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：最大值：当当 时，时， 有最大值有最大值最小值：最小值：当当 时，时， 有最小值有最小值例 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？使函数 取得最大值的x集合,就是使函数 取得最大值的x的集合解：使函数 取得最小值的x集合,就是使函数 取得最小值的x的集合函数 的最大值是1+1=2，最小值是 -1+1=0【例【例2】求下列函数的最大值，
8、并求出最大值时】求下列函数的最大值，并求出最大值时x的集合：的集合： (1)y=cos ,x R ；(2) y=2-sin2x,x R 解：解：(1)当当cos =1,即即x=6k (k Z)时，时，ymzx=1 函数的最大值为函数的最大值为1, 取最大值时取最大值时x的集合为的集合为x|x=6k ,k Z(2)当当sin2x=-1时时,即即x=k - (k Z)时时,ymax=3 (k Z) 函数的最大函数的最大值为值为3,取最大取最大值时值时x的集合的集合为为x|x=k - 例例3 不通过求值，指出下列各式大于不通过求值，指出下列各式大于0还是小于还是小于0： (1) sin( ) sin
9、( )(2) cos( ) - cos( ) 解：解：又又 y=sinx 在在 上是增函数上是增函数 sin( ) 0cos( )=cos =cos cos( )=cos =cos 解：解：cos cos 即：即： cos cos 0又又 y=cosx 在在 上是减函数上是减函数从而从而 cos( ) - cos( ) 0例2、求函数解:令由函数 正弦函数的对称性正弦函数的对称性 xyo-1234-2-31 余弦函数的对称性余弦函数的对称性yxo-1234-2-31例题例题 求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心解解（1）令）令则则的对称轴为的对称轴为解得：对称轴为解得：对称轴为的
10、对称中心为的对称中心为对称中心为对称中心为练习练习 求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心练习练习1、为函数、为函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（ ）C2、求、求 函数的对称轴和对称中心。函数的对称轴和对称中心。练习f(x)=sinxf(x)= cosx图图 象象RR 1,1 1,1时时ymax=1时时ymin= 1时时ymax=1时时ymin= 1xyo-1234-21定义域定义域值值 域域最最 值值f(x)= 0xyo-1234-21f(x)=sinxf(x)= cosx图图 象象周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性 22奇函数奇函数偶函数偶函数单调增区间单调增区间:单调
11、减区间单调减区间:单调增区间单调增区间:单调减区间单调减区间:xyo-1234-21xyo-1234-21 函函 数数 性性 质质y= sinx (kz)y= cosx (kz)定义域定义域值域值域最值及相应的最值及相应的 x的集合的集合周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性对称中心对称中心对称轴对称轴 R R-1,1-1,1x= 2k时时y ymaxmax=1=1x= 2k+ 时时 ymin=-1周期为T=2周期为周期为T=2奇函数奇函数偶函数偶函数在在x2k-， 2k 上都是增函数上都是增函数 , 在在x2k ， 2k+ 上都是减函数上都是减函数 。(k,0)x = kx= 2k+时时y ymaxmax=1=1x=2kx=2k- - 时时 ymin=-122在在x2k- , 2k+ 上都是增函数上都是增函数 在在x2k+ ,2k+ 上都是减函数上都是减函数.22232(k+ ,0)2x = k+2小结小结
