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1、第二章3双曲线3.1双曲线及其标准方程学习目标XUEXIMUBIAO1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PARTONE知识点一双曲线的定义1.平面内到两个定点F1，F2的距离之差的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线. 叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的 .2.关于“小于|F1F2|”：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的 (包括端点)；若将“
2、小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.3.若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的 .4.若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是 .绝对值这两个定点焦距两条射线一支线段F1F2的中垂线知识点二双曲线的标准方程1.双曲线两种形式的标准方程焦点所在的坐标轴x轴y轴标准方程图形焦点坐标_a，b，c的关系式_F1(0，c)，F2(0，c)F1(c,0)，F2(c,0)a2b2c2_2.焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在 上；若y2项的系数为正，则焦点在 上.3.双
3、曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2By21(AB0).4.标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b2 与椭圆中的b2 相区别.x轴y轴c2a2a2c21.平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的集合是双曲线.()2.平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线.()思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU2题型探究PARTTWO题型一求双曲线的标准方程例1求适合下列条件的双曲线的标准方程.解设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，双曲线经过点(3,0)，(6，3)，(2)
4、经过点(3,0)，(6，3).反思感悟求双曲线方程的方法(1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似，也是“先定型，后定量”，利用待定系数法求解.(2)当焦点位置不确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论.(3)当已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程时，把双曲线方程设成mx2ny21(mn0)的形式求解.跟踪训练1根据下列条件，求双曲线的标准方程.双曲线经过点(5,2)，A.(2，1) B.(2，)C.(，1) D.(，2)(1，)题型二由双曲线的标准方程求参数解析由题意可知，(2m)(m1)0，2m1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是A.焦点在x轴上的椭圆B
5、.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线k1，k210，k10.方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.题型三双曲线的定义及应用解析由双曲线的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a.又|AF2|BF2|AB|，所以ABF1的周长为|AF1|BF1|AB|4a2|AB|4a2m.4a2m解析由已知得2a2，又由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2，因为|PF1|PF2|32，所以|PF1|6，|PF2|4.12所以F1PF2为直角三角形.引申探究本例(2)中，若将“|PF1|PF2|32”改为“|PF1|PF2|24”，求PF1F2的面积.(1)方法一
6、：根据双曲线的定义求出|PF1|PF2|2a；利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；通过配方，利用整体的思想求出|PF1|PF2|的值；特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|之间的关系.跟踪训练3已知F1，F2分别为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于A.1 B.4 C.6 D.8解析设|PF1|m，|PF2|n，由余弦定理得|F1F2|2m2n22mncosF1PF2，即m2n2mn8，(mn)2
7、mn8，mn4，即|PF1|PF2|4.典例已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG由双曲线的定义求轨迹方程素养评析(1)定义法求双曲线方程的注意点注意条件中是到定点距离之差，还是差的绝对值.当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题.求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上.(2)建立数与形的联系，探索解决数学问题的思路，提升数形结合能力，形成数学直观直觉，有利于培养学生的数学思维品质和关键能力.3达标检测
8、PARTTHREE1.已知F1(3,3)，F2(3,3)，动点P满足|PF1|PF2|4，则P点的轨迹是A.双曲线 B.双曲线的一支C.不存在 D.一条射线解析因为|PF1|PF2|4，且4|F1F2|，由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.123452.若kR，方程 表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是A.3k2 B.k3C.k2 D.k2解析由题意知，k30且k20，3k0,0a24，且4a2a2，可解得a1.1234515.根据下列条件，求双曲线的标准方程.解得k4或k14(舍去)，12345(2)经过点(3,0)，(6，3).解设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，双曲线经过点(3,0)，(6，3)，12345课堂小结KETANGXIAOJIE1.双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2ab不一定成立，要注意与椭圆中a，b，c的区别.在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.3.用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解.
