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1、Ch.2 Ch.2 控制系统的状态空控制系统的状态空间模型间模型 本章简介本章简介(1/2)本本 章章 简简 介介q本章讨论动态系统的状态空间描述。主要介绍状态空间分析中状态空间模型的建立、状态空间模型的线性变换、MIMO的传递函数阵、组合系统的状态空间模型,以及离散时间动态系统的状态空间模型。本章最后介绍基于Matlab的控制模型的建立与变换问题的程序设计与计算。本章简介本章简介(2/2)本章将力图让读者建立起状态、状态空间与状态空间变换的概念,掌握状态空间模型的建立方法,打下状态空间分析的基础。目录(1/1)目目 录录q概述概述q2.1 状态和状态空间模型状态和状态空间模型q2.2 根据系
2、统机理建立状态空间模型根据系统机理建立状态空间模型q2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 q2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范型状态空间模型的线性变换和约旦规范型q2.5 传递函数阵传递函数阵q2.6 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述 q2.7 Matlab问题问题 q本章小结本章小结概述(1/12)概概 述述q控制理论主要是研究动态系统的系统分析、优化和综合等问题。所谓动态系统(又称为动力学系统),抽象来说是指能储存输入信息(或能量)的系统。例如,含有电感和电容等储存电能量的元件的电网络系统,含有弹簧和质量体等通过位移
3、运动来储存机械能量的刚体力学系统,存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等。概述(2/12)这类系统与静态系统(静力学系统)的区别在于:静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入,而动态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的影响的叠加。如,电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值之比,而电容两端的电压则是通过电容的当前及过去的电流的积分值与电容值之比。概述(3/12)q在进行动态系统的分析和综合时,首先应建立该系统的数学模型,它是我们进行系统分析、预报、优化及控制系统设计的基础。在系统和控制科学领域内,数学模型是指能描述动态系统的动态特性的数学表达式,它包含数值型的和逻辑型的,线性的和非线
4、性的,时变的和定常的,连续时间型的和离散时间型的,集中参数的和分布参数的等等。这种描述系统动态特性的数学表达式亦称为系统的动态方程。概述(4/12)建立数学模型的主要方法有:机理分析建模机理分析建模。v按照系统的实际结构,工作原理,并通过某些决定系统动态行为的物理定律、化学反应定律、社会和经济发展规律,以及v各种物料和能量的平衡关系等来建立系统模型。实验建模实验建模(系统辨识系统辨识)。v通过对系统的实验或实际运行过程中取得能反映系统的动态行为的信息与数据,用数学归纳处理的方法来建立系统模型。概述(5/12)q值得指出的是,不同建模目的,采用不同数学工具和描述方式,以及对模型精度的不同要求,都
5、会导致不同的数学模型。因此,一个实际的系统也可以用不同的数学模型去描述。例如,严格说来,大多数实际系统的动力学模型都具有非线性特性,而且系统是以分布参数的形式存在。若在建立数学模型中考虑这些复杂因素,必然将使所建立的模型中含有复杂的非线性微分方程或偏微分方程,这样就给模型在系统分析、控制系统的设计和实现上带来相当大的困难性。在给定的容许误差范围内,如果将这些复杂因素用线性特性、集中参数的形式去近似描述系统,将大大简化系统模型的复杂程度,从而使所建立的模型能有效地运用到系统分析和控制系统设计等方面。概述(6/12)当然过多考虑系统的各种复杂因素的简化和近似,也必然影响数学模型的精度,以及模型在分
6、析、综合和控制中的应用效果。因此,一个合理的数学模型应是对其准确性和简化程度作折中考虑,它是在忽略次要因素,在现实条件和可能下,在一定精度范围内的,尽可能抓住主要因素,并最终落脚于实际应用的目标、条件(工具)与环境的结果。模型并不是越精确越好、越复杂越好模型并不是越精确越好、越复杂越好。 概述(7/12)q传递函数是经典控制理论中描述系统动态特性的主要数学模型,它适用于SISO线性定常系统,能便利地处理这一类系统的瞬态响应分析或频率法的分析和设计。但是,对于MIMO系统、时变系统和非线性系统,这种数学模型就无能为力。传递函数仅能反映系统输入与输出之间传递的线性动态特性,不能反映系统内部的动态变
7、化特性。因而是一种对系统的外部动态特性的描述,这就使得它在实际应用中受到很大的限制。概述(8/12)q现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。在用状态空间法分析系统时,系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。它能反映系统的全部独立变量的变化,从而能同时确定系统的全部内部运动状态,而且还可以方便地处理初始条件。因而,状态空间模型反映了系统动态行为的全部信息,是对系统行为的一种完全描述。概述(9/12)q状态空间分析法不仅适用于SISO线性定常系统,也适用于非线性系统、时变系统、MIMO系统以及随机系统等。因而,状态空间分析法适用范围广,对各种不同的系统,其数学
8、表达形式简单而且统一。更突出的优点是,它能够方便地利用数字计算机进行运算和求解,甚至直接用计算机进行实时控制,从而显示了它的极大优越性。概述(10/12)q本章主要介绍机理建模、各种数学模型间的变换和状态空间(即状态空间模型)变换。概述(11/12)q本章需解决的问题与难点本章需解决的问题与难点:基本概念: 状态、状态空间状态空间模型-状态空间模型及其意义如何建立状态空间模型由机理出发由微分方程出发由传递函数出发由系统结构图出发状态空间变换特征值、特征向量与特征空间状态空间变换本章重点与难点本章重点本章重点概述(12/12)传递函数阵组合系统的状态空间模型离散时间动态系统的状态空间描述状态和状
9、态空间模型(1/2)2.1 状态和状态空间模型状态和状态空间模型q系统的状态空间模型是建立在状态和状态空间概念的基础上的,因此,对这些基本概念进行严格的定义和相应的讨论,必须准确掌握和深入理解。状态状态变量状态空间状态空间模型状态和状态空间模型(2/2)q本节主要内容为:状态空间的基本概念状态空间的基本概念系统的状态空间模型系统的状态空间模型线性系统状态空间模型的结构图线性系统状态空间模型的结构图状态空间的基本概念的基本概念(1/1)2.1.1 状态空间的基本概念状态空间的基本概念q下面将给出动态系统的状态和状态空间的概念,主要讲授内容为：系统的状态和状态变量系统的状态和状态变量系统的状态空间
10、系统的状态空间系统的状态和状态变量(1/5)1. 系统的状态和状态变量系统的状态和状态变量q动态(亦称动力学)系统的“状态”这个词的字面意思就是指系统过去、现在将来的运动状况。正确理解“状态”的定义与涵义,对掌握状态空间分析方法十分重要。“状态”的定义如下。q定义定义2-1 动态系统的状态,是指能够完全描述完全描述系统时间域动态时间域动态行为行为的一个最小变量组最小变量组。该变量组的每个变量称为状态变量。该最小变量组中状态变量的个数称为系统的阶数。系统的状态和状态变量(2/5)q“状态”定义的三要素完全描述完全描述。即给定描述状态的变量组在初始时刻(t=t0)的值和初始时刻后(tt0)的输入,
11、则系统在任何瞬时(tt0)的行为,即系统的状态,就可完全且唯一的确定。动态时域行为动态时域行为。最小变量组最小变量组。即描述系统状态的变量组的各分量是相互独立的。减少变量,描述不全。增加则一定存在线性相关的变量,冗余的变量,毫无必要。要掌握喔!系统的状态和状态变量(3/5)q若要完全描述n阶系统,则其最小变量组必须由n个变量(即状态变量)所组成,一般记这n个状态变量为x1(t),x2(t), ,xn(t).若以这n个状态变量为分量,构成一个n维变量向量,则称这个向量为状态变量向量,简称为状态向量,并可表示如下:图2-1 多输入多输出系统示意图系统的状态和状态变量(4/5)q状态变量是描述系统内
12、部动态特性行为的变量。它可以是能直接测量或观测的量,也可以是不能直接测量或观测的量；可以是物理的,甚至可以是非物理的,没有实际物理量与之直接相对应的抽象的数学变量。状态空间系统的状态和状态变量(5/5)q状态变量与输出变量的关系状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变量。而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化与控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性,并非系统的全部动态特性。因此,状态变量比输出变量更能全面反映系统的内在变化规律。可以说输出变量仅仅是状态变量的外部表现,是状态变量的输出空间的投影,一个子集。输出空间空间映射xy系统的状态空间(1/1)2. 系统的状态空间q若以n
13、个状态变量x1(t),x2(t),xn(t)为坐标轴,就可构成一个n维欧氏空间,并称为n维状态空间,记为Rn.q状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统在某一时刻的运动状态。随着时间的推移,状态不断地变化,tt0各瞬时的状态在状态空间构成一条轨迹,它称为状态轨线。状态轨线如图2-2所示。图2-2 二维空间的状态轨线系统的状态空间模型(1/11)2.1.2 系统的状态空间模型系统的状态空间模型q状态空间模型是应用状态空间分析法对动态系统所建立的一种数学模型,它是应用现代控制理论对系统进行分析和综合的基础。状态空间模型由描述系统的动态特性行为的状态方程状态方程和描述系统输出变量与状态变量间的变换
14、关系的输出输出方程方程所组成。下面以一个由电容、电感等储能元件组成的二阶RLC电网络系统为例,说明状态空间模型的建立和形式,然后再进行一般的讨论。系统的状态空间模型(2/11)q例例 某电网络系统的模型如图2-3所示。试建立以电压ui为系统输入,电容器两端的电压uC为输出的状态空间模型。q解 1. 根据系统的内部机理列出各物理量所满足的关系式。根据系统的内部机理列出各物理量所满足的关系式。对本例,针对RLC网络的回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的方程图2-3 例2-3的RLC电网络系统系统的状态空间模型(3/11)2. 选择状态变量。选择状态变量。状态变量的个数应为独立一阶储能元
15、件(如电感和电容)的个数。对本例x1(t)=iL, x2(t)=uC3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式的一阶矩阵微分方程组-状态方程。每个状态变量对应一个一阶微分方程,导数项的系数为1,非导数项列写在方程的右边。系统的状态空间模型(4/11)对本例,经整理可得如下状态方程写成向量与矩阵形式为：4. 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程。对本例系统的状态空间模型(5/11)其中5. 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间模型系统的状态空间模型(6/11)q由上述例子,可总结出状态空间模型的形式为其中x为n维的状态向量;u为r维的输
16、入向量;y为m维的输出向量;A为nn维的系统矩阵;B为nr维的输入矩阵;C为mn维的输出矩阵;D为mr维的直联矩阵(前馈矩阵,直接转移矩阵)。描述线性系统的主要状态空间模型,切记!系统的状态空间模型(7/11)q对前面引入的状态空间模型的意义,有如下讨论:状态方程状态方程描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。输出方程输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。系统矩阵系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,它主要决定系统的动态特性。输入矩阵输入矩阵B又称为控制矩阵,它表示输入对状态变量变化的影响。输出矩阵输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。直联矩阵直联矩阵D则表
17、示了输入对输出的直接影响,许多系统不存在这种直联关系,即直联矩阵D=0。系统的状态空间模型(8/11)q上述线性定常连续系统的状态空间模型可推广至非线性系统、时变系统。1. 非线性时变系统非线性时变系统其中f(x,u,t)和g(x,u,t)分别为如下n维和m维关于状态向量x、输入向量u和时间t的非线性向量函数f(x,u,t)=f1(x,u,t) f2(x,u,t) fn(x,u,t)g(x,u,t)=g1(x,u,t) g2(x,u,t) gm(x,u,t)系统的状态空间模型(9/11)2. 非线性系统非线性系统其中f(x,u)和g(x,u)分别为n维和m维状态x和输入u的非线性向量函数。这些
18、非线性函数中不显含时间t,即系统的结构和参数不随时间变化而变化。3. 线性时变系统线性时变系统其中各矩阵为时间t的函数,随时间变化而变化。系统的状态空间模型(10/11)4. 线性定常系统线性定常系统q为简便,常将线性时变系统的状态空间模型简记为(A(t),B(t),C(t),D(t).类似地,线性定常系统的状态空间模型亦可简记为(A,B,C,D).几种简记符的意义:系统的状态空间模型(11/11)线性系统状态空间模型的结构图(1/5)2.1.3 线性系统状态空间模型的结构图线性系统状态空间模型的结构图q线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来,以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息
19、传递关系。在采用模拟或数字计算机仿真时,它是一个强有力的工具。系统结构图主要有三种基本元件:积分器积分器,加法器加法器,比例器比例器,其表示符如图2-4所示。线性系统状态空间模型的结构图(2/5)图2-4 系统结构图中的三种基本元件 线性系统状态空间模型的结构图(3/5)q例 线性时变系统的结构图如图2-5所示。图2-5 多输入多输出线性时变系统的结构图线性系统状态空间模型的结构图(4/5)q若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出各变量间的结构图。图2-6表示的是状态空间模型如下所示的双输入-双输出线性定常系统的结构图。线性系
20、统状态空间模型的结构图(5/5)图2-6 双输入双输出线性定常系统结构图根据系统机理建立状态空间模型(1/5)2.2 根据系统机理建立状态空间模型根据系统机理建立状态空间模型q建立被控对象的数学模型是进行系统分析和综合的第一步,是控制理论和工程的基础.上一节讨论了由电容和电感两类储能元件以及电阻所构成的电网络系统的状态空间模型的建立，其依据为各电气元件的物理机理及电网络分析方法.这种根据系统的物理机理建立对象的数学模型的方法称为机理建模.机理建模主要根据系统的物料和能量(电压、电流、力和热量等)在储存和传递中的动态平衡关系,以及各环节、元件的各物理量之间的关系,如电感的电压和电流满足的动态关系
21、.根据系统机理建立状态空间模型(2/5)q在实际工程系统中,许多过程和元件都具有储存和传递能量 (或信息)的能力。例如,机械动力学系统中的弹簧和运动中的质量体都储存有能量并能通过某种形式传递;化工热力学系统中的物质中的热量的储存与传递;化工反应系统中的反应物质的物料传递和平衡的信息.对这些系统,根据其物理和化学变化的机理,由相应描述这些变化的物理和化学的定理、定律和规律等,可得系统各物理量之间所满足的动静态关系式.因此,在选择适宜的状态变量后,可建立系统的状态空间模型.根据系统机理建立状态空间模型(3/5)q建立动态系统数学模型的主要机理/依据有:电网络系统中回路和节点的电压和电流平衡关系,电
22、感和电容等储能元件的电压和电流之间的动态关系.机械动力学系统中的牛顿第二定律,弹性体和阻尼体的力与位移、速度间的关系.对旋转运动,则相应的为转矩、角位移和角速度.化工热力学系统中的热量的传递与储存,化工反应工程系统中参加反应的物料的传递和平衡关系.经济系统中的投入产出方程。根据系统机理建立状态空间模型(4/5)q建立状态空间模型的关键在于状态变量的选取，它是建立状态空间模型的前提状态变量的主要选取办法系统储能元件的输出系统输出及其输出变量的各阶导数上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某种标准形式的变量）根据系统机理建立状态空间模型(5/5)q下面通过常见的刚体力学系统刚体力学系统、流体力
23、学系统流体力学系统、典型化工典型化工(热工热工)过程过程 机电能量转换系统机电能量转换系统讨论如何建立状态空间模型.刚体动力学系统(1/4)1. 刚体动力学系统的状态空间描述刚体动力学系统的状态空间描述q图2-7表示由弹簧、质量体、阻尼器组成的刚体动力学系统的物理模型.试建立以外力u(t)为系统输入,质量体位移y(t)为输出的状态空间模型.刚体动力学系统(2/4)q解 对许多实际系统,由于对系统的各种物理量的初始值或绝对值难于了解,一般将对物理量仅考虑在其相对于初始状况之后的相对值。对本例的刚体力学系统,一般先假设在外力u(t)作用于小车之前,小车已处于平衡态。 下面仅考虑外力加入后,对小车运
24、动的影响.系统的受力情况如下图所示.2. 选择状态变量选择状态变量.对机械动力学系统,常常将位移、速度等选作状态变量.对本例,有刚体动力学系统(3/4)1. 应根据系统的内部机理列出各物理量应根据系统的内部机理列出各物理量(如本例的力、位置和速度)所满足的关系式所满足的关系式.由牛顿第二定律有刚体动力学系统(4/4)4. 建立输出方程建立输出方程y=x15. 经整理经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型3. 将状态变量代入将状态变量代入运动方程流体动力学系统(1/5)2. 流体力学系统的状态空间描述流体力学系统的状态空间描述q图2-8为串联的两个水槽,其截面积分别为A1和A2,当阀门的开度不变
25、,在平衡工作点附近阀门阻力系数分别可视为常量R1和R2.图中Qi,Q1和Qo为流量;h1和h2为水槽的水面高度.试求输入为Qi,输出为h2时的状态空间模型.流体动力学系统(2/5)q下面在讨论本例的解之前,先简单总结一下如下流量与压力(压强)的关系.q解 对本例的流体力学系统,假设对两个水槽的流入和流出的水流体已处于平衡.下面仅考虑流量Qi的变化量Qi引起的水槽水位的变化.压力流量电路电压电流流体压力(液位差)液体流量气体气压差(压强) 气流量(风量)压力/流量电阻阀门阻力系数风阻力系数流体动力学系统(3/5)1. 机理分析机理分析. 根据水槽中所盛的水量的平衡关系和流量与压力(水面高度,液位
26、差)的关系,有其中代表平衡工作点附近的变化量.q将上述方程的中间变量Q1和Qo消去,则有流体动力学系统(4/5)2. 选择状态变量选择状态变量.由于只有两个独立的微分方程,故可选择两个状态变量.对本例的流体动力学系统,可选水面高度的变化量h1和h2为状态变量,即x1(t)=h1(t), x2(t)=h2(t)3. 将状态变量代入上述水面高度变化量的动态方程,则有如下状态方程流体动力学系统(5/5)4. 建立输出方程建立输出方程y=x25. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型典型化工典型化工(热工热工)过程过程 (1/5)3. 典型化工典型化工(热工热工)过程的状态空间描述过程的状态空间描述
27、q图2-9为一化学反应器,它是一均匀、连续流动单元,其中发生如下二级吸热反应图2-9 某化工(热工)过程2AB该化工反应生产过程为:温度为f(常量),含A物质浓度为CAf(常量)的料液以Q(t)的流量进入反应器;为保证单元内的液体体积不变,假定流出的流量亦为Q(t);典型化工典型化工(热工热工)过程过程 (2/5)为了使化学反应向右进行,用蒸汽对反应器内的溶液进行加热,蒸汽加热量为q(t)。试以料液的流量Q(t)和蒸汽加热量q(t)为输入,容器内的液体的温度(t)和浓度CA(t)为输出,建立状态空间模型。典型化工典型化工(热工热工)过程过程 (3/5)q解 1. 机理分析机理分析. 在化学反应
28、中,一般应保持热量和物料的平衡关系。因此,对整个反应器作热量和物料平衡,就有其中V,CP分别为容器体积、比重和比热;k为反应速率常数; H为反应热。典型化工典型化工(热工热工)过程过程 (4/5)2. 选择状态变量选择状态变量.显然,选择容器内的液体的温度(t)和浓度CA(t)为状态变量是合理的。因此,令x1(t)=(t) x2(t)=CA(t)3. 将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程典型化工典型化工(热工热工)过程过程 (5/5)q上述状态空间模型表示的是一个双输入双输出的非线性定常系统。和输出方程机电能量转换系统(1/5)4. 机电系统的状态空间描述机电系统的状态空间描述 q图2
29、-10表示某电枢控制的直流电动机,其中Ra和La为电枢回路总电阻和总电感,J为转动惯量,负载为摩擦系数为f的阻尼摩擦.试列写以电枢电压u(t)为输入,轴的角位移(t)为输出的状态空间模型.机电能量转换系统(2/5)q解解 1. 设电动机励磁电流不变,铁心工作在非饱和区.按照图2-10所描述的电动机系统,可以写出如下主回路电压方程和轴转动动力学方程其中Ea和M分别为如下电枢电势和转矩Ea=Ced/dt, M=CMia其中Ce和Cm分别为电枢电势常数和转矩常数(含恒定的磁通量) .机电能量转换系统(3/5)因此,上述主回路电压方程和轴转动运动方程可记为2. 选择状态变量选择状态变量.对于本例,若已
30、知电枢电流ia(t),角位移(t)和其导数d/dt在初始时刻t0的值,以及电枢电压u,则上述微分方程组有唯一解.因此,可以选择状态变量如下机电能量转换系统(4/5)3. 将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程4. 建立输出方程y=x2机电能量转换系统(5/5)5. 经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型根据系统机理建立状态空间模型-小结(1/3)本节小结本节小结q由上述由上述4 4个例子个例子, ,可总结出由系统的物理机理建立状态空间模可总结出由系统的物理机理建立状态空间模型的基本步骤为型的基本步骤为: :Step 1. 根据系统内部机理得到各物理量所满足的微分方程根据系统内部机理得到各
31、物理量所满足的微分方程. 如:回路电压和节点电流方程,牛顿第二定律,热量和物料平衡关系,经济学中的投入产出方程等还记得自动控制原理课中怎么写模型根据系统机理建立状态空间模型-小结(2/3)Step 2. 选择状态变量选择状态变量. 一般状态变量的个数应为独立的一阶储能元件数,并将储能元件上的物理变量及各阶导数选为状态变量,如电网络中电容电压和电感电流,刚体力学系统中惯性体的位移和速度(或角位移和角速度),流体力学系统中流量和液面高度(容量、体积),化工系统中热量(或温度)和流量(或浓度)等物理变量作为状态变量,是较方便的.写状态空间模型的关键喔根据系统机理建立状态空间模型-小结(3/3)Ste
32、p 3. 将选择好的状态变量代换将选择好的状态变量代换Step 1得到的各微分方程得到的各微分方程组组,整理得一阶微分方程组整理得一阶微分方程组.Step 4. 根据系统状态变量与输出变量得关系根据系统状态变量与输出变量得关系,建立输出方程建立输出方程.Step 5. 整理规范的状态空间模型整理规范的状态空间模型.q基于上述机理建模方法对系统机理、结构和参数未知的系统可建立状态空间模型，但对于系统机理、结构和参数未知的系统,其状态空间模型的建立,通常只能通过辨识的途径,即用实验建模的方法,通过对系统所作试验而得到的输入输出数据,用统计的方法确定其数学模型。根据系统的输入输出关系建立状态空间模型
33、根据系统的输入输出关系建立状态空间模型( (1/2)2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空根据系统的输入输出关系建立状态空间模型间模型q本节讨论由描述线性定常系统输入输出间动态特性的高阶常微分方程与传递函数,通过选择适当的状态变量分别建立系统的状态空间模型。这样的问题称为系统的实现问题。这种变换过程的原则是,不管状态变量如何选择,应保持系统输入输出间的动态和静态关系不变。 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型根据系统的输入输出关系建立状态空间模型( (2/2)q本节的内容为：由高阶常微分方程建立状态空间模型由高阶常微分方程建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型
34、多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统非线性系统非线性系统由高阶常微分方程建立状态空间模型由高阶常微分方程建立状态空间模型(1/1)2.3.1 由高阶常微分方程建立状态空间模型由高阶常微分方程建立状态空间模型q本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系统的状态空间模型,分别讨论由不含输入量导数项和由不含输入量导数项和由含输入量导数项的由含输入量导数项的微分方程建立状态空间模型。q本节关键问题:如何选择状态变量保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变关键喔!微分方程中不包含输入量的导数项(1/9)1. 微分方程中不包含输入量的导数项微分方程中不包含输入量的导数项q描述单输入单输出线性
35、系统的输入输出间动态行为,不包含有输入量的导数项时的线性定系数常微分方程为y(n)+a1y(n-1)+any=bu其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型本节问题的关键是如何选择状态变量。微分方程中不包含输入量的导数项(2/9)q由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y(t0),y(n-1)(t0)已知,则对给定的输入u(t),微分方程(2-6)有唯一解,也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定。因此,选择状态变量为如下相变量相变量x1(t)=y(t), x2(t)=y(t), , x
36、n(t)=y(n-1)(t)可完全刻划系统的动态特性。取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量,物理意义明确,易于接受。微分方程中不包含输入量的导数项(3/9)q将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程和输出方程y=x1微分方程中不包含输入量的导数项(4/9)q将上述状态方程和输出方程写成矩阵形式有微分方程中不包含输入量的导数项(5/9)q该状态空间模型可简记为:其中微分方程中不包含输入量的导数项(6/9)q上述式子清楚说明了状态空间模型中系统矩阵A与微分方程(2-6)中的系数a1, a2, an之间,输入矩阵B与方程(2-6)中系数b之间的对应关系。通常将上述取输出
37、y和y的各阶导数为状态变量称为相变量。q上述状态空间模型中的系统矩阵具有特别形式,该矩阵的最后一行与其矩阵特征多项式的系数有对应关系,前n-1行为1个n-1维的零向量与(n-1)(n-1)的单位矩阵。该类矩阵称为友矩阵。友矩阵在线性定常系统的状态空间分析方法中是一类重要的矩阵,这在后面的章节中可以看到。微分方程中不包含输入量的导数项(7/9)q上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示微分方程中不包含输入量的导数项(8/9)-例2-1q例2-1 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”+6y”+11y+6y=6uq解 本例中a1=6 a2=11 a3=6 b=6因此,当选择输出y及其1阶与
38、2阶导数等相变量为状态变量时,由式(2-11)和(2-12)可得状态空间模型如下 微分方程中不包含输入量的导数项(9/9)-例2-1其系统结构图如下所示微分方程中包含输入量的导数项(1/11)2. 微分方程中包含输入量的导数项微分方程中包含输入量的导数项q描述单输入单输出线性系统的输入输出间动态行为的微分方程的一般表达式为y(n)+a1y(n-1)+any=b0u(n)+bnu本小节所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型建立该状态空间模型的关键是如何选择状态变量?微分方程中包含输入量的导数项(2/11)q若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,即x1
39、(t)=y(t), x2(t)=y(t), , xn(t)=y(n-1)(t)则可得如下状态方程根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为分段连续,而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接将输出y的各阶导数项取作状态变量。微分方程中包含输入量的导数项(3/11)q为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常,可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量,其原则是:使状态方程中不显含输出u的各阶导数。基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面先介绍一种,其他的方法将在后续章
40、节中陆续介绍。微分方程中包含输入量的导数项(4/11)q根据上述原则,选择状态变量如下其中i(i=0,1,n)为待定系数。微分方程中包含输入量的导数项(5/11)因此,有微分方程中包含输入量的导数项(6/11)若待定系数i(i=0,1,n)满足如下关系式0=b01=b1-a102=b2-a11-a20n =bn-a1n-1-an0即i(i=0,1,n)满足如下方程组微分方程中包含输入量的导数项(7/11)则该高阶微分方程可转化描述为如下不含有输入导数项的状态空间模型微分方程中包含输入量的导数项(8/11)q上述实现状态空间模型的模拟结构图如下图所示微分方程中包含输入量的导数项(9/11)-例2
41、-2q例2-2 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”+5y”+8y+4y=2u”+14u+24uq解 本例中a1=5 a2=8 a3=4 b0=0 b1=2 b2=14 b3=24因此,有0=b0=01=b1-a10=22=b2-a11-a20 =43=b3-a12-a21-a30 =-12微分方程中包含输入量的导数项(10/11)-例2-2因此,当选择状态变量如下时即得系统的状态空间模型为微分方程中包含输入量的导数项(11/11)-例2-2其系统结构图如下所示由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(1/6)2.3.2 由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型
42、q下面讨论由描述系统输入输出关系的传递函数建立系统的状态空间模型。关键问题: 1. 如何选择状态变量2. 保持系统的输入输出间的动态和静态关系不变喔,关键!线性定常微分方程由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(2/6)q由于传递函数与线性定系数常微分方程有直接的对应关系,故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法同样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型。类似地,本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法亦适用于对微分方程建立状态空间模型。传递函数第一章第三节方法第一章第四节方法建立状态空间模型方法对线性定常系统拉氏变换由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间
43、模型(3/6)q实际物理系统传递函数中分子多项式阶次小于或等于其分母多项式阶次,此时称该传递函数为真有理传递函数。而分子多项式阶次小于分母多项式阶次时,则称为严格真有理传递函数。q本节讨论描述单输入单输出(SISO)线性系统的输入输出间动态行为的如下传递函数由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(4/6)对上述传递函数,由长除法,有其中由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(5/6)本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的状态空间模型(A,B,C,D)。q上述常数项d即为状态空间模型(A,B,C,D)中的直联矩阵D;严格真有理传递函数G(s)对应可建立(A,
44、B,C,D)中的(A,B,C)。即由传递函数建立状态空间模型由传递函数建立状态空间模型(6/6)q下面分传递函数极点互异和极点互异和有重极点有重极点两种情况讨论如何建立状态空间模型。传递函数中极点互异时的变换(1/8)1. 传递函数中极点互异时的变换传递函数中极点互异时的变换q对于传递函数G(s),其特征方程为sn+a1sn-1+an=0若其特征方程的n个特征根s1,s2,sn互异,则用部分分式法可将G(s)表示为如下并联分解 其中k1,k2,kn为待定系数,其计算公式为自己推导一下,行吗?传递函数中极点互异时的变换(2/8)q下面以k1计算式的推导过程为例说明的ki的计算式。将G(s)的乘以
45、s-s1,有因此,由于特征根s1,s2,sn互异，有q下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。第2项将s1代入为0。传递函数中极点互异时的变换(3/8)q考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足因此,若选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足则,经反变换可得系统状态方程为传递函数中极点互异时的变换(4/8)q相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s)因此,经拉氏反变换可得如下输出方程y=k1x1+k2x2+knxnq整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型传递函数中极点互异时的变换(5/8)q上述用部分分式法建立的状态空间模
46、型中的系统矩阵有一个重要特征,即A为对角线矩阵。系统矩阵A具有上述对角线形式的状态空间模型即为下一节将详细讨论的所谓对角线规范形。事实上,由式(2-23)和状态空间模型(2-26)可知,对角对角线规范形其实是将系统转线规范形其实是将系统转换为换为n个一阶子系统个一阶子系统(惯性惯性环节环节)的并联的并联,如右图所示。图2-11 对角线规范形的结构图传递函数中极点互异时的变换(6/8)-例2-3q例2-3 用部分分式法将例2-1中微分方程对应的下述传递函数变换为状态空间模型传递函数中极点互异时的变换(7/8)q解解 由系统特征多项式s3+6s2+11s+6可求得系统极点为s1=-1 s2=-2
47、s3=-3于是有其中传递函数中极点互异时的变换(8/8)q故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出, 可得如下状态空间模型q将上述结果与例2-1的结果相比较可知,即使对同一个系统,采用不同的建立状态空间模型的方法,将得到不同的状态空间模型。即,状态空间模型不具有唯一性。传递函数中有重极点时的变换(1/13)2. 传递函数中有重极点时的变换传递函数中有重极点时的变换q当系统特征方程有重根时,传递函数不能分解成如式的情况,亦得不到如式(2-26)所示的状态方程。q不失一般性,为清楚地叙述变换方法,以下设系统特征方程有6个根,其值分别为s1,s1,s1,s4,s5,s5,即s1
48、为3重极点,s2为2重极点。相应地,用部分分式法可将所对应的传递函数表示为传递函数中有重极点时的变换(2/13)其中kij为待定系数,其计算公式为会推导吗?尝试一下其中l为极点si的重数。传递函数中有重极点时的变换(3/13)q下面以系数k13的计算公式的推导为例来说明kij的计算式将G(s)的乘以(s-s1)3 ,有第2项将s1代入为0。对等式两边求2次导数后因此，有传递函数中有重极点时的变换(4/13)q下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。q如何选择状态变量如何选择状态变量?考虑到,输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足传递函数中有重极点时的变换(5/13)q选择状态变量xi
49、(t)使其拉氏变换满足则有传递函数中有重极点时的变换(6/13)即有则经反变换可得系统状态方程为传递函数中有重极点时的变换(7/13)q相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为Y(s)=k11X1(s)+k12X2(s)+k13X3(s)+k41X4(s)+k51X5(s)+k52X6(s)经拉氏反变换可得如下输出方程y=k11x1+k12x2+k13x3+k41x4+k51x5+k52x6传递函数中有重极点时的变换(8/13)q因此,整理可得如下矩阵描述的状态空间模型传递函数中有重极点时的变换(9/13)q上述用部分分式法建立的状态空间模型中的系统矩阵有一个重要特征,即A为块对角矩阵,且每个矩阵
50、方块为只有一个重特征值的特定矩阵块(约旦块)。系统矩阵A具有上述特定块对角形式的状态空间模型即为下一节将详细讨论的所谓约旦规范形。事实上, 约旦规范形是将系统转换为多个子系统(惯性环节)的串-并联。如下图所示。传递函数中有重极点时的变换(10/13)传递函数中有重极点时的变换(11/13)-例2-4q例2-4 用部分分式法将例2-2中微分方程对应的下述传递函数变换为状态空间模型传递函数中有重极点时的变换(12/13)q解解 由系统特征多项式s3+5s2+8s+4可求得系统有二重极点s1=-2和单极点s2=-1,于是有其中传递函数中有重极点时的变换(13/13)q故当选择状态变量为G(s)分式串
51、-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得如下状态空间模型q将上述结果与例2-2的结果相比较可知,可再次验证“状态空间模型不具有唯一性”。多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(1/5)2.3.3 多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统q下面,以双输入双输出的三阶系统为例介绍由描述MIMO系统的高阶微分方程组如何建立状态空间模型。设描述系统的微分方程为 同SISO系统一样,该系统的实现也是非唯一的。下面采用模拟结构图的方法,按高阶导数项求解方法来建立状态空间模型。多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(2/5)因此,该系统的方程也可表示为对每一个方程积分,直至消除导数符号为止。为此,有多输
52、入多输出线性系统多输入多输出线性系统(3/5)故可得模拟结构图,如图2-13所示。图2-13 系统模拟结构图多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(4/5)取每个积分器的输出为一个状态变量,如图2-13所示。则式(2-33)的一种状态空间实现为相应地输出方程为多输入多输出线性系统多输入多输出线性系统(5/5)因此,该双输入双输出系统的矩阵形式状态空间模型为非线性系统非线性系统(1/10)2.3.4 非线性系统非线性系统q倒立摆系统是一个多变量、存在严重非线性的非自治不稳定性系统,经常被用来研究和比较各种控制方法的性能。其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处,因而对倒立摆
53、系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途,人们对倒立摆控制的研究也越来越感兴趣。下面通过一个一级倒立摆的例子,来简述对非线性系统来说,如何通过描述其动力学模型的常微分方程建立状态空间模型。非线性系统非线性系统(2/10)q图2-14为某一级倒立摆结构示意图。图2-14 一级倒立摆示意图非线性系统非线性系统(3/10)图中所示的带轮小车可以前后移动来平衡一根杆,此杆由其底部的一个支点来支撑。该系统中还有一个电机,一根连接电机与小车的皮带和一些滑轮。还有一些传感器,用来测量小车的速度、位置、杆底部与铅垂线所成的角度及其微分。其控制任务是由电机通过皮带施加合适的力f给小车从而使杆不倒,并
54、使小车不超过左右边界。一级倒立摆有两个运动自由度,一个沿水平方向运动,另一个绕轴转动。非线性系统非线性系统(4/10)q解解 通过对滑轮小车和摆竿的受力分析和推导,且忽略交流电机的动特性并且假设交流电机由u到f的静态增益为1,得到倒立摆系统的动力学描述如下:其中c是小车与导轨的摩擦系数; f为施加在小车水平方向上的外力;u为作用在驱动电机上的电压,其为控制变量;非线性系统非线性系统(5/10)J为转动惯量,x为小车的水平位移,由与电机相连的电位计测得; 连接的电位计测得的信号经微分而得;为杆与垂线的夹角,并取顺时针方向为正方向,由安装在小车上并与杆的基座相连的电位计测得; 为小车的水平速度,由
55、与电机 为杆转动的角速度,由安装在小车上并与杆的基座相连的电位计测得的信号经微分而得。非线性系统非线性系统(6/10)q整理上式,得到:其中非线性系统非线性系统(7/10)q对该倒立摆系统,选取状态变量 :由上式得到该倒立摆系统的状态空间模型为非线性系统非线性系统(8/10)q由于数学方法的局限以及工程系统实现的困难,在进行系统分析与控制时,复杂的非线性模型将导致难于分析求解及控制。因此,常将非线性模型在其平衡点(工作点)附近对其进行Taylor级数展开至一阶线性方程,以获得简化的数学模型,实现系统分析与控制。这种处理也是工程中的常用方法,如若摆杆相对于垂直线的角度保持足够小(如),则常有如下
56、线性展开近似非线性系统非线性系统(9/10)因此,对本例来说,在平衡点 附近,非线性状态方程的近似线性化状态方程为 其中非线性系统非线性系统(10/10)和相应的输出方程: 至此,得到一级倒立摆系统的状态空间形式的线性化数学模型。状态空间模型的线性变换和约旦规范形状态空间模型的线性变换和约旦规范形(1(1/8)/8)2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范形状态空间模型的线性变换和约旦规范形q从上一节的讨论可知,同一个系统的状态空间模型,即使其维数相同,但其具体结构和系数矩阵也是多种多样的,如系统矩阵A可以为对角线矩阵的或者约旦矩阵的,也可以为其他形式的。即,状态空间模型不具有唯一性状态空间模
57、型不具有唯一性。状态空间模型的线性变换和约旦规范形状态空间模型的线性变换和约旦规范形( (2/8)2/8)为何同一个系统具有不同的状态空间模型?原因原因: 状态变量的不同选择这就产生了一个问题:各种不同选择的状态变量之间,以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何?状态空间模型的线性变换和约旦规范形状态空间模型的线性变换和约旦规范形( (3/8)3/8)q此外,在控制系统的分析和设计中,某些特殊的系统数学模型对讨论问题相对简单得多,如前面建立的对角线规范形的和约旦规范形。于是自然会提出如下问题:如何把一般形式的状态空间模型变换成特定形式的状态空间模型,以降低系统的分析问题和设计问题的难度。解决
58、上述两个问题,就需引入状态空间的线性变换。什么是状态空间的线性变换什么是状态空间的线性变换?如何理解?本章关键喔!状态空间模型的线性变换和约旦规范形状态空间模型的线性变换和约旦规范形( (4/8)4/8)q状态变量是一组实变量,它们所组成的状态空间为一个实线性空间。由线性代数知识可知,线性空间中,随着表征空间坐标的基底的基底的选取的不同选取的不同,空间中的点关于各种基底的坐标亦不同坐标亦不同。这些基底之间的关系为进行了一次坐标变换,而空间中的点的 坐标则相当于作了一次相似变换。如,在如右图所示的平面直角坐标系中,A点在两个坐标系下的坐标存在如下变化关系(其中P为非可逆的变换矩阵)状态空间模型的
59、线性变换和约旦规范形状态空间模型的线性变换和约旦规范形( (5/8)5/8)n维空间中的旋转变换、极坐标变换,线性空间中的相似变换,都属于空间变换。其中旋转变换和相似变换还属于线性变换。状态空间中由于状态变量的不同选择类似于线性空间中的坐标架的不同选择，同一个系统不同选择状态变量组之间存在类似于线性空间不同坐标架之间的线性变换,因此我们将在状态空间中坐标变换称为状态空间的线性变换。状态空间模型的线性变换和约旦规范形状态空间模型的线性变换和约旦规范形( (6/8)6/8)q引入坐标变换和状态空间线性变换等概念,实际上就回答了上述两个问题:1. 不同选取状态变量之间存在一个坐标变换坐标变换,其相应
60、的状态空间模型之间也存在一个相应的相似变换相似变换。2. 既然可以对状态变量和状态空间模型进行线性变换,则在一定条件下应可以将一般形式的状态空间模型变换成某种特殊的状态空间模型。状态空间模型的线性变换和约旦规范形状态空间模型的线性变换和约旦规范形( (7/8)7/8)q本节主要讨论状态空间的线性变换,以及如何系统状态空间描述的约旦规范形。本章关键问题:1. 线性变换的几何及空间意义,建立空间想象力2. 如何作系统线性变换3. 系统的对角规范形和约旦规范形描述4. 代数重数、几何重数与约旦矩阵5. 如何求矩阵的广义特征向量建立空间概念,可是学好控制理论的关键喔状态空间模型的线性变换和约旦规范形状
61、态空间模型的线性变换和约旦规范形( (8/8)8/8)主要内容为:状态空间的线性变换状态空间的线性变换系统特征值的不变性与系统的不变量系统特征值的不变性与系统的不变量化状态方程为对角线规范形化状态方程为对角线规范形化状态方程为约旦规范形化状态方程为约旦规范形状态空间的线性变换状态空间的线性变换(1/(1/2)2)2.4.1 状态空间的线性变换状态空间的线性变换q对于一个n阶动态系统,可通过选择适当的n个状态变量以建立状态空间模型来描述它。但是,这n个状态变量的选择却不是唯一的。这一点可利用线性代数中的基底不唯一来理解。一个n维线性独立的状态变量向量,在n维状态空间中构成一个坐标系,即相当于空间
62、中的一个基底。根据线性代数知识,在这个空间中还存在另外的坐标系,且与原坐标系存在一个线性变换关系。状态空间的线性变换状态空间的线性变换( (2/2)2/2)下面分别讨论:状态空间的线性变换状态空间的线性变换状态空间模型的线性变换状态空间模型的线性变换上述状态变量向量x与 间的变换,称为状态的线性变换。由线性代数知识可知,它们之间必有如下变换关系状态空间的线性变换状态空间的线性变换(1/1)(1/1)1. 状态空间的线性变换q设描述同一个线性线性状态空间的两个n维的状态变量向量分别为其中P为nn维的非奇异变换矩阵。值得指出的是:变换矩阵P只有为非奇异的,才能使x和 间的变换关系是等价的、唯一的和
63、可逆的。q两种表达式式之间存在什么关系两种表达式式之间存在什么关系? ?状态空间的线性变换状态空间的线性变换(1(1/14)/14)2.状态空间模型的线性变换q设在状态变量x和 下,系统状态空间模型分别为将变换关系x=P 代入(A,B,C,D)的状态方程中有状态空间的线性变换状态空间的线性变换( (2/14)2/14)由于变换矩阵P非奇异,因此有则有应该注意的是,系统的初始条件也必须作相应的变换,即将上式与状态空间模型 比较,则线性系统(A, B,C,D)在线性变换矩阵P下的各矩阵具有如下对应关系其中t0为系统运动的初始时刻。q在进行状态空间的线性变换中,需要计算矩阵的逆,下面先简要复习一下逆
64、矩阵的计算。补充资料补充资料:逆矩阵的计算逆矩阵的计算。q常用的逆矩阵计算方法有如下2种:计算伴随矩阵法计算伴随矩阵法。初等变换法初等变换法(三角矩阵变换法三角矩阵变换法)。下面分别介绍。状态空间的线性变换状态空间的线性变换(3/14)逆矩阵的计算逆矩阵的计算1. 计算伴随矩阵法计算伴随矩阵法该方法计算式如下:P-1=adj(P)/|P|其中adj(P)和|P|分别为矩阵P的伴随矩阵和行列式。伴随矩阵伴随矩阵的定义与计算如下:设有矩阵P为状态空间的线性变换状态空间的线性变换(4/14)计算伴随矩阵法计算伴随矩阵法状态空间的线性变换状态空间的线性变换(5/14)计算伴随矩阵法计算伴随矩阵法则其伴
65、随矩阵为:其中pij*则为矩阵P的元素pij的代数余子式代数余子式。代数余子式代数余子式pij*为nn矩阵P去掉第i行第j列余下的n-1行n-1列的行列式值乘以符号。状态空间的线性变换状态空间的线性变换(6/14) 计算伴随矩阵法计算伴随矩阵法例例 计算下述矩阵的逆矩阵。计算过程如下: (1) 先计算代数余子式先计算代数余子式。状态空间的线性变换状态空间的线性变换(7/14) 计算伴随矩阵法计算伴随矩阵法(2) 计算伴随矩阵计算伴随矩阵。(3) 计算行列式值计算行列式值。状态空间的线性变换状态空间的线性变换(8/14) 计算伴随矩阵法计算伴随矩阵法(4) 计算逆矩阵计算逆矩阵。状态空间的线性变
66、换状态空间的线性变换(9/14)初等变换法初等变换法2. 初等变换法初等变换法初等变换法(即三角矩阵变换法)求逆矩阵P-1的思想为:将矩阵P与单位矩阵I组成增广矩阵P I。通过对增广矩阵P I作初等行变换初等行变换,将P I变换成I T,则P-1=T。初等行变换初等行变换有如下三种:v将某两行交换v将某行乘以一非零常数v将某行乘以一常数加到另一行对前述的矩阵P求逆,计算过程例示如下:状态空间的线性变换状态空间的线性变换(10/14)初等变换法初等变换法状态空间的线性变换状态空间的线性变换(11/14)-初等变换法初等变换法下面简单总结2种计算逆矩阵方法的计算时间复杂性(计算时间估计)。由逆矩阵
67、与伴随矩阵的计算式可知,基于伴随矩阵计算的逆矩阵的计算时间复杂性(计算时间估计)为v1次nn的行列式值vn2次(n-1)(n-1)的行列式值合计为O(n5)而初等变换法的计算时间复杂性为O(n3)状态空间的线性变换状态空间的线性变换(12/14)例例2-5q基于上述逆矩阵计算,下面介绍状态空间模型变换的算例。q例例2-5 试将以下状态空间模型作变换矩阵为下式所示的线性变换状态空间的线性变换状态空间的线性变换(13/14)q解 线性变换P的逆矩阵为因此,有状态空间的线性变换状态空间的线性变换(14/14)故系统在新的状态变量下的状态空间模型为q值得指出的是,状态空间的线性变换只是对状态变量作变换
68、,对系统的输入和输出未作变换,因此系统的输入输出间的动态和静态关系对状态变换保持不系统的输入输出间的动态和静态关系对状态变换保持不变变。系统特征值的不变性与系统的不变量系统特征值的不变性与系统的不变量(1/2)2.4.2 系统特征值的不变性与系统的不变量系统特征值的不变性与系统的不变量q由前面的讨论可知,当选择不同的状态变量,则获得不同的状态空间模型描述。实际上,状态空间模型只是系统在不同的状态变量选择下对系统的一种描述,它随状态变量选择的不同而不同,并不具有唯一性和不变性。那么,到底系统在状态空间中有哪些描述,哪些性质是不变的,是不随状态变量的选取不同而变化的?q线性定常系统的特征结构由特征
69、值和特征向量所表征。系统的特征结构对系统运动的特性和行为具有重要的影响,决定了系统的基本特性。系统特征值的不变性与系统的不变量系统特征值的不变性与系统的不变量(2/2)下面我们将讨论系统经状态线性变换后,其特征值不变,亦即状态线性变换不改变系统的基本特性。系统矩阵的特征值是一种描述系统本质特征的,并具有唯一性的不变量,即不随状态变量的选取不同而变化的不变量,它在系统分析和综合上起着重要的作用。下面将分别讨论:系统的特征值和特征向量系统的特征值和特征向量系统系统特征值的不变性特征值的不变性特征向量的计算特征向量的计算广义特征向量和特征向量链广义特征向量和特征向量链难点喔!重点喔系统的特征值和特征
70、向量系统的特征值和特征向量(1/4)1. 系统的特征值和特征向量q状态空间的线性变换,只是改变了描述系统的角度(或说坐标系),系统的本质特征应保持不变。对于线性定常系统来说,系统的特征值(极点)决定了系统的基本特性。特征值应是系统不变的本质特征之一。系统经状态线性变换后,其本质特征之一的特征值应保持不变,亦即状态线性变换不改变系统的基本特性。下面先讨论矩阵特征值和特征向量的定义。系统的特征值和特征向量系统的特征值和特征向量(2/4)特征值和特征向量定义特征值和特征向量定义q定义定义2-2 设v是n维非零向量,A是nn矩阵。若方程组Av=v成立,则称为矩阵A的特征值特征值,非零向量v为所对应的矩
71、阵A的特征向量特征向量。q将上述特征值的定义式写为(I-A)v=0 其中I为nn的单位矩阵。因此,由代数方程论可知,上式有非零特征向量v的解的充要条件为|I-A|=0 并称上式为矩阵A的特征方程特征方程,而|I-A|为A的特征多项式特征多项式。 系统的特征值和特征向量系统的特征值和特征向量(3/4)特征值和特征向量定义特征值和特征向量定义q将|I-A|展开，可得|I-A|=n+a1n-1+an-1+an=0其中ai(i=1,2,n)称为特征多项式的系数。因此,nn维的矩阵A的特征多项式为n阶多项式。若矩阵A为实矩阵,则对应的特征方程为一实系数代数方程,共有n个根。这n个根或为实数,或为成对出现
72、的共轭复数。求解矩阵特征值的方法即为求解矩阵A的特征方程。n阶的特征方程的n个根1,2,n即为矩阵A的n个特征值。在得到特征值i后,由式(2-46)或式(2-47)可求得矩阵对应于i的特征向量vi。系统的特征值和特征向量系统的特征值和特征向量(4/4)q如下定义所示,矩阵特征值的概念可推广至线性定常系统(A,B,C,D)。q定义 对于线性定常系统(A,B,C,D),系统的特征值即为系统矩阵A的特征值。q关于系统特征值,几点注记:A. 一个n维线性定常系统必然有n个特征值与之对应。B. 对于物理上可实现的系统,其系统矩阵必为实矩阵。因此,线性定常系统的特征多项式必为实系数多项式,即系统的特征值或
73、为实数,或为成对出现的共轭复数。系统系统特征值的不变性特征值的不变性(1/2)(1/2)2. 系统特征值的不变性q系统的特征值表征了系统本质的特征。而线性变换只是相当于对系统从另外一个角度来描述而已,并未改变系统的本质。刻划了系统本质特征的系统特征值应不随线性变换而改变,即有如下结论:线性定常系统特征值对线性变换具有不变性。系统系统特征值的不变性特征值的不变性(2/2)(2/2)q对于这个结论,亦可证明如下:设系统原状态空间模型中的系统矩阵为A,经线性变换后,系统矩阵为可见,系统经线性变换后,其特征值不变。矩阵 的特征多项式为即证明了A的特征多项式等于的 特征多项式。特征向量的计算(1(1/9
74、)/9)3. 特征向量的计算q如何求解特征值i对应的特征向量?求解特征向量,即求如下齐次矩阵代数方程的非零解(iI-A)vi=0q由于i为A的特征值,故iI-A不可逆。因此,由代数方程理论可知,该方程组的解并不唯一。由特征向量的定义可知,我们需求解的是线性独立的特征向量。实际上,具体求特征向量时,可假定其特征向量的某个或几个元素的值,然后再求得该特征向量其他元素的值。特征向量的计算(2(2/9)/9)q当特征方程存在重根时,线性独立的特征向量可能不唯一。因此,就产生如下问题:问题问题: 对应于特征值i究竟有几个独立的特征向量?答案答案: 矩阵的重特征值i所对应的线性独立的特征向量可能不止一个。
75、v它的独立特征向量的数目等价于系统的维数与线性方程组(2-47)的线性独立的方程数之差,即为n-rank(iI-A)其中rank为矩阵的秩。特征向量的计算(3(3/9)/9)q因此,r重的特征值可能存在1至r个线性独立的特征向量。由此,导出如下问题:独立的特征向量数到底具有什么意义?它与特征值的重数之间有何关系?下面引入代数重数与几何重数两个概念。不要混淆喔!特征向量的计算(4(4/9)/9)q两个基本概念:代数重数代数重数。由特征方程求得的特征值i的重数称为特征值i的代数重数。几何重数几何重数。特征值i线性独立的特征向量数称为特征值i的几何重数。代数重数和几何重数是两个不同的概念。几何重数具
76、有几何上空间表征的意义,它代表在空间分解上不变的几何子空间的数目。而代数重数仅具有代数意义,它代表特征值在特征方程的重数。特征向量的计算(5(5/9)/9)例例2-62-6q例2-6 求如下矩阵的特征向量q解解 1. 由特征方程|I-A|=0求得系统的特征值。特征向量的计算( (6/9)6/9)例例2-62-6解该特征方程,可求得系统的特征值为1=1 2=3=2即2为系统的二重特征值,其代数重数为22. 计算1=1的特征向量。按定义有(1I-A)v1=0即特征向量的计算( (7/9)7/9)例例2-62-6解之得特征向量v1的通解为v1=v11 v11 2v11令v11=1,解之得v1=v11
77、 v12 v13= 1 1 2特征向量的计算( (8/9)8/9)例例2-62-63. 计算重特征值2=3=2的特征向量。按定义有(2I-A)v2=0即特征向量的计算( (9/9)-9/9)-例例2-62-6由于n-rank(2I-A)=2因此,特征值应有2个独立特征向量,故该重特征值的几何重数亦为2。解之得特征向量v2的通解为v2=v21 v22 v21令v21=1,v22=0和1,解之得v2=1 0 1 和 v3=1 1 1即重特征值2有两个线性独立的特征向量。广义特征向量和特征向量链(1(1/12)/12)4. 广义特征向量和特征向量链q某些重特征值的线性独立特征向量数(几何重数)小于其
78、代数重数,从而使得矩阵所有特征值所对应的线性独立特征向量数之和小于矩阵维数。为此,为能进行空间的结构分解和分析,下面引入一组辅助的空间变换基向量-广义特征向量和特征向量链。q定义 广义特征向量是重特征值i所对应的某个线性独立的特征向量vj满足如下方程组的向量vj,k:广义特征向量和特征向量链(2(2/12)/12)q解上述方程组一直到无解为止,就可求得特征值i的特征向量vj所对应的所有广义特征向量vj,k。q重特征值i的所有线性独立特征向量vj及其对应的广义特征向量vj,k的个数等于其代数重数,否则就还存在其他特征向量或广义特征向量。值得指出的是,并不是重特征值i的任何一组线性独立的特征向量,
79、都能求出所有的广义特征向量。若i的某一组特征向量vj及其相应广义特征向量vj,k的个数小于该特征值的代数重数,则应重新选取其他一组线性独立的特征向量并求取相应的广义特征向量。广义特征向量和特征向量链(3(3/12)/12)q重特征值i的特征向量vj的广义特征向量vj,1,vj,2,组成的向量链称为i的特征向量vj对应的特征向量链。广义特征向量并不是矩阵的特征向量,它只是与对应的特征向量组成该矩阵在n维线性空间中的一个不变子空间。矩阵的所有特征向量和广义特征向量线性独立,并且构成n维线性空间的一组基底。这在矩阵分析中是相当重要的。广义特征向量和特征向量链(4(4/12)/12)q下面通过一个例子
80、来简单介绍线性空间的特征子空间分解。例,某5维线性空间,存在一个3重特征值和一个2重特征值。3重特征值有2个独立特征向量,2重特征值有1个独立特征向量。则该线性空间可分解为如下3个独立的不变特征子空间。广义特征向量和特征向量链(5(5/12)/12)广义特征向量和特征向量链(6(6/12)/12)若该5维线性空间,3重特征值有1个独立特征向量,2重特征值有2个独立特征向量。则该线性空间可分解为如下3个独立的不变特征子空间。 广义特征向量和特征向量链(7(7/12)/12)例例2-72-7q例例2-7 求如下矩阵的特征向量和特征向量链q解解 1. 由特征方程|I-A|=0可求得系统的特征值为1=
81、2=3=-1即-1为系统的三重特征值,其代数重数为3。2. 计算对应于三重特征值-1的特征向量。按定义有(1I-A)v1=0广义特征向量和特征向量链(8(8/12)/12)例例2-72-7即由于n-rank(1I-A)=2因此,该特征值应有2个独立特征向量,故该重特征值的几何重数亦为2。由于该重特征值的几何重数小于代数重数，因此存在广义特征向量。 解之得如下特征向量的通解式 v1=v11 v12 -(v11+v12)/2广义特征向量和特征向量链(9(9/12)/12)例例2-72-7分别令两组独立的v11 v12即可求得三重特征值1的两个线性独立的特征向量。三重特征值-1只有两个线性独立特征向
82、量,其几何重数为2。因此,重特征值-1的两个独立特征向量中有一个一定存在广义特征向量。下面通过求广义特征向量来辅助决定选取合适的v11和v12。广义特征向量和特征向量链( (10/12)10/12)例例2-72-73. 计算对应于特征向量的广义特征向量和特征向量链。按定义式(2-51),特征向量v1的广义特征向量v1,2满足(1I-A)v1,2=-v1即因此,根据方程的可解性,存在广义特征向量的特征向量v1中的v11和v12满足v11=-3v123倍关系广义特征向量和特征向量链(1(11/12)1/12)例例2-72-7此时的广义特征向量的解为v1,2= r1 r2 -(r1+r2-v12)/
83、2其中r1和r2为任意数。因此存在广义特征向量的特征向量v1为和其对应的广义特征向量可以分别取为v1=v11 v12 -(v11+v12)/2 =-3v12 v12 v12 =1 -1/3 -1/3v1,2=r1 r2 -(r1+r2-v12)/2 =1 2/3 -1广义特征向量和特征向量链(1(12/12)2/12)例例2-72-7另外一个不存在广义特征向量的三重特征值1的特征向量为v2=v11 v12 -(v11+v12)/2=1 0 -1/2q本例共求得3个特征向量和广义特征向量。由于矩阵A的维数为33,因此对应于上述特征向量和广义特征向量,已不存在其他广义特征向量。故特征值1对应于特征
84、向量v1的特征向量链为v1和v1,2。化状态方程为对角线规范形化状态方程为对角线规范形(1(1/12)/12)2.4.3 化状态方程为对角线规范形化状态方程为对角线规范形q对角线规范形是指系统矩阵A为对角线矩阵的一类状态空间模型。对于该类状态空间模型,由于在系统分析和综合时,清晰直观,使问题得以简化该类系统可简化成n个一阶惯性环节的并联故在状态空间分析法中是较重要的一类特殊状态空间模型。任何具有任何具有n个线性独立特征向量的状态空间模型一定能个线性独立特征向量的状态空间模型一定能经状态变换变换成对角线规范形。经状态变换变换成对角线规范形。该结论可详细地并构造性地证明如下。化状态方程为对角线规范
85、形化状态方程为对角线规范形(2(2/12)/12)q结论 已知线性定常系统的状态方程为其中系统矩阵若A的n个特征值1,2,n所对应的特征向量线性独立,则必存在变换矩阵P,使其进行状态变换x=P 后为对角线规范形,即系统的状态方程为为对角线矩阵,并且变换矩阵P可取为P=p1 p2 pn其中pi为矩阵A对应于特征值i的特征向量。三、化状态方程为对角线规范形三、化状态方程为对角线规范形(3(3/12)/12)q证明 若pi为对应与特征值i的独立特征向量,则必有Api=ipi因此有Ap1 Ap2 Apn=1p1 2p2 npn对上式两边分别有Ap1 Ap2 Apn=Ap1 p2 pn=AP化状态方程为
86、对角线规范形化状态方程为对角线规范形(4(4/12)/12)故AP=Pdiag1 2 n即P-1AP=diag1 2 n即证明了结论。对原状态方程进行线性变换 的后,可得化状态方程为对角线规范形化状态方程为对角线规范形( (5/12)-5/12)-例例2-82-8q例2-8 试将下列状态空间模型变换为对角线规范形化状态方程为对角线规范形化状态方程为对角线规范形( (6/12)-6/12)-例例2-82-8q解解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=-1 2=-2 3=-32. 求特征值所对应的特征向量。由前述的方法可求得特征值1,2和3所对应的特征向量分别为p1=1 0 1 p2
87、=1 2 4 p3=1 6 93. 取A的特征向量组成变换矩阵P并求逆阵P-1,即有化状态方程为对角线规范形化状态方程为对角线规范形( (7/12)7/12)例例2-82-84. 计算各矩阵5. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为化状态方程为对角线规范形化状态方程为对角线规范形( (8/12)8/12)q下面给出快速计算矩阵特征向量及对角线规范形的一个特例:在第三节讨论的状态空间模型中,其系统矩阵为其特征多项式为|I-A|=n+a1n-1+an-1+an即该类矩阵的最后一行与特征多项式的系数一一对应。该类特殊系统矩阵A称为友矩阵友矩阵。单位矩阵化状态方程为对角线规范形化状态方程为对角线规范形
88、( (9/12)9/12)友矩阵的特征向量的特点:当特征值为i时,其对应的特征向量为该结论可由下式证明。即pi为友矩阵的特征值i对应的特征向量。化状态方程为对角线规范形化状态方程为对角线规范形( (10/12)-10/12)-例例2-92-9因此,当友矩阵的特征值互异时,将友矩阵变换成对角线矩阵的变换矩阵恰为下述范德蒙矩阵范德蒙矩阵q例2-9 试将下列状态空间模型变换为对角线规范形三、化状态方程为对角线规范形三、化状态方程为对角线规范形(1(11/12)-1/12)-例例2-92-9q解解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=0 2=-1 3=-22. 由于A为友矩阵,故将A变换
89、成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1分别为三、化状态方程为对角线规范形三、化状态方程为对角线规范形(1(12/12)2/12)例例2-92-93. 计算各矩阵4. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为化状态方程为约旦规范形化状态方程为约旦规范形(1/1)(1/1)2.4.4 化状态方程为约旦规范形化状态方程为约旦规范形q若系统存在重特征值且线性独立特征向量数小于该特征值的重数时,则系统矩阵A不能变换成对角线矩阵。在此种情况下,A可变换成约旦矩阵,系统表达式可变换成约旦规范形。下面将分别讨论约旦块和约旦矩阵约旦块和约旦矩阵约旦规范形及其计算约旦规范形及其计算约旦块和约旦矩阵(1/(1/3)3)
90、1. 约旦块和约旦矩阵q矩阵的约旦块的定义为q由l个约旦块Ji组成的块对角的矩阵称为约旦矩阵,如J=block-diagJ1 J2 Jl约旦块和约旦矩阵(2/(2/3)3)q下述矩阵均为约旦矩阵上述第一个约旦矩阵有两个约旦块,分别为11维的特征值2的约旦块和33维的特征值-1的约旦块;第二个约旦矩阵有三个约旦块,分别为11维的特征值3的约旦块以及11维和22维的特征值-1的两个约旦块。约旦块和约旦矩阵( (3/3)3/3)q由约旦块和约旦矩阵的定义可知,对角线矩阵可视为约旦矩阵的特例对角线矩阵可视为约旦矩阵的特例,其每个约旦块的维数为11。在本课程中,若未加以特别指出的话若未加以特别指出的话,
91、则所有对约旦矩阵则所有对约旦矩阵有关的结论都同样适用于对角线矩阵。有关的结论都同样适用于对角线矩阵。约旦规范形及其计算(1/16)(1/16)2. 约旦规范形及其计算q定义 系统矩阵A为约旦矩阵的状态空间模型称为约旦规范形。q与对角线规范形一样,约旦规范形也是线性定常系统的状态空间分析中一种重要的状态空间模型。下面讨论一般状态空间模型与约旦规范形之间的线性变换的计算问题。q对于任何有重特征值且其线性独立特征向量数小于其维数的矩阵,虽然不能通过相似变换化成对角线矩阵,但可经相似变换化为约旦矩阵。可经相似变换化为约旦矩阵。约旦规范形及其计算(2/16)(2/16)q状态空间模型变换与对角线规范形、
92、约旦矩阵规范形的关系状态空间模型变换与对角线规范形、约旦矩阵规范形的关系? ?一般状态空间表达式对角线规范形约旦规范形n个独立特征向量代数重数=几何重数代数重数几何重数n个独立特征向量与广义特征向量特例线性变换Understand?约旦规范形及其计算(3/16)(3/16)q若将对角线矩阵视为约旦矩阵的特例的话,则任何矩阵皆可经相似变换化为约旦矩阵。相应地,任何状态空间模型都可经状态变换变换成约旦规范形。任何矩阵都可变换成约旦矩阵,但能变换成有几个约旦块的约旦矩阵,则与系统的特征向量有关。对此有如下结论:矩阵所变换成的约旦矩阵的约旦块数等于该矩阵的线性独立特征向量数(即几何重数)。约旦规范形及
93、其计算(4/16)(4/16)q由前面讨论可知:任何状态空间模型一定能经状态变换变换成约旦规范形。该结论可详细地并构造性地叙述并证明如下。约旦规范形及其计算(4/16)(4/16)q结论 已知线性定常系统的状态方程为x=Ax+Bu若A的共有p(pn)个互异的特征值,l(pln)个线性独立特征向量pi及相应地广义特征向量pi,j(i=1,2,l;j=1,2,mi),则必存在变换矩阵P,使其进行状态变换x=P 后为约旦规范形,即系统的状态方程为其中系统矩阵为约旦矩阵,并且变换矩阵P可取为P=P1 P2 Pl约旦规范形及其计算(5/16)(5/16)变换矩阵P P=P1 P2 Pl中的Pi为矩阵A对
94、应于线性独立特征向量pi的特征向量链组成的如下分块矩阵q证明 若pi和pi,j为对应与特征值i的独立特征向量和广义特征向量,则必有约旦规范形及其计算(6/16)(6/16)q因此有其中Ji为相应的约旦块。Api=ipi约旦规范形及其计算(7/16)(7/16)即P-1AP=block-diagJ1 J1 Jl故APi=PiJi约旦规范形及其计算(8/16)(8/16)例例2-102-10即对原状态方程进行线性变换 的后,可得=P-1AP=block-diagJ1 J2 Jl即证明了结论。q例2-10 试将下列状态空间模型变换为约旦规范形约旦规范形及其计算(9/16)(9/16)例例2-102-
95、10q解解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=2=3=2 4=-12. 求特征值所对应的特征向量。由前述的方法可求得特征值2由如下两个线性独立特征向量P1,1=1 1 -1 1/3 P2,1=1 0 0 -1其中p1,1无广义特征向量,而p2,1的广义特征向量为P2,2=1 1 0 -1特征值-1的特征向量为P3,1=0 0 0 1约旦规范形及其计算(10/16)(10/16)例例2-102-103. 取A的特征向量和广义特征向量组成变换矩阵P并求逆阵P-1,即有约旦规范形及其计算(11/16)(11/16)例例2-102-104. 计算各矩阵约旦规范形及其计算(12/16)(
96、12/16)例例2-102-105. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为约旦规范形及其计算(13/16)(13/16)q对前面讨论的特殊矩阵-友矩阵,它的广义特征向量的快速计算方法为:当特征值为i时,其对应的特征向量和广义特征向量分别为约旦规范形及其计算(14/16)(14/16)例例2-112-11q解解 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为1=-1 2=3=-2其中mi为该特征值的代数重数。该结论可由广义特征向量和友矩阵的定义证明。q例2-11 试将下列状态空间模型变换为约旦规范形约旦规范形及其计算(15/16)(15/16)例例2-112-113. 计算各矩阵2. 由于A为友
97、矩阵,故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1分别为约旦规范形及其计算(16/16)-(16/16)-例例2-112-114. 系统在新的状态变量下的状态空间模型为传递函数阵传递函数阵(1/1(1/1) )2.5 传递函数阵传递函数阵q对于SISO线性定常系统,标量传递函数表达了系统输入与输出间的信息动态传递关系。对于MIMO线性定常系统,将每个输入通道至每个输出通道之间的标量传递函数按序排列成的矩阵函数,即传递函数阵,可用来表达系统输入与输出间的信息动态传递关系。下面将从状态空间模型出发,分别讨论MIMO系统的传递函数阵的定义传递函数阵的定义由状态空间表达式建立系统的传递函数阵由状态
98、空间表达式建立系统的传递函数阵,以及组合系统的状态空间模型和传递函数阵 传递函数阵的定义传递函数阵的定义(1/2)(1/2)2.5.1 2.5.1 传递函数阵的定义传递函数阵的定义q在引入传递函数阵概念之前,需将标量函数拉氏变换的定义扩展到向量函数和矩阵函数。为此,定义对向量函数和矩阵函数的拉氏变换为分别对该向量函数和矩阵函数的各个元素求相应的拉氏变换,那么我们可对矩阵函数和向量函数进行拉氏变换及其拉氏反变换。传递函数阵传递函数阵(2/2)(2/2)q对r维输入、m维输出的MIMO系统,若其输入输出的拉氏变换分别为U(s)和Y(s),则系统的输入输出间的动态关系可表示为Y(s)=G(s)U(s
99、)其中G(s)称为传递函数阵,其每个元素为标量传递函数。G(s)的形式为其中Gij(s)描述了第i个输出与第j个输入之间的动态传递关系。由状态空间表达式求传递函数阵由状态空间表达式求传递函数阵 (1 (1/1)/1)2.5.2 由状态空间表达式求传递函数阵由状态空间表达式求传递函数阵q前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式,下面将介绍其逆问题,即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵。主要内容有:传递函数矩阵的推导传递函数矩阵的推导函数矩阵函数矩阵(sI-A)的逆矩阵的快速计算的逆矩阵的快速计算传递函数矩阵的推导传递函数矩阵的推导(1(1/7)/7)1. 传递函数矩阵的推导
100、传递函数矩阵的推导q前面已经介绍了SISO系统从传递函数求系统的状态空间表达式,下面将介绍其逆问题,即怎样从状态空间表达式求系统的传递函数阵。q已知MIMO线性定常系统的状态空间表达式为其中x为n维状态向量;u为r维输入向量;y为m维输出向量。传递函数矩阵的推导传递函数矩阵的推导(2(2/7)/7)q对上式取拉氏变换,有其中X(s)、U(s)和Y(s)分别为x(t)、u(t)和y(t)的拉氏变换;x(0)为x(t)的在初始时刻t=0的值。q由于传递函数阵描述的是系统输入输出间动态传递关系,不考虑系统初始条件的影响。因此令x(0)=0,于是由状态方程的拉氏变换式有X(s)=(sI-A)-1BU(
101、s)传递函数矩阵的推导传递函数矩阵的推导(3(3/7)/7)例例2-122-12将上述X(s)代入式(2-60)中的输出方程,有Y(s)=C(sI-A)-1B+DU(s)因此,可得线性定常连续系统的传递函数阵为G(s)=C(sI-A)-1B+D若对于输入与输出间无直接关联项(即D=0)的系统,则有G(s)=C(sI-A)-1Bq例2-12 求如下系统的传递函数传递函数矩阵的推导传递函数矩阵的推导(4(4/7)/7)例例2-122-12q解 (1) 先计算逆矩阵C(sI-A)-1B代数余子式代数余子式传递函数矩阵的推导传递函数矩阵的推导( (5/7)5/7)例例2-122-12q(2) 由传递函
102、数计算公式可得q由于状态变换仅对状态变量进行,保持系统的输入和输出变量及它们间的动静态关系不变。因此,有如下结论:描述系统输入与输出间动态传递关系的传递函数阵对状态变换具有不变性。传递函数矩阵的推导传递函数矩阵的推导( (6/7)6/7)q上述结论按下面的步骤是很容易证明的。q证明 设系统的状态空间表达式为(A,B,C,D),相应的传递函数阵为G(s)=C(sI-A)-1B+D若对此系统作线性状态变换 ,则相应的状态空间表达式为 ,相应的传递函数阵其中传递函数矩阵的推导传递函数矩阵的推导( (7/7)7/7)因此有 =CP(sI-P-1AP)-1P-1B+D=CPP-1(sI-A)-1PP-1
103、B+D=C(sI-A)-1B+D=G(s)即证明了传递函数阵对状态变换具有不变性。函数矩阵函数矩阵(sI-A)的逆矩阵的快速计算的逆矩阵的快速计算(1(1/4)/4)2. 函数矩阵函数矩阵(sI-A)的逆矩阵的快速计算的逆矩阵的快速计算q在传递函数矩阵的许多分析与计算问题中,涉及函数矩阵函数矩阵(sI-A)的逆矩阵(sI-A)-1的计算问题。当系统的阶数较高(方阵A的维数较大)时,应用此方法将会遇到多项式矩阵函数的逆阵的计算量大,计算困难问题。下面介绍一种计算 的实用递推算法,其证明可从相关的矩阵分析的书籍中找到。 函数矩阵函数矩阵(sI-A)的逆矩阵的快速计算的逆矩阵的快速计算(2/4)q设
104、A为nn维的矩阵,则sI-A的逆阵为(sI-A)-1=adj(sI-A)/|sI-A|其中adj()为伴随矩阵,|sI-A|为如下特征多项式:|sI-A|=sn+a1sn-1+an-1s+an由伴随矩阵的定义可知,adj(sI-A)可表示为如下多项式矩阵函数adj(sI-A)=sn-1I+sn-2B2+sBn-1+Bn其中矩阵Bi(i=2,3,n)为nn维的矩阵。函数矩阵函数矩阵(sI-A)的逆矩阵的快速计算的逆矩阵的快速计算(3/4)可以证明,特征多项式的系数ai和伴随矩阵的系数矩阵Bj满足如下递推计算关系式:其中tr(M)表示矩阵M的迹,即M中的主对角线上各元素之代数和。函数矩阵函数矩阵(
105、sI-A)的逆矩阵的快速计算的逆矩阵的快速计算(4/4)递推计算sI-A的伴随矩阵和A的特征多项式后,由(2-63)可计算得(sI-A)-1。求得(sI-A)-1,再经拉氏反变换,即可求得矩阵指数函数eAt。q上述计算方法采用逐次迭代求得多项式系数ai和伴随矩阵系数矩阵Bj,避免了直接求矩阵函数逆矩阵(sI-A)-1的困难。由状态空间表达式求传递函数阵由状态空间表达式求传递函数阵 (1 (1/1)/1)2.5.3 组合系统的状态空间模型和传递函数阵组合系统的状态空间模型和传递函数阵q对于许多复杂的生产过程与设备,其系统结构可以等效为多个子系统的组合结构,这些组合结构可以由并联、串联和反馈3种基
106、本组合联结形式表示。下面讨论的由这3种基本组合联结形式构成的组合系统的状态空间模型和传递函数阵。并联联结并联联结(1(1/4)/4)1. 并联联结并联联结图图2-15 并联联接组合系统方块结构图并联联接组合系统方块结构图并联联结并联联结( (2/4)2/4)q设对应于图2-15示的并联联结的组合系统的两个子系统的传递函数阵为其对应的状态空间表达式分别为并联联结并联联结( (3/4)3/4)q从图2-15可知u1=u2=u y1+y2=y故可导出并联联结组合系统的状态空间模型为并联联结并联联结( (4/4)4/4)因此,由上述状态空间表达式可知,并联组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维
107、数之和。由组合系统的状态空间表达式可求得组合系统的传递函数阵为因此,并联组合系统的传递函数阵为各并联子系统的传递函数阵之和。串联联结串联联结(1(1/5)/5)2. 串联联结串联联结图图2-16 串联联接组合系统方块结构图串联联接组合系统方块结构图q设图2-16所示的串联联结的组合系统的两个子系统的传递函数阵分别和并联连结的结构相同,其对应的状态空间表达式也分别相同。串联联结串联联结( (2/5)2/5)q从图2-16可知 u1=u u2=y1 y2=y因此可导出串联组合系统的状态空间方程为串联联结串联联结( (3/5)3/5)相应的输出方程为即有串联联结串联联结( (4/5)4/5)因此,由
108、上述状态空间模型可知,串联连接组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。q由串联组合系统的状态空间模型可求得组合系统的传递函数阵为串联联结串联联结( (5/5)5/5)因此,串联联结组合系统的传递函数阵为串联系统各子系统的传递函数阵的顺序乘积。应当注意,由于矩阵不满足乘法交换律,故在上式中G1(s)和G2(s)的位置不能颠倒,它们的顺序与它们在系统中的串联联结顺序一致。反馈联结反馈联结(1(1/5)/5)3. 反馈联结反馈联结图图2-17 反馈联接组合系统方块结构图反馈联接组合系统方块结构图反馈联结反馈联结( (2/5)2/5)q设对应于图2-17所示的反馈联结组合系统的两个子系统
109、的传递函数阵为其对应的状态空间模型分别为反馈联结反馈联结( (3/5)3/5)q从图2-17可知u1=u-y2 u2=y1=y因此可导出反馈组合系统的状态空间模型为反馈联结反馈联结( (4/5)4/5)即有故反馈联结组合系统的状态变量的维数为子系统的状态变量的维数之和。反馈联结反馈联结( (5/5)5/5)Y(s)=G0(s)U1(s)=G0(s)U(s)-Y2(s)=G0(s)U(s)-F(s)Y(s)故I+G0(s)F(s)Y(s)=G0(s)U(s)或Y(s)=I+G0(s)F(s)-1G0(s)U(s)因此,反馈联结组合系统的传递函数为G(s)=I+G0(s)F(s)-1G0(s)q由
110、反馈联结组合系统的联结图2-17可知反馈联结反馈联结( (6/5)6/5)U(s)=Y2(s)+U1(s)=F(s)G0(s)U1(s)+U1(s)=I+F(s)G0(s)U1(s)=I+F(s)G0(s)Y(s)故Y(s)=G0(s)I+F(s)G0(s)-1U(s)因此,反馈联结组合系统的传递函数又可写为G(s)=G0(s)I+F(s)G0(s)-1q按图2-17,还可作如下推导线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述(1/3)2.6 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述q随着数字计算机在系统控制中的广泛应用,离散时间系统(简称为离散系统)日益显示出其重要性。和
111、连续系统不同,离散系统中各部分的信号不再都是时间变量t的连续函数。在系统的一处或多处,其信号呈现断续式的脉冲串或数码的形式。事实上,大量的连续系统通常被通过采样化为时间离散化系统,再来进行分析和控制。离散系统成为控制理论与控制工程中重要的一类系统模型。线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述(2/3)q状态空间分析方法是能全面描述和分析动态系统的一种动力学分析与综合的主要方法,其也适应于离散系统的动力学分析与综合。与连续系统类似,为更好地分析、控制离散时间被控对象,引入状态空间分析方法。本节主要研究线性离散系统的状态空间描述及如何建立状态空间模型。下面先讨论工程控制系统的计算机实现
112、,然后讨论离散系统的状态空间描述等问题。线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述(3/3)q本节主要讨论的问题本节主要讨论的问题:工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述离散系统的机理建模离散系统的机理建模由离散系统的输入输出关系建立状态空间模型由离散系统的输入输出关系建立状态空间模型 由离散系统的状态空间模型求传递函数阵由离散系统的状态空间模型求传递函数阵重点喔工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(1/9)2.6.1 工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现 q自动控制系统可以分为调节系统和伺服系统
113、两类。调节系统要求被控对象的状态保持不变,一般输入信号不作频繁调节;而伺服系统则要求被控对象的状态能自动、连续、精确地跟随输入信号的变化。“伺服(Servo)”一词是拉丁语,“奴隶”的意思,意即使系统像奴隶一样忠实地按照命令动作。而命令是根据需要不断变化的,因此伺服系统又称为随动系统。对于机械运动控制系统,被控对象状态主要有速度和位置,如速度伺服系统、位置伺服系统。 工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(2/9)q下面就以伺服系统为例来介绍其在计算机系统中的一般实现。 q利用计算机代替常规的模拟控制器,而使它成为控制系统的一个组成部分,我们把这种有计算机参加控制的系统简称为计算机控
114、制系统。换句话说,计算机控制系统是由强调计算机作为控制系统的一个组成部分而得名的。计算机控制系统有时也称为数字控制系统,这是强调在控制系统中包含有数字信号。工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(3/9)q引入计算机控制的伺服系统叫做计算机控制伺服系统,也可以称为数字伺服系统。在图2-18伺服系统中引入计算机代替误差的求取和控制器的功能,构成计算机控制伺服系统,如图2-19所示。 图2-18位置伺服系统 工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(4/9)图2-19计算机控制伺服系统工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(5/9)由于计算机输入输出只能是数字信号,所以
115、要加入A/D (Analog to Digital Converter,模拟量-数字量转换)和D/A (Digital to Analog Converter, 数字量-模拟量转换)环节。工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(6/9)q计算机控制伺服系统由计算机通过模拟量输入通道(A/D)采集被控对象的状态,与给定值的数字量比较,获得误差,然后经控制器的算法程序进行信息加工,作出相应的控制和处理决策,形成控制信息,通过模拟量输出通道(D/A),转变成被控对象可以接受的模拟信号,通过驱动器带动系统跟踪输入变化。因此,计算机控制伺服系统由计算机、模拟量输入通道、模拟量输出通道以及被控对
116、象组成。工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(7/9)q计算机控制伺服系统的被控对象一般为运动部件。为系统安全起见,常要求系统启动工作时,计算机与被控对象间“握一次手”互相访问一下,都准备就绪了才开始工作。因此计算机控制伺服系统中还应该有开关量的输入、输出通道。这样计算机控制伺服系统的组成如图2-20所示。图图2-20 计算机控制伺服系统的组成计算机控制伺服系统的组成工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(8/9)q计算机伺服控制系统的工作过程是:实时数据采集对被控参数的瞬时值进行检测、转换并输入到计算机中;实时决策对采集到的表征被控参数的状态变量进行分析,并按已给的控制
117、规律进行计算,决定进一步的控制策略;实时控制根据决策的结果,适时地对控制机构发出控制信号。 工程控制系统的计算机实现工程控制系统的计算机实现(9/9)q计算机控制伺服系统就是不断重复上面三个步骤,控制整个系统按一定的品质指标进行工作,并对系统的异常状态进行监视和处理。控制过程的三个步骤对计算机来说实际上只是执行算术、逻辑运算和输入、输出操作的过程。 线性离散系统的空间描述线性离散系统的空间描述(1/5)2.6.2 线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述q在经典控制理论中,离散系统通常用差分方程或脉冲传递函数来描述。SISO线性定常离散系统差分方程的一般形式为 y(k+n)+a1y
118、(k+n-1)+any(k)=b0u(k+n)+bnu(k)式中,k表示第k次采样的kT时刻;T为采样周期;y(k)、u(k)分别为kT时刻的输出量和输入量; ai和bi为表征系统特性的常系数。线性离散系统的空间描述线性离散系统的空间描述(2/5)q考虑初始条件为零时的变换关系对上述差分方程模型两端取z变换并加以整理可得脉冲传递函数(z域传递函数)q上述描述的离散系统输入输出差分方程、传递函数分别与连续系统的输入输出微分方程、传递函数在形式上相同。 线性离散系统的空间描述线性离散系统的空间描述(3/5)q为进行离散系统的状态空间分析,需引入离散系统的状态空间模型。在状态空间法中,采用以下的离散
119、状态方程和离散输出方程所组成的线性定常离散系统状态空间模型对离散系统进行描述,即其中x(kT)、u(kT)和和y(kT)分别分别为n维的状态向量、r维的输入向量和m维的输出向量;G(T)、H(T)、C(T)和和D(T)分别分别为nn维的系统矩阵、nr维的输入矩阵、mn维的输出矩阵和mr维的直联矩阵。线性离散系统的空间描述线性离散系统的空间描述(4/5)q离散系统状态空间模型的意义:状态方程状态方程为一阶差分方程组,它表示了在(k+1)T采样时刻的状态x(k+1)T)与在kT采样时刻的状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。描述的是系统动态特性,其决定系统状态变量的动态变化。输出方程输出方程为
120、代数方程组,它表示了在kT采样时刻时,系统输出y(kT)与状态x(kT)和输入u(kT)之间的关系。描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。线性离散系统状态空间模型中的各矩阵的意义与连续系统一致。线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述(5/5)q为书写简便,可将离散系统状态空间模型中的T省去,于是有q与连续系统相类似,线性定常离散系统状态空间模型的结构图如下图所示。还记得线性连续系统的结构图?图2-21 线性定常离散系统状态空间模型的结构图线性离散系统的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述(6/5)q与线性定常离散系统类似,对于线性时变离散系统,其状态空间模型可记为线性离散系统
121、的状态空间描述线性离散系统的状态空间描述(7/5)q从线性连续系统和线性离散系统的状态空间模型和相应的结构图,以及传递函数模型可以看出,线性连续系统和线性离散系统在模型结构上极为相似,这种相似性可以总结如下表所示:线性连续系统线性离散系统状态方程微分方程前向差分方程结构图中算子积分单位延迟(反向差分)动态模型中算子拉氏变换s算子z变换z算子还有其他对应关系?离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模(1/8)2.6.3 离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模 q与连续时间系统的通过系统机理来建立状态空间模型方法一样,对已掌握系统机理的离散时间系统也可以通过机理分析建立状态空间模型。人口
122、分布问题是一个典型的社会系统。通过对人口分布问题建立状态空间描述模型,可以分析和预测人口分布的发展态势。下面讨论一个经过适当简化的城乡人口分布问题,并以此人口模型的状态空间描述为例,讨论如何通过系统机理建立离散系统的状态空间描述。离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模(2/8)q例例2-13 假设某个国家普查统计结果如下。2001年城乡人口的分布是,城市人口为1千万,乡村人口为9千万。人口的自然流动情况是,每年有2%上一年城市人口迁移去乡村,同时有4%上一年乡村人口迁移去城市。人口增长情况是,整个国家人口的自然增长率为1%。激励性政策控制手段的作用为,一个单位正控制措施可激励5万城市人口
123、迁移去乡村,而一个单位负控制措施会导致5万乡村人口流向城市。试建立反映这个国家城乡人口分布,以政策控制u为输入变量,全国人口数为输出变量的状态空间描述模型。离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模(3/8)q解解 符号和约定。记k为离散时间变量,取k=0代表2001年。设x1(k)和x2(k)为第年的城市人口和乡村人口;u(k)为第年所采取的激励性政策控制手段;y(k)为第年的全国人口数。 选取变量。考虑到问题中城市人口x1和乡村人口x2的极大线性无关性,可取城市人口x1和乡村人口x2为状态变量。建立状态变量方程。基于问题给出的参量,即第k+1年相比于第k年的人口迁移、自然增长和政策控制等
124、关系,可以定出反映第k+1年城市人口和乡村人口的分布的状态变量方程为离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模(4/8)其中k=0,1,2,.建立输出变量方程。反映全国人口变化态势的输出变量方程为y(k)=x1(k)+x2(k)离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模(5/8)导出向量方程形式的状态空间描述。将方程表为向量方程形式的描述,就得到人口分布问题的状态方程和输出方程:离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模(6/8)记成矩阵形式为其中离散时间系统的机理建模离散时间系统的机理建模(7/8)q上述建立人口分布的离散状态空间模型是以地区(区域)人口分布及自然增长率来建立的。实际上
125、也可以采用年龄段人口数及育龄妇女生育率来建立人口分布的离散状态空间模型,或者结合两种方法建立更精确、完善的人口分布模型。以所建立的模型为基础,就可以进行人口分布演变的计算机仿真、分析与控制(制订与实施人口政策)。基于Matlab工具,读者可自行完成人口演变的计算机仿真。 由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型(1/8)2.6.4 由离散系统的输入输出关系建立状态状态由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型空间模型 q由于线性离散系统与线性连续系统的状态空间模型、传递函数以及高阶微分方程和差分方程之间具有结构形式上的一致性,故建立线性定常离散
126、系统的状态空间模型时可借助于在线性定常连续系统中运用的方法。在具体运用时,可将 微分差分 拉氏变换算子Z变换算子相对应,直接利用在2.3节由连续系统的输入输出关系建立状态空间模型的方法,来建立线性离散系统的状态空间模型。由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型(2/8) 例例2-14下面举例说明。 q例2-14 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型:y(k+2)+5y(k+1)+6y(k)=u(k+2)+2u(k+1)+u(k)q解解 1. 根据2.3.1节中方法求解。对本例a1=5 a2=6 b0=1 b1=2 b2=1故由2.3.1中式(
127、2-26)可得0=b0=11=b1-a10=-32=b2-a11-a20 =10由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型(3/8) 例例2-14q因此,与式(2-24)和(2-25)相类似,可写出如下线性离散系统的状态空间模型:2. 根据2.3.2节中方法求解。对本例,有将G(z)展开成部分分式之和,则有由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型由离散系统的输入输出关系建立状态状态空间模型(4/8) 例例2-14q故与2.3.2节中式(2-34)和(2-35)相类似,可得如下线性离散系统的状态空间模型:由离散系统的状态空间模型求传递函数阵由离散
128、系统的状态空间模型求传递函数阵 (1/4)2.6.5 由离散系统的状态空间模型求传递函数阵由离散系统的状态空间模型求传递函数阵q与线性定常连续系统相类似,对MIMO线性定常离散系统,也可引入描述输入输出动态关系的z域中的传递函数阵如下:其中G(z)中每个元素为标量传递函数。由离散系统的状态空间模型求传递函数阵由离散系统的状态空间模型求传递函数阵 (2/4)q下面讨论如下线性定常离散系统的状态空间模型所对应的传递函数阵:q令状态变量向量x(k)的初始值为0,则对状态方程两边求z变换可得zX(z)=GX(z)+HU(z)其中X(z)和U(z)分别为x(k)和u(k)的z变换。由上式有X(z)=(z
129、I-G)-1HU(z)因此有Y(z)=C(zI-G)-1H+DU(z)其中Y(z)为y(k)的z变换。由离散系统的状态空间模型求传递函数阵由离散系统的状态空间模型求传递函数阵 (3/4)q故,传递函数阵为G(z)=C(zI-G)-1H+Dq可以看出,离散系统状态空间模型对应的传递函数阵与连续系统状态空间模型的传递函数阵形式与结构完全一致。q例2-15 求如下系统状态空间模型对应的z域传递函数G(z)。q解 由状态空间模型对应的传递函数阵表达式,有由离散系统的状态空间模型求传递函数阵由离散系统的状态空间模型求传递函数阵 (4/4)Matlab问题问题(1/2)2.7 Matlab问题问题q本章中
130、涉及的计算问题主要有控制系统模型的建立、控制系统模型间的转换、状态及状态空间模型变换和组合系统模型的计算。下面分别介绍基于Matlab的上述问题的程序编制和计算方法。Matlab问题问题(2/2)q下面分别介绍基于Matlab的上述问题的程序编制和计算方法，主要有控制系统模型种类与转换控制系统模型种类与转换状态及状态空间模型变换状态及状态空间模型变换 组合系统的模型计算组合系统的模型计算 控制系统模型种类与转换控制系统模型种类与转换(1/2)2.7.1 控制系统模型种类与转换控制系统模型种类与转换q在Matlab中,有4种数学模型表示线性定常系统(LTI)的模型,分别是传递函数模型、零极点增益
131、模型、状态空间模型、Simulink结构图模型。前3种模型是用数学表达式描述,第4种基于传递函数的图形化形式动态结构图的模型。这4种模型都有连续系统与离散系统两种模型。控制系统模型种类与转换控制系统模型种类与转换(2/2)q下面分别介绍传递函数模型的建立传递函数模型的建立状态空间模型的建立状态空间模型的建立状态空间模型到传递函数模型的转换状态空间模型到传递函数模型的转换传递函数模型到状态空间模型的转换传递函数模型到状态空间模型的转换传递函数模型传递函数模型(1/1)1. 传递函数模型传递函数模型q线性定常系统可以是连续系统,也可以是离散系统。2种系统基于Matlab的传递函数模型和状态空间模型
132、基本一致。下面分SISO系统系统和MIMO系统系统2种情况介绍Matlab中的传递函数模型的表示和建立。SISO系统系统(1/7)(1) SISO系统系统q线性定常连续系统一般以常系数线性常微分方程来描述。对于一个SISO线性定常连续系统,其常微分方程描述为:对应的经拉氏变换得到的传递函数模型为SISO系统系统(2/7)q在Matlab中,多项式a0sn+a1sn-1+an常用数组表达,如n阶多项式可用n+1个元素的数组表达为a0 a1 an其中,数组元素按多项式中“s”的降幂顺序排列,其中的“0”不能省略。因此传递函数的分子与分母多项式可以用2个数组表达num=b0 b1 bnden=a0
133、a1 anSISO系统系统(3/7)q在Matlab中,传递函数模型变量的数据结构为tf类,可采用函数命令tf()来描述分子和分母多项式的数组组合,建立控制系统的传递函数模型。tf()函数命令的主要调用格式为sys=tf(num,den)或直接为sys=tf(b0 b1 bn, a0 a1 an)经过上述命令,变量sys即表示上述连续系统传递函数模型。SISO系统系统(4/7)q类似地,对于SISO线性定常离散系统,其高阶差分方程模型和z域传递函数模型分别为建立Matlab的离散定常系统传递函数模型也可采用函数命令tf(),其建立离散系统传递函数的语句为:num=b0 b1 bnden=a0
134、a1 ansys=tf(num, den, Ts)SISO系统系统(5/7)或直接为sys=tf(b0 b1 bn, a0 a1 an , Ts)其中,Ts为采样周期的值。当Ts=-1或者Ts=时,则系统的采样周期未定义。经过上述命令,变量sys即表示上述离散系统传递函数模型。SISO系统系统(6/7)qMatlab问题问题2-1 试在Matlab中建立例2-20中离散系统的传递函数模型。Matlab程序程序m2-1如下。num_1=1 2 1;den_1=1 5 6;sys_1=tf(num_1,den_1,-1)% 建立传递函数的分子多项式% 建立传递函数的分母多项式% 由分子与分母多项式
135、建立Matlab传递函数模型SISO系统系统(7/7)Matlab程序程序m2-1执行结果执行结果如下。q对已建立好的SISO系统传递函数模型变量sys,其传递函数的分子和分母多项式可分别由sys.num1和sys.den1获得。如在Matlab程序m2-1执行后有sys_1.num1=1 2 1; sys_1.den1=1 5 6;Transfer function:z2 + 2 z + 1-z2 + 5 z + 6 Sampling time: unspecified MIMO系统系统(1/7)(2) MIMO系统系统qMIMO线性定常连续系统的传递函数阵G(s)可以表示为其中,Gij(s
136、)=nij(s)/dij(s)描述了第i个输出与第j个输入之间的动态传递关系,nij(s)和dij(s)分别为其分子与分母多项式。MIMO系统系统(2/7)q在Matlab中,为建立MIMO线性定常系统的传递函数阵,规定传递函数阵对应的分子多项式输入格式为num= num11 num12 num1r;num21 num22 num2r; .numm1 numm2 nummr其中,numij为Gij(s)的分子多项式的数组表示,其表示方法与前面介绍的SISO系统传递函数的分子多项式表示方法一致;各numij的排列方法与Matlab矩阵的各元素排列方法一致,但这里用符号“”代替矩阵符号“”。MIM
137、O系统系统(3/7)q传递函数阵对应的分母多项式输入格式与分子的输入格式一致,也排成“”表示的多维数组形式。下面通过1个22的传递函数阵的输入方法来演示Matlab建立MIMO传递函数模型的过程。qMatlab问题问题2-2 试在Matlab中建立如下传递函数阵的Matlab模型MIMO系统系统(4/7)Matlab程序程序m2-2如下 num=1 2 1 1 5; 2 3 6;den=1 5 6 1 2; 1 6 11 6 2 7;sys_1=tf(num,den) %建立传递函数阵的分子多项式表示%建立传递函数阵的分母多项式表示%由分子与分母多项式表示建立Matlab传递函数阵模型 MIM
138、O系统系统(5/7)Matlab程序程序m2-2执行结果执行结果如下如下 Transfer function from input 1 to output. s2 + 2 s + 1 #1: - s2 + 5 s + 6 2 s + 3 #2: - s3 + 6 s2 + 11 s + 6 Transfer function from input 2 to output. s + 5 #1: - s + 2 6 #2: - 2 s + 7 MIMO系统系统(6/7)q对已建立好的传递函数模型阵变量sys,传递函数模型阵G(s)的各元素的分子和分母多项式可分别由sys.numi,j和sys.de
139、ni,j获得。如在Matlab程序m2-2执行后有sys.num2,1=0 0 2 3; sys.den2,1=1 6 11 6;分别表示的分子和分母多项式。这里Matlab内部的分子多项式表示0 0 2 3是因为要与分母多项式表示为同阶的多项式,由于分子的阶次低,故高次项补0。MIMO系统系统(7/7)q在Matlab中,sys.numi,j和sys.deni,j均为一般的一维数组结构,可以对其进行直接计算处理。如在执行Matlab程序m2-2后,执行赋值语句sys.num2,1=0 1 0 0; 则修改系统传递函数模型G21(s)的分子多项式为s2。状态空间模型状态空间模型(1/5)2.
140、状态空间模型状态空间模型q线性定常连续系统的状态空间模型为在Matlab中,状态空间模型变量的数据结构为ss类,可以用函数ss()来建立控制系统的状态空间模型。状态空间模型状态空间模型(2/5)qss()函数的主要调用格式为sys=ss(A,B,C,D)式中,A,B,C,D为已经赋值的适宜维数的数组(矩阵)。若输入的矩阵维数不匹配,ss()函数将显示出错信息,指出系统矩阵维数不匹配。q对线性定常离散系统(G,H,C,D),则用函数ss()来建立状态空间模型的调用格式为:sys=ss(G,H,C,D,Ts)式中,Ts为输入的采样周期,与建立离散系统传递函数的Matlab函数tf()的格式一致。状
141、态空间模型状态空间模型(3/5)qMatlab问题问题2-3 试在Matlab中建立如下连续系统的状态空间模型 Matlab程序程序m2-3如下。A_2=0 1; -2 -3;B_2=0; 1; C_2=1 0; D_2=0;sys_2=ss(A_2,B_2,C_2,D_2) % 输入状态空间模型的各矩阵% 没有直联矩阵D时,补适宜维数的零矩阵% 建立Matlab的状态空间模型 状态空间模型状态空间模型(4/5)Matlab程序程序m2-3执行结果执行结果如下。a = x1 x2 x1 0 1 x2 -2 -3 b = u1 x1 0 x2 1 c = x1 x2 y1 1 0 d = u1
142、y1 0 Continuous-time model. 状态空间模型状态空间模型(5/5)q对Matlab的状态空间模型变量sys,描述状态空间模型的4个矩阵A、B、C和D可分别由sys.a、sys.b、sys.c和sys.d获得。如在Matlab程序m2-3执行后有这里sys.a、sys.b、sys.c和sys.d为一般2维数组结构,可以对其进行直接计算处理。如在执行Matlab程序m2-3后,执行赋值语句sys.c=0 2则修改了系统状态空间模型的输出矩阵C为0 2。状态空间模型到传递函数模型的转换状态空间模型到传递函数模型的转换 (1/3)3. 状态空间模型到传递函数模型的转换状态空间模
143、型到传递函数模型的转换 qMatlab提供了非常方便地转换各种模型的函数,如由状态空间模型转换为传递函数模型、由传递函数模型求状态空间模型。由于系统的传递函数模型是惟一的,由状态空间模型转换为传递函数模型可以直接采用建立传递函数模型的tf()函数,但其输入变量格式不同。状态空间模型到传递函数模型的转换状态空间模型到传递函数模型的转换 (2/3)q由状态空间模型求解传递函数模型问题的调用格式为:连续系统: con_tf=tf(con_ss)离散系统: dis_tf=tf(dis_ss)其中,con_ss和dis_ss分别为已赋值的连续和离散系统状态空间模型,con_tf和dis_tf就分别为求得
144、的连续和离散系统传递函数模型。状态空间模型到传递函数模型的转换状态空间模型到传递函数模型的转换 (3/3)q如在执行Matlab程序m2-3后,执行语句sys_tf=tf(sys_2)则有如下结果即为所求的状态空间模型对应的传递函数模型。Transfer function: 1-s2 + 3 s + 2 传递函数模型到状态空间模型的转换传递函数模型到状态空间模型的转换 (1/2)4.传递函数模型到状态空间模型的转换传递函数模型到状态空间模型的转换q由于状态变量的选择不同,状态空间模型并不惟一,因此由传递函数模型转换得到的状态空间模型有许多不同的类型。在Matlab中,主要有函数ss()和can
145、on()提供由传递函数模型到状态空间模型的转换,可以得到3种类型的状态空间模型:等效(equivalent)实现状态空间模型、模态(modal)规范形和友矩阵(companion)实现。模态规范形和友矩阵实现分别对应于状态空间模型的对角线规范形和能控规范I形。传递函数模型到状态空间模型的转换传递函数模型到状态空间模型的转换 (2/2)若要求解如约旦规范形、能控、能观规范形等其他类型的状态空间模型,则需自己编制相应的Matlab程序。下面分别讨论Matlab提供的如下转换函数：转换函数转换函数ss() 规范形转换函数规范形转换函数canon()常微分方程常微分方程(传递函数传递函数)转换为状态空
146、间模型函数转换为状态空间模型函数dif2ss()转换函数转换函数ss()(1/2)(1) 转换函数转换函数ss()qMatlab提供的转换函数ss()即为前面介绍的建立状态空间模型的函数ss(),但其输入变量格式不同。对于由传递函数模型求解状态空间模型问题,其调用格式为连续系统: con_ss=ss(con_tf)离散系统: dis_ss=ss(dis_tf)其中,con_tf和dis_tf分别为已赋值的连续和离散系统传递函数模型,con_ss和dis_ss分别为求得的连续和离散系统状态空间模型。转换函数转换函数ss()(2/2)q如在执行Matlab程序m2-1后,执行语句sys_1_ss=
147、ss(sys_1)则有如下结果即为所求模型的一个等效状态空间模型实现。a = x1 x2 x1 -5 -3 x2 2 0 b = u1 x1 2 x2 0 c = x1 x2 y1 -1.5 -1.25 d = u1 y1 1 Sampling time: unspecifiedDiscrete-time model. 规范形转换函数规范形转换函数canon()(1/3)(2) 规范形转换函数规范形转换函数canon() qMatlab提供的规范形转换函数canon()可以将传递函数模型转换得到状态空间的模态规范形,即对角规范形,其调用格式为连续系统: con_ss=canon (con_tf
148、, modal)离散系统: dis_ss=canon (dis_tf, modal)规范形转换函数规范形转换函数canon()(2/3)如,在执行Matlab程序m2-1后,执行语句sys_can_ss=canon(sys_1,modal)则有如下结果即为所求的模型的对角线规范形实现。a = x1 x2 x1 -3 0 x2 0 -2b = u1 x1 -7.211 x2 -5.657 c = x1 x2 y1 0.5547 -0.1768d = u1 y1 1 Sampling time: unspecifiedDiscrete-time model. 规范形转换函数规范形转换函数canon
149、()(3/3)qMatlab提供的规范形转换函数canon(),还可以将传递函数模型转换得到状态空间的友矩阵实现,即后面第4章将介绍的能控规范I形。对转换函数canon()转换为能控规范I形的情况将在后面介绍。常微分方程常微分方程(传递函数传递函数)转换为状态空间模型函数转换为状态空间模型函数dif2ss()(1/5)(3) 常微分方程常微分方程(传递函数传递函数)转换为状态空间模型函数转换为状态空间模型函数dif2ss() q在2.3.1节与2.3.2节介绍过通过选择状态变量建立高阶常微分方程(可直接对应于传递函数)的状态空间模型的方法。由该变换方法,编著者编制Matlab模型转换函数dif
150、2ss(),可以通过选择状态变量,建立高阶常微分方程(传递函数)的状态空间模型。常微分方程常微分方程(传递函数传递函数)转换为状态空间模型函数转换为状态空间模型函数dif2ss()(2/5)q函数dif2ss()的主要调用格式为sys_ss=dif2ss (sys_tf,type)sys_ss=dif2ss (sys_num, sys_den,type)其中,第1种输入格式为传递函数模型,第2种为传递函数的分子和分母多项式;type为变换的方法和输出状态空间模型选择的符号串变量。对应于2.3.1节的选择输出变量和输入变量的相变量组合为状态变量,所得到的系统矩阵为友矩阵的变换方法,符号串type
151、为companion;对应于2.3.2节的通过传递函数部分分式展开,建立约旦规范形(含对角线规范形)的变换方法,符号串type为jordan。常微分方程常微分方程(传递函数传递函数)转换为状态空间模型函数转换为状态空间模型函数dif2ss()(3/5)qMatlab问题问题2-4 试在Matlab中建立例2-7与例2-9的高阶微分方程 的传递函数模型。Matlab程序程序m2-4如下。num_1=2 14 24; den_1=1 5 8 4;sys_1=tf(num_1,den_1);sys_comp=dif2ss(sys_1,companion)sys_jord=dif2ss(num_1,d
152、en_1,jordan) % 建立传递函数模型% 求传递函数的友矩阵形状态空间模型% 求传递函数的约旦规范形状态空间模型 常微分方程常微分方程(传递函数传递函数)转换为状态空间模型函数转换为状态空间模型函数dif2ss()(4/5)Matlab程序程序m2-1执行结果执行结果如下。companion形输出结果a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -4 -8 -5 b = u1 x1 2 x2 4 x3 -12c = x1 x2 x3 y1 1 0 0 d = u1 y1 0Continuous-time model. jordan形输出结果a = x1 x2 x3
153、 x1 -2 1 0 x2 0 -2 0 x3 0 0 -1 b = u1 x1 0 x2 1 x3 1 c = x1 x2 x3 y1 -4 -10 12 d = u1 y1 0 Continuous-time model. 常微分方程常微分方程(传递函数传递函数)转换为状态空间模型函数转换为状态空间模型函数dif2ss()(5/5)q上述编制的转换函数dif2ss 是针对连续系统的,读者可以非常方便地扩展成也同样适用于离散系统的多种输入输出格式的Matlab函数。状态及状态空间模型变换状态及状态空间模型变换 (1/1)2.7.2 状态及状态空间模型变换状态及状态空间模型变换 q在状态空间分
154、析方法中,状态及状态空间模型变换是一个非常重要工具和分析方法基础。在这里,涉及的主要计算问题有状态空间模型的变换状态空间模型的变换;特征值、特征向量与广义特征向量的计算特征值、特征向量与广义特征向量的计算;一般状态空间模型到约旦规范形的变换一般状态空间模型到约旦规范形的变换。Matlab及其所附带的线性代数、符号计算以及控制系统设计工具箱中提供了部分可直接调用的用于这些问题的计算的函数,但有些计算需要自己编制相应的函数和程序。状态空间模型的变换状态空间模型的变换(1/3)1. 状态空间模型的变换状态空间模型的变换 qMatlab提供在给定变换矩阵下,计算状态空间模型变换的可直接调用函数ss2s
155、s(),其调用格式为:sysT = ss2ss(sys,T)其中,sys和sysT分别为变换前与变换后(输入与输出)的状态空间模型变量;T为给定的变换矩阵。函数ss2ss进行的状态变换为 ,将状态空间模型(A,B,C,D)变换为状态空间模型的变换状态空间模型的变换(2/3)qMatlab问题问题2-5 试在Matlab中计算例2-11的状态空间模型变换,其中状态空间模型和变换矩阵分别为 的传递函数模型。Matlab程序程序m2-5如下。A=0 1 0; 0 0 1; -6 -11 -6;B=0; 0; 6; C=1 0 0; D=0;P=1 1 1; -1 -2 -3; 1 4 9;sys_i
156、n=ss(A,B,C,D);sys_out=ss2ss(sys_in,inv(P) % 赋值变换矩阵% 建立状态空间模型% 进行状态空间模型变换,变换矩阵为P的逆矩阵 状态空间模型的变换状态空间模型的变换(3/3)Matlab程序程序m2-5执行结果执行结果如下。a = x1 x2 x3 x1 -1 1.776e-015 1.776e-015 x2 -6.661e-016 -2 0 x3 5.551e-016 1.332e-015 -3 b = u1 x1 3 x2 -6 x3 3c = x1 x2 x3 y1 1 1 1 d = u1 y1 0 Continuous-time model.
157、q由于数值计算存在一定的计算误差,上述计算结果中矩阵A的非对角元素实际上应为0。例2-11的计算结果特征值、特征向量与广义特征向量的计算特征值、特征向量与广义特征向量的计算 (1/4)2. 特征值、特征向量与广义特征向量的计算特征值、特征向量与广义特征向量的计算 qMatlab提供直接计算特征值和特征向量的函数为eig(),其调用格式为:d = eig(A)V,D = eig(A)其中,第1种格式为只计算所有特征值,输出格式为将所有特征值排成向量;第2种格式可同时得到所有特征向量和特征值,输出格式为所有特征值为对角线元素的对角线矩阵D,所有特征向量为列向量并排成矩阵V。特征值、特征向量与广义特
158、征向量的计算特征值、特征向量与广义特征向量的计算 (2/4)qMatlab的函数eig()不能直接计算广义特征向量,要计算广义特征向量则需要符号计算工具箱的函数jordan(),其调用格式为J = jordan(A)V,J = jordan(A)其中,第1种调用格式为只计算A矩阵对应的约旦矩阵J;第2格式可同时得到所有广义特征向量和约旦矩阵J,其中广义特征向量为列向量并排成矩阵V。特征值、特征向量与广义特征向量的计算特征值、特征向量与广义特征向量的计算(3/4)qMatlab问题问题2-6 试在Matlab中计算例2-13中如下矩阵的特征值和广义特征向量。 Matlab程序程序m2-5如下。A
159、=-4 -3 -6; 1 0 2; 1 1 1;V,J=jordan(A) 特征值、特征向量与广义特征向量的计算特征值、特征向量与广义特征向量的计算(4/4)Matlab程序程序m2-6执行结果执行结果如下。广义特征向量(列向量)V = -3 -1 -2 1 0 0 1 1 1 约旦矩阵J = -1 1 0 0 -1 0 0 0 -1 q由于函数eig()不能计算广义特征向量和约旦矩阵,因此在不能判定矩阵是否存在重根时,建议使用函数jordan()。一般状态空间模型到约旦规范形的变换一般状态空间模型到约旦规范形的变换 (1/3)3. 一般状态空间模型到约旦规范形的变换一般状态空间模型到约旦规范
160、形的变换 qMatlab没有直接提供将一般状态空间模型变换成约旦规范形(对角线规范形为其一个特例)的函数,但可利用符号计算工具箱提供的计算约旦矩阵和广义特征向量的函数jordan()求解广义特征向量,进而构造变换矩阵求解约旦规范形。一般状态空间模型到约旦规范形的变换一般状态空间模型到约旦规范形的变换(3/3)qMatlab问题问题2-7 试在Matlab中将例2-17的如下状态空间模型变换为约旦规范形。 Matlab程序程序m2-7如下。A=0 1 0; 0 0 1; -4 -8 -5;B=0; 0; 1; C=1 0 0; D=0;sys_in=ss(A,B,C,D);P,J=jordan(
161、A);sys_out=ss2ss(sys_in,inv(P) % 建立状态空间模型% 求矩阵A的所有广义特征向量和约旦矩阵% 进行状态空间模型变换,变换矩阵为矩阵P的逆矩阵 一般状态空间模型到约旦规范形的变换一般状态空间模型到约旦规范形的变换(3/3)Matlab程序程序m2-7执行结果执行结果如下。a = x1 x2 x3 x1 -1 -8.882e-016 -7.772e-016 x2 -2.22e-016 -2 1 x3 8.882e-016 -1.776e-015 -2b = u1 x1 0.25 x2 -0.25 x3 0.5c = x1 x2 x3 y1 4 -2 -3 d = u
162、1 y1 0 Continuous-time model. 例2-17的计算结果? 为什么两者计算结果有些不一致特征向量和广义特征向量不惟一，自然变换矩阵就不惟一，但变换的约旦规范形的本质是一致的。组合系统的模型计算组合系统的模型计算 (1/1)2.7.3 组合系统的模型计算组合系统的模型计算 qMatlab提供了可直接计算组合系统传递函数模型和状态空间模型的函数,分别是:并联联结系统函数parallel()、串联联结系统函数series()和反馈联结系统函数feedback()。采用这些函数可以直接计算SISO和MIMO系统的传递函数阵和状态空间模型的3种联结组合系统的传递函数阵或状态空间模
163、型。组合系统的模型计算组合系统的模型计算 (2/1)q这3个函数的主要调用格式为sys = parallel(sys1,sys2)sys = series(sys1,sys2)sys = feedback(sys1,sys2)其中,输入sys1和sys2为组成组合系统的2个子系统模型,可以都为传递函数阵模型,也可以都为状态空间模型;sys为输出的组合系统模型。当输入的sys1和sys2为传递函数阵模型,则输出sys也为传递函数阵模型;当输入的sys1和sys2为状态空间模型,则输出sys也为状态空间模型。组合系统的模型计算组合系统的模型计算(3/4)qMatlab问题问题2-8 试在Matla
164、b中计算如下2个系统的并联组合系统的传递函数。 Matlab程序程序m2-8如下。num_1=3 1; den_1=1 3 2;num_2=1 4; den_2=1 2;sys_1=tf(num_1,den_1);sys_2=tf(num_2,den_2);sys_3=parallel(sys_1,sys_2) % 建立子系统1的传递函数% 建立子系统2的传递函数% 计算并联联结组合系统的传递函数 组合系统的模型计算组合系统的模型计算(4/4)Matlab程序程序m2-8执行结果执行结果如下。Transfer function:s3 + 10 s2 + 21 s + 10- s3 + 5 s2
165、 + 8 s + 4 上述函数parallel()的执行结果没有进行零极点相消得到最低阶的传递函数模型。组合系统的模型计算组合系统的模型计算(5/4)q函数minreal()可以对传递函数模型化简得到最低阶的传递函数模型。函数minreal()的主要调用格式为:sys_out=mineral(sys_in)其中,sys_in和sys_out分别为输入和输出的传递函数阵。对Matlab程序m2-8的执行结果sys()运行sys_4=mineral(sys_3)则有如下计算结果Transfer function:s2 + 8 s + 5-s2 + 3 s + 2 组合系统的模型计算组合系统的模型计
166、算(6/4)qMatlab问题问题2-9 试在Matlab中计算如下2个系统的反馈组合系统的状态空间模型。 前向系统G0(s): 反馈环节F(s):组合系统的模型计算组合系统的模型计算(7/4)Matlab程序程序m2-8如下。A_1=0 1 0; 0 0 1; -4 -8 -5;B_1=0; 0; 1; C_1=1 0 0; D_1=0;A_2=0 1; -2 -3;B_2=0; 1; C_2=1 0; D_2=0;sys_1=ss(A_1,B_1,C_1,D_1);sys_2=ss(A_2,B_2,C_2,D_2); sys_3= feedback(sys_1,sys_2) % 建立前向系
167、统的状态空间模型% 建立反馈环节的状态空间模型% 计算反馈联结组合系统的状态空间模型 组合系统的模型计算组合系统的模型计算(8/4)Matlab程序程序m2-9执行结果执行结果如下。a = x1 x2 x3 x4 x5 x1 0 1 0 0 0 x2 0 0 1 0 0 x3 -4 -8 -5 -1 0 x4 0 0 0 0 1 x5 1 0 0 -2 -3 b = u1 x1 0 x2 0 x3 1 x4 0 x5 0 c = x1 x2 x3 x4 x5 y1 1 0 0 0 0 d = u1 y1 0 Continuous-time model. 本章小结(1/4)本章小结本章小结q本章
168、的目的是力图让读者建立起状态、状态空间与状态空间变换的概念，掌握状态空间模型的建立方法，打下进行状态空间分析的基础。本章1.1节首先引入了现代控制理论数学模型的基础概念：状态、状态空间和状态空间模型，从而为不仅能够研究控制系统的输入输出关系，也能够研究系统内部物理的和数学定义的状态与输入输出的关系提供了方法。更进一步，也为能够方便地进行多变量控制系统的分析综合与设计提供了有效的数学工具。本章小结(2/4)状态空间模型可以根据系统的机理经过推理获得，例如2.2节介绍的电网络、刚体力学系统一级倒立摆-小车系统、电枢控制的直流电动机典型的化工(热工)系统等，也可以从其他形式的数学模型转换得来，例如2
169、.3节介绍的微分(差分)方程、传递函数、传递关系方框图等，并初步探讨了非线性系统的建模与线性化。本章小结(3/4)表达一个控制系统的状态空间模型的形式并不是唯一的。2.4节以线性变换为基础，描述了同一系统的不同状态空间模型之间的变换、等效化简的方法。本节介绍的状态空间变换以及将系统转化为约旦(对角)规范型的方法，为以后系统的分析、综合与设计提供了最基本的数学工具。2.5节介绍的传递函数(矩阵)的分析与计算方法，不仅能为系统的分析和设计提供比较直观的输入输出关系、能有更为确切的物理解释，同时还为基于现代控制理论的“现代频域法”建立一个连接经典控制理论和现代控制理论的一个桥梁。本章小结(4/4)2.6节简明扼要地介绍了离散系统以及计算机控制系统的组成原理、离散系统状态空间模型的建立等，力求使得关于现代控制理论数学模型的描述全面、系统。最后,2.7节介绍了控制系统模型的建立、各种控制系统模型间的转换、状态及状态空间模型变换等问题的Matlab语言程序编制和计算方法。
