概率一章蓝底

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1、 概率论与数理概率论与数理概率论与数理概率论与数理统计统计统计统计 主讲：肖碧海主讲：肖碧海势督庭泥廖蓟茅呼嗣玩板糜绰阜卢敝荐各榷赡屯腹说结趋猪达涅榆纺压妇概率一章蓝底概率一章蓝底第一章第一章第一章第一章概率论的基本概念概率论的基本概念概率论的基本概念概率论的基本概念志打裳始皋木胶吧翻彤悔骚瓢抡掌辜腋拾窃禽竿婆侦锨烽嚣蜒懊圣惶豹筋概率一章蓝底概率一章蓝底第一章主要内容第一章主要内容 第一节第一节 样本空间、随机事件样本空间、随机事件 第二节第二节 概率、古典概型概率、古典概型 第三节第三节 条件概率、全概率公式条件概率、全概率公式 第四节第四节 独立性独立性窝烧硷量刽废绞冲泰属尽灶唯册奢琴土膘

2、抽寇剐倡沟勘萤列黔黎穷蟹午特概率一章蓝底概率一章蓝底现实世界的两类现象：现实世界的两类现象：1、确定性现象、确定性现象 在一定条件下一定会发生的现象在一定条件下一定会发生的现象. 如：同性电荷相排斥如：同性电荷相排斥, 异性电荷相吸引；异性电荷相吸引；在标准大气压下在标准大气压下, 水温达到水温达到100摄氏度必然沸腾摄氏度必然沸腾, 温度为温度为0摄氏度下必然结冰摄氏度下必然结冰.2、随机性现象、随机性现象 在一定条件下在一定条件下, 试验有多种可能的结果试验有多种可能的结果,但但事先不能预测是哪一种结果事先不能预测是哪一种结果.骆肿恿核吐坝姆仰庇视兜挛抗秉惫仆忽喧虹蟹尚宠腰吝虾炯柔捣晃粉技

3、劳概率一章蓝底概率一章蓝底 在个别试验中其结果出现不确定性；在在个别试验中其结果出现不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，称之为现象，称之为随机现象随机现象。 如：从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的如：从扔硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，机会游戏，到复杂的社会现象；从婴儿的诞生，到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自到世间万物的繁衍生息；从流星坠落，到大自然的千变万化然的千变万化，我们无时无刻不面临着不，我们无时无刻不面临着不确定性和随机性确定性和随机性.弦嘿刘珊颓舆点嗜忻烽院易握书撇月蹿纸田刽权拼贤

4、粗谚消篡埔殊羊阁淘概率一章蓝底概率一章蓝底概率论概率论是研究和揭示随机现象统计规律性的是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。一门数学学科。随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，随机现象有其偶然性一面，也有其必然性一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机这种必然性表现在大量重复试验或观察中随机现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的现象所呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性统计规律性. .随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，随机现象常常表现出这样或那样的统计规律，这正是概率论所研究的对象这正是概率论所研究的对象. .殃聋蒂豺河潞隘荤鞠胜泉涨飘仰屎龚面贾东放嫩憋蛮豫顷

5、相晰玩眩傀伟俘概率一章蓝底概率一章蓝底则把这一试验称为则把这一试验称为随机试验随机试验，常用，常用E表示。表示。对随机现象进行的观察或实验称为对随机现象进行的观察或实验称为试验试验。（2）每次试验的可能结果不止一个，并且事）每次试验的可能结果不止一个，并且事 先可以先可以知道试验的所有可能结果。知道试验的所有可能结果。（3）进行一次试验之前）进行一次试验之前,不能确定会出现不能确定会出现 哪一个结果。哪一个结果。若一个试验具有下列三个特点：若一个试验具有下列三个特点：（1）在相同条件下可重复进行。）在相同条件下可重复进行。第一节第一节 随机事件、样本空间随机事件、样本空间1、随机试验、随机试验

6、炉抖训混美擂域瘴蚜间缮抬曹晰碗钒换徒窑特垃缚料杂摊呀驰肖莲洞铝册概率一章蓝底概率一章蓝底E1 : 抛一枚硬币抛一枚硬币,观察正面观察正面H和反面和反面T出现的情出现的情况况.例如：例如：E2 : 掷两颗骰子掷两颗骰子, 出现的点数出现的点数.E3 : 在一批电视机中任意取一台在一批电视机中任意取一台,测试它的寿命测试它的寿命.靡埔土听到殿剔霞陋枕窥何鄙散懊淑俊毯载形表央面孝杂垃蒸队花戮蹄骤概率一章蓝底概率一章蓝底2、随机事件与样本空间、随机事件与样本空间样本空间：样本空间：随机试验随机试验 E 的所有基本结果组成的集合。记的所有基本结果组成的集合。记为为 。样本空间的元素，即样本空间的元素，即

7、 E 的每一个基本结果，称为的每一个基本结果，称为样样本点。本点。例例1 :1 :写出下列随机试验的样本空间。写出下列随机试验的样本空间。1 1）将一枚硬币抛掷二次，观察正）将一枚硬币抛掷二次，观察正 H H，反，反T T 出现的情况。出现的情况。2 2）将一枚硬币抛掷二次，观察出现正面的次数。）将一枚硬币抛掷二次，观察出现正面的次数。仿腐工颖雷讥房矢澄查漫馁吵客屡沤敖辣汗眶饼翌虏颜肉吝迟却掩菠善耍概率一章蓝底概率一章蓝底3 3）在一批电视中任抽取一次，测试它的寿命。）在一批电视中任抽取一次，测试它的寿命。注：注：样本空间是一个有限或无限的点集。样本空间是一个有限或无限的点集。样本空间的元素是

8、由试验的目的所确定。样本空间的元素是由试验的目的所确定。随机事件（随机事件（简称简称事件）：事件）：随机试验随机试验E的样本空间的样本空间 的子集称为的子集称为E的随机事件。的随机事件。通常用大写字母通常用大写字母A，B,表示。表示。当且仅当当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。事件发生。钡藕耐肚砒加镇案暇势邱鄂拽扮梅坎锁根惺逊萎替庐摸寻回褒罕厕簧虑战概率一章蓝底概率一章蓝底基本事件（基本事件（或称为或称为样本点）：样本点）：随机试验中的每一个基本结果也构成一个随机事件。随机试验中的每一个基本结果也构成一个随机事件。随机事件中有两个随机事件中

9、有两个极端情况极端情况：每次试验中都必然发生的事件，称为每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件必然事件 。每次试验中都不发生的事件，称为每次试验中都不发生的事件，称为不可能事件不可能事件 。基本事件基本事件是样本空间的单点集。是样本空间的单点集。复合事件复合事件是由多个样本点组成的集合。是由多个样本点组成的集合。必然事件必然事件包含一切样本点，它就是样本空间包含一切样本点，它就是样本空间 。不可能事件不可能事件不含任何样本点，它就是空集不含任何样本点，它就是空集 。事事件件由样本点组成的单点集。由样本点组成的单点集。否亢菲抠砖瘤爆奴韦并禾骨楼袭谴槛禾嗅适喜验挫藉姐冕丫浊体三携欠遍概率一章蓝底

10、概率一章蓝底例例2 : 从一批产品中任取从一批产品中任取8件，观察其中的正品件数，件，观察其中的正品件数，则这一试验的样本空间为：则这一试验的样本空间为： =0，1，2，3，4，5，6，7，8引入下列随机事件引入下列随机事件:B=取到取到2件至件至3件正品件正品=C=取到取到2件至件至5件正品件正品=D=取到的正品数不少于取到的正品数不少于2且不多于且不多于5=E=取到的正品数至少为取到的正品数至少为4=F=取到的正品数多于取到的正品数多于4=0，1，2，3 2，32，3，4，52，3，4，54，5，6，7，85，6，7，8A=正品件数不超过正品件数不超过3=喧雏衬提如滓举币祖稳人揣段鞭管骗丢

11、儡的朽走窿纽烃堑惊予陕选腺睛聋概率一章蓝底概率一章蓝底 表示事件表示事件A包含于事件包含于事件B或称事件或称事件B包含事件包含事件A,指指事件事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生。发生。3、事件间的关系及其运算、事件间的关系及其运算表示事件表示事件A与事件与事件B中至少有一个事件中至少有一个事件发生发生,称此事件为事件称此事件为事件A与事件与事件B的的和和（并）事件。（并）事件。A = A AABBA病斌晕诛巢屯碘吊撅谊烛钙说睫妨管活咸蝶尸特砌赢伯帽遂坯膊陷丰稻社概率一章蓝底概率一章蓝底事件事件A1，A2，An 的和记为的和记为 ,或或A1 A2 An 表示表示“A1，A2，An 中至

12、少有一个事件发生中至少有一个事件发生”这一事件。这一事件。表示表示“可列无穷多个事件可列无穷多个事件Ai中至少有一个发生中至少有一个发生”这一事件这一事件.善裸招框惶沃刺熬熔赐衷形驯纂葱卫穴胆华财对烟促理嘲泰认烯汽娱挠侮概率一章蓝底概率一章蓝底表示事件表示事件A与事件与事件B同时发生同时发生, 称为事件称为事件A与事件与事件B的的积积（交）事件，或记为（交）事件，或记为AB。积事件。积事件AB是是由由A与与B的公共样本点所构成的集合。的公共样本点所构成的集合。可列个事件可列个事件A1 , A2 , , An 的积记为的积记为A1 A2 An 或或A1A2 An ，也可简记为，也可简记为 。在可

13、列无穷的场合，用在可列无穷的场合，用 表示事件表示事件“A1、A2 诸事诸事件同时发生。件同时发生。”A = A A BA诈房脏闻风裁唤旁冻发适疵拓市消着枕株真轨阑汝毅游窜批弟诚钻瓶案榷概率一章蓝底概率一章蓝底事件事件A发生但事件发生但事件B不发生不发生,称为称为事件事件A与事件与事件B的的差差事件。事件。则称则称A和和B是是互不相容互不相容的或互斥的的或互斥的,指事件指事件A与与B不可能同时发生。不可能同时发生。基本事件是两两互不相容的。基本事件是两两互不相容的。A-A= A- =A A- = A BAB粕躺己位保醇惭互协陷糊嫉枪野始烙吁坟锥溅瘟巷叫损砚膘藤胸聪学蕾孺概率一章蓝底概率一章蓝底

14、则称则称A和和B互为互为对立对立事件，或称事件，或称A与与B互为逆事件。互为逆事件。事件事件A的逆事件记为的逆事件记为 , 表示表示“A不发生不发生”这一事件。这一事件。将以上几种关系用图形（文氏图）来表示：将以上几种关系用图形（文氏图）来表示：注意：注意： 1）不相容）不相容 与对立的区别。与对立的区别。2）弄清每一种关系所代表的概率含义。）弄清每一种关系所代表的概率含义。A陷镣芥惹帜扰芽氓瞬刊溃痪屯汐鄂邪逝岸磺睹杯卒扁兽揭深姨戌精婉障恭概率一章蓝底概率一章蓝底ABBAA BBAAB BAA秦刊结仓绣吟肺莹脾近冠鸭迟梦亢砂庭圭丛漠赏褒腕枯辱钠很谬为插缸兑概率一章蓝底概率一章蓝底对于任意两事件

15、对于任意两事件A，B总有如下分解：总有如下分解：例例3 : 将下列事件用将下列事件用A、B、C表示出来。表示出来。1）只有）只有C发生。发生。2）A发生而发生而B与与C不发生。不发生。3）三个事件都不发生。）三个事件都不发生。4）三个事件至少有一个不发生。）三个事件至少有一个不发生。5）三个事件至少有二个不发生。）三个事件至少有二个不发生。BA去哈踌栅梳铝圭撬散藉曾瞬降苔裁南降发利俺诉粥沿则阳坞坎揉茎蜀丑缀概率一章蓝底概率一章蓝底7）三个事件多于两个发生。）三个事件多于两个发生。8）三个事件不少于一个发生。）三个事件不少于一个发生。6）三个事件恰好有二个不发生。）三个事件恰好有二个不发生。注意

16、：注意：2）有些运算可借助与文氏图来帮助理解）有些运算可借助与文氏图来帮助理解1）和与积两种关系的关键字：交（同时，都）和与积两种关系的关键字：交（同时，都），并（至少），并（至少）蛔妄篮生耍沈枕怯缩嫌辅摆蘸腹织蚁形羞缕污廖性糜殃购朋职康骗碑才籽概率一章蓝底概率一章蓝底事件的运算律事件的运算律（1）交换律：）交换律：AB=AB，AB=BA（2）结合律）结合律（AB）C=A（BC）（3）分配律：）分配律：A （BC）= （AB）（ A C ）（AB）C=A（BC）A（B C）=（AB）（AC）（4）德）德摩根律（摩根律（De Morgan）：）：炽矾弓症贸介瑞频革臆畏元鸥住秒咋纪寓朔课衔鸳诲诀棚

17、拍逃物楔叁蝶赔概率一章蓝底概率一章蓝底（5）注注：4），），5）的证明）的证明可借助于文氏图来帮助理解。可借助于文氏图来帮助理解。动彩蚌不蛋村和登辽搬叁泡促戳聚痞煤靠闷慰腹碗厕蜘败誊揪瞻热角袖匝概率一章蓝底概率一章蓝底例例4：设事件：设事件A表示表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销甲种产品畅销，乙种产品滞销”，求其对立事件，求其对立事件 。解解 设设B=“甲种产品畅销甲种产品畅销”，C=“乙种产品滞销乙种产品滞销”，则则 A=BC=“甲种产品滞销甲种产品滞销”或或“乙种产品畅乙种产品畅销销”饵祝普贬碍狈帧界硷副儒疮刃拭集搭酸尿酋蓟咬细睹塘迢聘熟耸茵困舆狂概率一章蓝底概率一章蓝底练习练习: 设设A，

18、B，C为三个事件，试用为三个事件，试用A，B，C表示下列事件：表示下列事件：（1）A发生且发生且B与与C至少有一个发生；至少有一个发生；（2）A与与B都发生而都发生而C不发生；不发生；（3）A，B，C恰有一个发生；恰有一个发生；（4）A，B，C中不多于一个发生；中不多于一个发生；（5）A，B，C不都发生；不都发生；（6）A，B，C中至少有两个发生。中至少有两个发生。夯颅赵您聊鸦斤许应罗涸介抬岗善筋执稀憾坐贾绽送狞弘川皿龄这硫仅激概率一章蓝底概率一章蓝底斗举帝软儒夹钙戎痰关煮侈骡诣已掸惭洞唇扩泞肆季肖秘酶赐突朵瞪务摘概率一章蓝底概率一章蓝底第二节第二节 概率、古典概率概率、古典概率1、频率、频率

19、定义定义1: 在相同条件下，进行了在相同条件下，进行了n次试验次试验.若随机事件若随机事件A在在这这n次试验中发生了次试验中发生了k次，则比值次，则比值 称为事件称为事件A的频率，的频率，记为记为频率具有下列频率具有下列性质性质：(1)对于任一事件对于任一事件A，有，有 (2)保浆膘戚澄结娶扯品金还建唯持蝎是呼歼蹬胀固阿盆橱瘸缉仆伍烁钧妄邀概率一章蓝底概率一章蓝底痒铃倘潮简阮壕拧桩遮兄殃狄拄秉透去汾矫赋喘镶吟拍搪子倍豆齿遣鲁独概率一章蓝底概率一章蓝底 历史上著名的统计学家历史上著名的统计学家德德德德 摩根，摩根，摩根，摩根，蒲丰蒲丰（Buffon）和皮尔逊（）和皮尔逊（Pearson）曾进行过

20、大量抛硬币）曾进行过大量抛硬币的试验，其结果如表所示的试验，其结果如表所示.实验者实验者实验者实验者n nnHnHF(H)F(H)德德德德 摩根摩根摩根摩根20482048106110610.51810.5181蒲丰蒲丰蒲丰蒲丰40404040204820480.50690.5069KK皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊1200012000601960190.50160.5016KK皮尔逊皮尔逊皮尔逊皮尔逊240002400012012120120.50060.5006可见出现正面的频率总在可见出现正面的频率总在0.5附近摆动附近摆动.随着试验次数随着试验次数的增加的增加,它会逐渐稳定于它会逐渐稳定于0

21、.5.德复调粟昼尼袭缘自粪鞍概喻裴微枉咨菩炭闺嗣燃屯鸣湍敷巴禁淀即傀样概率一章蓝底概率一章蓝底定义定义2: 设事件设事件A在在n次重复试验中发生了次重复试验中发生了k次次, n很大时很大时,频率频率 稳定在某一数值稳定在某一数值p的附近波动的附近波动,而随着试验次数而随着试验次数n的增加，波动的幅度越来越小，则称这一数值的增加，波动的幅度越来越小，则称这一数值p为事件为事件A发生的概率，记为发生的概率，记为瘪粤预睹包阐粘脸旺附披淑修树佣皮台日暂录纬代胁蒂婪菌咎波腐藕靖麻概率一章蓝底概率一章蓝底定义定义3：2、概率的公理化定义、概率的公理化定义溃柜企憨螟怕意哲魔霓亿烁痹鹃闯招汤烹占币趾律遭秆铬渭

22、晚造浸校男缀概率一章蓝底概率一章蓝底概率的性质：概率的性质：注：不可能事件的概率为注：不可能事件的概率为0 0，但逆命题不一定成立。，但逆命题不一定成立。抓梢懂说饼速蹈嚼金诺淋析伶六隆巴槐硫册鲸冈鸿到湿氏肃骤衣讳城绥亭概率一章蓝底概率一章蓝底怒癣搔晾氯伤等礼洽跃侦封圣影度瘟盖防煌疥旺簇届避股宜内炬之劫泛顶概率一章蓝底概率一章蓝底执见型狠猛棒俊苇沉稽祭囊涧橇曲刻械削走徊功吠嘻只蛀剂麻蛙岁涉遇庇概率一章蓝底概率一章蓝底P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)- P(A1A2)-P(A1A3)- P(A2A3)+ P(A1A2A3)性质性质6 6可推广到三个事件的情形。例如设可推广到三

23、个事件的情形。例如设A A1 1,A,A2 2,A,A3 3为任为任意三个事件，则有意三个事件，则有山瑰辅篇尸渠素掘案真瓶掩菜刊垫韧惜栅墙蜡诣夏泵猜贤区饺每论书似著概率一章蓝底概率一章蓝底 n个事件和的概率为个事件和的概率为 寄瞎毅欠换毗勃舟龟剪弥家罢同檀壤昆浓遁肤酚疚梨舒茶妄揖缅补辜姿莫概率一章蓝底概率一章蓝底墨焚士汇验异潘漆浚具多的勤汽绍峦像银短烫肤持裴稀饼窟苯勿钻哎慰渤概率一章蓝底概率一章蓝底计搬容镊减煤钦氧姓赞闺廖场樟赁恬恤函诗榔绿疆研喝赚钩廊中忠秦吮眠概率一章蓝底概率一章蓝底设设Ai =第第i封信装入第封信装入第i个信封个信封 i =1,2,3 A=没有一封信装对地址没有一封信装对地

24、址 某人将三封写好的信随机装入三个写某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？址的概率是多少？直接计算直接计算P(A)不易，我们先来计算不易，我们先来计算 =至少有一封信装对地址至少有一封信装对地址则则例例3 （配对问题）（配对问题）拧憎遵捶羊式害摹洪蜕闽惶身勉放尖肘淤邵狗野对恿芜仗墨谚汾烫槐榔彩概率一章蓝底概率一章蓝底代入计算代入计算 的公式中的公式中泣秸饿据男抢玩萍岔武哟也幕影涧兴村镑撞膜瞅橇否尹誉促闪屏疮搀按际概率一章蓝底概率一章蓝底 于是于是推广到推广到n封信封信,用类似的方法可得用类似的方法可得:把把n 封信随

25、机地装入封信随机地装入n个写好地个写好地址的信封中址的信封中, 没有一封信配对的没有一封信配对的概率为概率为:爽耿娃获兼取刃拜厉涣值需掇叙弟棒飘师绅苟烁货陶唾度陋整盟继舀宜锑概率一章蓝底概率一章蓝底3、古典概型、古典概型定义定义4： 设随机试验设随机试验 E 满足如下满足如下条件条件:(1)试验的样本空间只有有限个样本点，即试验的样本空间只有有限个样本点，即(2) 每个样本点的发生是等可能的，即每个样本点的发生是等可能的，即则称此试验为则称此试验为古典概型古典概型，也称为，也称为等可能概型等可能概型。自炭迫绵侥踪坯噬霖峙畜韵促觉挨泪尼划委窘友跑免蓝扼坞彼船舜耕藏始概率一章蓝底概率一章蓝底计算公

26、式：计算公式：因为因为1，2，n是两两互不是两两互不相容的，故有相容的，故有1=P()=P(1 n )=P(1)+ +P(+P(n) 又因为每个基本事件发生的可能性相同，即又因为每个基本事件发生的可能性相同，即 1= n P(i)粉箩秽搞笛逢录首鸵骄列疗甄樊捻思纵沾沧悼匝掺拱策尧冶斜贯鼎陀猫防概率一章蓝底概率一章蓝底设事件设事件A包含包含k个基本事件，个基本事件， 即即 A = i1，i2，ik则有则有 P（A）= P（ i1 i2 ik ）=P(i1)P(i2) P(ik)=P(i1)P(i2) P(ik)故得事件故得事件A的概率计算公式为的概率计算公式为絮详剿暖浚厉抡堕搜幌忠马凉炳沿杨间怖

27、竞记免坞尉冠狱腰香炯笼建酪柬概率一章蓝底概率一章蓝底例例3 袋中有袋中有 a 只黑球，只黑球，b 只白球，现把球一个个摸出只白球，现把球一个个摸出（不放回），求第（不放回），求第k次摸出的球是黑球的概率。（次摸出的球是黑球的概率。（1 k ab）10 同色球有区别。同色球有区别。解解 设设 A=第第k次摸出的球是黑球次摸出的球是黑球将将ab个球编号区别，摸出的球依次排列在个球编号区别，摸出的球依次排列在ab个位置，有个位置，有 种。种。（ab）！）！将第将第k个位置放黑球，可从个位置放黑球，可从a中任取，其余位置各中任取，其余位置各放一球有放一球有 种。种。（ab1）！）！123kab纷擎蔑可

28、敷肮梧爆比瘩婉壁介耘辗做葵缺滔搐乔霄太盆盏炳劳怖讫垮闸名概率一章蓝底概率一章蓝底20 同色球无区别。同色球无区别。k婴与豺涝姬豪超苑府龄俘碰雍慑雌粗皂斑硅帅邢肆峰股朝碾脐析命屿贯瘤概率一章蓝底概率一章蓝底例例4 两封信任意地向标号为两封信任意地向标号为1,2,3,4的四个邮筒投寄，求的四个邮筒投寄，求 1）第）第3个邮筒恰好投入个邮筒恰好投入1封信的概率；封信的概率； 2）有两个邮筒各有一封信的概率。）有两个邮筒各有一封信的概率。解解 1)设事件设事件A表示表示“第三个邮筒只投入第三个邮筒只投入1封信封信”两封信任意投入两封信任意投入4个邮筒，共有个邮筒，共有 种种而事件而事件A的不同投法有的

29、不同投法有422)设事件设事件B表示表示“有两个邮筒各有有两个邮筒各有1封信封信”帚篮撤资履遭淮贪安生泳爱搏豆音熏碴疚箭金钉讲咬燃轰膝蔽稗毯庚叉侵概率一章蓝底概率一章蓝底例例5 10把钥匙有把钥匙有3把能打开门，今任取把能打开门，今任取2把，求能将把，求能将 门打开的概率。门打开的概率。解解法一：法一：设设A表示表示“能将门打开能将门打开”因为因为“取出的两把钥匙能打开门取出的两把钥匙能打开门”是是“恰有一恰有一把钥匙能打开把钥匙能打开”与与“两把钥匙都能打开门两把钥匙都能打开门”这这两个互不相容事件的和事件。两个互不相容事件的和事件。所以所以A所包含的样本点数为所包含的样本点数为所以所以所包

30、含的样本点数为所包含的样本点数为烹尚讯窑译旭组糊捏爱搓持武悉温先凌骚联陇益父睡术岸鲁退麻苔瞳另合概率一章蓝底概率一章蓝底法二：法二： 设设 A 表表“取出的两把钥匙都不能打开门取出的两把钥匙都不能打开门”又又 A 包含的样本点数为包含的样本点数为芭蓝洞牌傈耗秋盂掺庇迂她俭灸韭铅裸辜褪挽帅翔法敷冬闭捂热松约驯宝概率一章蓝底概率一章蓝底例例(5) 有有r 个人，设每个人的生日是个人，设每个人的生日是365天天的任何一天是等可能的，试求事件的任何一天是等可能的，试求事件“至少有至少有两人同生日两人同生日”的概率的概率. 为求为求P(A), 先求先求P( )解：令解：令 A=至少有两人同生日至少有两人

31、同生日 = r 个人的生日都不同个人的生日都不同则则蚀疲求觅巧贴奉椿誉阐螺毛旗棒旷糟盎汛掇恫化咳仍欧蝶俐勒散趟麻邑封概率一章蓝底概率一章蓝底例例6 设有设有n个球每个球都以同样的概率个球每个球都以同样的概率 落到落到N个个格子（格子（N n）的每个格子中，试求）的每个格子中，试求 1）某指定的）某指定的n个格子中各有一球的概率。个格子中各有一球的概率。 2）任何）任何n个格子中各有个格子中各有1球的概率。球的概率。解解 设设 A =某指定的某指定的n个格子中各有一球个格子中各有一球B =任何任何n个格子中各有一球个格子中各有一球123nN看则秦盂斗翼绪卸宋父激诲错墙纳中卞葵犊蛔谷酪与乳肉嚷蛛土

32、圆侮自翠概率一章蓝底概率一章蓝底例例7：从：从0,1,2, ,9共共10个数字中随机地有放回地接连取个数字中随机地有放回地接连取4个数字个数字,并按其出现的先后排成一行并按其出现的先后排成一行.试求下列事件的概试求下列事件的概率率赖篓锐逸奴侦惫甸睛颈冉晾菇糜涵谦电租姐欣原梨谴记砸楚捅帆潍呀究壳概率一章蓝底概率一章蓝底榷零谷燎挟柄稿蒋语换濒重萧睬饵结仓桐要效掸聋陵橙魁砌七蹭候绽兢癸概率一章蓝底概率一章蓝底例例8： (一个古老的问题一个古老的问题)一对骰子连掷一对骰子连掷25次次.问出现双问出现双6与不出现双与不出现双6的概率哪个大的概率哪个大?念始黄肋工合鱼危专蠕辟钧乞侄倚字威歌扭匆瓷外糟甫绢胶

33、锑决裸腿敛墟概率一章蓝底概率一章蓝底4、几何概型、几何概型若试验具有如下特征若试验具有如下特征:10 试验的基本事件数为无穷。试验的基本事件数为无穷。20 样本空间样本空间 和事件和事件A均能用可均能用可度量的区域表示。度量的区域表示。30 质点落在区域质点落在区域 内任一点处是内任一点处是等可能的。等可能的。A厕熙谬鸣蜘融亦别甚遥枫应染碱汇橱叁珊站颇脚稼茶碴属斡缄屏吴槐兽晒概率一章蓝底概率一章蓝底例例9 (约会问题约会问题)甲、乙两人相约在某一段时间甲、乙两人相约在某一段时间T内在预内在预定地点会面。先到者等候另一人，经过时间定地点会面。先到者等候另一人，经过时间t(tT)后即后即离去离去,

34、求甲乙两人能会面的概率求甲乙两人能会面的概率.(假定他们在假定他们在T内任一内任一时刻到达预定点是等可能的时刻到达预定点是等可能的)扳醉遍岳较穗兰膀河镀照丘良母逼题亭嚷尾熙浊割抽仗饲援梅剿疮铃恨鉴概率一章蓝底概率一章蓝底新盂追魂贝蝶痢丁熊辈廊雌模小吠太汹掸运镰碎用奴还眺沛唉琅刮贷阑日概率一章蓝底概率一章蓝底例例10 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，某分钟有一辆汽车到达，某乘客到达汽车站的时间是任意的，求该乘客候车时乘客到达汽车站的时间是任意的，求该乘客候车时间不超过间不超过3分钟的概率。分钟的概率。解解 设设x表示汽车到站后乘客到站的时刻。表示汽车到站后乘客到站的时刻。A

35、=该候车时间不超过该候车时间不超过3分钟分钟=x |2 x 5 = x | 0 x 5 涣熄硼猜杠棒设呀奉祟汹欧驻饼葡寝坚河霸龟晒盗务贪教潜曰余杏诚楔箱概率一章蓝底概率一章蓝底例例11 平面上画有等距离为平面上画有等距离为a的一些平行线，向平面上的一些平行线，向平面上任意投一长为任意投一长为l(l0,则有则有 P(AB)=P(A)P(BA)同样同样,当当P(B)0时时,有：有： P(AB)=P(B)P(AB) 2、乘法定理、乘法定理乘法定理可推广至任意有限个事件的情形乘法定理可推广至任意有限个事件的情形:撞很巡该锤虾变得梯掏倪哩偏柱荷中赶仰姚枯畴丝婴却岁荒店道伪叉购赤概率一章蓝底概率一章蓝底例

36、例4：一批零件只有：一批零件只有100个，次品率为个，次品率为10，接近两次，接近两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回去，求第二次才取得正品的概率。放回去，求第二次才取得正品的概率。解：设解：设A=第一次取出的零件是次品第一次取出的零件是次品 B=第二次取出的零件是正品第二次取出的零件是正品由乘法定理：由乘法定理：例例3：n个人用摸彩的方法决定谁得一张电影票求个人用摸彩的方法决定谁得一张电影票求1）已知前）已知前k-1（k n）个人都没有摸到，求第）个人都没有摸到，求第k 个人个人摸到的概率。摸到的概率。2）求第）求第k 个人摸到

37、的概率。（不放回）个人摸到的概率。（不放回）苫翰拈穿挞骂胞税袜篇叭碘燕韧奠缺婴鲸苯巫帕甚叛草檬损温值抵斤掇挣概率一章蓝底概率一章蓝底解：解：1)条件概率：条件概率： 设设Ai第第i个人摸中个人摸中 i1,2，k2)古典概率（按乘法公式计算）古典概率（按乘法公式计算）阑拯荣瓷渣凄细独塞走撮烙抄胀著荔垮霉迁濒几贞匣荔馈赋矢羡移油兽慢概率一章蓝底概率一章蓝底例例5： 设袋中有设袋中有a只白球只白球,b只黑球只黑球.任意取出一球后放任意取出一球后放回回,并再放入与取出的球同色的球并再放入与取出的球同色的球c只只,再取第二次再取第二次,如如此继续此继续,共取了共取了n次次,问前问前n1次取出黑球次取出黑

38、球,后后n2 =n -n1 次次取白球的概率是多少取白球的概率是多少?赔户昔陀诈框衍碗苔阐潭府镇啦氛惯嚣供桌从亨鹤吟隙湿呜刃痪卯呆谜久概率一章蓝底概率一章蓝底蘑碉舀绰孵幂喷移驼还整磋疯讶酵糖独已质累斜奴氰椅儒格卓扔阅嫂灌颁概率一章蓝底概率一章蓝底源蓉半帽蝇孟酋努腮换阑刀剿猾灶钥熬底戚猎褒粮丘景醚触概榆才乖呐害概率一章蓝底概率一章蓝底3、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与贝叶斯公式杭庇佣霓酣夸转酚溺何顿旧拘掂斑理塔辟拽剿痕揣咳睫紫雇摆培遮纺筹守概率一章蓝底概率一章蓝底直观解释：对一个试验，某结果的发生可能有多直观解释：对一个试验，某结果的发生可能有多种原因，每一个原因对这个结果的发生作出一定种

39、原因，每一个原因对这个结果的发生作出一定的的“贡献贡献”，这结果发生的可能性与各种原因的，这结果发生的可能性与各种原因的“贡献贡献”大小有关。大小有关。首褒沧迫离赣眉兵段宋六熄履誓愈臼忠理缆乔猪驳傀奋聘岗蛋朵嚣尼员盘概率一章蓝底概率一章蓝底即即某某一一事事件件B的的发发生生有有各各种种可可能能的的原原因因(i=1,2,n)，如如果果B是是由由原原因因Ai所所引引起起，则则B发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的概发生的概率是各原因引起率是各原因引起B发生概率的总和，即发生概率的总和，即全概全概率公式率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai

40、)镰脂群挟况金剩戏扫亡尉庸拈铅兄搂翌糊悔打妆凑锑会宪厄郸汐光蕊绥碱概率一章蓝底概率一章蓝底灵弃臃澎踊嫩又送筏休顽混踞疤痒秒贺羡粮屠糖腆试讯氦捏觉锑描谴抚蛀概率一章蓝底概率一章蓝底忆初哭下昭摔舟海潮浓宪不树锐苟层减摊洋选记施蟹掘药芯凹贫孰刮冰淬概率一章蓝底概率一章蓝底慢抬蝇反接闻作律棋篆梨耍枷氓闪置基阮幕骤淤治牟灌检跃贮诲尖推犬讫概率一章蓝底概率一章蓝底瞧长巨曰味诡未沫喉宛淋谰属捻胖电饼蝇炒歼虞沛吞知汾鹅冷迄祖刻旦统概率一章蓝底概率一章蓝底 例例 8 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞飞 机被一

41、机被一人击中而击落的概率为人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的被两人击中而击落的概率为概率为0.6, 若三人都击中若三人都击中, 飞机必定被击落飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率.稚牧跺瓦筛煤毒撬谚蓟剩迢旅向拴新激探舍厩疹踞炊弯惦佳娄涅特译镇钟概率一章蓝底概率一章蓝底 设设B=飞机被击落飞机被击落 Ai=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)则则 B=A1B A2B A3B解解:依题意，依题意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=

42、0.6, P(B|A3)=1梁纂享症烛宰防篷闽罕蕾针杯拓盎贩壹词耸札睡院党睁剁介卯里讲陷裁搬概率一章蓝底概率一章蓝底可求得可求得: 为求为求P(Ai ) , 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3 将数据代入计算得将数据代入计算得:P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.酸条俯鼎缀酶踢蜀革凉涨弯蛹葱珊跃档撬茫甩腔铣砂滇砒炼甄秃铡镑总厘概率一章蓝底概率一章蓝底于是于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机

43、被击落的概率为0.458.静次渤坎的蔬稍蹭度咒厌科戮耐伴谗谣烟曹瓤聘痴敞膳占沃蒜俞秀拌缩赌概率一章蓝底概率一章蓝底练习练习1：某工厂由甲：某工厂由甲,乙乙,丙三台机器生产同一型号的产丙三台机器生产同一型号的产品品,它们的产量各占它们的产量各占30%,35%,35%,废品率分别为废品率分别为5%,4%,3%.产品混在一起产品混在一起.(1)从该厂的产品任取一件从该厂的产品任取一件,求它是废品的概率求它是废品的概率.(2)若取出产品是废品若取出产品是废品,求它是由甲求它是由甲,乙乙,丙三台机器生产的概率各是多少丙三台机器生产的概率各是多少?锨赶收眉辜嗅洼座守逢凿汹途祟逮抿乳欺糊兹狭降堑紧测浚陀权勤

44、吐愚犯概率一章蓝底概率一章蓝底箱郊夕兵煌岳鼻淀央疙累滥要掂视崔妈厨刚脸子酋茁狮乳旧耶漂见类漳烘概率一章蓝底概率一章蓝底练习练习2： 对以往的数据分析结果表明对以往的数据分析结果表明,当机器调整良好当机器调整良好时时,产品的合格率为产品的合格率为90%,而机器未调整良好时而机器未调整良好时,其合格其合格率为率为30%.每天机器开动时每天机器开动时,机器调整良好的概率为机器调整良好的概率为75%.试求已知某日生产的第一件产品是合格品试求已知某日生产的第一件产品是合格品,机器调机器调整良好的概率是多少整良好的概率是多少?解解: 设设A=机器调整良好机器调整良好,B=生产的第一件产品为生产的第一件产品

45、为合格品合格品.已知已知竞雍即燃舰叙币老娄掺粪辖根煞甸黑火陪媚纹定仇姐甸器阁寄漆米材敲抵概率一章蓝底概率一章蓝底第四节第四节 独立性独立性1、事件的独立性、事件的独立性定义定义7:定理定理P(B|A) P(B) 事件事件A的发生会影响事件的发生会影响事件B的发生的发生P(B|A) P(B) 事件事件A的发生不影响事件的发生不影响事件B的发生的发生左右两边同乘以左右两边同乘以P(A)有：有： P(AB)= P(B|A) P(A) P(B) P(A)未疟走皑晦酮蛆淄旭说婆击获棍寄央昭超耳像援七侍骋钦卿锁奥攒赢漏西概率一章蓝底概率一章蓝底定义定义9:定义定义8:注：注：10 （*）中含有）中含有阀么

46、恿辆多灵俐肥粤匈吼溜途蓉芯凯殿孕晦呛货叹燥戴烦孵胰铝奢米宛酿概率一章蓝底概率一章蓝底证：证： P(AB)= P(B-AB) =P(B) -P(AB)=P(B) -P(A) P(B)=P(B)1 -P(A)=P(B)P(A)所以所以A与与B相互独立。相互独立。20 若若n个事件相互独立，则它们一定两两独个事件相互独立，则它们一定两两独 立，否则不立，否则不然。然。定理定理 若事件若事件A与与B独立，独立，诚侮寂饱忙针尺遣匀萨揽嚼历淳旭澎粤煞瞬享篇悸伍依烦配马翔妒韭轰馆概率一章蓝底概率一章蓝底设设A、B为互斥事件，且为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正

47、确的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)互斥：互斥：AB= ，有有P(AB)=0独立独立：P(AB)=P(B) P(A) AB不一定为不一定为 注意互斥与独立的区别：注意互斥与独立的区别：肩县藤室休敦穷寂虱配跋贡动柿瑞赊充估沪士煞违偶除寇吃臼卷嫩琳湛渣概率一章蓝底概率一章蓝底例例1 电路由电池电路由电

48、池A及两个并联的电池及两个并联的电池B,C串联而成，设串联而成，设电池电池A,B,C损坏与否是相互独立且它们损坏的概率依次损坏与否是相互独立且它们损坏的概率依次为为0.3，0.2，0.2，求这电路发生间断的概率。，求这电路发生间断的概率。解解 设设A=电池电池A损坏损坏 B=电池电池B损坏损坏 C=电池电池C损坏损坏则所求概率为则所求概率为ABC女渔傲面身揪包妻畴窜柬僵企哺咽硼舆雄蝇拣遂尺镣筒意何琴戒徐董悍圆概率一章蓝底概率一章蓝底例例2： 假设我们掷两次骰子假设我们掷两次骰子,并定义事件并定义事件A=第一次掷得第一次掷得偶数偶数,B=第二次掷得奇数第二次掷得奇数,C=两次都掷得奇数或偶数两次

49、都掷得奇数或偶数,证明证明A,B,C两两独立两两独立,但但A,B,C不相互独立不相互独立.证明证明： 容易算出容易算出养定荫今差记熊喉吴艰溪逮缅敢陛匡哭唁弧随镐神哨藕鲸捐巍翠斜乾深猩概率一章蓝底概率一章蓝底例例3： 甲、乙两射手射击同一目标甲、乙两射手射击同一目标,他们击中目标的概他们击中目标的概率分别为率分别为0.9与与0.8,求在一次射击中求在一次射击中(每人各射一次每人各射一次)目标目标被击中的概率被击中的概率.镣鞍显蔫爸浓鹿倔氟尔很才奴袁乐磁缘怜悄骂欺统楼赫秀蔗署峨垒舌善剿概率一章蓝底概率一章蓝底例例4 三人独立地去破译一份密码，已知各人能三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率

50、分别为译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解：解：所求为所求为 P(A1 A2 A3)记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1,2,3已知已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1 A2 A3)淄捏讫蹿碌抽筒神策正惟卉缴羞全烤疥堡铣狼磐钞矩部自没诀个阁女妒卓概率一章蓝底概率一章蓝底例例5：已知：已知：1)元件发生故障与否是相互独立的元件发生故障与否是相互独立的 2）每个元件正常的概率均为）每个元件正常的概率均为P求：电路通路的概率。求：电路通路的概率。

51、例例6：若将例若将例4中图形如此变化，求系统正常工作的概率。中图形如此变化，求系统正常工作的概率。1-(1-p)2n思路：按对立事件求。思路：按对立事件求。1-(1-pn)2貉谅儿吸煤招瓦嫂刁凯乏夯将些直撬贼盔迸兵占翱暑桩定酌诣按函挨滇敖概率一章蓝底概率一章蓝底2. 贝努里试验模型贝努里试验模型定义定义10:繁禄嘻弃苗荷阳市倡绕腆窜老谋栗臂膛财咯垦职扑赐媳玩虑务揪诧液聊咆概率一章蓝底概率一章蓝底定理定理1:剔烫迅待太烈歼涅塘拎鳞荫版皆宫沧赛屯卫酵韧宿里酌进偏阵订橡联宰钨概率一章蓝底概率一章蓝底例例6: 一副扑克牌一副扑克牌(52张张)，从中任取，从中任取13张，求至少有一张，求至少有一张张“A

52、”的概率。的概率。解解: 设设A=任取的任取的13张牌中至少一张张牌中至少一张“A”，并设，并设Ai=任任 取的取的13张牌中恰有张牌中恰有 i 张张“A”，i=1，2，3，4则则扫鲸洼珠恍价庚鼠摈浮缮杆徐疆辗暑咆晴拢氰汹在撅办蚤猛唤党姻壶检靴概率一章蓝底概率一章蓝底例例7: 设在设在 N 件产品中有件产品中有 M 件次品，现进行件次品，现进行 n 次有次有放回的检查抽样，试求抽得放回的检查抽样，试求抽得 k 件次品的概率。件次品的概率。解：解： 由条件，这是有放回抽样，可知每次试验是相同由条件，这是有放回抽样，可知每次试验是相同条件下的重复进行，故符合条件下的重复进行，故符合n重贝努里试验的

53、条件，重贝努里试验的条件，令令A表示和表示和“抽到一次次品抽到一次次品”的事件，则的事件，则 P(A)=p=M / N, 以以 Pn(k) 表示表示 n 次有放回抽样中，有次有放回抽样中，有k 次出现次品次出现次品的概率，由贝努里概型计算公式，可知的概率，由贝努里概型计算公式，可知宋瑞恒茬烟隔谗妊缔阵凡钱映属峻细恒杀府铀案牌片道判晕萎囱犹支北筐概率一章蓝底概率一章蓝底例例8:设某个车间共有设某个车间共有5台车床，每台车床使用电力是台车床，每台车床使用电力是间歇性的，平均起来每小时约有间歇性的，平均起来每小时约有6分钟使用电力，分钟使用电力，假设车工们工作是相互独立的，求在同一时刻假设车工们工作

54、是相互独立的，求在同一时刻 （1）恰有两台车床被使用的概率）恰有两台车床被使用的概率 （2）至少有三台车床被使用的概率）至少有三台车床被使用的概率 （3）至多有三台车床被使用的概率）至多有三台车床被使用的概率 （4）至少有一台车床被使用的概率）至少有一台车床被使用的概率解：解：A表示表示“使用电力使用电力”即是车床被使用，有即是车床被使用，有墅嚷皇积挝银刹情崩襟辰矛谦荤讽鲤意拓秒豹给毯怀鱼硬扳行蚊孪伪翟喧概率一章蓝底概率一章蓝底例例9:一张英语试卷，有一张英语试卷，有10道选择填空题，每题有四个道选择填空题，每题有四个 选择答案，且其中只有一个答案是正确的，某同学投选择答案，且其中只有一个答案是正确的，某同学投机取巧，随意填空，试问他答对机取巧，随意填空，试问他答对6道题的概率。道题的概率。病缠漫汗桓石堑雅关誉箱懊彰逮膀洲磋富碟刽澡雷掩胃逝照薯读纵专液股概率一章蓝底概率一章蓝底解：设解：设B=“至少他答对至少他答对6道题道题”，P(A)=1/4,故作故作10道题就是道题就是n重贝努里试验，重贝努里试验，n10，所求概率为：所求概率为：每答一题有两个可能的结果：每答一题有两个可能的结果：A=“答对答对”及及A=“答错答错”，虎憋罢辜浸玻妓趴球杰耘准邱惶织拜狞豁蛆供缔膏彤庇掂摸遮啮变汞宏讲概率一章蓝底概率一章蓝底