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1、数学直线与圆圆与圆的位置关系Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望基础梳理基础梳理1. 直线与圆的位置关系判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆半径为r，若直线与圆相离，则_；若直线与圆相切，则_；若直线与圆相交，则_(2)代数法：将直线与圆的方程联立，若D0，则_；若D=0，则_；若D0，则直线与圆相离 2. 两圆的位置关系(1)设两圆半径分别为R，r(Rr)，圆心距为d.若两圆相外离，则_，公切线条数为_；若两圆相外切，则_，公切线条数为_；若两圆相交，则_，
2、公切线条数为_；若两圆内切，则_，公切线条数为_；若两圆内含，则_，公切线条数为_(2) 设两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是_3. 已知切点为P(x0，y0)，则圆x2+y2=r2的切线方程为_. 4. 圆系方程(1)以点C(x0，y0)为圆心的圆系方程为_；(2)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：ax+by+c=0的交点的圆系方程为_；(3)过两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为_(不表示圆C2) 答案：1
3、. (1)drd=rdr(2)直线与圆相交直线与圆相切2. (1)dR+r4d=R+r3R-rdR+r2d=R-r1dR-r0(2)(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=03. x0x+y0y=r24. (1)(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r0)(2)x2+y2+Dx+Ey+F+l(ax+by+c)=0(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+l(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0基础达标基础达标1. (2011湛江模拟)直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为()A. 相切 B. 相交但直线不过圆心 C. 直线过圆心 D. 相离2. (教材改编题)若直线x-y=2
4、被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2 ，则实数a的值为()A. -1或 B. 1或3 C. -2或6 D. 0或43. (教材改编题)圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是()A. 相离 B. 相交C. 外切 D. 内切 4. 直线y=x-1上的点到圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点的最近距离是()A. 2 B. -1 C.2 -1 D.15. 过圆C1：(x-4)2+(y-5)2=10与圆C2：(x+2)2+(y-7)2=12的交点的直线方程为_. 答案：1. B解析：圆心(0,0)到直线y=x+1，即x-y+1=0的距离d= = ，而01，故选B.
5、2. D解析：由题意知，d= = ，即|a-2|=2，解得a=4或a=0.3. B解析：由圆O1：x2+y2-2x=0得(x-1)2+y2=1，故圆心O1(1,0)，半径r=1；由圆O2：x2+y2-4y=0得x2+(y-2)2=4，故圆心O2(0,2)，半径R=2；因为R-r=2-1|O1O2|= = 1+2=r+R，两圆相交，故选B.4. C解析：圆心坐标为(-2,1)，则圆心到直线y=x-1的距离为 d= =2 1=r，故最近距离是2 -1.5. 6x-2y+5=0解析：联立两圆方程 两式相减得12x-4y+10=0，即6x-2y+5=0，所以所求的直线方程为6x-2y+5=0.题型一直
6、线与圆的位置关系题型一直线与圆的位置关系【例1】直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M，N两点，若|MN|2 ，则k的取值范围是()经典例题经典例题解：由圆的方程知圆心为(3,2)，圆心到y=kx+3的距离d= ，且r=2，|MN|2=r2-d2=4- 23，化简得4k2+3k0，解得- k0，故选A.变式变式1-11-1直线 x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切，则实数m等于()答案：C解析：化为圆的标准方程为(x-1)2+y2=3，因为直线与圆相切，所以圆心(1,0)到直线的距离等于半径，即 = ，即| +m|=2 ，所以m= 或m=-3 ，故选C.题型二圆与
7、圆位置关系的判断及应用题型二圆与圆位置关系的判断及应用【例2】已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圆C2：x2+y2+2x-2my+m2-3=0，试就m的取值讨论两圆的位置关系解：圆C1：(x-m)2+(y+2)2=9，圆C2：(x+1)2+(y-m)2=4.两圆的圆心距|C1C2|= ，r1=3，r2=2.(1)当|C1C2|=r1+r2，即 =5时，解得m=-5或m=2，故当m=-5或m=2时，两圆外切；(2)当|C1C2|=r1-r2，即 =1时，解得m=-2或m=-1，故当m=-2或m=-1时，两圆内切；(3)当r1-r2|C1C2|r1+r2，即-5m-2或-1mr1
8、+r2，即m2时，两圆外离；(5)当|C1C2|r1-r2，即-2m0)的圆相切，则r的值为 _.答案：3或7解析：由圆x2+y2=25的圆心为C1(0,0)，半径为5，因此两圆的圆心距d=|CC1|=2，故两圆只能是内切，不能外切，故d=|CC1|=2=|5-r|，解得r=3或r=7.题型三圆的弦长问题题型三圆的弦长问题【例3】过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为 ()A. B.2 C. D. 解：过原点且倾斜角为60的直线方程为y= x，圆的标准方程为 x2+(y-2)2=4，所以圆心(0,2)到直线的距离d= =1，由垂径定理知所求弦长为2 =2 ，故选D.
9、变式变式3-13-1若O1：x2+y2=5与O2：(x-m)2+y2=20(mR R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是_ 答案：4解析：由题知O1(0,0)，O2(m,0)，r1= ，r2=2 ，因为两圆相交，所以 |m|3 ，又O1AAO2，在RtO1O2A中，m2=( )2+(2 )2=25m=5，所以AB=2* =4.题型四有关圆的最值问题题型四有关圆的最值问题【例4】与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是_ 解：x2+y2-12x-12y+54=0配方得(x-6)2+(y-6)2=18，如下图所示：
10、要使所求圆与直线和已知圆都相切且半径最小，必须使所求圆在直线和已知圆之间 圆心(6,6)到直线x+y-2=0的距离为d= =5 ，则所求圆的直径2r=5 -3 =2 ，r= ，易求所求圆的圆心坐标为(2,2)，故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2.变式变式4-14-1由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为()A. 1 B. 2 C. D. 3 答案：C解析：设圆心到直线y=x+1的距离为d，则切线长的最小值为 ，而r=1.d= =2 ， = ，故选C. 题型五简单的圆系方程及应用题型五简单的圆系方程及应用【例5】求过直线2x+y+4=0和圆x
11、2+y2+2x-4y+1=0的交点，且过原点的圆的方程解：方法一：由解得交点坐标分别为A(-3,2)，B .设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则解得D= ，E=- ，F=0.故所求圆的方程为x2+y2+ x- y=0.方法二：设所求圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+l(2x+y+4)=0，即x2+y2+2(1+l)x+(l-4)y+(1+4l)=0，此圆过原点，1+4l=0，即l=- .故所求圆的方程为x2+y2+ x- y=0.故所求直线方程为y-5= (x-3)，即4x-3y+3=0.易错警示易错警示【例】求过A(3,5)且与圆C：x2+y2-4x-4y+7=0相切的直线
12、方程错解设所求直线l的斜率为k，方程为y-5=k(x-3)，即kx-y+5-3k=0，已知圆C的圆心(2,2)，r=1.则圆心到l的距离为k2-6k+9=k2+1，解得k= 错解分析 过圆外一点的圆的切线有两条，若求出k的值唯一，则应补上与x轴垂直的那一条，错解中漏掉了斜率不存在的情况。正解：(1)若所求直线斜率存在，设其为k，方法同“错解”，得k= ，即方程为4x-3y+3=0.(2)若所求直线斜率不存在，则l的方程为x=3，经验证x=3与圆C相切综上，所求切线方程为x=3或4x-3y+3=0.链接高考链接高考(2010山东) 已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x-1被该圆所截得的弦长为2 ，则圆C的标准方程为_知识准备：1. 设圆心坐标(a,0)；2. 由圆的半径、弦心距、半弦长的关系列方程来求a的值答案 ：(x-3)2+y2=4解析：设圆心为(a,0)，其中a0，则圆心到直线x-y-1=0的距离d= .因为圆截直线所得的弦长为2 ，根据半弦长、半径、弦心距之间的关系有 2+2=(a-1)2，即(a-1)2=4，所以a=3或a=-1(舍去)，半径r=3-1=2，所以圆C的标准方程为(x-3)2+y2=4.
