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1、一、复数的有关概念一、复数的有关概念1.复数的概念复数的概念形如形如的数叫复数，其中的数叫复数，其中a，b分别是它的分别是它的和和.若若，则，则abi为实数，若为实数，若，则，则abi为虚数，若为虚数，若，则，则abi为纯虚数为纯虚数.实部实部虚部虚部b0 b0a0且且b0abi(a，bR)2.复数相等复数相等 abicdi (a，b，c，dR).3.共轭复数共轭复数 abi与与cdi共轭共轭(a，b，c，dR).4.复数的模复数的模向量向量的模的模r叫做复数叫做复数zabi的模，记作的模，记作或或，即，即|z|abi|.ac且且bd|z|a bi|提示：提示：不一定，只有这两个复数全是实数时
2、才能不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小比较大小.任意两个复数能比较大小吗？任意两个复数能比较大小吗？二、复数的运算二、复数的运算1.复数的加、减、乘、除运算法则复数的加、减、乘、除运算法则设设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则，则(1)加法：加法：z1z2(abi)(cdi)；(2)减法：减法：z1z2(abi)(cdi)；(3)乘法：乘法：z1z2(abi)(cdi)；(4)除法：除法：(cdi0).(acbd)(adbc)i(ac)(bd)i(ac)(bd)i2.复数加法的运算定律复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何复数的加法满足交换律、结合律，即
3、对任何z1、z2、z3C，有有z1z2，(z1z2)z3.z2z1z1(z2z3)1.在复平面内，复数在复平面内，复数zi(12i)对应的点位于对应的点位于.解析：解析：zi(12i)2i，复数复数z在复平面内对应的在复平面内对应的点为点为Z(2,1)，该点位于第二象限，该点位于第二象限.答案：答案：二二2.若若z(x21)2(x1)i为纯虚数，则实数为纯虚数，则实数x的值为的值为.解析：解析：z为纯虚数，为纯虚数，答案：答案：- -1x=-13.已知已知2i，则复数，则复数z.解析：法一：解析：法一：2i，(1i)(2i)23i113i. z13i.法二：法二：2i，2i，z(1i)(2i)
4、23i113i.答案：答案：13i4.若复数若复数z1429i，z269i，其中，其中i是虚数单位，则复数是虚数单位，则复数(z1z2)i的实部为的实部为.解析：解析：z1429i，z269i，(z1z2)i(220i)i202i，复数复数(z1z2)i的实部为的实部为20.答案：答案：205.已知已知M1,2，(a23a1)(a25a6)i，N1,3， MN3，则实数，则实数a.解析：解析：依题意依题意(a23a1)(a25a6)i3，答案：答案：1解得解得a1.1.复数是实数的充要条件复数是实数的充要条件(1)zabi(a，bR)Rb0；(2)zRz(3)zRz20.2.复数是纯虚数的充要
5、条件复数是纯虚数的充要条件(1)zabi(a，bR)是纯虚数是纯虚数a0，且，且b0；(2)z是纯虚数是纯虚数z0(z0)；(3)z是纯虚数是纯虚数z20.当实数当实数m为何值时，为何值时，zlg(m22m2)(m23m2)i，(1)z为纯虚数；为纯虚数；(2)zR；(3)z对应的点在复平面内的第二象限内对应的点在复平面内的第二象限内.根据复数根据复数z为实数，虚数及纯虚数的概念，利用它为实数，虚数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的们的充要条件可分别求出相应的m值值.【解解】(1)若若z为纯虚数，则为纯虚数，则解得解得m3.(2)若若z为实数，则为实数，则解得解得m1，或，或m
6、2.(3)若若z的对应点在第二象限内，则的对应点在第二象限内，则解得解得1m1，或，或1m3.综上得综上得m3时，时，z为纯虚数；为纯虚数；m1，或，或m2时，时，z为实数；为实数；1m1，或，或1m3时，时，z的对应点在复的对应点在复平面内的第二象限内平面内的第二象限内.1.已知已知mR，复数，复数z= (m22m3)i，当，当m为何为何值时，值时，(1)z是实数？是实数？(2)z是虚数？是虚数？(3)z是纯虚数？是纯虚数？解：解：(1)要使要使z是实数，是实数，m须满足：须满足：m22m30且且有意义，解得有意义，解得m3.当当m3时，复数时，复数z为实数为实数.(2)要使要使z是虚数，是
7、虚数，m须满足：须满足：m22m30，且且有意义，解得有意义，解得m1且且m3.当当mR且且m1，3时，时，z为虚数为虚数.(3)要使要使z是纯虚数，是纯虚数，m须满足：须满足：=0且且m22m30.解得解得m0或或m2，当当m0或或m2时，时，z为纯虚数为纯虚数.1.在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度算速度.(1)(1i)22i；(2)(1i)22i；(3)i；(6)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，n N*.(5)baii(abi)；(6)i4n1，i4n1i，i4n21， i4n3i，nN*.(4)i；2.复数的
8、四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位数单位i的看作一类同类项，不含的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧的特点及熟练应用运算技巧. 计算：计算：(1)；(2)()2010.(1)可用复数的运算性质计算；可用复数的运算性质计算；(2)可用可用2ii(1)计算计算.【解解】(1)原式原式1i.(2)原式原式()21005i()1005ii1005ii425
9、11ii2i.2.计算：计算：(1)(2)(3)(4)解解:(1)-1-3i(2)(3)-1.(4)(1i)2010(1i)(1i)2010(1i)(2i)1005(1i)(2i)1005(1i) i(1i)(i)(1i). 复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题或三角形法则解决问题.如图，平行四边形如图，平行四边形OABC
10、，顶点，顶点O，A，C分别表示分别表示0,32i，24i，试求：试求：(1)所表示的复数，所表示的复数，所表示的复数；所表示的复数；(2)对角线对角线CA所表示的复数；所表示的复数；(3)求求B点对应的复数点对应的复数.结合图形和已知点对应的复数，根据加、减法的结合图形和已知点对应的复数，根据加、减法的几何意义，即可求解几何意义，即可求解.【解解】(1)所表示的复数为所表示的复数为32i. 所表示的复数为所表示的复数为32i. 所表示的复数为所表示的复数为(32i)(24i)52i.所表示的复数为所表示的复数为(32i)(24i)16i，即即B点对应的复数为点对应的复数为16i.(2)(3)3
11、.设复数设复数z的共轭复数为，且的共轭复数为，且且且4z+2=3i， sinicos，复数，复数z对应复平面内的向量为对应复平面内的向量为.求求z的值和的值和的取值范围的取值范围.解：解：设设zabi(a，bR)，则，则abi，由由4z23+i,得得4(abi)2(abi)3+i,即即6a2bi3+i,根据复数相等的充要条件有根据复数相等的充要条件有z=i,z(sinicos)故所求的故所求的z=的取值范围是的取值范围是0，2.1sin1，0|z|2.从近几年的高考试题看，复数的概念及其代数形式的从近几年的高考试题看，复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点，通常为填空题运算成为命题的热点，通常为填空题.一是考查复数的概念，一是考查复数的概念，如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等基础知识除四则运算等基础知识.2009年陕西高考卷第年陕西高考卷第2题考查复数的题考查复数的概念及运算概念及运算.(2009陕西高考改编陕西高考改编)已知已知z是纯虚数，是纯虚数，是实数，那么是实数，那么z等于等于.解析解析由题意得由题意得zai(aR且且a0).则则a20，a2.有有z2i.答案答案2i若将本题中的若将本题中的z是纯虚数改为是纯虚数改为z是复数，是复数，z等于多少？等于多少？
