33二维正态分布

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1、3.3二维正态分布二维正态分布 定义定义1 若二维随机变量若二维随机变量 的联合概率密度为的联合概率密度为其中其中 是实数是实数,则称则称 服从服从参数为参数为的二维正态分布的二维正态分布,记作记作称上述的称上述的 为为二维正态概率密度二维正态概率密度. 可以证明可以证明,若若 则则 也就是说也就是说,二维正态分布的两个边缘分布仍然为二维正态分布的两个边缘分布仍然为正态分布正态分布,而且其边缘分布不依赖于参数而且其边缘分布不依赖于参数 .因此可因此可以断定参数以断定参数 描述了描述了 与与 之间的某种关系之间的某种关系!二二维维正正态态分布的分布的5个参数的概率意个参数的概率意义义是：是：定理

2、定理1 二维随机向量二维随机向量(X，Y)服从正态分布，则服从正态分布，则X 不相关的。不相关的。与与Y相互独立的充分必要条件是：相互独立的充分必要条件是：X与与Y是是注意：一般地两个随机变量相互独立，则这两注意：一般地两个随机变量相互独立，则这两 个随机变量是不相关的，反之不相关的随机个随机变量是不相关的，反之不相关的随机 变量未必相互独立，而二维正态分布却是：变量未必相互独立，而二维正态分布却是： 两个随机变量相互独立的充分必要条件是：两个随机变量相互独立的充分必要条件是： 两个随机变量是不相关的。两个随机变量是不相关的。 研究大量的随机现象，常常采用极限研究大量的随机现象，常常采用极限形

3、式，由此导致对极限定理进行研究形式，由此导致对极限定理进行研究. 极极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种种:与与大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理下面我们先介绍大数定律下面我们先介绍大数定律3.4大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理字母使用频率字母使用频率 大量的随机现象中平均结果的稳定性大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币大量抛掷硬币正面出现频率正面出现频率生产过程中的生产过程中的废品率废品率阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称为大数定律。

4、列定理统称为大数定律。一、大数定律一、大数定律的概率几乎等于的概率几乎等于1，即，即则则称随机称随机变变量序列量序列 Xn 依概率收敛于依概率收敛于记记作作当当n充分大充分大时时，事件，事件定义定义1 如果对于任意如果对于任意几个常见的大数定律几个常见的大数定律定理定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）切比雪夫大数定律）切比雪夫切比雪夫则对任意的则对任意的0， 设设 Xn是两两相互独立的随是两两相互独立的随机变量序列，机变量序列， 存在，存在，其方差一致有界，即其方差一致有界，即 D(Xi) L，i=1,2, ， 证明切比雪夫大数定律主要的数学证明切比雪夫大数定律主要的数学工具是切比雪夫

5、不等式工具是切比雪夫不等式.存在，则对于任给存在，则对于任给 0,有有设随机变量设随机变量X 的数学期望的数学期望E(X )和方差和方差随机的了，取值接近于其数学期望的概率接随机的了，取值接近于其数学期望的概率接近于近于1.即当即当n充分大时，充分大时，差不多不再是差不多不再是 切比雪夫大数定律表明，独立随机变切比雪夫大数定律表明，独立随机变 偏差很小的概率接近偏差很小的概率接近于于1. 量序列量序列Xn，如果方差一致有界，则，如果方差一致有界，则与其数学期望与其数学期望切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述平均值稳定性的科学描述推推论论 设设随机随机变变量序列量序

6、列 Xn 独立且都服从某独立且都服从某则对则对于任意于任意恒有恒有 个分布，它们的数学期望及方差均存在，个分布，它们的数学期望及方差均存在，即即注注 一般地，我一般地，我们们要求出随机要求出随机变变量量 X 的数学期的数学期来估计来估计EX。当。当n充分大充分大时时，偏差不会太大。，偏差不会太大。机机变变量量X的分布的分布时时求求EX的方法，即用的方法，即用知道知道EX，上述的推，上述的推论论告告诉诉了我了我们们,在不知随在不知随我我们们往往在不知随机往往在不知随机变变量量X的分布的分布时时，希望，希望望，必望，必须须知道随机知道随机变变量量X的分布。但的分布。但实际实际中，中， 这这一点我一

7、点我们们将会在数理将会在数理统计统计中看到。中看到。 定理定理3 (伯努利大数定律伯努利大数定律) 设设 是是 重伯努利试重伯努利试 验中事件验中事件A出现的次数出现的次数,又又A在每次试验中出在每次试验中出即频率即频率依概率收敛于概率依概率收敛于概率即即则对于任意的则对于任意的现的概率为现的概率为有有注注贝努里大数定律从理论上证明了频率的稳定性贝努里大数定律从理论上证明了频率的稳定性 下面给出的独立同分布下的大数下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在定律，不要求随机变量的方差存在. 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 独立同独立同分布，且数学期望分布，且数学期望E

8、(Xi )=, i=1,2,， 则对任给则对任给 0 ，定理定理2（辛钦大数定律辛钦大数定律）辛钦辛钦注注 （1）辛钦大数定律与定理）辛钦大数定律与定理1的推论的区别的推论的区别 在，辛钦大数定律与方差无关。在，辛钦大数定律与方差无关。 （3）贝努里大数定律是辛钦大数定律的特）贝努里大数定律是辛钦大数定律的特 例例,而辛钦大数定律在应用中是非常重而辛钦大数定律在应用中是非常重 要的。要的。（2） 由于证明辛钦大数定律要用特征函数由于证明辛钦大数定律要用特征函数 的知识，故证明略。的知识，故证明略。二、中心极限定理二、中心极限定理 中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景 在实际问题中，常常

9、需要考虑许多随机在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生总影响因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响着许多随机因素的影响. 空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响.如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等炮弹或炮身结构所引起的误差等. 观察表明，如果一个量是由大量相互独观察表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大素在总影响中

10、所起的作用不大. 则这种量一则这种量一般都服从或近似服从正态分布般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布态分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见在自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之现在我们就来研究独立随机变量之和和所所特有的规律性问题特有的规律性问题. 在概率论中，习惯于把在概率论中，习惯于把和的分布和的分布收收敛于正态分布这一类定理都叫做敛于正态分布这一类定理都叫做中心极中心极限定理限定理. 下面给出的独立同分布随机变量序下面给出的独立同分布随机变量序列的中心极限定理列的中心极限定理, 也称也称列

11、维一林德伯列维一林德伯格格（LevyLindberg）定理定理.定理定理1（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理）设设 X1, X2, , Xn 是独立同分布的随机是独立同分布的随机变量序列，且变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,n，则，则注注 1）证证明所需要的知明所需要的知识识已超出范已超出范围围，证证明略。明略。独立同分布，且它独立同分布，且它们们的数学期的数学期2）中）中 心极限心极限 定理表明，若定理表明，若 随随 机机 变变 量量 序序 列列都都近似近似服从正服从正态态分布分布. (注意注意:不一定是不一定是即即望及方差存在，望及方差存在，则则当

12、当n充分大时，其充分大时，其和的分布和的分布,3）中心定理）中心定理还还表明：无表明：无论论每一个随机每一个随机变变量量在和在和的分布中起的作用很微的分布中起的作用很微服从什么分布，只要每一个随机服从什么分布，只要每一个随机变变量量近似服从正近似服从正态态分布。分布。小，小，则则标标准正准正态态分布）分布）例例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服根据以往经验，某种电器元件的寿命服 从均值为从均值为100小时的指数分布小时的指数分布. 现随机地取现随机地取 16只只,设它们的寿命是相互独立的设它们的寿命是相互独立的. 求这求这16 只元件的寿命的总和大于只元件的寿命的总和大于1920小时的概率

13、小时的概率.由题给条件知，诸由题给条件知，诸Xi独立，独立，16只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为解解: 设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16E(Xi)=100, D(Xi)=10000依题意，所求为依题意，所求为P(Y1920)由题给条件知由题给条件知,诸诸Xi独立独立,16只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为解解: 设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为依题意，所求为P(Y1920)由于由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近

14、似近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y 1920) =1- (0.8) 1-=1-0.7881=0.2119 定理定理2 (棣莫弗棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理) 设设 是是 重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A出现的次数出现的次数, 又又A在每次试验中出现的概率为在每次试验中出现的概率为 则对于任意的实数则对于任意的实数 有有:注注 1）德莫佛）德莫佛拉普拉斯定理表明拉普拉斯定理表明:二二项项分布分布以正以正态态分布分布为为极限极限;3）设随机变量）设随机变量X当当n充分大时充分大时,2) 棣莫佛拉普拉斯定理是中心极限定理棣莫佛拉普拉斯定理是中心极限定理的特殊情况

15、的特殊情况.部数部数解解 设设 表示某一时刻机器开动的台数表示某一时刻机器开动的台数,则则设设电厂至少要供应电厂至少要供应 个单位的电能个单位的电能,则由题意则由题意,有有由棣莫弗由棣莫弗-拉普拉斯定理拉普拉斯定理,有有 例例2 某车间有同型号的机床某车间有同型号的机床200部部,每部机器开动每部机器开动 概率保证不致因供电不足而影响生产概率保证不致因供电不足而影响生产?少要供应该车间多少单位电能少要供应该车间多少单位电能,才能以才能以95%的的 开动时每部机器要耗电能开动时每部机器要耗电能15个单位个单位,问电厂最问电厂最 的概率为的概率为0.7,假定各机床开关是相互独立的假定各机床开关是相

16、互独立的, 查表得查表得,应有应有 故至少须向该车间供应故至少须向该车间供应2261个单位的电能个单位的电能,才才能以能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产的概率保证不致因供电不足而影响生产.解解 设设 是装运的第是装运的第 箱的重量箱的重量,看作是相互独立同分布的随机变量看作是相互独立同分布的随机变量,而总重量而总重量是独立同分布的随机变量之和是独立同分布的随机变量之和. 例例3 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重 多少箱，才能保障不超载的概率大于多少箱，才能保障不超载的概率大于0.997. 试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装试利用中心极限定理

17、说明每辆车最多可以装 差差5千克。若用最大载重量为千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，吨的汽车承运， 量是随机的，假设每箱的平均重量是随机的，假设每箱的平均重50千克千克,标准标准 是所求得箱数是所求得箱数,由条件可以把由条件可以把由林德伯格由林德伯格-列维定理列维定理由题意知由题意知并且要求并且要求 满足满足即即 必须满足必须满足即最多可以装即最多可以装98箱。箱。例例4 在保险公司里，有在保险公司里，有3000个同一年龄的人参个同一年龄的人参 加人寿保险，在一年里，这些人死亡的概率加人寿保险，在一年里，这些人死亡的概率 为为0.1%，参加保险的人在一年的头一天交付，参加保险的人在一年的头

18、一天交付 保险金保险金10元，死亡时，家属可从保险公司领元，死亡时，家属可从保险公司领 取取2000元赔偿金。元赔偿金。（2）保险公司亏本的概率是多少？）保险公司亏本的概率是多少？（1）求保险公司一年中获利不少于）求保险公司一年中获利不少于10000元的元的 概率；概率；概率论中的关键词概率论中的关键词 随机试验，样本空间，事件，频率，概率，随机试验，样本空间，事件，频率，概率，等可能概型，条件概率，全概率公式，贝叶斯等可能概型，条件概率，全概率公式，贝叶斯公式，独立性；公式，独立性； 随机变量，分布函数，分布律，概率密度，函随机变量，分布函数，分布律，概率密度，函数的分布，边缘概率分布律，边缘概率密度，独立数的分布，边缘概率分布律，边缘概率密度，独立性性;数学期望数学期望,方差方差,协方差协方差,相关系相关系数数. 0-1分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，指数分布指数分布,正态分布正态分布;