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1、第一章总练习题第一章总练习题1.求解下列不等式:5x8（）1 2.3|5x8|142解解 2.| 5x8| 6,5x8 6或5x8 6,x 或x .3552(2)x3 3,52解解3x3 3,0 x 15.5(3)| x1| x2|1解解(x1)2 (x2)2,2x1 4x4,x .22.2. 设y 2x|2 x|,试将x表示成y的函数.1解解当x 2时, y x2, y 4,x y2;当x 2时, y 3x2, y 4,x (y2).3y2, y 4x 1(y2), y 4.313.求出满足不等式 1 x 1x的全部x.2解解x 1. 2 1 x x2,4(1 x) x24x4,x2 0.x
2、 1,x 0.4.用数学归纳法证明下列等式:123nn2(1) 23n 2n.22222121证证当n 1时,2-1,等式成立.设等式对于n成立,则22123n1123nn123n123nn1222222222n2n12n4(n1)(n1)3 2nn1 2 2,n1n12222即等式对于n1也成立.故等式对于任意正整数皆成立.(2)12x3x 2nxn11(n1)xnnxn1(x 1).(1 x)21(11)xn1x11(1 x)2证证当n 1 1时, ,1,等式成立.22(1 x)(1 x)设等式对于n成立,则12x3x 2nxn11(n1)xnnxn1(n1)x (n1)xn2(1 x)n
3、1(n1)xnnxn1(1 x)2(n1)xn(1 x)21(n1)xnnxn1(12x x2)(n1)xn(1 x)21(n1)xnnxn1(xn2xn1 xn2)(n1)(1 x)21(n1)xnnxn1(xn2xn1 xn2)(n1)(1 x)21(n2)xn1(n1)xn2,2(1 x)即等式对于n1成立.由归纳原理,等式对于所有正整数都成立.|2 x| x|25.设f (x) x(1)求f (4), f (1), f (2), f (2)的值;(2)将f (x)表成分段函数;(3)当x 0时f (x)是否有极限:(4)当x 2时是否有极限?解解(1)f (4) 24211222422
4、 1, f (1) 2, f (2) 2, f (2) 0.41224/ x,x 2;(2) f (x) 2,2 x 0;0,x 0.(3)无因为.lim f (x) 2, lim f (x) 0 lim f (x).x0x0x0(4)有. lim f (x) lim (4/ x) 2, lim f (x) lim 2 2 lim f (x), lim f (x) 2.x2x2x2x2x2x26.设f (x) x214,即f (x)是不超过x214的最大整数. 3(1)求f (0), f, f ( 2)的值;2(2) f (x)在x 0处是否连续?(3)f (x)在x 2处是否连续?1 39解
5、解(1)f (0) 14 14, f146 7.f ( 2) 12 12.424(2)连续因为.lim f (x) lim y14 14 f (0).x0y0(3)不连续因为.lim f (x) 12, lim f (x) 11.x 2x 27.设两常数a,b满足0 a b,对一切自然数n,证明:bn1an1bn1an1nn(1) (n1)b ;(2)(n1)a .bababn1an1(ba)(bnbn1a证证bababn1an1类似有 (n1)an.banan) bnbn1bbn (n1)bn,118.对n 1,2,3,令an1,bn1.nn证明:序列an单调上升,而序列bn单调下降,并且.
6、an bn.证证令a = =111nn1n111,b 1,则由7题中的不等式,n1nn11 1n111nn11 1n1n1 (n1)1,n11 (n1)1nn(n1)n1nn11n11nn1n1n11 1 111nnn1n1,1 11 1nn1n.n1n11 11 1n1 nn1(n1)111n1nn11 11(n1)11n1n(n1)n1 1111n1nnnnn1nn11 1n1n1n11 1n1n11 11 111 1n1nn1 n2.111 我们证明11.nn1n1112111nn1n1(n1)211.最后不等式显然成立.2n(n1)(n1)11当n 时,1 e,1nn9.求极限nn11
7、1 e,故1 e 1nnnn1.1 1 1 1 lim12121212n234n1 1 1 1 解解12121212234n1 3 2 4 3 5n n11 n11(n ).2 2 3 3 4 4nnn22nx10.作函数f (x) lim2(a 0)的图形.nnx a0,x 0;nx解解f (x) lim2nnx a1/ x,x 0.11.在? 关于有界函数的定义下,证明函数f (x)在区间a,b上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数M使得| f (x)| M,xa,b.证证设存在常数M1,N使得M1 f (x) N,xa,b,取M max|M1|,| N |1,则有| f (x)| M,
8、xa,b.反之,若存在一个正的常数M使得| f (x)| M,xa,b,则M f (x) M,xa,b.12.证明:若函数y f (x)及y g(x)在a,b上均为有界函数,则f (x) g(x)及f (x)g(x)也都是a,b上的有界函数.证证存在M1,M2,| f (x)| M1,| g(x)| M2,xa,b.| f (x) g(x)| f (x)| | g(x)| M1M2,| f (x)g(x)| f (x)| g(x)| M1M2,xa,b.13.证明: f (x) 1cos在x 0的任一邻域内都是无界的,但当x 0时f (x)不是无穷大量.xx11证证任取一个邻域(,), 0和M
9、 0,取正整数n,满足和n M,则 f ( ) n M,nn1故f (x)在(,)无界.但是xn0, f (xn) (2n1/ 2)cos(2n1/ 2) 0 ,2n1/ 2故当x 0时f (x)不是无穷大量.14.证明limn(x 1) ln x(x 0).n11ln x证证令x 1 yn,则ln x ln(1 y),n .lim yn limxn1 0.nnln(1 y)n1n1nln(1 y)注意到lim limln(1 y)y lnlim(1 y)y lne 1,y0y0y0y我们有n(x 1)1n11ynln xln x(n ).ln(1 yn)15.设f (x)及g(x)在实轴上有
10、定义且连续.证明:若f (x)与g(x)在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.证证任取一个无理数x0,取有理数序列xn x0, f (x0) lim f (xn) limg(xn) g(x0).nn16.证明lim1cosx1.2x0x22sin2x221cosx2sin y1sin y1212 lim证证lim limlim1 .y0222x0x0y0xx4y2y22ln(1 y)exaex17.证明:(1)lim1;(2)lim ea.y0x0yxln(1 y)证证(1)lim limln(1 y)y lnlim(1 y)y lne 1.y0y0y0yexaeaea(ex1)e
11、x1ay1a(2)lim lim e lim e lim eax0x0x0y0ln(1 y)ln(1 y)xxxlimy0y1 ea ea.118.设y f (x)在a点附近有定义且有极限lim f (x) 0,又设y g(x)在a点附近有xa11定义,且是有界函数.证明lim f (x)g(x) 0.xa证证设| g(x)| M,0 | xa|0.对于任意 0,存在1 0,使得当0 | xa|1时| f (x)|/M.令 min1,0,则0 | xa|时,|f (x)g(x)| f (x)| g(x)|MM ,故lim f (x)g(x) 0.xa19.设y f (x)在(,)中连续,又设c
12、为正的常数,定义g(x)如下 f (x) 当| f (x)| cg(x) c当f (x) cc当f (x) c试画出g(x)的略图,并证明g(x)在(,)上连续.证(证(一) )若| f (x0)| c,则存在0 0,当| x x0|0时|f(x)|c,g(x)=f(x),xx0lim g(x) lim f (x) f (x0) g(x0).xx0若f (x0) c,则存在0 0,当| x x0|0时f (x) c,g(x)=c,xx0lim g(x) limc c g(x0).xx0若f (x0) c,则g(x0) c.对于任意 0,不妨设 c,存在 0,使得当| x x0|时| f (x)
13、c|.设| x x0|.若f (x) c,则g(x) f (x),| g(x) g(x0)| f (x)c|,若f (x) c, 则g(x) c,| g(x)- g(x0)| 0 .证证(二)利用g(x) minf (x),cmaxf (x),c f (x).maxf1(x), f2(x) (| f1(x) f2(x)| f1(x) f2(x)/2.minf1(x), f2(x) (| f1(x) f2(x)| ( f1(x) f2(x)/2.120.设f (x)在a,b上连续,又设 f (x1) f (x2) f (x3),3其中x1,x2,x3a,b.证明存在一点ca,b,使得f (c)
14、.证证若f (x1) f (x2) f (x3),则 f (x1),取c x1即可.否则设f (x1) minf (x1), f (x2), f (x3), f (x3) minf (x1), f (x2), f (x3),f (x1) f (x3), f在x1,x3连续,根据连续函数的中间值定理,存在一点ca,b,使得f (c) .21.设 y f (x)在点x0连续而g(x)在点x0附近有定义,但在x0不连续问kf (x)lg(x)是否在x0连续,其中k,l为常数.解解如果l 0, ,kf (x)lg(x)在x0连续;如果l l 0,0,kf (x)lg(x)在x0不连续,因否则g(x)
15、kf (x)lg(x)kf (x)/ l将在x0连续.22.证明Dirichlet函数处处不连续. x0,则D(xn) 0;证证任意取x0.取有理数列xn x0,则D(xn) 1;取无理数列xn故lim D(x)不存在,D(x)在x0不连续.xx023.求下列极限:1 1 x (1)lim 0;(2) lim(arctan x)sin0 0;x12xxx2tan5xtan5x/ x5(3)lim lim5.x0ln(1 x2)sin xx0xln(1 x2)/ x2sin x/ x1(4)lim(x)x11x1|x| lim(1 y)1/ y e.y024.设函数y f (x)在0,)内连续,
16、且满足0 f (x) x.设a1 0是一任意数,并假定a2 f (a1),a3 f (a2),n,一般地an1 f (an).试证明an单调递减,且极限liman存在.n若l liman,则l是方程f (x) x的根,即f (l) l.证证an1 f (an) an,an单调递减.又an1 f (an) 0(n 1,2,),an单调递减有下界,故an有极限.设l liman,则l liman1 lim f (an) f (liman) f (l).nnnn25.设函数y E(x)在(,)内有定义且处处连续,并且满足下列条件:E(0) 1,E(1) e,E(x y) E(x) E(y).证明E(
17、x) ex(x(,).证用数学归纳法易得E(x1设n是正整数,则E(n) E(1E(n) en.11111n对于任意整数n,E(1) E(n) E(n) E( ) e E( ), E( ) en.nnnnm1m11 E() E(m) E( )en en.即对于所有有理数r,E(r) er.nnn对于无理数x,取有理数列xn x,由E(x)的连续性,mm xn) E(x1)1) E(1)n en.E(xn).于是E(nx) E(x)n.1 E(0) E(n(n) E(n) E(n) enE(n),E(n) en.于对于任意整数E(x) limE(xn) limexn en(ex的连续性) ex.nnlim xn
