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1、 1.5 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式1.5.1 1.5.1 全概率公式全概率公式引例：引例： 有三个罐子有三个罐子,1号装有号装有 2 红红 1 黑球黑球 , 2号装有号装有 3 红红 1 黑球，黑球，3号装有号装有 2 红红 2 黑球黑球. 某人从中某人从中随机取一罐随机取一罐，在从中，在从中任意取出一任意取出一球球，求取得红球的概率求取得红球的概率.213如何求取得红球的概率？如何求取得红球的概率？第第1章章 概率论基础概率论基础 定定理理1.2 设设试试验验E的的样样本本空空间间为为 ,A1,A2,An为为E的的一组事件，且满足：一组事件，且满足：(1) A1,A2,A
2、n两两两两互互不不相相容容， i = 1,2,n；(2) 则则对对任任一一事事件件B，有有 (1.7) (1.7)称为称为全概率公式全概率公式称称满满足足(1)和和(2)的的A1，A2，An为为完完备备事事件件组组或或样本空间的一个划分样本空间的一个划分1.5.1 全概率公式全概率公式证明：证明：因为因为由于由于A1，A2，An两两互不相容，两两互不相容，由有限可加性由有限可加性由假设及乘法公式得到由假设及乘法公式得到 利利用用全全概概率率公公式式求求事事件件B的的概概率率，关关键键是是寻寻求求完完备事件组备事件组A1，A2，An; 寻寻求求完完备备事事件件组组A1，A2，An相相当当于于找找
3、导导致致事件事件B发生的所有互不相容的事件发生的所有互不相容的事件1.5.1 全概率公式全概率公式 有有三三个个罐罐子子,1号号装装有有 2 红红 1 黑黑球球 , 2号号装装有有 3 红红 1 黑黑球球，3号号装装有有 2 红红 2 黑黑球球. 某某人人从从中中随随机机取取一一罐罐，再再从从中中任任意意取取出出一一球球，求求取取得得红红球球的的概概率率.解解 记记 Ai = 取到的是取到的是 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; B = 取得红球取得红球 A1,A2,A3 的发生都会导致的发生都会导致B 发生，发生，A1,A2,A3构成完备事件组构成完备事件组代入数据计算得：代入数据计算得：P
4、( (B) ) 0.639 . 123再看引例再看引例 依题意依题意: P(B|A1)=2/3, P(B|A2 )=3/4,P(B|A3 )=1/2,P( Ai )=1/3, i=1, 2, 31.5.1 全概率公式全概率公式【例例1.15】假假设设有有3箱箱同同种种型型号号零零件件，里里面面分分别别装装有有50件件、30件件、40件件，而而且且一一等等品品分分别别有有20件件、12件件和和24件件，现现在在任任取取一一箱箱，从从中中不不放放回回地地先先后后取取出出两两个零件，试求个零件，试求: (1)先取出的零件是一等品的概率；先取出的零件是一等品的概率； (2)两次取出的零件均为一等品的概
5、率两次取出的零件均为一等品的概率 解解: 设设Ai =“任任取取的的一一箱箱为为第第i箱箱零零件件”，i = 1,2,3， Bj =“第第j次取到的是一等品次取到的是一等品”，j = 1，2 由题意知由题意知 A1、A2和和A3构成完备事件组，构成完备事件组， 且且1.5.1 全概率公式全概率公式 (1)由全概率公式得由全概率公式得 1.5.1 全概率公式全概率公式 (2) 因为因为由全概率公式得由全概率公式得1.5.1 全概率公式全概率公式引例：引例：某人从任一罐中任意摸出一球，发现某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自是红球，求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率.213这是这
6、是“已知结果求已知结果求原因原因”的问题是求一的问题是求一个条件概率个条件概率.下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：Bayes(贝叶斯贝叶斯)公式公式1.5.1 全概率公式全概率公式 1.5.2 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式定定理理1.3 设设试试验验E的的样样本本空空间间为为 ，B为为E的的事事件件，A1，A2，An为完备事件组，且为完备事件组，且P(B) 0，P(Ai) 0，i = 1，2，n，则，则 (1.8) (1.8)式称为式称为贝叶斯公式贝叶斯公式 1.5 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式证明证明该公式于该公式于1763年由贝
7、叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出. 它是在观它是在观察到事件察到事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原发生的每个原因的概率因的概率.由由条件概率公式条件概率公式、乘法公式乘法公式及及全概率公式全概率公式知：知：1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，某人从任一罐中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自求该球是取自 1号罐的概率号罐的概率.再看引例再看引例 解解 记记 i = 取到第取到第 i 号罐号罐 i=1, 2, 3; = 取得红球取得红球 1,2,3是完备事件组是完备事件组代入数据计算得：代入数据计算得：213其中其中P(
8、|1)=2/3, P(|2 )=3/4,P(|3 )=1/2,P(i)=1/3,i=1,2,31.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式特别有：特别有：设事件设事件A、B为试验为试验E的两事件，由于的两事件，由于A和和是一个完备事件组，若是一个完备事件组，若P(A) 0，P(B) 0，贝叶斯公式的一种常用简单形式为，贝叶斯公式的一种常用简单形式为1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 【例例1.16】玻玻璃璃杯杯成成箱箱出出售售，每每箱箱20只只，假假设设各各箱箱含含0，1，2只只残残次次品品的的概概率率分分别别是是0.8，0.1和和0.1，某某顾顾客客欲欲购购一一箱箱玻玻璃璃杯杯，在在购购买买时时，售售货货
9、员员随随即即取取出出一一箱箱，顾顾客客开开箱箱随随机机地地查查看看四四只只，若若无无残残次次品品，则则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1) 顾客买下该箱的概率顾客买下该箱的概率 ； (2) 在在顾顾客客买买下下的的一一箱箱中中，确确实实没没有有残残次次品品的的概率概率 1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 解解：设设B =“顾客买下该箱玻璃杯顾客买下该箱玻璃杯”，Ai =“抽到的一箱中有抽到的一箱中有i件残次品件残次品”，i = 0,1,2 (1) 事事件件B在在下下面面三三种种情情况况下下均均会会发发生生：抽抽到到的的一一箱中没有残次品、有箱中没有残次品、有1
10、件残次品或有件残次品或有2件次品。件次品。显然显然A0，A1，A2是完备事件组是完备事件组由题意知由题意知由全概率公式得由全概率公式得1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 (2) 由贝叶斯公式由贝叶斯公式1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 【例例1.17】根根据据以以往往的的记记录录，某某种种诊诊断断肝肝炎炎的的试试验验有有如如下下效效果果：对对肝肝炎炎病病人人的的试试验验呈呈阳阳性性的的概概率率为为0.95；非非肝肝炎炎病病人人的的试试验验呈呈阴阴性性的的概概率率为为0.95对对自自然然人人群群进进行行普普查查的的结结果果为为：有有千千分分之之五五的的人人患患有有肝肝炎炎现现有有某某人人做做此此试
11、试验验结结果果为为阳阳性性，问问此此人人确确有有肝肝炎炎的的概率为多少？概率为多少？1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式解解: 设设A =“某人确有肝炎某人确有肝炎”， B =“某人做此试验结果为阳性某人做此试验结果为阳性”；由已知条件有由已知条件有从而从而由贝叶斯公式，有由贝叶斯公式，有1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式本题的结果表明，虽然本题的结果表明，虽然 这这两两个个概概率率都都很很高高但但是是，即即试试验验阳阳性性的的人人有有肝肝炎炎的的概概率率只只有有8.7%如如果果不不注注意意这这一一点点，将将 和和 搞搞混混，将将会会得得出出错错误误诊断，造成不良的后果诊断，造成不良的后果 1.5.
12、2 贝叶斯公式贝叶斯公式 在在贝贝叶叶斯斯公公式式中中，事事件件Ai的的概概率率P(Ai)，i = 1，2，n，通通常常是是人人们们在在试试验验之之前前对对Ai的的认认知知，习习惯惯上上称称其其为为先先验验概概率率若若试试验验后后事事件件B发发生生了了，在这种信息下考察在这种信息下考察Ai的概率的概率 它它反反映映了了导导致致B发发生生的的各各种种原原因因的的可可能能性性大大小小，常常称为称为后验概率后验概率1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式 贝贝叶叶斯斯公公式式是是英英国国哲哲学学家家Bayes于于1763首首先先提提出出的的，经经过过多多年年的的发发展展和和完完善善，由由这这一一公公式式的的
13、思思想想已已经经发发展展成成为为一一整整套套统统计计推推断断方方法法，即即“Bayes方方法法”，这这一一方方法法在在计计算算机机诊诊断断、模模式式识识别别、基基因因组组成成、蛋白质结构等很多方面都有应用蛋白质结构等很多方面都有应用Thomas BayesBorn: 1702 in London, EnglandDied: 17 Apr. 1761 in Tunbridge Wells, Kent, England1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式课堂练习课堂练习 有有一一台台用用来来检检验验产产品品质质量量的的仪仪器器，已已知知一一只只次次品品经经检检验验被被认认为为是是次次品品的的概概率率为为0.990.99，而而一一只只正正品品经经检检验验被被认认为为是是次次品品的的概概率率0.0050.005，已已知知产产品品的的次次品品率率为为，若若一一产产品品经经检检验验被被认认为为是是次次品品，求它确为次品的概率求它确为次品的概率解解由贝叶斯公式，所求概率为由贝叶斯公式，所求概率为由题设知由题设知1.5.2 贝叶斯公式贝叶斯公式
