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1、第五章 空间问题的基本理论教学重点教学重点 1 1、空间问题的、空间问题的平衡微分方程、几何方程、物平衡微分方程、几何方程、物理方程；理方程； 2、空、空间轴对称称问题的基本方程。的基本方程。 教学要求教学要求 1 1、了解空了解空间问题的三套基本方程；的三套基本方程； 2、掌握物体内任一点的、掌握物体内任一点的应力状力状态； 3、掌掌握握轴对称称问题的的特特点点，了了解解轴对称称问题的基本方程。的基本方程。在一般空间问题中在一般空间问题中, ,包含包含1515个未知函数：个未知函数：6 6个应力分量个应力分量 x x,y y,z z,xyxy,yzyz,zxzx；6 6个应变形变分量个应变形
2、变分量 x x,y y,z z,xyxy,yzyz,zxzx；3 3个位移分量个位移分量 u,v,wu,v,w。 它们都是坐标（它们都是坐标（x,y,zx,y,z）的函数。的函数。 在弹性区域内部，要考虑静力学、几何学和在弹性区域内部，要考虑静力学、几何学和物理学三方面的条件，分别建立物理学三方面的条件，分别建立3 3套基本方程：套基本方程：平衡微分方程，几何方程，物理方程。然后在边平衡微分方程，几何方程，物理方程。然后在边界条件下求解这些方程，得出应力分量、形变分界条件下求解这些方程，得出应力分量、形变分量和位移分量。量和位移分量。 空间问题的解析解一般只能在特殊边界条件空间问题的解析解一般
3、只能在特殊边界条件下才可以得到。可分为下才可以得到。可分为空间球对称问题和空间轴空间球对称问题和空间轴对称问题。对称问题。球对称问题球对称问题球对称问题：球对称问题：如果弹性体的几何形如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于状、约束条件以及外载荷都对称于某一点（过这一点的任一平面都是某一点（过这一点的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对对称面），这时应力、位移等都对称于这一点，称为球对称问题，球称于这一点，称为球对称问题，球对称问题的弹性体的形状对称问题的弹性体的形状只能是圆只能是圆球球( (实心或空心球）。实心或空心球）。 在球对称问题中，应力、应变、位移等分量在球对称问题中，
4、应力、应变、位移等分量都都只是径向坐标只是径向坐标的函数的函数。轴对称问题：轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴，称为轴对称问题轴对称问题，轴对称问题的弹性体的形，轴对称问题的弹性体的形状一般为是圆柱或半空间。状一般为是圆柱或半空间。轴对称问题轴对称问题 在外力作用下，物体整体平衡的同时，任在外力作用下，物体整体平衡的同时，任何一部分也将保持平衡。从中取出一个单元体何一部分也将保持平
5、衡。从中取出一个单元体加以分析。加以分析。5-1 5-1 平衡微分方程平衡微分方程 考虑图示单元体考虑图示单元体z z轴方向的平衡轴方向的平衡: : 在在z z面的负面面的负面z z处，正应力为处，正应力为在在x x面的负面处，切应力为面的负面处，切应力为 xzxz；xyzoz z正面正面z z+d+dz z处处正正应力为应力为x x正面正面x x+d+dx x处切应力为处切应力为 在物体内的任一点在物体内的任一点P P取一微小的正六面体，其取一微小的正六面体，其六面垂直于坐标轴，棱长为六面垂直于坐标轴，棱长为dx,dy,dzdx,dy,dz。在在y y面的负面面的负面y y处，切应力记为处，
6、切应力记为xyzoy y正面正面y y+d+dy y处应力为处应力为设设f fz z 为物体为物体z z的方向的体力分量。的方向的体力分量。xyzo由由整理便得到整理便得到z z方向的平衡方程方向的平衡方程: : 空间问题中的平衡微分方程：空间问题中的平衡微分方程： （51）同样得到同样得到x x、y y方向的平衡方程。方向的平衡方程。证明切应力互等定律证明切应力互等定律 整理得：整理得： 根据小变形假定，略去微量不计，得根据小变形假定，略去微量不计，得 同样可以得出：同样可以得出： 以六面体前后两面中心的直线以六面体前后两面中心的直线abab为矩轴为矩轴, ,列出力矩的平衡方程：列出力矩的平
7、衡方程：5-2 5-2 物体内任一点的应力状态物体内任一点的应力状态 已知已知任一点任一点P P的应力分量的应力分量 x x、y y、z z、xyxy 、yzyz 、zxzx ， 在在在在P P P P点附近取一平面点附近取一平面点附近取一平面点附近取一平面ABC,ABC,ABC,ABC,平行于该斜面，并与经过平行于该斜面，并与经过平行于该斜面，并与经过平行于该斜面，并与经过P P P P点而点而点而点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC,PABC,PA
8、BC,PABC,如图所如图所如图所如图所示示示示.n.n.n.n为平面为平面为平面为平面ABCABCABCABC的外法线的外法线的外法线的外法线, , , ,其方向余弦为：其方向余弦为：其方向余弦为：其方向余弦为： cos(n,xcos(n,x)= )= l l, , cos(n,ycos(n,y) = ) = m , m , cos(ncos(n, z) = , z) = n n求：求：过该点的任过该点的任 一斜面上的一斜面上的应力。应力。 1 1、求、求ABCABC面上的应力分量面上的应力分量 p px x，p py y，p pz z 除以除以dsds , ,然后令然后令dv/ds0, d
9、v/ds0, 得：得： px= l x + m yx + n zx由由x x方向的平衡得到：方向的平衡得到：pxdS - x ldS-yx mdS -zx ndS + fxdv=0 设设p px x、p py y 、p pz z为斜面为斜面ABCABC的的全应力全应力p p在在坐标轴上的投影。斜面坐标轴上的投影。斜面ABCABC的的面积为面积为ds,PABCds,PABC的体积为的体积为dvdv。 则则: :BPCBPC的面积的面积: : ldsCPACPA的面积的面积: : mdsAPBAPB的面积的面积: : nds py= my + n zy + l xy pz= n z + l xz
10、+m yz 同理可得同理可得 y,zy,z方向的平衡方向的平衡条件，于是得：条件，于是得： px= l x + m yx + n zx （5-2） 特殊情况下，如果特殊情况下，如果ABCABC是物体受面力作用的边是物体受面力作用的边界界s s，则，则p px x ，p py y ，p pz z成为面力分量成为面力分量 上式即是空间物体的应力边界条件，表明应力上式即是空间物体的应力边界条件，表明应力分量的边界值与面力分量之间的关系。分量的边界值与面力分量之间的关系。由式（由式（5 52 2）得出）得出应力边界条件应力边界条件： lx+ myx+ nzxnz+ lxz+myz my+ nzy +l
11、xy在在s上上2 2、求、求ABCABC面上的正应力面上的正应力n n和切和切应力分量应力分量n n ABCABC面上的正应力面上的正应力n n： （53） 将式（将式（5 52 2）代入得：）代入得： py= my + n zy + l xy pz= n z + l xz +m yz px= l x + m yx + n zx （5-2） （53） ABCABC面上的切应力面上的切应力n n ： 可见，若已知坐标面上的可见，若已知坐标面上的6 6个应力分量，就可个应力分量，就可求任一斜面上的正应力和切应力。求任一斜面上的正应力和切应力。6 6个应力分量完个应力分量完全决定了一点的应力状态。全
12、决定了一点的应力状态。 （54） 则有：则有： 将式（将式（5-25-2）代入得：）代入得： 若经过任一点若经过任一点P P的某一面上的的某一面上的n n 0 0，则该面为则该面为P P点的一个点的一个应力主面，应力主面，n n 即为即为P P点的一个点的一个主应力主应力，该斜面的法线方向即为该斜面的法线方向即为P P点的一个点的一个应力主向应力主向。 (a)5-3 5-3 P P点的主应力点的主应力 、最大与最小的应力、最大与最小的应力 px= l ， py= m, pz= n （b） 利用方向余弦的关系式利用方向余弦的关系式： 联立求解式联立求解式(a),(b),(a),(b),能够得出能
13、够得出 l , m , nl , m , n , ,一组解答，一组解答，就得到就得到 P P点的一个主应力及对应的应力主面和应力主向。点的一个主应力及对应的应力主面和应力主向。 为求解方便，将式为求解方便，将式(a)(a)改写为：改写为： (c) （56） 由于由于l,m,n不能全为不能全为0 0，故系数行列式应该等于零：，故系数行列式应该等于零： 展开得：展开得： 解解方程得出方程得出的的3 3个实根个实根1 1 ，2 2 ，3 3，即为，即为P P点的点的3 3个个主应力。主应力。 主应力的个数主应力的个数 设三次方程（设三次方程（5 56 6）至少有）至少有1 1个实根，因而至少个实根，
14、因而至少存在存在1 1个主应力以及与之对应的主平面。若设该主应力个主应力以及与之对应的主平面。若设该主应力为为 3 3，并将并将z z 轴放在这个应力主向，则有：轴放在这个应力主向，则有：z 3,zx=xz=0,zy=yz=0 于是正六面体的应力如图所于是正六面体的应力如图所示，根据示，根据2-32-3的分析，可以断的分析，可以断定有定有2 2个主应力个主应力1 1和和2 2 ，作用作用在互相垂直的在互相垂直的2 2个应力主面上。个应力主面上。 说明：在受力物体内的任意一点，一定存在说明：在受力物体内的任意一点，一定存在3 3个个互相垂直的应力主面互相垂直的应力主面 以及对应的以及对应的3 3
15、个主应力。个主应力。 （d）( 1 1) () ( 2 2)()(3 3) )0 0 （5 5 5 56 6 6 6）式可写为：）式可写为：）式可写为：）式可写为： 展开得：展开得：展开得：展开得：1 +2+ 3 =x+y+z （5-7） 可见：在三个互相垂直的面上的正应力之和不随坐标变可见：在三个互相垂直的面上的正应力之和不随坐标变可见：在三个互相垂直的面上的正应力之和不随坐标变可见：在三个互相垂直的面上的正应力之和不随坐标变化，是不变量，并且等于三个主应力之和。化，是不变量，并且等于三个主应力之和。化，是不变量，并且等于三个主应力之和。化，是不变量，并且等于三个主应力之和。 可以证明：可以
16、证明：3 3个主应力中最大的一个就是该点的最大正应个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，最小的一个就是该点的最小正应力。力，最小的一个就是该点的最小正应力。 （56） 比较（比较（5 56 6）式和（）式和（d d）式中的项，得：式中的项，得：5-4 5-4 几何方程及物理方程、边界条件几何方程及物理方程、边界条件 一、几何方程一、几何方程 采用与平面问题（采用与平面问题（oxyoxy平面）平面）相同的分析方法，可以分析相同的分析方法，可以分析oyzoyz和和ozxozx平面内相应微线段的变形，即平面内相应微线段的变形，即可导出另外三个几何方程。可导出另外三个几何方程。 （58） 形变分量
17、与位移分量应满足下列形变分量与位移分量应满足下列6 6个方程，即个方程，即空空间物体的几何方程间物体的几何方程：二、空间问题的物理方程二、空间问题的物理方程 （59）物理方程物理方程描述形变分量与应力分量之间的关系。描述形变分量与应力分量之间的关系。三、空间问题的边界条件三、空间问题的边界条件1 1、位移边界条件、位移边界条件 在给定的约束位移边界在给定的约束位移边界s su u上上, ,位移分量还位移分量还应满足下列应满足下列3 3个位移边界条件，即空间物体的个位移边界条件，即空间物体的位移边界条件位移边界条件： (在在su上）上）（510）2 2、应力边界条件、应力边界条件 在给定的在给定
18、的s边界边界上上, ,应力分量还应满足下应力分量还应满足下列列3 3个应力边界条件：个应力边界条件： l x + m yx + n zx n z + l xz +m yz my + n zy + l xy在在s上上四、体积应变四、体积应变设微小正六面体的棱边长度：设微小正六面体的棱边长度： dxdx, , dydy, , dzdz, ,变形前的变形前的体积为体积为: : v = v = dxdydzdxdydz; ;变形后的体积为变形后的体积为： v v= =（dxdx + +x xdx)(dydx)(dy + +y ydy)(dzdy)(dz + +z zdzdz) )体积应变（体应变）体积
19、应变（体应变）单位体积的改变，称为体单位体积的改变，称为体积应变。积应变。 （512）则体应变为：则体应变为：略去高阶微量，得：略去高阶微量，得：将几何方程代入，得：将几何方程代入，得： （511）五、体积应力五、体积应力和体积模量和体积模量将物理方程中的前将物理方程中的前3 3项相加，得项相加，得令令其中：其中：称为体积应力；称为体积应力；则上式为：则上式为：称为体积模量。称为体积模量。 （513）六、物理方程的另外一种形式六、物理方程的另外一种形式 用形变分量来表示应力分量用形变分量来表示应力分量求解求解x x得得: :由由代入上式，得：代入上式，得： （514）于是得于是得用形变分量来表
20、示应力分量的物理方程：用形变分量来表示应力分量的物理方程： 总结：总结： 在一般空间问题中在一般空间问题中, ,包含包含1515个未知函数：个未知函数： 6 6个应力分量个应力分量 x x,y y,z z,xyxy,yzyz,zxzx； 6 6个应变形变分量个应变形变分量 x x,y y,z z,xyxy,yzyz,zxzx 3 3个位移分量个位移分量 u,v,wu,v,w。 它们都是坐标（它们都是坐标（x,y,zx,y,z）的函数。的函数。 在弹性区域内部，这在弹性区域内部，这1515个未知函数应当满足个未知函数应当满足1515个个基本方程：基本方程：3 3个平衡微分方程；个平衡微分方程；6
21、 6个几何方程；个几何方程；6 6个物理个物理方程。此外，在给定约束位移的边界方程。此外，在给定约束位移的边界s su u上，还应当满上，还应当满足位移边界条件（足位移边界条件（5 59 9）；在给定面力的边界）；在给定面力的边界s s上，上，还应当满足应力边界条件（还应当满足应力边界条件（5 55 5）。 空间问题中的平衡微分方程：空间物体的几何方程空间物体的几何方程：空间问题的物理方程 （55）应力边界条件应力边界条件： l x + m yx + n zx n z + l xz +m yz my + n zy + l xy在在s上上位移边界条件位移边界条件： (在在su上）上）（59）5-
22、5-5 5 空间轴对称问题空间轴对称问题的基本方程的基本方程轴对称问题：轴对称问题：如果弹性体的几何形状、约束条件如果弹性体的几何形状、约束条件以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面以及外载荷都对称于某一轴（过该轴的任一平面都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一都是对称面），这时应力、位移等都对称于这一轴，称为轴，称为轴对称问题轴对称问题。弹性体的形状：弹性体的形状：一般为是圆柱或半空间。一般为是圆柱或半空间。 在描述轴对称问题中的应力、形变及位移时，在描述轴对称问题中的应力、形变及位移时， 圆柱坐标圆柱坐标, ,z,z 。特点：特点：若对称轴为若对称轴为z z轴，则所轴，则所有的应力
23、分量、形变分量、有的应力分量、形变分量、位移分量都将只是位移分量都将只是、z z的函的函数，不随数，不随而变。并且，具有而变。并且，具有方向性的各物理量应当对称方向性的各物理量应当对称于通过于通过z z轴的任何平面，凡不轴的任何平面，凡不符合对称性的物理量必然不符合对称性的物理量必然不存在，它们应当等于零。存在，它们应当等于零。 基本概念基本概念 径向线应变径向线应变沿沿方向的线应变；方向的线应变；环向线应变环向线应变沿沿方向的线应变；方向的线应变；轴向线应变轴向线应变z z沿沿z z方向的线应变；方向的线应变；zz方向与方向与 z z 方向之间直角的改变；方向之间直角的改变；方向与方向与方向
24、之间直角的改变；方向之间直角的改变；z z z z 方向与方向与方向之间直角的改变；方向之间直角的改变；径向径向位移分量位移分量 u u沿沿方向的位移分量；方向的位移分量； 环向环向位移分量位移分量 u u 沿沿方向的位移分量；方向的位移分量；轴向轴向位移分量位移分量 u uz z沿沿z z方向的位移分量；方向的位移分量；一、空间轴对称问题一、空间轴对称问题的平衡微分方程的平衡微分方程 由于对称性，由于对称性，在水在水平面内无增量，且平面内无增量，且 从轴对称物体中取出图从轴对称物体中取出图示的单元体。示的单元体。并且环向体力分量并且环向体力分量 f0 0取取根据根据方向的平衡，可得方向的平衡
25、，可得d化简后得到化简后得到根据根据z z方向的平衡，可得方向的平衡，可得化简后得到化简后得到 空间轴对称问题的平衡微分方程为空间轴对称问题的平衡微分方程为 （515）方向的平衡自然满足。方向的平衡自然满足。 由于对称，各点环向位移u0，由径向位移产生的应变为由轴向位移由轴向位移u uz z产生的应变为产生的应变为迭加得到迭加得到几何方程几何方程二、二、 空间轴对称问题的几何方程空间轴对称问题的几何方程 （516） 由于柱坐标和直角坐标都是正交坐标，所以物由于柱坐标和直角坐标都是正交坐标，所以物理方程的基本形式可以直接根据虎克定律得出：理方程的基本形式可以直接根据虎克定律得出：三三、 空间轴对称问题的物理方程空间轴对称问题的物理方程 （517）式（式（5 51717）的前三项相加，得）的前三项相加，得体积应变为：体积应变为：体积应力为：体积应力为：应力分量用应变分量表示为应力分量用应变分量表示为应力分量用位移分量表示为应力分量用位移分量表示为 空间轴对称问题的物理方程的两种表示空间轴对称问题的物理方程的两种表示其中：其中：
