教学课件第三章快速付里叶变换FFTFastFourietTransformer

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1、第三章第三章快速付里叶变换快速付里叶变换(FFT)Fast Fouriet Transformer第一节第一节 引引 言言一、快速付里叶变换一、快速付里叶变换FFT有 限 长 序 列 通 过 离 散 傅 里 叶 变 换 (D F T) 将 其 频 域 离 散 化 成 有 限 长 序 列 . 但 其 计算 量 太 大, 很 难 实 时 地 处 理 问 题 , 因 此 引 出 了 快 速 傅 里 叶 变 换(FFT) . FFT 并 不 是 一 种 新 的 变 换 形 式 ,它 只 是 DFT 的 一 种 快快 速速 算算 法法 . 并 且 根 据 对 序 列 分 解 与 选 取 方 法 的 不

2、同 而 产 生 了 FFT 的 多 种 算 法 . FFT 在 离 散 傅 里 叶 反 变 换 、 线 性 卷 积 和 线 性 相 关 等 方 面 也 有 重 要 应 用.。二、FFT产生故事 当时加文(Garwin)在自已的研究中极需要一个计算付里叶变换的快速方法。他注意到图基(J.W.Turkey)正在写有关付里叶变换的文章，因此详细询问了图基关于计算付里叶变换的技术知识。图基概括地对加文介绍了一种方法，它实质上就是后来的著名的库利(Cooley J.W)图基算法。在加文的迫切要求下，库利很快设计出一个计算机程序。1965年库利-图基在、Mathematic of Computation

3、杂志上发表了著名的“机器计算付里级数的一种算法”文章，提出一种快速计算DFT的方法和计算机程序-揭开了FFT发展史上的第一页，促使FFT算法产生原因还有1967年至1968年间FFT的数字硬件制成，电子数字计算机的条件， 使DFT的运算大简化了。三、本章主要内容1.直接计算DFT算法存在的问题及改进途径。2.多种DFT算法(时间抽取算法DIT算法，频率抽取算法DIF算法，线性调频Z变换即CZT法)3.FFT的应用第二节直接计算DFT算法存在的问题及改进途径一、直接计算一、直接计算DFT计算量计算量问题提出： 设有限长序列x(n),非零值长度为N,计算对x(n)进行一次DFT运算，共需多大的运算

4、工作量?1.比较DFT与IDFT之间的运算量其中x(n)为复数， 也为复数所以DFT与IDFT二者计算量相同。2.以DFT为例，计算DFT复数运算量计算一个X(k)(一个频率成分)值，运算量为例k=1则要进行N次复数乘法+(N-1)次复数加法所以，要完成整个DFT运算，其计算量为：N*N次复数相乘次复数相乘+N*(N-1)次复数加法次复数加法3.一次复数乘法换算成实数运算量复数运算要比加法运算复杂，需要的运算时间长。一个复数乘法包括4个实数乘法和个实数乘法和2个实数加个实数加法法。(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad) 4次复数乘法2次实数加法4.计算DFT需要的实数运算量

5、每运算一个X(k)的值，需要进行4N次实数相乘和 2N+2(N-1)=2(2N-1)次实数相加.整个DFT运算量为：4N2次实数相乘和次实数相乘和2N(2N-1)次次实数相加实数相加.由此看出：直接计算DFT时，乘法次数与加法次数都是和N2成比例的。当N很大时，所需工作量非常可观。例子例1:当N=1024点时，直接计算DFT需要：N2=(1024)2=1048576次，即一百多万次的复乘运算这对实时性很强的信号处理(如雷达信号处理)来讲，它对计算速度有十分苛刻的要求-迫切需要改进DFT的计算方法，以减少总的运算次数。例2：石油勘探，24道记录，每道波形记录长度5秒，若每秒抽样500点/秒，每道

6、总抽样点数=500*5=2500点24道总抽样点数=24*2500=6万点DFT运算时间=N2=(60000)2=36*108次二、改善DFT运算效率的基本途径利用DFT运算系数 的固有对称性和周期性，改善DFT的运算效率。1.合并法：合并DFT运算中的某些项。2.分解法：将长序列DFT利用对称性和周期性，分解为短序列DFT。利用DFT运算系数 的固有对称性和周期性，改善DFT的运算效率的对称性：的周期性：因为：由此可得出：例子例:利用以上特性,得到改进DFT直接算法的方法.(1) 合并法：步骤1分解成虚实部合并DFT运算中的有些项对虚实部而言所以带入DFT中：(1) 合并法：步骤2代入DFT

7、中展开：(1) 合并法：步骤3合并有些项根据：有：(1) 合并法：步骤4结论 由此找出其它各项的类似归并方法：乘法次数可以减少一半。例：2、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT-思路因为DFT的运算量与N2成正比的如果一个大点数N的DFT能分解为若干小点数DFT的组合，则显然可以达到减少运算工作量的效果。2、将长序更DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT-方法把N点数据分成二半：其运算量为：再分二半：+=+=这样一直分下去，剩下两点的变换。2、将长序更DFT利用对称性和周期性分解为短序列DFT-结论快速付里时变换(FFT)就是在此特性基础上发展起来的，并产生了多种FFT算法，

8、其基本上可分成两大类：按抽取方法分： 时间抽取法(DIT);频率抽取法(DIF)按“基数”分：基-2FFT算法；基-4FFT算法；混合基FFT算法；分裂基FFT算法其它方法：线性调频Z变换(CZT法)第三节基-2按时间抽取的FFT算法Decimation-in-Time(DIT)(Coolkey-Tukey)一、算法原理设输入序列长度为N=2M(M为正整数，将该序列按时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基2按时间抽取的FFT算法。也称为Coolkey-Tukey算法。其中基数2-N=2M，M为整数.若不满足这个条件，可以人为地加上若干零值（加零补长）使其达到 N=2M例子设一序列设一序列

9、x(n)的长度为的长度为L=9,应加零补长为应加零补长为N=24=16 应补应补7个零值。个零值。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 nx(n)二、算法步骤1.分组，变量置换分组，变量置换DFT变换：先将x(n)按n的奇偶分为两 组，作变量置换:当n=偶数时，令n=2r;当n=奇数时，令n=2r+1;得到：x(2r)=x1(r); x(2r+1)=x2(r);r=0N/2-1; 则其DFT可化为两部分：前半部分：后半部分：2.代入DFT中生成两个子序列x(0),x(2)x(2r)奇数点x(1),x(3)x(2r+1)偶数点代入DFT变换式：3.求出子序

10、列的DFT上式得：4.结论1一个N点的DFT被分解为两个N/2点DFT。X1(k),X2(k)这两个N/2点的DFT按照：再应用W系数的周期性，求出用X1(k),X2(k)表达的后半部的X(k+N/2)的值。5.求出后半部的表示式看出：后半部的k值所对应的X1(k),X2(k)则完全重复了前半部分的k值所对应的X1(k),X2(k)的值。6.结论2频域中的N个点频率成分为：结论：只要求出（0N/2-1）区间内的各个整数k值所对应的X1(k),X2(k)值，即可以求出(0N-1)整个区间内全部X(k)值，这就是FFT能大量节省计算的关键。7.结论3由于N=2L，因此N/2仍为偶数，可以依照上面方

11、法进一步把每个N/2点子序列，再按输入n的奇偶分解为两个N/4点的子序列，按这种方法不断划分下去，直到最后剩下的是2点DFT，两点DFT实际上只是加减运算加减运算。三、蝶形结即蝶式计算结构也即为蝶式信号流图上面频域频域中前/后半部分表示式可以用蝶形信号流图表示。X1(k)X2(k)作图要素：作图要素：(1)左边两路为输入左边两路为输入(2)右边两路为输出右边两路为输出(3)中间以一个小圆表示加、中间以一个小圆表示加、减运算（右上路为相加输减运算（右上路为相加输出、右下路为相减输出出、右下路为相减输出)(4)如果在某一支路上信号需要进行如果在某一支路上信号需要进行相乘运算，则在该支路上标以箭头，

12、相乘运算，则在该支路上标以箭头，将相乘的系数标在箭头旁。将相乘的系数标在箭头旁。(5)当支路上没有箭头及系当支路上没有箭头及系数时，则该支路的传输比数时，则该支路的传输比为为1。例子：求 N=23=8点FFT变换 （1）先按）先按N=8-N/2=4，做做4点的点的DFT：先将N=8DFT分解成2个4点DFT：可知：时域上：x(0),x(2),x(4),x(6)为偶子序列 x(1),x(3),x(5),x(7)为奇子序列 频域上：X(0)X(3)，由X(k)给出 X(4)X(7),由X(k+N/2)给出(a)比较N=8点直接DFT与分解2个4点DFT的FFT运算量N=8点的直接DFT的计算量为：

13、N2次(64次）复数相乘,N(N-1)次(8(8-1)=56次)复数相加.共计120次。（b)求 一个蝶形结需要的运算量要运算一个蝶形结，需要一次乘法 ， 两次加法。（c）分解为两个N/2=4点的DFT的运算量分解2个N/2点（4点）的DFT：偶数其复数相乘为复数相加为奇数其复数相乘为复数相加为(d)用2个4点来求N=8点的FFT所需的运算量再将N/2点（4点）合成N点(8点)DFT时，需要进行N/2个蝶形运算还需N/2次（4次）乘法 及 次(8次）加法运算。(e)将N=8点分解成2个4点的DFT的信号流图 4点DFTx(0)x(2)x(4)x(6)4点DFTx(1)x(3)x(5)x(7)X

14、(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)偶数序列奇数序列X(4)X(7)同学们自已写x1(r)x2(r)(2)N/2(4点)-N/4(2点)FFT(a)先将先将4点分解成点分解成2点的点的DFT：因为4点DFT还是比较麻烦，所以再继续分解。若将N/2(4点)子序列按奇/偶分解成两个N/4点（2点）子序列。即对将x1(r)和x2(r)分解成奇、偶两个N/4点（2点）点的子序列。(b)求2点的DFT（c)一个2点的DFT蝶形流图2点DFT2点DFTx(0)x(4)x(2)x(6)X3(0)X3(1

15、)X4(0)X4(1)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)（d)另一个2点的DFT蝶形流图2点DFT2点DFTx(1)x(5)x(3)x(7)X5(0)X5(1)X6(0)X6(1)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)同理：(3)将N/4（2点）DFT再分解成2个1点的DFT(a)求2个一点的DFT 最后剩下两点DFT,它可分解成两个一点DFT，但一点DFT就等于输入信号本身，所以两点DFT可用一个蝶形结表示。取x(0)、x(4)为例。(b)2个1点的DFT蝶形流图 1点DFTx(0)1点DFTx(4)X3(0)X3(1)进一步简化为蝶形流图：X3(0)X3(1)x(0)x(4)(4)

16、一个完整N=8的按时间抽取FFT的运算流图 x(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)m=0m=1m=2四、FFT算法中一些概念 （1）“级级”概念概念将N 点DFT先分成两个N/2点DFT，再是四个N/4点DFT直至N/2个两点DFT.每分一次称为“一”级运算。因为N=2M所以N点DFT可分成M级如上图所示依次m=0,m=1.M-1共M级（2）“组组”概念概念 每一级都有N/2个蝶形单元，例如：N=8,则每级都有4个蝶形单元。每一级的N/2个蝶形单元可以分成若干组，每一组具有相同的结构，相同的 因子分布，第

17、m级的组数为：例：N=8=23，分3级。m=0级,分成四组,每组系数为m=1级,分成二组,每组系数为m=2级,分成一组,每组系数为(3) 因子的分布结论：每由后向前（结论：每由后向前（m由由M-1-0级）推进一级，级）推进一级，则此系数为后级系数中偶数序号的那一半。则此系数为后级系数中偶数序号的那一半。（4）按时间抽取法2点DFT2点DFT2点DFT2点DFT2点DFT2点DFT2点DFT2点DFT两个2点DFT两个2点DFT两个2点DFT两个2点DFT两个4点DFT两个4点DFT两个N/2点DFTX1(k).X2(k)X(k) 由于每一步分解都是基于在每级按输入时间序列的次序是属于偶数还是奇

18、数来分解为两个更短的序列，所以称为“按时间抽取法”.x(n)五、按时间抽取的FFT算法与直接计算DFT运算量的比较由前面介绍的按时间抽取的FFT运算流图可见： 每级都由N/2个蝶形单元构成，因此每一级运算都需要N/2次复乘和N次复加（每个结加减各一次）。这样（N=2M)M级运算共需要：复乘次数：复加次数：可以得出如下结论：按时间抽取法所需的复乘数和复加数都是与成正比。而直接计算DFT时所需的复乘数与复加数则都是与N2成正比.(复乘数md=N2,复加数ad=N(N-1)N2)例子看N=8点和N=1024点时直接计算DFT与用基2-按时间抽取法FFT的运算量。看出：当N较大时，按时间抽取法将比直接

19、法快一、二个数量级之多。作业1.N=16点的点的FFT基基2-按时间抽取流程图。按时间抽取流程图。2.P252. 2，3，8六、按时间抽取FFT算法的特点根据DIT基2-FFT算法原理，能得出任何N=2m点的FFT信号流图，并进而得出FFT计算程序流程图。最后总结出按时间抽取法解过程的规律。1.原位运算（in-place)2.码位倒读规则1.原位运算（in-place)原位运算的结构，可以节省存储单元，降低设备成本。定义：当数据输入到存储器以后，每一组运算的结果，仍然存放在这同一组存储器中直到最后输出。x(0)x(4)X3(0)X3(1)例子例：N=8 FFT运算,输入:x(0)x(4)x(2

20、)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(0)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5)A(6)A(7)A(0)=x(0)A(1)=x(1)A(2)=x(2)A(3)=x(3)A(4)=x(4)A(5)=x(5)A(6)=x(6)A(7)=x(7)R1R1R1R1R1R2R1R1R2R2R3R4看出：用原位运算结构运算后，A(0)A(7)正好顺序存放X(0)X(7),可以直接顺序输出。2.码位倒读规则我们从输入序列的序号及整序规律得到码位倒读规则。由N=8蝶形图看出

21、：原位计算时，FFT输出的X(k)的次序正好是顺序排列的，即X(0)X(7),但输入x(n)都不能按自然顺序存入到存储单元中，而是按x(0),x(4),x(2), x(6).的顺序存入存储单元即为乱序输入乱序输入，顺序输出顺序输出。这种顺序看起来相当杂乱，然而它是有规律的。即码位倒读规则。例子以N=8为例：01234567000001010011100101110111自然顺序二进制码表示码位倒读码位倒置顺序00010001011000110101111104261537看出：码位倒读后的顺序刚好是数据送入计算机内的顺序。整序重排子程序具体执行时，只须将1与4对调送入，3与6对调送入，而0，2

22、，5，7不变，仅需要一个中间存储单元。n01234567n04261537 在实际运算时，先按自然顺序将输入序列存入存储单元，再通过变址运算将自然顺序变换成按时间抽取的FFT算法要求的顺序。变址的过程可以用程序安排加以实现-称为“整序”或“重排”（采用码位倒读）且注意：(1)当n=n时，数据不必调换；(2)当nn时，必须将原来存放数据x(n)送入暂存器R，再将x(n)送入x(n),R中内容送x(n).进行数据对调。(3)为了避免再次考虑前面已调换过的数据，保证调换只进行一次，否则又变回原状。nn时，调换。作业编写N=128点的基2-按时间抽取的FFT算法。要求用C语言编写，并将输入数据放在文件

23、inputdata.dat中，输出数据放在outputdata.dat文件中。七、按时间抽取的FFT算法的若干变体1.思路思路 对于任何流图，只要保持各节点所连续的支路及其传输系数不变，则不论节点位置怎么排列所得流图总是等效的，最后所得结果都是x(n)的离散付里叶变换的正确结果。只是数据的提取和存放的次序不同而已。(2)输入是自然顺序而输出是乱序将原先中与x(4)水平相邻的所有节点跟x(1)水平相邻的所有节点位置对调；将原先中与x(6)水平相邻的所有节点跟x(3)水平相邻的所有节点位置对调，其余诸节点保持不变，则可得：x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)X(0)X(4)X(2)X(6)X(1)X(3)X(5)X(7)它与输入是乱序，输出顺序比较，看出：相同点：运算量一样；不同点：第一是数据存入方式不同；第二是取用系数的顺序不同。(2)输入和输出都是自然顺序对输入自然顺序，输出乱序的第二级，第三级节点作调整，可得输入输出都是顺序，无需数据重排：x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)（1）它失掉了“原位运算”的性质。（2）为了变换N点数据，至少需要2N个复数单元。在内存比较紧张时，而对输入数据整序并不困难时一般不用。为了争取速度，才采取这种变体。