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1、1初等代数研究第2章式代数式与不等式n按照一定的数学法按照一定的数学法则，把数学符号，把数学符号连接起接起来的符号串，我来的符号串，我们称之称之为数学式。数学式。n学生学会运用符号学生学会运用符号语言表示数学思想，言表示数学思想，这是数学教育的一是数学教育的一项重要目重要目标，也是学生必，也是学生必须掌握的一掌握的一项数学基本能力。数学基本能力。2初等代数研究第2章式代数式与不等式1数学符号数学符号简史史2数学符号数学符号语言言代数式代数式3字母表示数字母表示数4解析式解析式5绝对不等式的不等式的证明明6条件不等式的求解条件不等式的求解7高中高中课程程不等式不等式选讲解析解析8不等式的有关不等
2、式的有关问题3初等代数研究第2章式代数式与不等式一、数学符号一、数学符号简史史n欧几里得欧几里得几何原本几何原本就不使用数学符号。就不使用数学符号。中国古代数学中国古代数学虽然很早就使用小数和分数，然很早就使用小数和分数，包括使用包括使用0 0，也大量求解方程，但是因，也大量求解方程，但是因为计算算过程依程依赖于算筹，所以也没有使用小数于算筹，所以也没有使用小数点、分数和其它运算符号，点、分数和其它运算符号，0 0只是一个空格。只是一个空格。n最早使用最早使用“+ +”“- -”表示加减的是表示加减的是1515世世纪的的德国数学家。德国数学家。现存于德累斯存于德累斯顿图书馆的数的数学手稿（学手
3、稿（14861486年）中，首年）中，首见此符号。此符号。4初等代数研究第2章式代数式与不等式n16311631年，英国数学家奥特雷德在年，英国数学家奥特雷德在数学之数学之钥一一书中使用中使用“”表示乘法，而表示乘法，而16981698年莱布尼茨在一封信中使用年莱布尼茨在一封信中使用“. .”表示乘法，表示乘法，这样可以避免可以避免“”和字母和字母x x混淆。除法的混淆。除法的记号号“”在在16591659年由瑞士人雷恩引入。年由瑞士人雷恩引入。n等号是英国数学家雷科德于等号是英国数学家雷科德于15571557年在年在励励智石智石一一书首先使用。首先使用。 n1919世世纪末末2020世世纪初
4、国初国际交往的交往的扩大，大，终于于有了比有了比较统一的国一的国际通用的数学符号。通用的数学符号。5初等代数研究第2章式代数式与不等式n中国普遍使用国中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。通用数学符号相当晚。满清政府推行清政府推行“中学中学为体，西学体，西学为用用”的的政策，在符号使用上拒政策，在符号使用上拒绝和国家接和国家接轨。 n中国中国现行教材当中有关数学符号史的介行教材当中有关数学符号史的介绍6初等代数研究第2章式代数式与不等式7初等代数研究第2章式代数式与不等式8初等代数研究第2章式代数式与不等式9初等代数研究第2章式代数式与不等式二、数学符号二、数学符号语言言代数式代数式n自学，自学
5、，谈体会体会10初等代数研究第2章式代数式与不等式三、字母表示数三、字母表示数n有些知有些知识，虽然教然教师需要透需要透彻理解，而学理解，而学生只需要理解其大意，会用即可。生只需要理解其大意，会用即可。n字母表示数可以分字母表示数可以分为四个四个层次：次：用文字泛指某个数集中的一个数用文字泛指某个数集中的一个数专指特定的数指特定的数作作为变量量作作为不定元参与运算不定元参与运算11初等代数研究第2章式代数式与不等式四、解析式四、解析式n解析式解析式用运算符号、函数符号、括号，用运算符号、函数符号、括号，作用于数字和字母之上形成的数学式。作用于数字和字母之上形成的数学式。n代数式：只含有加、减、
6、乘、除四代数式：只含有加、减、乘、除四则运算运算和有理数次的乘方开方运算的解析式。和有理数次的乘方开方运算的解析式。n超越式：解析式中如果除了代数运算之外，超越式：解析式中如果除了代数运算之外，还有超越运算，称之有超越运算，称之为超越式。超越式。12初等代数研究第2章式代数式与不等式（1）解析式的分解析式的分类是就它是就它们的形式来的形式来说的。的。 如如tanxcotx虽然恒等于然恒等于1，但我，但我们仍把它看作三角式或初等仍把它看作三角式或初等超越式。超越式。 （2）解析式的分解析式的分类是是针对所考察的字母涉及的运算而言的。所考察的字母涉及的运算而言的。式子式子 是关于字母是关于字母x的
7、整式的整式,也是关于字母也是关于字母y的整式，的整式，同同时还是关于字母是关于字母x,y的整式的整式,但它是关于字母但它是关于字母z的分式。的分式。两点两点说明：明：13初等代数研究第2章式代数式与不等式n两个解析式两个解析式 用等号用等号连接起来的式子称接起来的式子称为等式等式：n等式可以分等式可以分为两两类：恒等式和条件等式。：恒等式和条件等式。n两个解析式两个解析式 用不等号用不等号连接起来的式子称接起来的式子称为不等式不等式：n不等式可以分不等式可以分为两两类：绝对不等式和条件不等式和条件不等式。不等式。 14初等代数研究第2章式代数式与不等式五、五、绝对不等式的不等式的证明明n常常识
8、性理解的性理解的论证n用比用比较法法证明不等式明不等式n用分析法和用分析法和综合法合法证明不等式明不等式n用放用放缩法法证明不等式明不等式n构造函数构造函数证明不等式明不等式n构造几何构造几何图形形证明不等式明不等式n反反证法在不等式法在不等式证明中的明中的应用用 15初等代数研究第2章式代数式与不等式六、条件不等式的求解六、条件不等式的求解1.由复由复杂向向简单不等式的不等式的转化化2.分分类讨论3.用几何方法求解不等式用几何方法求解不等式4.不等式的同解不等式的同解变形形5.含参数不等式的含参数不等式的处理理6.不等式在解决不等式在解决“最最值”问题上的上的应用用16初等代数研究第2章式代
9、数式与不等式七、高中七、高中课程程不等式不等式选讲解析解析1.不等式不等式选讲内容内容简介介2.不等式的基本性不等式的基本性质3.几个重要不等式几个重要不等式4.一个例子一个例子17初等代数研究第2章式代数式与不等式1. .不等式不等式选讲内容内容简介介n普通高中数学普通高中数学课程程标准准中的中的“不等式不等式选讲”n人教人教A版中的版中的“不等式不等式选讲”18初等代数研究第2章式代数式与不等式19初等代数研究第2章式代数式与不等式20初等代数研究第2章式代数式与不等式2.不等式的基本性不等式的基本性质21初等代数研究第2章式代数式与不等式3 .3 .几个重要不等式几个重要不等式算算术几何
10、平均不等式几何平均不等式柯西不等式柯西不等式排序不等式排序不等式贝努利不等式努利不等式琴生不等式琴生不等式22初等代数研究第2章式代数式与不等式 算算术几何均几何均值不等式不等式23初等代数研究第2章式代数式与不等式例：求函数例：求函数 的最小的最小值。某位学生解决上述。某位学生解决上述问题时用如下方法：用如下方法：解：因解：因为 所以函数的最小所以函数的最小值是是24。请你判断上述解法是否正确，若有你判断上述解法是否正确，若有错误，请给出出正确解法正确解法。24初等代数研究第2章式代数式与不等式 柯西不等式柯西不等式简单形式的柯西不等式形式的柯西不等式25初等代数研究第2章式代数式与不等式2
11、6初等代数研究第2章式代数式与不等式27初等代数研究第2章式代数式与不等式28初等代数研究第2章式代数式与不等式一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式29初等代数研究第2章式代数式与不等式30初等代数研究第2章式代数式与不等式 排序不等式排序不等式31初等代数研究第2章式代数式与不等式二二维形式：形式：32初等代数研究第2章式代数式与不等式一般形式的一般形式的证明：明：33初等代数研究第2章式代数式与不等式34初等代数研究第2章式代数式与不等式 贝努利不等式努利不等式一般形式：一般形式：35初等代数研究第2章式代数式与不等式特殊形式：特殊形式：36初等代数研究第2章式代数式与不等式 琴生（琴生（JonsonJonson）不等式）不等式37初等代数研究第2章式代数式与不等式四四. .一个例子一个例子n设是e自然对数的底，是圆周率，n求证een要求：至少选用两种不同方法进行论证。38初等代数研究第2章式代数式与不等式八、不等式有关八、不等式有关问题选讲n第一部分：第一部分：问题2.1问题2.19n第二部分：第二部分：问题2.20问题2.2539初等代数研究第2章式代数式与不等式
