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1、样本样本第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布概率论概率论: :已知已知X X的概率分布或概率密度，的概率分布或概率密度，求概率求概率数理统计数理统计:X:X的分布函数未知或虽知分布的分布函数未知或虽知分布函数的类型如正态分布等函数的类型如正态分布等, ,但其中参数未但其中参数未知，如何确定分布类型及未知参数知，如何确定分布类型及未知参数. .如某厂生产某产品如某厂生产某产品, ,由于种种随机因素由于种种随机因素, ,每件产品的利润是一个随机变量每件产品的利润是一个随机变量, ,以以 表示某产品表示某产品, , 表示该产品的利润表示该产品的利润, ,当当产品产品 变动时变动时, ,利润利润
2、 也随机波动也随机波动, ,试试问如何求出随机变量问如何求出随机变量X X的分布函数的分布函数. .基于长期的生产经验基于长期的生产经验, ,知道知道X X的分布类型如的分布类型如 , ,试问如何来判断这假设的正确性试问如何来判断这假设的正确性? ?在某些在某些实际问题中实际问题中, ,有时我们并不需要完全确定有时我们并不需要完全确定X X的分布函数的分布函数, ,而只需要知道平均利润而只需要知道平均利润 , ,试问如何估计试问如何估计 ? ?这些问题都需要数理这些问题都需要数理统计方法来解决统计方法来解决. .数理统计是运用概率论的基本知识数理统计是运用概率论的基本知识, ,对要研对要研究的
3、随机现象进行多次观察或试验究的随机现象进行多次观察或试验, ,研究如研究如何合理地获得数据何合理地获得数据, ,如何合理地运用数据对如何合理地运用数据对所关心的问题作出估计和检验所关心的问题作出估计和检验. .第一节第一节 随机样本随机样本先举两个例子先举两个例子例例: : 检验一批灯泡检验一批灯泡: :规定寿命小于规定寿命小于10001000小小时者为次品时者为次品. .问如何确定这些灯泡的次品问如何确定这些灯泡的次品率率? ?方法一方法一: :全部检验全部检验. .由检验是破坏性的由检验是破坏性的, ,此此法不可用法不可用. .方法二方法二: :部分检验部分检验: :根据检验结果根据检验结
4、果, ,用数理用数理统计方法对整体作出合理的估计和推断统计方法对整体作出合理的估计和推断. .例例 检验一批针的质量检验一批针的质量, ,如何确定次品率如何确定次品率? ?方法一方法一: :全部检验全部检验, ,检验虽无破坏性检验虽无破坏性, ,但从但从经济效益来看有点得不偿失经济效益来看有点得不偿失, ,此法不适用此法不适用方法二方法二: :部分检验部分检验, ,根据检验结果根据检验结果, ,应用数应用数理统计方法对整体进行估计和推断理统计方法对整体进行估计和推断这两例说明在实际问题中这两例说明在实际问题中, ,有时必须利用有时必须利用数理统计方法来解决问题数理统计方法来解决问题. .下面首
5、先介绍几个数理统计的基本概念下面首先介绍几个数理统计的基本概念总体总体: :研究对象的全体研究对象的全体. .如全体灯泡如全体灯泡, ,全体针全体针 个体个体: :组成总体的每个基本单元组成总体的每个基本单元. .如每个灯泡如每个灯泡, ,每根针每根针. .样本：由一部分个体组成样本：由一部分个体组成实际问题中常常是对总体的某个指标进实际问题中常常是对总体的某个指标进行研究行研究, ,如灯泡质量的好坏可用寿命的长短来反如灯泡质量的好坏可用寿命的长短来反映寿命用映寿命用X X 表示表示,X,X是个随机变量是个随机变量, ,研究研究灯泡的寿命规律就归结为研究随机变量灯泡的寿命规律就归结为研究随机变
6、量X X的分布函数及其数字特征的分布函数及其数字特征. .如针的质量可用随机变量如针的质量可用随机变量Y Y表示表示, ,这批灯的质量规律就归结为研究随机变这批灯的质量规律就归结为研究随机变量量Y Y的概率分布及其数字特征的概率分布及其数字特征研究灯泡寿命研究灯泡寿命寿命总体寿命总体X,X,从中抽取若干个个体从中抽取若干个个体, ,用用 表示表示, , 表示第表示第i i个灯泡的寿个灯泡的寿命命, , 都是随机变量都是随机变量, ,做试验得做试验得n n个灯泡的寿命个灯泡的寿命 , ,用用 对总体对总体X X进行估计和推断进行估计和推断. .此例中：此例中：(1)(1)选取样本时应随机抽样即等
7、概率抽样选取样本时应随机抽样即等概率抽样(2)(2)样本具有两个特点样本具有两个特点独立性独立性: : 相互独立相互独立代表性代表性: : 都与总体都与总体X X有相同的有相同的分布分布定义定义: :设总体设总体X X具有分布函数具有分布函数 , ,若随机变量若随机变量 相互独立且具有相互独立且具有相同的分布函数相同的分布函数 , ,则称则称 为总体为总体X X的简单随机样本的简单随机样本, ,简称为样本简称为样本, ,n n称为样本容量称为样本容量, ,样本样本 的观察的观察值值 称为样本值称为样本值. .若总体若总体X X具有概率密度具有概率密度 , ,则则的联合概率密度为的联合概率密度为
8、 若总体若总体X X具有概率分布具有概率分布则则 的联合概率分布为的联合概率分布为第二节第二节 抽样分布抽样分布样本是进行估计样本是进行估计, ,推断的依据推断的依据. .在应用时在应用时, ,往往不是直接使用样本本身往往不是直接使用样本本身, ,而是针对不而是针对不同的问题同的问题, ,构造适当的样本函数构造适当的样本函数, ,利用样利用样本的函数进行估计和推断本的函数进行估计和推断. .定义定义: :设设 是来自总体是来自总体X X的样本的样本, , 是连续函数且不含有任何是连续函数且不含有任何未知参数未知参数, ,则称则称 为统计量为统计量 称为称为 的观的观察值察值设总体设总体 未知未
9、知, , 为样本为样本, ,则则 为统计量为统计量, , 不是统计不是统计量量. .常见的统计量常见的统计量统计量是一个随机就量统计量是一个随机就量, ,统计量的分布称统计量的分布称为抽样分布为抽样分布. .下面是常用统计量的分布下面是常用统计量的分布. .1 1 分布分布设设 是来自总体是来自总体N(0,1)N(0,1)的样本的样本, ,则称统计量则称统计量 服从自由度为服从自由度为n n的的 分布分布, ,记为记为 , ,其概率密度为其概率密度为 上上 分位点分位点: :对于给定的对于给定的满足满足的点的点 称为称为 分布的上分布的上 分位点分位点. .求一组求一组a,b,a,b,满足满足解解这样的这样的a a、b b有无数对有无数对 n45n45时时, ,无表可查无表可查, ,近似地有近似地有 是标准正态分布的上是标准正态分布的上 分位点分位点, ,满足满足2 2 t t 分布分布设设 , ,并且并且 相互独立相互独立, ,则称则称 服从自由度为服从自由度为n n的的t t分布分布, ,记为记为tt(ntt(n) )t t分布的概率密度为分布的概率密度为 的图形对称于的图形对称于y y轴轴, ,近似于近似于N(0,1)N(0,1)的的图形图形, ,可以证明可以证明t t分布的上分布的上 分位点分位点 满足满足
