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1、 求函数零点近似解的一种方法求函数零点近似解的一种方法二分法问题问题1算一算：算一算：查找线路电线、水管、气管等管道线路故障查找线路电线、水管、气管等管道线路故障定义定义：每次取中点，将区间一分为二，再经比较，：每次取中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，按需要留下其中一个小区间的方法叫二分法，也叫对分法，常用于：也叫对分法，常用于： 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这上一条条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？长的线路，如何迅速查出故障所在？ 要
2、把故障可能发生的范围缩小到要把故障可能发生的范围缩小到50100m左右，即一两根电线杆附近，左右，即一两根电线杆附近，要检查多少次？要检查多少次？实验设计、资料查询；实验设计、资料查询；是方程求根的常用方法！是方程求根的常用方法！7次次复习思考复习思考：1.求方程求方程2x-1=02x-1=0，3x3x2 2-2x-1=0-2x-1=0的根？的根？ 2.若若方程为方程为9x9x3 3-4x+5=0-4x+5=0，你能求出它的根吗？，你能求出它的根吗？ xyo123变号零点变号零点xyo1不变号零点不变号零点 观察函数图象观察函数图象, ,看两函数零点两侧的函数看两函数零点两侧的函数值有什么关系
3、值有什么关系? ? 如果函数如果函数y=f(x)在一个区间在一个区间a,b上的上的图象不间断图象不间断,并且在它的两个端点处的函并且在它的两个端点处的函数值异号数值异号,即即f(a)f(b)0,f(5)0即即f(-1)f(5)0,f(5)0,即即 f(2)f(5)0,所以在区间所以在区间2,5内有方程的解，内有方程的解，于是再取于是再取2,5的中点的中点3.5，如果取到某个区间的中点如果取到某个区间的中点x0,恰好使恰好使f(x0)=0, 则则x0就是就是所求的一个解；如果区间所求的一个解；如果区间中点的函数总不为中点的函数总不为0，那么，那么，不断重复上述操作，不断重复上述操作，例例1 1
4、求函数求函数f(x)=xf(x)=x3 3+x+x2 2-2x-2-2x-2的一个正实数的零点的一个正实数的零点 ( (误差不超过误差不超过0.1)0.1)解解 由于由于f(0)=-20,f(1)=-20,f(0)=-20,f(1)=-20,可可以取区间以取区间1,21,2作为计算的初始区间作为计算的初始区间. .端点端点(中点中点)坐标坐标 中点的函数值中点的函数值取区间取区间区间长度区间长度1,21,1.51.25,1.51.375,1.510.50.250.125X0=(1+2)/2=1.5f(x0)=0.6250f(x1)=-0.9840f(x2)=-0.2600 1.375,1.43
5、75a0=1,b0=2f(1)=-2,f(2)=60.0625X1=(1+1.5)/2=1.25X2=(1.25+1.5)/2=1.375X3=(1.375+1.5)/2=1.4375给定精确度，用二分法求函数零点给定精确度，用二分法求函数零点x0的步骤的步骤：1 1：确定初始区间：确定初始区间a,ba,b，验证，验证f(a)f(b)0f(a)f(b)02 2：求区间：求区间a,ba,b的中点的中点x x1 13 3：计算：计算：f(xf(x1 1) )判断：判断：(1)(1)如果如果f(xf(x1 1)=0)=0，则，则x x1 1就是就是f(x)f(x)的零点，计算终止的零点，计算终止;
6、;(2)(2)如果如果f(a)f(xf(a)f(x1 1)0)0)0，则令，则令a=xa=x1 1( (此时零点此时零点x x0 0(x(x1 1,b),b)中中) )4 4：判断是否达到精确度：若达到，则得到：判断是否达到精确度：若达到，则得到零点近似值零点近似值 是是(a,b)(a,b)区间内的一点；否则重区间内的一点；否则重复复2 24 4步骤。步骤。抽象概括抽象概括利用二分法求方程实数解的过程利用二分法求方程实数解的过程选定初始区间选定初始区间取区间的中点取区间的中点是是否否1.1.初始区间是一个两端初始区间是一个两端函数值符号相反的区间函数值符号相反的区间2.“M”2.“M”的意思是
7、的意思是取新区间，其中取新区间，其中一个端点是原区一个端点是原区间端点，另一个间端点，另一个端点是原区间的中点端点是原区间的中点3.“N”3.“N”的意思是方程的意思是方程的解满足要求的精确度。的解满足要求的精确度。中点函数值为中点函数值为0 0是是结束结束N N否否M M 由上表的计算可知由上表的计算可知, ,区间区间1.375,1.43751.375,1.4375的左、右端点保留两的左、右端点保留两位有效数字所取的近似值都是位有效数字所取的近似值都是1.4,1.4,所所以以1.41.4就是所求函数误差不超过就是所求函数误差不超过0.10.1的的一个正实数零点的近似值一个正实数零点的近似值.
8、 .例例2 2 求函数求函数f(x)=xf(x)=x3 3+x+x2 2-2x-2-2x-2的一个为正数的零点的一个为正数的零点 ( (误差不超过误差不超过0.1)0.1)动手实践动手实践求方程求方程2x3+3x-3=0的一个实数解，精确到的一个实数解，精确到0.01.设计方案设计方案进一步体会进一步体会探求探求2x-x2=0的近似解的近似解课后作业课后作业课本课本81页页 习题习题2-4A 第第7题题习题习题2-4B 第第2、3题题 开始x1=1x2=2f(x)=x22x1=mx2=mm=(x1+x2)/2x1=mx2=mf (m)=0 ？f(x1)f(m)0？|x1-x2|0.005？结束输出所求的近似根mm=(x1+x2)/2是否否是否是利用程序语言利用程序语言计算方程的近似解计算方程的近似解
