《两圆的公切线课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《两圆的公切线课件（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、(1)1.掌握两圆内、外公切线的概念及公切线长的意义。掌握两圆内、外公切线的概念及公切线长的意义。2.掌握求两圆外公切线长的方法。掌握求两圆外公切线长的方法。1生活、生产中的两圆公切线生活、生产中的两圆公切线 两圆同时和一条直线相切，这样的实例，在生活和生两圆同时和一条直线相切，这样的实例，在生活和生产中到处可见，如产中到处可见，如 自行车，链盘，飞轮与链条，火车的两轮子与铁轨，自行车，链盘，飞轮与链条，火车的两轮子与铁轨，滑轮与铁链等。滑轮与铁链等。 尤其是机器上的传动带和主动轮、从动轮之间的位置尤其是机器上的传动带和主动轮、从动轮之间的位置关系更给人以一条直线和两个圆同时相切的形象。关系更
2、给人以一条直线和两个圆同时相切的形象。和两个圆同时相切的直线我们称之为两圆的公切线。和两个圆同时相切的直线我们称之为两圆的公切线。2内、外公切线概念：内、外公切线概念： 和两个圆都相切的直线，叫做和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线两圆的公切线，两个，两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线外公切线，两个，两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线内公切线，公切，公切线上两个切点的距离叫做线上两个切点的距离叫做公切线的长公切线的长。 O1O2BDCA(1)O1O2BDCA(2) 如图如图(1)，直线，直线AB、CD
3、分别切分别切 O1、 O2于于A、B、C、D四点，四点，AB、CD都是都是 O1和和 O2的的外公切线外公切线，线段，线段AB、CD的长就是的长就是外公切线的长外公切线的长。图。图(2)中的中的AB、CD分别与分别与 O1和和 O2相切于相切于A、B、C、D四点，直线四点，直线AB、CD都是都是 O1和和 O2的的内公切线内公切线，线段，线段AB、CD的长就是的长就是内公切线的长内公切线的长。3外公切线长的计算：外公切线长的计算：设有设有 O1和和 O2其半径分别为其半径分别为r和和R，AB是是 O1和和 O2的外的外公切线、切点分别为公切线、切点分别为A、B。怎样求公切线怎样求公切线AB的长
4、呢？的长呢？O2O1BA(1)若若 O1和和 O2外离，则连结外离，则连结O1A , O2B和和O1O2(2)特别，当特别，当 O1与与 O2外切时，因外切时，因O1O2Rr 由此可知，只要知道两圆连心线的长及两圆半径，便由此可知，只要知道两圆连心线的长及两圆半径，便可求出公切线可求出公切线AB的长。的长。rCO2O1BAR公切线公切线AB 得直角梯形得直角梯形O1ABO2，过过O1作作O1C O2B于于C点，得矩形点，得矩形ABCO1 ，在在RtO1O2C中，中，O1CAB，O2CRrO1C O1C2O1O22O2C2AB切两圆于点切两圆于点A、B O1AAB，O2BAB 例例1、已知：、已
5、知： O1、O2的半径分别为的半径分别为2cm和和7cm，圆心距圆心距O1O2=13cm，AB是是 O1、O2的外公切线，的外公切线，切点分别是切点分别是A、B求：公切线的长求：公切线的长AB 解：连结解：连结O1A、O2B，则则O1A AB，O2B AB过过 O1作作O1C O2B，垂足为垂足为C，则四边形则四边形O1ABC为矩形，为矩形，于是有于是有O1C C O2，O1C= AB，O1A=CB在在Rt O2CO1和和O1O2=13，O2C= O2B- O1A=5AB= O1C= (cm)反思：（反思：（1）“转化转化”思想，构造三角形；（思想，构造三角形；（2）初步掌握）初步掌握添加辅助
6、线的方法添加辅助线的方法 O O1O O2ABCRr4范例解析：范例解析： 例例1如图如图(4)， O1与与 O2外切于外切于P，一条公切线为一条公切线为AB，A、B为切点，设两圆的半径为为切点，设两圆的半径为r1,r2(r2r1)，求证：求证：AB24r1r2 . 分析：分析：欲证欲证AB24r1r2，须将须将AB以及两圆的半径以及两圆的半径r1,r2转化到同一直角三角形中来，连结转化到同一直角三角形中来，连结O1A，O2B，作作O1CO2B，通过解直角三角形通过解直角三角形O1O2C，即可获证。即可获证。O2O1BAP证明：证明：又又 O1与与 O2外切于点外切于点PO1O2r1r2AB切
7、两圆于点切两圆于点A、B O1AAB，O2BABABCO1为矩形为矩形BCAO1，ABO1CO2Cr2r1在在RtO1O2C中中O1C2O1O22O2C2(r1r2)2(r2r1)24r1r2AB24r1r2连结连结O1A、O2B，作作O1CO2B于于CO2O1BAPC例例2如图如图(5)，已知：，已知：C为线段为线段AB上一点，在上一点，在AB同侧，分别同侧，分别以以AB、BC、AC为直径作圆为直径作圆 O、 O2、 O1，过过C点作点作CDAB交交 O于于D，EF分别切分别切 O1和和 O2于于E、F点，点，分析：分析：O1OO2ABCDEF求证：求证：EFCD . 则则ADB为直角三角形
8、，为直角三角形，又又DCAB，可得可得CD2ACCB，故只须证故只须证EF2ACCB，EF是是 O1和和 O2的外公切线，的外公切线， 这就使人联想到处理外公切线求法的常用方法将其构置这就使人联想到处理外公切线求法的常用方法将其构置在一个直角三角形中，然后用勾股定理解之。在一个直角三角形中，然后用勾股定理解之。连结连结AD、BD，证明：证明：AB为为 O直径直径ADB90CDAB于于CACDDCBCD2ACCB4rR连结连结EO1，FO2，过过O1作作O1PEF交交FO2于点于点P。EF切切 O1和和 O2于于E、FO1EEF，O2FEF，O1PO2F，EFO1P在在RtO1O2P中，中，O1
9、P2(rR)2(Rr)24rRO1P2CD2O1PEFCD连结连结AD、BD，设设 O1和和 O2的半径分别为的半径分别为r、RO1OO2ABCDEFP通过本讲的学习，必须掌握好下列知识和技能：通过本讲的学习，必须掌握好下列知识和技能：两圆的公切线及公切线长的概念：两圆的公切线及公切线长的概念： (1)和两圆相切的直线，叫做和两圆相切的直线，叫做两圆的公切线两圆的公切线，两个圆在公切，两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线外公切线，两圆在公切线两，两圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做旁时，这样的公切线叫做内公切线内公切线。 (2)公切线上两个切点的距离叫做
10、公切线上两个切点的距离叫做公切线的长公切线的长。O2O1PMNO2O1PMN7(1)7(2)两圆公切线的性质：两圆公切线的性质： (1)首先两圆的公切线是圆的切线，因此具有圆的切线的性首先两圆的公切线是圆的切线，因此具有圆的切线的性质、例如公切线垂直过切点的半径，当两圆内切时，内公切质、例如公切线垂直过切点的半径，当两圆内切时，内公切线垂直于连心线，如图线垂直于连心线，如图7(1)。当两圆内切时，外公切线垂直。当两圆内切时，外公切线垂直于连心线，如图于连心线，如图7(2)。 (2)两圆如果有两条外公切线或两条内公切线时，则：两圆如果有两条外公切线或两条内公切线时，则：由圆的对称性易知：两条外公
11、切线的长相等；两条内公切线由圆的对称性易知：两条外公切线的长相等；两条内公切线的长相等。的长相等。两条外两条外(内内)公切线如果相交，那么由轴对称的性质易知，交公切线如果相交，那么由轴对称的性质易知，交点一定在连心线上，并且进一步可以由切线定理推知，两圆连点一定在连心线上，并且进一步可以由切线定理推知，两圆连心线平分两条外心线平分两条外(内内)公切线的夹角，如图公切线的夹角，如图8(1)中，中，APO1CPO1，如图如图8(2)中，中，FQO2HQO2。ABCDPO1O2O1O2EFGHQ图形图形两圆位置关系两圆位置关系外公切线条数外公切线条数内公切线条数内公切线条数公切线条数公切线条数外离外
12、离外切外切相交相交内切内切内含内含222102100043210O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2不同位置关系的两圆，公切线的位置及条数如下表所示：不同位置关系的两圆，公切线的位置及条数如下表所示：O1O2d，ABO1C 。外公切线长的计算：外公切线长的计算： 如果已知两圆的半径如果已知两圆的半径R、r和圆心距和圆心距O1O2d（如图如图(9)）要求外切线的长，则常将公切线作平行移动，也就是过其中要求外切线的长，则常将公切线作平行移动，也就是过其中小圆的圆心作公切线的小圆的圆心作公切线的平行线。设法与两圆连心线构成一个直角三角形、然后运用平行线。设法与两圆连心线构成一个直角三角形、然后运
13、用直角三角形直角三角形性质进行计算或论证，这是解决有关两圆公切线问题的基本性质进行计算或论证，这是解决有关两圆公切线问题的基本思路和方法思路和方法之一，如图之一，如图(9)，作，作O1CAB交交O2B于于C，构成构成RtO1O2C ，则则O2CRr，rCO2O1BARP138139 10、11、14 4已知两圆的半径为已知两圆的半径为3和和4，这两圆的圆心距长是方程，这两圆的圆心距长是方程 x28x200的的 一个根，则这两个圆的公切线条数是一个根，则这两个圆的公切线条数是_。 5如图如图(6)， O1和和 O2的半径分别为的半径分别为5厘厘米、米、2厘米，圆心距为厘米，圆心距为6厘米，厘米，
14、AB、CD为外为外公切线，公切线，A、B、C、D为切点，求两圆外公为切点，求两圆外公切线的长和两圆中以切点为端点的弦长。切线的长和两圆中以切点为端点的弦长。1若两圆半径分别为若两圆半径分别为R，r，外公切线的长为外公切线的长为Rr，那么那么这两个圆的位置关系是这两个圆的位置关系是( )： A相交相交B外切外切C外离外离D外切或外离外切或外离2两圆的外公切线成两圆的外公切线成60角，它们的圆心距为角，它们的圆心距为6cm，则外则外公切线长为公切线长为( )： A6cmB3cmC3cmD3cm3两圆的直径分别为两圆的直径分别为18cm和和8cm，它们的外公切线长为它们的外公切线长为12cm，则两圆
15、的位置关系是则两圆的位置关系是_。ABO1O2CD 6如果两圆半径的差是如果两圆半径的差是3，一条外公切线的长为，一条外公切线的长为4，则两，则两圆的圆心距是圆的圆心距是_。A点在圆内点在圆内B点在圆上点在圆上 C点在圆外点在圆外D关系不确定关系不确定 7两圆外离、圆心距为两圆外离、圆心距为5，大圆半径为，大圆半径为2.5，小圆半径为，小圆半径为1.5，则外公切，则外公切 线长为线长为 _。 8 O1与与 O2外切于点外切于点A，BC为为 O1与与 O2的外公切线，的外公切线，B、C为切点，则点为切点，则点A与以与以BC为直径的圆的位置关系是为直径的圆的位置关系是( )：O2O1BAC9若两圆
16、外切于若两圆外切于P点，点，AB、CD是两圆的外公切线，是两圆的外公切线，A、B、C、D是切点，过是切点，过P点的公切线分别交点的公切线分别交AB、CD于于E、F点，则可能是：点，则可能是： ABCDCDEFAD与与BC相交于相交于P点。点。以上结论正确的是以上结论正确的是( )：A只有只有和和B只有只有和和C只有只有和和D、和和10判断正误（正确的打判断正误（正确的打，错误的打，错误的打）(1)相切的两个圆必有三条公切线。相切的两个圆必有三条公切线。 ( )(2)若两个圆相切，则过切点的公切线只有一条。若两个圆相切，则过切点的公切线只有一条。 ( )(3)两个圆的内公切线长等于外公切线长。两
17、个圆的内公切线长等于外公切线长。 ( )(4)两个圆的每条外公切线长永远小于圆心距。两个圆的每条外公切线长永远小于圆心距。 ( )参考答案：参考答案： 外公切线长外公切线长6cos306 31解：设两圆连心线长为解：设两圆连心线长为D，则则D2(Rr)2(Rr)22(R2r2)4Rr D两圆外切时两圆外切时D 选选D。2解：由外公切线长的求法可知，解：由外公切线长的求法可知，选选D。3解：设两圆的圆心距为解：设两圆的圆心距为d， 则则d 13cm dRr（其中其中R 9cm,r 4cm） 故两圆外切。故两圆外切。4解：解：x28x200得得(x10)(x2)0 x110，x22 故两圆的圆心距
18、长故两圆的圆心距长1034 两圆外离，其公切线条数应是两圆外离，其公切线条数应是4。5解：解：O1O26cm，52652 两圆相交两圆相交 连结连结O1A、O2B、O1O2，过过O2作作O2EO1A，交交O1A于于E， 则在则在RtO1O2E中，中，O1O26厘米，厘米，O1E3厘米。厘米。 O2E 3 厘米，且厘米，且O1O2E30 O1AAB，O2BAB，O2EO1A 四边形四边形ABO2E是矩形是矩形 ABCDO2E3厘米厘米 设设AC与与O1O2的交点为的交点为F， 则则O1AFAO1F90，AFO1O2O1AFO1O2E30O1F O1A AF AC (厘米厘米) AC5 厘米厘米(
19、同理可知同理可知BD2 (厘米厘米)。6解：设两圆的圆心距是解：设两圆的圆心距是d，则则d 57解：外公切线长解：外公切线长 8解：如下图，连结解：如下图，连结AB、AC BC切切 O1和和 O2于于B、C两点两点 1 O1，2 O2，且且O1BO2C 12 (O1O2) 18090A点在以点在以BC为直径的圆上，选为直径的圆上，选B。9解：由切线长定理知解：由切线长定理知FCFP，FPFD CD2FP 由圆的对称性知由圆的对称性知FPPE EF2FPEFCD 又显然又显然ABCD故选故选A。10(1)(2)(3)(4)1如图如图(10)， O1与与 O2相交于相交于A、B两点，两点，CD是是
20、 O1与与 O2的外公切线，切点分别为的外公切线，切点分别为C、D，且且CBD135，求求CAD的度数。的度数。2如图如图(11)，两圆外切于，两圆外切于C，外公切线外公切线AB分别与分别与 O， O相相切于切于A、B，连接连接AC交延长交交延长交 O于于D，如果如果AC:CD1:3，求求ABC的度数。的度数。3如图如图(12)， O1与与 O2内切于内切于P点，点， O2的弦的弦AB切切 O1于于点点C，连结连结PA、 PB，PC的延长线交的延长线交 O2于点于点D。 求证：求证：(1)APCBPC，(2)PC2ACBCPAPB。4如图如图(13)，已知，已知 O与与 O外切于外切于A点，点
21、，BC为外公切线，为外公切线，B、C为切点，为切点，BC与与OO的延长线交于的延长线交于D，DEBD交交BA延长线于延长线于E点。点。 求证：求证：2DE2AEBE。5已知，如图已知，如图(14)， O1与与 O2外切于外切于P，外公切线外公切线AB交交O1O2的延长线于的延长线于 E，PCO1O2，交交AB于于C，(1)求证：，求证：，(2)若两圆半径之比为若两圆半径之比为 4:1，CE2cm，求求O2E的长。的长。6如果两圆只有外公切线，那么这两圆公共点的个数是：如果两圆只有外公切线，那么这两圆公共点的个数是： A没有公共点没有公共点B1C2D1或或27两个等圆的圆心距与外公切线长相等，则
22、两圆的位置关系两个等圆的圆心距与外公切线长相等，则两圆的位置关系是：是：A外离外离B外切外切C相交相交D外离、外切或相交外离、外切或相交8如图，已知如图，已知AB8cm，C为为AB上的一点，且上的一点，且AC6cm，分分别以别以AC和和BC为直径作半圆，两半圆的一条外公切线交为直径作半圆，两半圆的一条外公切线交AB延长延长线于线于P，求求BP和外公切线和外公切线MN 的长。的长。9如图，已知在矩形如图，已知在矩形ABCD中，中，AB25cm，BC18cm， O1与矩形的三边与矩形的三边AB、 AD、DC都相切，都相切， O2与与 O1外切，外切，与与AB、BC都相切，求都相切，求 O2的半径。的半径。 10如图所示，如图所示， O1与与 O2相交于相交于A、B两点，一条外公切两点，一条外公切线与两圆相切于线与两圆相切于C、D两点，连接两点，连接CA并延长交并延长交BD于于E点，点，连接连接DA并延长交并延长交BC于于F点，连接点，连接BA并延长交并延长交CD于于G点。点。 求证：求证：(1)CBDEAF180(2)GDGC(3)ACDBCBAD
