《电磁场理论31》由会员分享，可在线阅读，更多相关《电磁场理论31（87页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、电磁场理论31Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望3.1磁感应强度磁感应强度1.毕奥毕奥-萨伐尔定律萨伐尔定律在真空中载有电流在真空中载有电流的回路的回路上上任一线元任一线元对另一载有电流对另一载有电流的回路的回路上任一线元上任一线元的作用力表示为：的作用力表示为：这里这里：与与称为电流元矢量，称为电流元矢量，是是到到的的距离矢量，可以表示为：距离矢量，可以表示为：回路回路受到回路受到回路的作用力为：的作用力为： 应理解为第一条回路在空间产生磁场，第二条回路在应理解为第一
2、条回路在空间产生磁场，第二条回路在这一磁场中受力，即公式可改写为：这一磁场中受力，即公式可改写为：令令单位：特斯拉单位：特斯拉(T)(T)若电流不是线电流，而是具有空间分布的若电流不是线电流，而是具有空间分布的电流元电流元在外磁场在外磁场中的受力可统一表示为：中的受力可统一表示为： 如果是面电流如果是面电流产生的磁场，有产生的磁场，有 可可以以用用上上式式计计算算各各种种形形状状的的载载流流回回路路在在外外磁磁场场中中受受到到的的力力和力矩。对以速度和力矩。对以速度v运动的点电荷运动的点电荷q，其在外磁场，其在外磁场B中受的力是中受的力是 如如果果空空间间还还存存在在外外电电场场E，电电荷荷q
3、受受到到的的力力还还要要加加上上电电场场力力。这这样样，就就得得到到带带电电q以以速速度度v运运动动的的点点电电荷荷在在外外电电磁磁场场(E，B)中中受受到的电到的电磁力为磁力为上式称为洛仑兹力公式。上式称为洛仑兹力公式。 1.磁场的散度磁场的散度1）磁磁通通量量：磁磁感感应应强强度度在在有有向向曲曲面面上上的的通通量量简简称称为磁通量，单位为为磁通量，单位为Wb，3.2恒定磁场的基本方程恒定磁场的基本方程若若S是一个封闭曲面：是一个封闭曲面： 现在以载流回路现在以载流回路产生的磁感应强度为例，计算恒定磁场在一产生的磁感应强度为例，计算恒定磁场在一个闭曲面上的通量，个闭曲面上的通量， 上式中上
4、式中，故可将其改写为故可将其改写为 再由矢量恒定式：再由矢量恒定式： 则有：则有：因梯度场为无旋场：因梯度场为无旋场：所以有：所以有： 磁通连续性原理磁通连续性原理应用高斯定理应用高斯定理由由V的任意性，可得微分形式：的任意性，可得微分形式：磁通连续性原理说明：磁感应强度磁通连续性原理说明：磁感应强度是一个无源场。是一个无源场。2.真空中恒定磁场的旋度真空中恒定磁场的旋度,安培环路定律安培环路定律安安培培根根据据毕毕奥奥萨萨伐伐定定律律总总结结出出磁磁感感应应强强度度与与电电流流的的一一般般规规律律:真真空空中中磁磁感感应应强强度度沿沿闭闭合合路路径径的的线线积积分分等等于于该该闭闭合合路路径
5、径包包围围电电流流的的代代数数和和乘乘以以0,取取与与回回路路成成右右螺旋关系的电流为正螺旋关系的电流为正,反之为负。反之为负。数学表示式为数学表示式为 安培环路定律总结了恒定磁场与场源电流间的依赖关系。安培环路定律总结了恒定磁场与场源电流间的依赖关系。如图所示如图所示,电流的代数和电流的代数和 根据斯托克斯定理根据斯托克斯定理 上式中上式中S是由闭合路径包围的任一曲面是由闭合路径包围的任一曲面,设设J为体电流为体电流面密度面密度.再由：再由：可得：可得：同样基于同样基于S的任意性：的任意性：安培环路定理的微分形式安培环路定理的微分形式安培环路定理的微分形式说明：磁场是有旋场，其安培环路定理的
6、微分形式说明：磁场是有旋场，其漩涡源就是电流。漩涡源就是电流。对于对称分布的电流，可以采用安培环路定律的积对于对称分布的电流，可以采用安培环路定律的积分形式，从电流计算出磁场。分形式，从电流计算出磁场。例例3.1半径为半径为a的无限长直导线，载有电流的无限长直导线，载有电流，计算导，计算导线内外的磁感应强度。线内外的磁感应强度。解：取导线中轴线与解：取导线中轴线与Z轴重合，建立圆柱坐标系，由对称性可轴重合，建立圆柱坐标系，由对称性可知，磁场的分布与知，磁场的分布与无关，只是无关，只是的函数，且只有的函数，且只有分量。分量。取积分路径为以取积分路径为以为半径的圆，依据安培环路定理：为半径的圆，依
7、据安培环路定理： 由电流的分布为：由电流的分布为： 当当时，有：时，有： 可以得到：可以得到： 当当时，有：时，有： 可以得到：可以得到： 3.3恒定磁场的矢量磁位恒定磁场的矢量磁位3.4.1矢量磁位矢量磁位A根据场论恒等式根据场论恒等式 用另一个矢量函数用另一个矢量函数A的的旋度来表示旋度来表示B，就有：，就有： 式中式中A称作为矢量磁位称作为矢量磁位(或称磁矢位或称磁矢位)，单位为：特斯，单位为：特斯拉拉米。米。 又由于又由于 可以得到：可以得到： 为确保矢量磁位的唯一性，引入库仑规范：为确保矢量磁位的唯一性，引入库仑规范： 对于对于无无源区矢量磁位满足的拉普拉斯方程为：源区矢量磁位满足的
8、拉普拉斯方程为： 对于对于有有源区矢量磁位满足的泊松方程为：源区矢量磁位满足的泊松方程为： 根据矢量恒等式根据矢量恒等式 在直角坐标系中，有：在直角坐标系中，有： 从而可以得到矢量磁位从而可以得到矢量磁位A(r)满足的泊松方程的分量形式：满足的泊松方程的分量形式： 类似于类似于与与静静电电场场中中电电位位满满足足的的泊泊松松方方程程进进行行对对比比，可可以以得得到到磁磁矢矢位分量的解为：位分量的解为： 将其写为矢量形式，有：将其写为矢量形式，有： 如果电流分布在表面如果电流分布在表面S上上,则则 如果电流分布在细导线回路中如果电流分布在细导线回路中,则得则得 说明：以上三个计算磁矢位的公式，均
9、假定电流分布在说明：以上三个计算磁矢位的公式，均假定电流分布在有限区域，且磁矢位的零点取在无穷远处有限区域，且磁矢位的零点取在无穷远处(与静与静电位的积分公式类似电位的积分公式类似)。矢矢量量磁磁位位解解的的形形式式隐隐含含着着一一个个重重要要的的性性质质,就就是是恒恒定定电电流流分分布布在在有有限限空空间间的的条条件件下下,A的的散散度度是是零零,即即 另外，引入矢量磁位可以简化磁通量的计算：另外，引入矢量磁位可以简化磁通量的计算：例例31用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。用磁矢位重新计算载流直导线的磁场。 解：解： r a ra 从电流分布可以知道磁矢位仅仅有从电流分布可以知道磁矢位仅仅有
10、z分量，而且它只是坐分量，而且它只是坐标标r的函数，即的函数，即设在导线内磁位是设在导线内磁位是A1,导线外磁位是导线外磁位是A2， ra时， 由于由于处磁矢位不应是无穷大，所以可以定出：处磁矢位不应是无穷大，所以可以定出：将磁矢位代入公式将磁矢位代入公式，得，得可以求出导线内、可以求出导线内、外的磁场分别为外的磁场分别为 导体外部的磁感应强度为导体外部的磁感应强度为 由边界条件可得：由边界条件可得： 例例3.2试计算小电流环（磁偶极子）在远处产生的矢量试计算小电流环（磁偶极子）在远处产生的矢量磁位和磁感应强度。磁位和磁感应强度。 图图3.3磁偶极子磁场磁偶极子磁场的计算的计算 分析：分析：x
11、oz解解圆环上的电流元圆环上的电流元Idl在场点在场点P产生的矢量磁位可表示为产生的矢量磁位可表示为 式中式中如果如果时，时，由图可知：由图可知：式中，式中，S是细导线圆环的面积，而是细导线圆环的面积，而IS是载流回路磁矩是载流回路磁矩的模值。的模值。3.4磁偶极子磁偶极子1.磁偶极子定义：一个载有恒定电流的小型闭合回路。磁偶极子定义：一个载有恒定电流的小型闭合回路。 2.磁偶极子的磁矩磁偶极子的磁矩 对上式取旋度，有：对上式取旋度，有： 3.磁偶极子的磁场磁偶极子的磁场 1）磁偶极子的磁力线是没有头尾的闭合曲线。磁偶极子的磁力线是没有头尾的闭合曲线。 2）位于外磁场中的磁偶极子，会受到外磁场
12、的作用力及其位于外磁场中的磁偶极子，会受到外磁场的作用力及其力矩：力矩： 3.5磁介质中的基本方程磁介质中的基本方程1物质的磁化物质的磁化1）抗磁性物质与顺磁性物质）抗磁性物质与顺磁性物质 2）磁化强度矢量）磁化强度矢量 图图3-14磁化电流示意图磁化电流示意图 2磁化介质产生的场磁化介质产生的场设介质内部设介质内部处体积处体积内的磁偶极矩为内的磁偶极矩为，它，它在在处产生的磁矢位为：处产生的磁矢位为：体积为体积为的全部极化介质，在的全部极化介质，在处产生的磁场为：处产生的磁场为：M相相当当于于一一个个体体电电流流密密度度,称称为为束束缚缚体体电电流流密密度度,用用Jm来表示来表示:而而M对对
13、应应一一个个面面电电流流密密度度,称称为为束束缚缚面面电电流流密密度度,用用表表示示:例例3-7半半径径为为a、高高为为L的的磁磁化化介介质质柱柱(如如图图3-15所所示示)，磁磁化化强强度度为为M0(M0为为常常矢矢量量，且且与与圆圆柱柱的的轴轴线线平平行行)，求求磁磁化化电电流流Jm和磁化面电流和磁化面电流JmS。图图315例例3-7用图用图 解解：取取圆圆柱柱坐坐标标系系的的z轴轴和和磁磁介介质质柱柱的的中中轴轴线线重重合合，磁磁介介质质的的下下底底面面位位于于z=0处处，上上底底面面位位于于z=L处处。此此时时，M=M0ez，由由磁磁化电流的计算公式：化电流的计算公式：在界面在界面z=
14、0上，上，n=-ez, 在界面在界面z=L上，上，n=ez， 在界面在界面r=a上，上，n=er, 3磁场强度磁场强度磁磁介介质质中中的的磁磁场场应应由由传传导导电电流流和和束束缚缚电电流流共共同同产产生生,真真空空中中安培环路定律的微分形式应改写为安培环路定律的微分形式应改写为上式可变形为：上式可变形为： 令令称称H为磁场强度。为磁场强度。(A/m) 1）磁场强度的引入）磁场强度的引入引入磁场强度后，安培环路定律的积分与微分形式引入磁场强度后，安培环路定律的积分与微分形式可分别表示为为：可分别表示为为：2）B和和H的关系的关系其其中中系系数数m称称为为介介质质的的磁磁化化率率,是是一一个个无
15、无量量纲纲的的常常数数,它它取取决决于于材料。材料。顺磁介质中顺磁介质中m0,抗磁介质中抗磁介质中m0,真空中真空中m=0。令 于是于是 式式中中，r=1+m，是是介介质质的的相相对对磁磁导导率率，是是一一个个无无量量纲纲数数；=0r，是是介介质质的的磁磁导导率率，单单位位和和真真空空磁磁导导率率相相同同，为为H/m(亨亨/米米)。铁铁磁磁材材料料的的B和和H的的关关系系是是非非线线性性的的，并并且且B不不是是H的的单单值值函函数数，会会出出现现磁磁滞滞现现象象，其其磁磁化化率率m的的变变化化范范围围很很大大，可可以以达到达到106量级。量级。4磁介质中恒定磁场的基本方程磁介质中恒定磁场的基本
16、方程磁介质中描述磁场的基本方程为：磁介质中描述磁场的基本方程为：相应的微分形式为：相应的微分形式为：例例38同同轴轴线线的的内内导导体体半半径径为为a，外外导导体体的的内内半半径径为为b，外外半半径径为为c，如如图图3-16所所示示。设设内内、外外导导体体分分别别流流过过反反向向的的电电流流I，两导体之间介质的磁导率为两导体之间介质的磁导率为，求各区域的，求各区域的H、B、M。 图 3-16 同轴线示意图 当当ra时，时，电流电流I在导体内均匀分布，且流向在导体内均匀分布，且流向+z方向。由安培方向。由安培环路定律得环路定律得解解：以以后后如如无无特特别别声声明明，对对良良导导体体(不不包包括
17、括铁铁等等磁磁性性物物质质)一一般般取取其其磁磁导导率率为为0。因因同同轴轴线线为为无无限限长长，则则其其磁磁场场沿沿轴轴线线无无变变化化，该该磁磁场场只只有有分分量量，且且其其大大小小只只是是r的的函函数数。分分别别在在各各区区域域使使用用介介质质中中的的安安培培环环路路定定律律 ，求求出出各各区区的的磁磁场强度场强度H，然后由然后由H求出求出B和和M。考虑这一区域的磁导率为考虑这一区域的磁导率为0，可得，可得 (r a) (r a)当当arb时，与积分回路交链的电流为时，与积分回路交链的电流为I，该区磁导率为，该区磁导率为，可得可得(arb) 当当bc时，这一区域的时，这一区域的B、H、M
18、为零。为零。 3.6恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件1B的法向分量的法向分量仿第二章推导方法即可得仿第二章推导方法即可得 或者或者上上式式表表明明在在分分界界面面上上磁磁感感应应强强度度B的的法法向向分分量量总总是是连连续续的的。由由于于B=H,当当12时时,则则在在分分界界面面上上1H1n=2H2n,故故H1nH2n,也也就就是分界面上磁场强度是分界面上磁场强度H的法向分量不连续。的法向分量不连续。设设底底面面和和顶顶面面的的面面积积均均等等于于S。将将积积分分形形式式的的磁磁通通连连续续性性原原理理(即即SBdS=0)应应用用到到此此闭闭合合面面上上，假假设设圆圆柱柱体体的的高高度度h
19、趋趋于零，于零，得得2H的切向分量的切向分量将介质中积分形式的将介质中积分形式的安培环路定律安培环路定律 应用在这一回路，应用在这一回路，得得 界面上的电流可以看成面电流，界面上的电流可以看成面电流，进而进而 于是有于是有 考虑到考虑到l=bn,得得 使用矢量恒等式使用矢量恒等式 则有：则有： 由上式可得：由上式可得： 当介质表面不存在面电流分布时当介质表面不存在面电流分布时: 式中式中1、2分别为磁场强度分别为磁场强度H与交界面法线方向的夹角与交界面法线方向的夹角,将上两式相除则得将上两式相除则得 磁磁场场经经过过介介质质分分界界面面时时要要突突变变,当当然然包包含含方方向向的的改改变变,根
20、根据据式式和和式式,可可改改写写为为 3.7标量磁位标量磁位恒恒定定磁磁场场和和静静电电场场不不同同,它它是是有有旋旋场场,因因而而不不能能用用标标量量位位函函数数来来表表示示。但但是是在在没没有有传传导导电电流流的的区区域域中中,H的的旋旋度度等等于于零零,在在这种无传导电流的区域中这种无传导电流的区域中,可写为可写为上上式式m称称为为磁磁场场的的标标量量位位,简简称称标标量量磁磁位位或或磁磁标标位位,式式中中负负号号是是为了与静电场相对应而人为地引入的。为了与静电场相对应而人为地引入的。 在没有传导电流的分界面上在没有传导电流的分界面上,采用与静电场类似的采用与静电场类似的方法，方法，由由
21、H1t=H2t及及B1n=B2n可得标量磁位满足可得标量磁位满足在均匀介质中在均匀介质中 静电场静电场恒定电流场恒定电流场恒定磁场恒定磁场3.8自感与互感自感与互感3.8.1自感自感 在在线线性性磁磁介介质质中中，任任一一回回路路在在空空间间产产生生的的磁磁场场与与回回路路电电流流成成正正比比，因因而而穿穿过过任任意意的的固固定定回回路路的的磁磁通通量量也也是是与与电电流流成成正正比比。如如果果回回路路由由细细导导线线绕绕成成N匝匝，则则总总磁磁通通量量是是各各匝匝的的磁磁通通之之和和。称称总磁通为磁链，用总磁通为磁链，用表示。表示。设设N匝线圈如右图所示，则匝线圈如右图所示，则该组该组密绕线
22、圈的全磁通为密绕线圈的全磁通为 又称磁通匝链数又称磁通匝链数,或简称为磁或简称为磁链。链。 若当穿过回路的磁链若当穿过回路的磁链是由回路本身的电流是由回路本身的电流I 产生的，则磁产生的，则磁链与电流的比值链与电流的比值称为自感，单位是称为自感，单位是H(亨利亨利)。自感的大小决定于回路的尺寸、形。自感的大小决定于回路的尺寸、形状以及介质的磁导率。状以及介质的磁导率。回路导线的截面积为有限值，所以穿过导线外部的磁链称回路导线的截面积为有限值，所以穿过导线外部的磁链称为外磁链，用为外磁链，用表示，由它计算的自感称为外自感表示，由它计算的自感称为外自感，穿，穿过导线内部的磁链称为内磁链，用过导线内
23、部的磁链称为内磁链，用表示，由内磁链算出的表示，由内磁链算出的自感称为内自感自感称为内自感。外自感的计算外自感的计算 1外自感的计算外自感的计算 其中：其中： 则穿过以则穿过以l为边界的面积上的磁链是为边界的面积上的磁链是 根据外自感的定义可得根据外自感的定义可得 计计算算单单匝匝线线圈圈导导线线回回路路的的内内自自感感时时,通通常常回回路路尺尺寸寸比比导导线线截截面面积积尺尺寸寸大大得得多多,则则导导线线内内部部的的磁磁场场可可近近似似地地认认为为与与无无限限长长直直导导线线内内部部的的磁磁场场相相同同。设设导导线线的的半半径径为为a,磁磁导导率率为为0,则则应应用用安安培培环环路路定定律律
24、算算得得导导线线内内距距轴轴线线处的磁通密度是处的磁通密度是2内自感的计算内自感的计算 导导线线内内部部磁磁力力线线是是以以轴轴线线为为中中心心的的同同心心圆圆,在在导导线线长长度度为为l范范围围内内,穿穿过过处处厚厚度度为为d的的矩矩形形截截面面的的磁磁通通为为di=Bds=B l d,由由此可得此可得故总磁链为故总磁链为 因而一段长度为因而一段长度为l的圆柱形导体的内自感是的圆柱形导体的内自感是 单位长度的内自感为单位长度的内自感为 它与导体半径无关。它与导体半径无关。 3.8.2互感互感两回路间的互感两回路间的互感 第第2回路对第回路对第1回路回路的互感应为的互感应为 回路回路1对回路对
25、回路2的互感的互感(或称互感系数或称互感系数) 根根据据定定义义,计计算算互互感感系系数数M21可可首首先先计计算算回回路路电电流流I1与第与第2回路相回路相交链的磁链交链的磁链 则则所以所以 同样可求得回路同样可求得回路2对回路对回路1的互感系数的互感系数 例例3-9求无限长平行双导线求无限长平行双导线(如图如图3-21所示所示)单位长外自感。单位长外自感。 图图3-21平行双导线平行双导线 解解：设设导导线线中中电电流流为为I，由由无无限限长长导导线线的的磁磁场场公公式式，可可得得两两导导线线之间轴线之间轴线所在的平面上的磁感应强度为所在的平面上的磁感应强度为磁场的方向与导线回路平面垂直。
26、单位长度上的外磁链为磁场的方向与导线回路平面垂直。单位长度上的外磁链为 所以单位长外自感为所以单位长外自感为 3.9磁场能量磁场能量类似于静电场的能量可以用类似于静电场的能量可以用D和和E表示，磁场能量表示，磁场能量也可用磁场矢量也可用磁场矢量B和和H表示，表示， 磁场能量密度为：磁场能量密度为： 在均匀，线性，各向同性的媒质中：在均匀，线性，各向同性的媒质中： 例例4.11一一半半径径为为a(m)的的圆圆形形截截面面的的无无限限长长直直铜铜线线,通通过过电电流流为为I(A),在在铜铜线线外外套套一一个个与与之之同同轴轴的的磁磁性性材材料料制制成成的的圆圆筒筒,圆圆筒筒内内、外外半半径径分分别
27、别为为c(m)和和b(m),相相对对磁磁导率导率r=2000。试求。试求:(1)圆筒内的磁场强度和磁通密度圆筒内的磁场强度和磁通密度;(2)通过圆筒中每单位长度的总磁通量通过圆筒中每单位长度的总磁通量;(3)圆筒中的磁化强度圆筒中的磁化强度M;(4)圆筒中的束缚电流密度圆筒中的束缚电流密度;(5)圆筒壁内外的磁场。圆筒壁内外的磁场。解解(1)应用安培环路定律应用安培环路定律: 式式中中I仅仅为为传传导导电电流流的的代代数数和和。在在磁磁性性圆圆筒筒横横截截面面上上取取一一半半径径为为的圆作为闭合路径的圆作为闭合路径l,则则于是于是 (2)通过圆筒中每单位长度的总磁通量为：通过圆筒中每单位长度的
28、总磁通量为：（3）圆筒中的磁化强度圆筒中的磁化强度M;(4)材料中束缚体电流密度是材料中束缚体电流密度是 内、外表面的束缚面电流密内、外表面的束缚面电流密度是度是: (5)当当a时时, 则则则则 解法解法1：则则解法解法2:磁性圆筒产生的磁场等效为在真空中束缚电流磁性圆筒产生的磁场等效为在真空中束缚电流产生的磁场。产生的磁场。 则则由由上上计计算算表表明明,b处处的的磁磁场场和和没没有有圆圆筒筒时时的的场场相相同同,这这是是由由于于磁磁性性圆圆筒筒内内、外外表表面面束束缚缚电电流流相相互互抵抵消消的的缘缘故故。而而磁磁性性圆圆筒内的磁场就需要考虑筒内壁的束缚电流筒内的磁场就需要考虑筒内壁的束缚电流,所以所以静电场静电场恒定电流磁场恒定电流磁场
