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1、弹塑性力学弹塑性力学1 1绪论绪论弹弹塑塑性性力力学学是是固固体体力力学学的的一一个个重重要要分分支支，是是研研究弹性和弹塑性物体变形规律的一门学科。究弹性和弹塑性物体变形规律的一门学科。材料受力三个阶段：材料受力三个阶段： 弹性弹性 塑性塑性 破坏破坏 弹性力学弹性力学 塑性力学塑性力学 破坏力学破坏力学 断裂力学等断裂力学等2 2弹塑性力学基本假设弹塑性力学基本假设物物体体是是连连续续的的，其其应应力力、应应变变和和位位移移都都可可用用连连续函数来描述；续函数来描述；物物体体是是均均匀匀和和各各向向同同性性的的，每每一一个个部部分分都都具具有有相相同同的的性性质质，物物理理常常数数不不随随
2、位位置置和和方方向向变变化化而变化；而变化；变变形形是是微微小小的的，变变形形后后物物体体内内各各点点的的位位移移都都远远小小于于物物体体本本来来的的尺尺寸寸，因因而而可可忽忽略略变变形形所所引引起的几何变化。起的几何变化。3 3弹塑性力学问题的求解方法弹塑性力学问题的求解方法根根据据几几何何方方程程、物物理理方方程程和和运运动动（或或平平衡衡）方方程程以以及及边边界界条条件件和和初初始始条条件件，解解出出位位移移、应应变和应力等的表达式。变和应力等的表达式。精精确确解解法法，即即能能满满足足弹弹塑塑性性力力学学中中全全部部方方程度解；程度解；近近似似解解法法，即即根根据据问问题题的的性性质质
3、，采采用用合合理理的的简简化化假假设设，从从而而获获得得近近似似结结果果。包包括括数数值解法。值解法。4 4第第1章章 应力分析应力分析1.应力状态应力状态2.三维应力状态分析三维应力状态分析3.三维应力状态的主应力三维应力状态的主应力4.最大剪应力最大剪应力5.等倾面上的正应力和剪应力等倾面上的正应力和剪应力6.应力罗德参数与应力罗德角应力罗德参数与应力罗德角7.应力张量的分解应力张量的分解8.平衡微分方程平衡微分方程5 51. 外力外力体力、面力体力、面力(1) 体力体力 弹性体内弹性体内单位体积单位体积上所受的外力上所受的外力 体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzOX、Y、Z为
4、体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影单位：单位： N/m3kN/m3说明：说明：(1) F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2) F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性力等)(3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。11 应力状态应力状态6 6(2) 面力面力 作用于物体表面作用于物体表面单位面积单位面积上的外力上的外力 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzO 面力矢量在坐标轴上投影面力矢量在坐标轴上投影单位：单位： 1N/m2 =1Pa (帕帕)1MN/m2 = 106Pa =
5、 1MPa (兆帕兆帕)说明：说明：(1) F 是坐标的连续分布函数是坐标的连续分布函数；(2) F 的加载方式是任意的的加载方式是任意的;(3) 的正负号由坐标方向确定。的正负号由坐标方向确定。7 72. 应力应力(1) (1) 一点应力的概念一点应力的概念一点应力的概念一点应力的概念dSd dP P内力内力(1) 物体内部分子或原子间的相互物体内部分子或原子间的相互作用力作用力;(2) 由于外力作用引起的相互作用力由于外力作用引起的相互作用力.(不考虑不考虑)M(1) M点的内力面分布集度点的内力面分布集度(2) 应力矢量应力矢量-M点的应力点的应力的极限方向的极限方向由外力引起的在由外力
6、引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度应力分量应力分量n(法线法线)应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量 剪应力剪应力单位单位:与面力相同与面力相同MPa (兆帕兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的8 8斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的总应力斜截面上的总应力斜截面上的总应力斜截面上的总应力斜截面上的正应力和剪应力斜截面上的正应力和剪应力斜截面上的正应力和剪应力斜截面上的正应力和剪应力9 9平面应力状态平面应力状态主应力与应力主向主应力与应力主向最大剪应力最大剪应力1010摩尔应力圆摩尔应力圆1111平面应力与平面应变问
7、题平面应力与平面应变问题平面应力问题平面应力问题平面应力问题平面应力问题yxyZt/2简化为图示等厚度板简化为图示等厚度板受载情况受载情况-平行于板平行于板面且沿板厚均匀分布面且沿板厚均匀分布 前后板面没有载荷；前后板面没有载荷；此种情况即属平面应此种情况即属平面应力问题。力问题。2.平面应力问题的特征平面应力问题的特征1.引例：引例：墙壁、座舱隔板等墙壁、座舱隔板等1212薄板如图：厚度为薄板如图：厚度为薄板如图：厚度为薄板如图：厚度为t t, ,以薄板的中面为以薄板的中面为以薄板的中面为以薄板的中面为xyxy面面面面, ,以垂直以垂直以垂直以垂直于中面的任一直线为于中面的任一直线为于中面的
8、任一直线为于中面的任一直线为z z轴，建立坐标系如图所示。轴，建立坐标系如图所示。轴，建立坐标系如图所示。轴，建立坐标系如图所示。因板面上（因板面上（因板面上（因板面上（z z = = t t/2/2）不受力，所以有：）不受力，所以有：）不受力，所以有：）不受力，所以有：根据剪应力互等定理可知根据剪应力互等定理可知根据剪应力互等定理可知根据剪应力互等定理可知xyzyt/2t/2由于板很薄，外力又不沿厚度变化，应力沿板的厚度由于板很薄，外力又不沿厚度变化，应力沿板的厚度又是连续分布的，因此，可以认为在整板的所有各点又是连续分布的，因此，可以认为在整板的所有各点都有：都有：1313所以所以所以所以
9、, , , ,在薄板中只剩下平行于在薄板中只剩下平行于在薄板中只剩下平行于在薄板中只剩下平行于x x、y y面的三个应力面的三个应力面的三个应力面的三个应力分量，即：分量，即：分量，即：分量，即：此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图此即为平面应力问题的特征。用单元体可表示如图1414对于仅有平行于对于仅有平行于xyxy面的三个应力分量的均质薄板面的三个应力分量的均质薄板类问题，就称为平面应力问题。类问题，就称为平面应力问题。 平面应变问题平面应变问题 简简简简化化化化为为为为等等等等长长长长度度度度
10、很很很很长长长长的的的的截截截截面面面面柱柱柱柱体体体体, , , , 载载载载荷荷荷荷垂垂垂垂直直直直于于于于长长长长度度度度方方方方向，且沿长度方向不变向，且沿长度方向不变向，且沿长度方向不变向，且沿长度方向不变作为无限长柱体看待。作为无限长柱体看待。作为无限长柱体看待。作为无限长柱体看待。3.平面应力问题的定义平面应力问题的定义1.引例引例:水坝、隧洞等水坝、隧洞等15152. 平面应变问题的特征平面应变问题的特征(1)位移分量位移分量对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对称截对于无限长柱体，由于任一横截面都可看成对称截面，而对称截面上的各点是不能产生沿面，而对称截面上的各点是不能产生
11、沿Z Z向的位移向的位移的，因此的，因此, ,对任一截面都应有：对任一截面都应有：(2)应变分量应变分量根据对称关系和剪应力互等定理有根据对称关系和剪应力互等定理有1616(3) 应力分量应力分量对于平面应变问体对于平面应变问体对于平面应变问体对于平面应变问体, , , ,真正独立的应力分量只有三个。真正独立的应力分量只有三个。真正独立的应力分量只有三个。真正独立的应力分量只有三个。3.平面应变问题的定义平面应变问题的定义对于无限长柱体，对于无限长柱体， 所有的应变与位移都发生所有的应变与位移都发生xoy面面内，就称为平面应力问题。这类问题称为平面应内，就称为平面应力问题。这类问题称为平面应变
12、问题变问题1717小结：平面问题基本未知量小结：平面问题基本未知量平面应力问题平面应力问题 平面应变问题平面应变问题1. 应力分量应力分量（3个）个）独立的（独立的（3个）个）2. 应变分量应变分量独立的（独立的（3个）个）（3个）个）3. 位移分量位移分量独立的（独立的（2个）个）（2个）个）1818x面的应力：面的应力：y面的应力：面的应力：z面的应力：面的应力：12 三维应力状态三维应力状态1919用矩阵表示：用矩阵表示：其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。剪应力互等定理剪应力互等定理应力符号的意义：应力符号的意义：第第1个下标个下标 x 表示表示所在面的法线方向；所在面的法线方向
13、；第第2个下标个下标 y 表示表示的方向的方向.应力应力正负号正负号的规定：的规定：正应力正应力 拉为正，压为负。拉为正，压为负。剪应力剪应力 坐标坐标正面正面上，与坐标正向一致时为正；上，与坐标正向一致时为正；坐标坐标负面负面上，与坐标正向相反时为正。上，与坐标正向相反时为正。xyzO2020与材力中剪应力与材力中剪应力正负号正负号规定的区别：规定的区别：xy规定使得单元体顺时转的剪应力规定使得单元体顺时转的剪应力为正，反之为负。为正，反之为负。在用在用应力莫尔圆应力莫尔圆时必须用此规定求解问题时必须用此规定求解问题xyzO2121四面体受力图四面体受力图 在在某某点点处处取取出出一一无无限
14、限小小四四面面体体。它它的的三三个个面面分分别别与与x、y、z三三个个轴轴相相垂垂直直。另另一一面面即即为为任任意意倾倾斜斜面面，其其法法线线为为v，其其方方向向余余弦弦为为l、m、n。 pv2222利利用用力力的的平平衡衡条条件件，可可得得任任意意斜斜截截面面上上的的应应力力pv作作用用于于任任一一斜斜截截面面上上的的应应力力向向量量分分量量可可以以用用作作用用在在与与坐坐标标轴轴垂垂直直的的三三个个面面上上的的应应力力向向量量分分量来表示。量来表示。上式可作为力的边界条件的表达式。上式可作为力的边界条件的表达式。232313 三维应力状态的主应力三维应力状态的主应力在在在在过过过过任任任任
15、一一一一点点点点所所所所作作作作任任任任意意意意方方方方向向向向的的的的单单单单元元元元面面面面积积积积上上上上都都都都有有有有正正正正应应应应力力力力和和和和剪剪剪剪应应应应力力力力。如如如如果果果果在在在在某某某某一一一一方方方方向向向向剪剪剪剪应应应应力力力力为为为为零零零零，则则则则此此此此方方方方向向向向即即即即称称称称为为为为主主主主方方方方向向向向（应应应应力力力力主主主主向向向向），而而而而这这这这时时时时在在在在该该该该面面面面上上上上的的的的正正正正应应应应力力力力便便便便称为主应力。称为主应力。称为主应力。称为主应力。如如如如果果果果v v方方方方向向向向为为为为主主主主
16、应应应应力力力力平平平平面面面面的的的的方方方方向向向向，则则则则有有有有p pvxvx = = x x l l，p pvyvy y y mm，p pvzvz = = z z n n，则得，则得，则得，则得 几何关系几何关系几何关系几何关系2424l l, ,mm, ,n n不不不不能能能能同同同同时时时时为为为为零零零零，因因因因此此此此前前前前式式式式为为为为包包包包括括括括三三三三个个个个未未未未知知知知量量量量l l, ,mm, ,n n的的的的线线线线性性性性齐齐齐齐次次次次方方方方程程程程。若若若若有有有有非非非非零零零零解解解解，则则则则此此此此方方方方程程程程组组组组的的的的系
17、数行列式应当等于零，即系数行列式应当等于零，即系数行列式应当等于零，即系数行列式应当等于零，即展开行列式得到展开行列式得到展开行列式得到展开行列式得到 其中其中其中其中2525I1、I2、I3不不随随坐坐标标方方向向不不同同而而变变，称称为为应应力力张张量量不不变变量量，分分别别称称为为应应力力张张量量第第一一（一一次次）不不变变量量、第第二二（二二次次）不不变变量量与与第第三三（三三次次）不变量。不变量。 解一元三次方程，得三个主应力解一元三次方程，得三个主应力 1, 2, 3。 I1、I2、I3可用主应力表示如下：可用主应力表示如下：求求解解主主应应力力时时，先先求求出出各各应应力力张张量
18、量不不变变量量，再再解一元三次方程。解一元三次方程。 2626【例例】已已知知一一点点的的应应力力状状态态由由如如下下应应力力分分量量确确定，即定，即试求主应力的值。试求主应力的值。【解解】求求各各应应力力张张量量不不变变量量，I1 = 3，I2= -6，I3 = -8，代入一元三次方程得，代入一元三次方程得解得解得2727斜截面上的正应力和剪应力斜截面上的正应力和剪应力设斜截面上的正应力为设斜截面上的正应力为 v , 则由投影可得则由投影可得若若三三个个坐坐标标轴轴的的方方向向为为主主方方向向，且且主主应应力力大大小小顺顺序序按按x, y, z排列，则排列，则总应力为总应力为斜截面上的剪应力
19、为斜截面上的剪应力为2828三维应力圆三维应力圆三三三三维维维维应应应应力力力力状状状状态态态态下下下下任任任任意意意意斜斜斜斜截截截截面面面面上上上上的的的的正正正正应应应应力力力力和和和和剪剪剪剪应应应应力力力力，在在在在以以以以三三三三个个个个主主主主应应应应力力力力组组组组成成成成的的的的应应应应力力力力圆圆圆圆所所所所围围围围成成成成的的的的阴阴阴阴影影影影的的的的范围之内。范围之内。范围之内。范围之内。最最最最大大大大剪剪剪剪应应应应力力力力等等等等于于于于最最最最大大大大和和和和最最最最小小小小正正正正应应应应力力力力值值值值之之之之差差差差的一半。的一半。的一半。的一半。292
20、914 最大剪应力最大剪应力主主应应力力平平面面上上的的剪剪应应力力为为零零；最最大大剪剪应应力力位位于于坐坐标标轴轴分分角角面面上上，而而三三个个最最大大剪剪应应力力分分别别等等于于三三个个主主应应力力两两两两之之差差的一半。的一半。3030在在主主应应力力坐坐标标系系中中（1, 2, 3分分别别代代表表 1, 2, 3）主主应应力力与与最最大大剪剪应应力力作作用用面面及及其其方向余弦方向余弦31311-5 等倾面上的正应力和剪应力等倾面上的正应力和剪应力等等等等倾倾倾倾面面面面就就就就是是是是和和和和三三三三个个个个主主主主应应应应力力力力轴轴轴轴成成成成相相相相同同同同角角角角度度度度（
21、5454 4444）的的的的面面面面，等等等等倾倾倾倾面面面面的的的的法法法法线线线线方方方方向向向向也也也也与与与与三三三三个个个个主主主主应应应应力力力力轴轴轴轴成成成成相相相相同同同同的的的的角角角角度度度度。法法法法线线线线v v为为为为空空空空间间间间对对对对角角角角线线线线，也也也也称称称称为为为为等等等等倾倾倾倾线线线线。等等等等倾倾倾倾面法线的方向余弦面法线的方向余弦面法线的方向余弦面法线的方向余弦l l, , mm, , n n可由下式确定可由下式确定可由下式确定可由下式确定则等倾面上的正应力和剪应力则等倾面上的正应力和剪应力则等倾面上的正应力和剪应力则等倾面上的正应力和剪应
22、力3232主应力空间主应力空间：以三个主：以三个主应力为轴而组成的笛卡应力为轴而组成的笛卡儿坐标系儿坐标系若若将将 1, 2, 3轴轴在在等等倾倾面面上上投投影影，则则在在等等倾倾面面上上 可可 以以 得得 到到 互互 相相 成成120 角的三个坐标轴。角的三个坐标轴。3333等倾面及其上应力等倾面及其上应力 3434向量向量 在等倾线上的投影在等倾线上的投影 0向量向量 在等倾面上的投影在等倾面上的投影 0 0与轴与轴 1在等倾面上的投影之间的夹角在等倾面上的投影之间的夹角 称为应力状态的特征角，称为应力状态的特征角，称为应力状态的特征角，称为应力状态的特征角，coscos 为应力形式指数为
23、应力形式指数为应力形式指数为应力形式指数。等倾面上一点的应力状态等倾面上一点的应力状态八面体上八面体上的正应力的正应力与剪应力与剪应力3535偏平面偏平面如果等倾面上的正应力如果等倾面上的正应力 0= 0，？，？如果如果 0= 0，等倾面过原点，则此等倾面称为，等倾面过原点，则此等倾面称为 平面平面。 平面上没有正应力，只有剪应力，只平面上没有正应力，只有剪应力，只有应力偏张量，所以有应力偏张量，所以 平面又叫平面又叫偏平面偏平面。3636应力强度应力强度应力强度应力强度 或或或或广义剪应力广义剪应力广义剪应力广义剪应力 0 为平均应力或静为平均应力或静水压力，只引起物水压力，只引起物体体积的
24、变化，体体积的变化， i 或或 0只引起物体形只引起物体形状的变化，状的变化， 与应与应力状态有关。力状态有关。3737应力偏量分量、主应力用应力强度、应力偏量分量、主应力用应力强度、平均应力与应力状态状态角表示平均应力与应力状态状态角表示 应力偏量应力偏量 主应力主应力 s1+s2+s3 = 0 1+ 2+ 3 = 3 0 3838应力星圆应力星圆应应力力星星圆圆是是以以距距原原点点O为为 0的的一一点点为为圆圆心心，以以2 i / 3为为半半径径所所画画的的圆圆。由由圆圆心心O 点点开开始始作作与与轴轴O 成成 角角的的直直线线，则则此此直直线线与与圆圆的的交交点点在在。 轴轴上上的的投投
25、影影即即为为 1。由由OA线线顺顺时时针针旋旋转转120 作作一一直直线线，此此直直线线与与圆圆的的交交点点在在 轴轴上上的的投投影影即即为为 2。而而由由OA线线顺顺时时针针旋旋转转240 所作的直线与圆的交点在所作的直线与圆的交点在 轴上的投影即为轴上的投影即为 3。3939应力星圆应力星圆4040应力状态与应力状态与应力星圆应力星圆4141【例例例例】已已已已知知知知应应应应力力力力状状状状态态态态为为为为： 1 1=150MPa, =150MPa, 2 2=50MPa, =50MPa, 3 3= = -50MPa-50MPa，试画出应力星圆。，试画出应力星圆。，试画出应力星圆。，试画出
26、应力星圆。【解解解解】 0 0 = (150+50-50)/3 = 50MPa = (150+50-50)/3 = 50MPa 故，故，故，故， = 30= 30 。4242应力星圆应力星圆4343最大剪应力用最大剪应力用 i 和和 表示表示4444应力星圆应力星圆剪剪应应力力 2的的绝绝对对值值最大。最大。 1 1OO 1 1 3 3 2 2 0 0 2 2 3 345451-6 应力罗德参数与应力罗德角应力罗德参数与应力罗德角在在在在 平平平平面面面面上上上上建建建建立立立立直直直直角角角角坐坐坐坐标标标标系系系系OxyOxy，取取取取y y轴轴轴轴方方方方向向向向与与与与 2 2轴轴轴轴
27、在在在在 平平平平面面面面上上上上投投投投影影影影2 2 一一一一致。致。致。致。矢矢矢矢量量量量OpOp在在在在坐坐坐坐标标标标轴轴轴轴1 1 上上上上的的的的投投投投影影影影长长长长度度度度为为为为O O p p1 1 = = 1 1，在在在在2 2 上上上上的的的的投投投投影影影影长长长长度度度度为为为为O O p p2 2 = = 2 2，在在在在3 3 上上上上的的的的投投投投影影影影长长长长 度度度度 为为为为 O O p p3 3 = = 3 3。 矢矢矢矢量量量量OpOp与与与与x x轴轴轴轴夹夹夹夹角角角角为应力罗德角为应力罗德角为应力罗德角为应力罗德角 。120 120 1
28、 2 3 O yxpp3 p2 p1 4646应应力力罗罗德德参参数数与与应应力力罗罗德德角角和和应应力力状状态态特特征征角角的的关系关系 r r 4747应力罗德参数与应力罗德角应力罗德参数与应力罗德角应力罗德角应力罗德角应力罗德参数应力罗德参数 洛洛德德角角， 平平面面上上的的剪剪应应力力 与与2 轴轴的的垂垂线线间间的的夹夹角；角； 洛德参数，洛德参数， 。 4848应力罗德参数应力罗德参数-30-30 30 30 -1 -1 1 1 4949应力状态与应力罗德角应力状态与应力罗德角5050【例例例例】已已已已知知知知一一一一点点点点的的的的主主主主应应应应力力力力 1 1 3 3 2
29、2 3 3 3 3，试试试试求求求求该该该该点点点点的的的的应应应应力力力力形形形形式式式式指指指指数数数数coscos 、应应应应力力力力罗罗罗罗德德德德参参参参数数数数 、应应应应力力力力状状状状态态态态特特特特征征征征角角角角 、应应应应力力力力罗罗罗罗德德德德角角角角 ，并并并并在在在在 平平平平面面面面（等等等等倾倾倾倾面面面面）上上上上画画画画出两个角度之间的关系。出两个角度之间的关系。出两个角度之间的关系。出两个角度之间的关系。 5151如如如如 果果果果 1 1 3 3 3 3， 2 2 2 2 3 3，则，则，则，则 30 0 r 30 0 1 1 3 3 2 2 3 3 3
30、 352521-7 应力张量的分解应力张量的分解一一点点的的应应力力状状态态可可以以用用6个个应应力力分分量量来来表表示示，在在给给定定的的受受力力情情况况下下，各各应应力力分分量量的的大大小小与与坐坐标标轴轴的的方方向向有有关关，而而它它们们作作为为一一个个整整体体用用来来表表示示一一点点应应力力状状态态的的这这一一物物理理量量（称称为为应应力力张张量量）则则与与坐坐标标的的选选择择无无关关。所所谓谓张张量量是是指指在在坐坐标标变变换换时时，按按某某种种指指定定形形式式变变化化的的量量。张张量量的的分分量量随随坐坐标标的的变变换换而而变变化化。应应力力张张量量是二阶张量。应力张量是二阶对称张
31、量。是二阶张量。应力张量是二阶对称张量。5353应力应力张量张量应应力力分分量量应力偏应力偏量张量量张量应力球应力球张量张量克罗内克尔（克罗内克尔（Kronecker）符号）符号5454应应力力张张量量的的分分解解5555将将应应力力状状态态分分解解为为球球形形应应力力张张量量和和应应力力偏偏量量，球球形形应应力力张张量量表表示示各各向向均均匀匀受受力力状状态态，有有时时也也称称静静水水压压力力状状态态。将将原原应应力力状状态态减减去去静静水水压压力力状状态态即即可可得得到到应应力力偏偏量量状状态态。球球形形应应力力张张量量引引起起物物体体体体积积的的改改变变，而而应应力力偏偏量量则则引引起物
32、体形状的变化。起物体形状的变化。5656应力偏量张量不变量应力偏量张量不变量57571-8 平衡微分方程平衡微分方程一一一一均均均均质质质质的的的的杆杆杆杆，悬悬悬悬挂挂挂挂在在在在固固固固定定定定端端端端，受自重的作用。受自重的作用。受自重的作用。受自重的作用。取取取取x x方向的静力平衡方向的静力平衡方向的静力平衡方向的静力平衡由此得由此得由此得由此得积积积积分分分分并并并并利利利利用用用用x x = = 0 0时时时时 = = 0 0的的的的边边边边界界界界条条条条件，得应力解答件，得应力解答件，得应力解答件，得应力解答 = = gxgx。悬挂的均质杆悬挂的均质杆5858在在物物体体内内
33、的的任任意意一一点点P，割割取取一一个个微微小小的的平平行行六六面面体体，棱棱边边 的的 长长 度度 分分 别别 为为 PA=dx，PB=dy，PC=dz。 首首先先，以以连连接接六六面面体体前前后后两两面面中中心心的的直直线线ee 为为矩矩轴轴，列列 出出 力力 矩矩 的的 平平 衡衡 方方 程程 Mee =0整理，并略去微量后，得整理，并略去微量后，得同理，可以得出同理，可以得出剪应力互等定理剪应力互等定理剪应力互等定理剪应力互等定理5959列出列出x轴方向的力的平衡方程轴方向的力的平衡方程 由其余两个平衡方程由其余两个平衡方程 和和 可以得出与之相似的两个方可以得出与之相似的两个方程。化
34、简，除以程。化简，除以dxdydz，得，得空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程 （纳维叶方程）（纳维叶方程）空间问题的平衡微分方程空间问题的平衡微分方程6060如如如如物物物物体体体体处处处处于于于于运运运运动动动动状状状状态态态态，根根根根据据据据达达达达朗朗朗朗伯伯伯伯(dAlembert)(dAlembert)原原原原理，在体力项中引入惯性力理，在体力项中引入惯性力理，在体力项中引入惯性力理，在体力项中引入惯性力: :运动微分方程运动微分方程6161柱坐标下平衡微分方程柱坐标下平衡微分方程对对于于圆圆柱柱形形或或圆圆筒筒形形的的物物体体采采用用柱柱坐坐标标比比较较方方便便。在在圆圆柱柱坐坐标标中中，任任一一点点的的位位置置都都是是用用坐坐标标r、 和和z表示的。表示的。取微元体取微元体drd dz，利用，利用 三个方向大静力平衡方三个方向大静力平衡方 程，求得坐标下平衡微程，求得坐标下平衡微 分方程。分方程。6262极坐标时，与极坐标时，与z有关的量为有关的量为0轴对称问题轴对称问题6363
