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1、二、偏导数的定义及其计算方法二、偏导数的定义及其计算方法四、高阶偏导数四、高阶偏导数第三节、全微分和偏导数第三节、全微分和偏导数三、可微的条件三、可微的条件一、全微分的定义一、全微分的定义:由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义一、全微分的定义:全增量的概念全增量的概念 ),(yx如果函数如果函数),(yxfz = =在点在点的某邻域内的某邻域内有定义，有定义，任意一点，任意一点，为函数在点为函数在点P对应于自变量增量对应于自变量增量yx D DD D ,的全增的全增量，记为量，记为zD D， ),(yyxxPD D+ +D D+ + 为这邻域
2、内的为这邻域内的并设并设则称这两点的函数值之差则称这两点的函数值之差即即:引例：引例：设矩形的长、宽分别用设矩形的长、宽分别用表示，表示，则矩形的则矩形的面积面积为为若测量若测量时产生的误差为时产生的误差为则该矩形面积则该矩形面积产生的误差为产生的误差为上式右端包含两部分，上式右端包含两部分，它是它是关于关于的线性函数的线性函数; 另一部分是另一部分是当当即即时时,一部分是一部分是:是比是比高阶的无穷小，高阶的无穷小，因此略去高阶无穷小，因此略去高阶无穷小，而用而用近似表示近似表示则其差则其差是一个比是一个比高阶的无穷高阶的无穷小，小，称称为函数为函数在在处的处的全微分。全微分。:定义定义 如
3、果函数如果函数),(yxfz = =在点在点),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz- -D D+ +D D+ += =D D可以表示为可以表示为其中其中BA,不依赖于不依赖于yx D DD D ,而仅与而仅与yx,有关，有关，22)()(yxD D+ +D D= =r r， 则称函数则称函数),(yxfz = =在点在点),(yx可微分，可微分，yBxAD D+ +D D称为函数称为函数),(yxfz = =即即 dz= =yBxAD D+ +D D. .)(r royBxAz+ +D D+ +D D= =D D,在点在点),(yx的的全微分，全微分，记为记为dz，:事实上事
4、实上若函数在某区域若函数在某区域D内各点处处可微分，内各点处处可微分，则称这函数在则称这函数在D内可微分内可微分. ),(yxfz = =),(yx如果函数如果函数在点在点可微分可微分, 那么那么函数在该点连续。函数在该点连续。:二、偏导数二、偏导数 在研究一元函数时，从研究函数的变化率在研究一元函数时，从研究函数的变化率引入了导数的概念，引入了导数的概念，它的变化率。它的变化率。首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，就是我们下面的偏导数概念。就是我们下面的偏导数概念。由于多元函数不止一个自变量，由于多元函数不止一个自变量，对于多元函数同样需要
5、讨论对于多元函数同样需要讨论因而因而:定义定义 假设假设存在，存在，设函数设函数在点在点的某一邻的某一邻域内有定义，域内有定义，相应地函数有增量相应地函数有增量处对处对的的 偏导数，偏导数，1. 偏导数的定义偏导数的定义在点在点则称此极限为函数则称此极限为函数记为记为固定在固定在而而在在处有增量处有增量当当时，时，:同理可定义同理可定义: :函数函数的偏导数的偏导数为为记为记为在点在点处对处对或或或或即即:解解就是就是x、y的函数，的函数，自变量自变量x的偏导数，的偏导数，如果函数如果函数在区域在区域内任一点内任一点处对处对x的偏导数都存在，的偏导数都存在， 那么这个偏导数那么这个偏导数),(
6、yxfz = =对对它就称为函数它就称为函数如，设如，设求求:记作记作同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz = =对自变量对自变量y的偏导的偏导数，数， 记作记作:从偏导数的可以看出，计算多元函数的偏导数从偏导数的可以看出，计算多元函数的偏导数并不需要新的方法，并不需要新的方法，数时，数时，那那么么所以，所以，对对的偏导就是的偏导就是的导数。的导数。于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以于是，一元函数的求导公式和求导法则都可以移植到多元函数的偏导数的计算上来。移植到多元函数的偏导数的计算上来。对对的偏导的偏导如计算如计算视为常数，视为常数，因为已将因为已将故若令故若令:（）（）（）
7、（） 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：偏导数的概念可以推广到二元以上函偏导数的概念可以推广到二元以上函数，数，如如 在在 处处 定义求；定义求；偏导数偏导数是一个整体记号，是一个整体记号，不能拆分不能拆分;（3）:解解例例1 1 求求 在点在点处的偏导数处的偏导数:解解例例2 2 求三元函数求三元函数 的偏导数。的偏导数。:解解当当时时求求例例3 3的偏导数。的偏导数。:由变量的对称性可得由变量的对称性可得当当时时:证证 例例4已知理想气体的状已知理想气体的状态方程方程（R为常数），求证：为常数），求证：:例例 5 5
8、解解:按定义可知：按定义可知：:多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续。连续。一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续；连续；但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在 连续连续.2、偏导数存在与连续的关系、偏导数存在与连续的关系:，求，求例例6 设设其中其中解解:同理可得：同理可得：因点因点沿沿直线直线趋于趋于时，时，而点，而点沿沿轴趋于轴趋于时，时，所以所以不存在，不存在，从而从而在在不连续。不连续。但极限但极限不存在，不存在，。:如图如图3、偏导数的几何意义、偏导数的几何意义:演示演示几何意义几何意义: : 偏导数偏导数就是曲面被平面就是
9、曲面被平面所截得的曲线所截得的曲线的斜率的斜率.处的切线处的切线对对轴轴在点在点: 偏导数偏导数就是曲面被平面就是曲面被平面所截得的曲线所截得的曲线的斜率的斜率.处的切线处的切线对对轴轴在点在点:三、可微的条件三、可微的条件 定理定理3.1 3.1 （必要条件）（必要条件）则该函数在点则该函数在点),(yx的偏导数的偏导数xz 、yz 必存在，必存在，为为),(yx可微分，可微分，),(yxfz = =在点在点),(yx的全微分的全微分且函数且函数),(yxfz = =在点在点如果函数如果函数证证因为函数因为函数在点在点可微分可微分,:总成立总成立,同理可得同理可得 D D+ +D D+ +
10、),(yyxxP，有，有当当时，上式仍成立，时，上式仍成立， 此时此时:多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在例如，例如，:那那么么当当 时，时，:多元函数的各偏导数存在并不能保证全多元函数的各偏导数存在并不能保证全 证证在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理微分存在，微分存在，说明：说明：:（依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）其中其中为为的函数的函数, 且当且当时， :同理同理故函数故函数在点在点处可微处可微.:记全微分为记全微分为全微分的定义可推广到三元及
11、三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况习惯上，自变量的增量习惯上，自变量的增量分别记作分别记作分别称为自变量分别称为自变量的微分。的微分。偏微分之和这件事偏微分之和这件事原理原理原理原理称为二元函数的微分符合叠加称为二元函数的微分符合叠加:解解所求全微分所求全微分例例1 1 计算函数计算函数在点在点)1 , 2(处的全微分处的全微分. .:解解例例2 求函数求函数当当时的全微分时的全微分.:解解所求全微分所求全微分例例3 计算函数计算函数
12、的全微分的全微分.:例例4 试证函数试证函数在点在点连续且偏且偏导数存在，数存在，不不连续，思路：思路：讨论讨论.按有关定义讨论；对于偏导数需分按有关定义讨论；对于偏导数需分但偏导数在点但偏导数在点在点在点可微可微. 而而:证证 令令那那么么同理同理 )0 , 0(故函数故函数连续连续. .在点在点:不存在不存在.所以所以在在不连续不连续.:且且:的图形的图形的图形的图形:多元函数连续、可偏导、可微的关系多元函数连续、可偏导、可微的关系函数连续函数连续函数可微函数可微偏导数连续偏导数连续函数可偏导函数可偏导:四、高阶偏导数四、高阶偏导数设函数设函数在区域在区域内具有偏导数内具有偏导数于是在于是
13、在内内、都是都是的函数。的函数。若这两个函数的偏导数存在，若这两个函数的偏导数存在，的二阶偏导数。的二阶偏导数。则称它们是函数则称它们是函数:纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导定义：定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.:解解 设设， 求求例例7:原原函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形偏偏导导函函数数图图形形二二阶阶混混合合偏偏导导函函数数图图形形观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：函数图象间的关系：:例例7 7 设设byeuaxcos= =，求二阶偏导数，求二阶偏导数 . 解解问题：问
14、题： 混合偏导数都相等吗？混合偏导数都相等吗？:解解按定义可知：按定义可知：当当时，时，例例 8 8设设求求 的二阶混合偏导数。的二阶混合偏导数。:问题：问题：具备怎样的条件才能使混合偏导数相等具备怎样的条件才能使混合偏导数相等:解解方程方程 验证函数验证函数22ln),(yxyxu+ += =满足拉普拉斯满足拉普拉斯例例9定理定理 若函数若函数的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数这两个二阶混合偏导数必相等这两个二阶混合偏导数必相等则在该区域内，则在该区域内， 连续连续, ,及及在区域在区域内内:证毕证毕:全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用也可写成也可写成都较小时，都较小时，连续，连续，个偏导数个偏导数yxfyxfyx),(),(的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxPyxfz = =),(),(yx D DD D ,且且有近似等式有近似等式:解解由公式得由公式得设函数设函数例例5 计算计算的近似值的近似值.:
