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1、分分量量全全为为实实数数的的向向量量称称为为实实向向量量分分量量全全为为复复数数的的向向量量称称为为复复向向量量向量的定义向量的定义定定义义向向量量的的相相等等零零向向量量分分量量全全为为0 0的的向向量量称称为为零零向向量量负负向向量量向向量量加加法法向量的线性运算向量的线性运算数数乘乘向向量量向向量量加加法法和和数数乘乘向向量量运运算算称称为为向向量量的的线线性性运运算算 ， 满满 足足 下下 列列 八八 条条 运运 算算 规规 则则 ：除除了了上上述述八八条条运运算算规规则则，显显然然还还有有以以下下性性质质：若若干干个个同同维维数数的的列列（行行）向向量量所所组组成成的的集集合合叫叫做
2、做向向量量组组定定义义线性组合线性组合定定义义线性表示线性表示定定理理定定义义定定义义线性相关线性相关定定理理定定理理定定义义向量组的秩向量组的秩等等价价的的向向量量组组的的秩秩相相等等定定理理 矩矩阵阵的的秩秩等等于于它它的的列列向向量量组组的的秩秩，也也等等于于它它的的行行向向量量组组的的秩秩定定理理设设向向量量组组B B能能由由向向量量组组A A线线性性表表示示，则则向向量量组组 B B 的的 秩秩 不不 大大 于于 向向 量量 组组A A 的的秩秩推推论论推推论论推推论论（最最大大无无关关组组的的等等价价定定义义）设设向向量量组组是是向向量量组组的的部部分分组组，若若向向量量组组线线性
3、性无无关关，且且向向量量组组能能由由向向量量组组线线性性表表示示，则则向向量量组组是是向向量量组组的的一一个个最最大大无无关关组组向量空间向量空间定定义义设设 为为 维维向向量量的的集集合合，如如果果集集合合 非非空空，且且集集合合 对对于于加加法法及及数数乘乘两两种种运运算算封封闭闭，那那么么就就称称集集合合 为为向向量量空空间间定定义义子空间子空间定定义义基与维数基与维数向向量量方方程程齐次线性方程组齐次线性方程组解解向向量量解解向向量量的的性性质质性性质质性性质质定定义义定定理理定定义义向向量量方方程程非齐次线性方程组非齐次线性方程组解解向向量量的的性性质质性性质质性性质质解解向向量量向
4、向量量方方程程 的的解解就就是是方方程程组组 的的解解向向量量（）求求齐齐次次线线性性方方程程组组的的基基础础解解系系线性方程组的解法线性方程组的解法第第一一步步：对对系系数数矩矩阵阵进进行行初初等等行行变变换换，使使其其变变成成行行最最简简形形矩矩阵阵第第三三步步：将将其其余余 个个分分量量依依次次组组成成 阶阶单单位位矩矩阵阵，于于是是得得齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一个个基基础础解解系系（）求求非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特解解将将上上述述矩矩阵阵中中最最后后一一列列的的前前 个个分分量量依依次次作作为为特特解解的的第第 个个分分量量，其其余余 个个分分量量全全部部取取零
5、零，于于是是得得即即为为所所求求非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的一一个个特特解解一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩二、求向量组的秩三、向量空间的判定三、向量空间的判定四、基础解系的证法四、基础解系的证法五、解向量的证法五、解向量的证法典型例题典型例题一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定研研究究这这类类问问题题一一般般有有两两个个方方法法方方法法1 1从从定定义义出出发发整整理理得得线线性性方方程程组组方方法法利利用用矩矩阵阵的的秩秩与与向向量量组组的的秩秩之之间间关关系系判判定定例例研研究究下下列列向向量量组组的的线线性性相相关关性性解解一一整整理
6、理得得到到解解二二分分析析证证明明证证明明向向量量组组的的一一个个部部分分组组构构成成最最大大线线性性无无关关组组的的基基本本方方法法就就是是：分析分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系与向量组的秩相联系证证明明求求一一个个向向量量组组的的秩秩，可可以以把把它它转转化化为为矩矩阵阵的的秩秩来来求求，这这个个矩矩阵阵是是由由这这组组向向量量为为行行（列列）向向量量所所排排成成的的如如果果向向量量组组的的向向量量以以列列（行行）向向量量的的形形式式给给出出，把把向向量量作作为为矩矩阵阵的的列列（行行），对对矩矩阵阵作作初初等等行行（列列）
7、变变换换，这这样样，不不仅仅可可以以求求出出向向量量组组的的秩秩，而而 且且 可可 以以 求求 出出 最最 大大 线线 性性 无无 关关 组组 二、求向量组的秩二、求向量组的秩若若矩矩阵阵 经经过过初初等等行行（列列）变变换换化化为为矩矩阵阵 ，则则 和和 中中任任何何对对应应的的列列（行行）向向量量组组都都有有相相同同的的线线性性相相关关性性解解判判断断向向量量的的集集合合是是否否构构成成向向量量空空间间，需需看看集集合合是是否否对对于于加加法法和和数数乘乘两两种种运运算算封封闭闭若若封封闭闭，则则构构成成 向向 量量 空空 间间 ； 否否 则则 ， 不不 构构 成成 向向 量量 空空 间间
8、 解解三、向量空间的判定三、向量空间的判定例例证证明明与与基基础础解解系系等等价价的的线线性性无无关关的的向向量量组组也也是是基基础础解解系系四、基础解系的证法四、基础解系的证法分析分析(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示方程组的任一解均可由该向量组线性表示(1)该组向量都是方程组的解；该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；该组向量线性无关；要要证证明明某某一一向向量量组组是是方方程程组组的的基基础础解解系系，需需要要证证明明三三个个结结论论:证证明明注注 当当线线性性方方程程组组有有非非零零解解时时，基基础础解解系系的的取取法法不不唯唯一一，且且不不同同的的基基础础解解系系之
9、之间间是是等等价价的的五、解向量的证法五、解向量的证法证证明明注注意意(1)本本例例是是对对非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的解解的的结结构构作作进进一一步步的的分分析析和和讨讨论论，即即非非齐齐次次线线性性方方程程组组一一定定存存在在着着个个线线性性无无关关的的解解，题题中中( 2 )的的 证证 明明 表表 明明 了了 它它 的的 存存 在在 性性 (3)对对非非齐齐次次线线性性方方程程组组，有有时时也也把把如如题题中中所所给给的的个个解解称称为为的的基基础础解解系系，所所不不同同的的是是它它的的线线性性组组合合只只有有当当线线性性组组合合系系 数数 之之 和和 为为1时时 ， 才才 是是 方方 程程 组组 的的 解解 (2)对对齐齐次次线线性性方方程程组组，当当时时，有有无无穷穷多多组组解解，其其中中任任一一解解可可由由其其基基础础解解系系线线性性表表示示第四章测试题第四章测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题5 5分，共分，共4040分分) )二、计算题二、计算题( (每小题每小题8 8分，共分，共2424分分) )三、证明题三、证明题 ( (每小题每小题8 8分，共分，共2424分分) )四、向量组四、向量组 线性无关线性无关, ,问常数问常数 满足满足什么条件时什么条件时, ,向量组向量组线性无关线性无关(12(12分分) )测试题答案测试题答案
