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1、3.5 3.5 函数的单调性函数的单调性函数的单调性函数的单调性 与极值、最值与极值、最值与极值、最值与极值、最值 一、函数单调性及其判定一、函数单调性及其判定 二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法三、函数的最值及其求法三、函数的最值及其求法一、单调性的判别法一、单调性的判别法定理定理 例如例如解：解：注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性1 .定理中的闭区间换成其它定理中的闭区间换成
2、其它 区间区间,结论仍然成立结论仍然成立.3.使函数单调增（减）的区间，称为函数的单调使函数单调增（减）的区间，称为函数的单调 增（减）区间增（减）区间.注意注意例例1 1解解解解例例2 2例例3 3解解+ +不存在不存在单调减区间为单调减区间为单调增区间为单调增区间为当函数在定义区间上不是单调的，但在各当函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调，如何求函数的单调区个部分区间上单调，如何求函数的单调区间？间？单调区间求法：单调区间求法： 因为导数等于零的点和不可导点，可能是单调区因为导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的间的分界点分界点例例4 4解解00+ + +单调增区间为单调
3、增区间为单调减区间为单调减区间为用途：用途：利用单调性还可以利用单调性还可以 1证明不等式证明不等式;2确定某些方程实根的个数确定某些方程实根的个数.证明：证明：例例5例例6二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法1.定义定义:设函数设函数 f(x) 在在 内有定义内有定义 如果对任意如果对任意极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值 .均有均有f(x) f(x0) 则称则称 f(x0) 是函数是函数 f(x)的一个的一个极大极大 值值 ( f(x)f(x0) )(小小)使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点 .(小)说明：说明：1极值概念是局部概念极值概念是局部
4、概念,故极值是不唯一的故极值是不唯一的,如图如图.2最值概念是全局概念最值概念是全局概念,最值是唯一的最值是唯一的.观察极值点处的特点观察极值点处的特点,如图如图如果有切线存在，且切线有确定如果有切线存在，且切线有确定 的斜率，则切的斜率，则切线平行于线平行于x轴，即切线的斜率为零轴，即切线的斜率为零 .2、函数极值的求法、函数极值的求法定理定理1 1( (必要条件必要条件) )（2）不可导点也可能是极值点，不可导点也可能是极值点，注注:（1）可导的极值点必为可导的极值点必为驻点，驻点不一定驻点，驻点不一定是极值点，是极值点， 定理定理 2 (极值的第一充分条件极值的第一充分条件)且在去心邻域
5、内有可导,(是极值点情形是极值点情形)(不是极值点情形不是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤: :例例7. 求函数求函数的极值的极值 .解解:1) 求导数求导数2) 求可能的极值点求可能的极值点令令得得导数不存在的点导数不存在的点3) 列表判别列表判别是极大点，是极大点， 其极大值为其极大值为是极小点，是极小点， 其极小值为其极小值为练习练习解解极极大大值值定理定理2 (极值的第二充分条件极值的第二充分条件)二阶导数二阶导数 , 且且则则 在点在点 取极大值取极大值 ;则则 在点在点 取极小值取极小值 .注意：注意：例例8. 求函数求函数的极值的极值 . 解解: 1) 求导数求导数2) 求驻
6、点求驻点令令得驻点得驻点3) 判别判别练习：练习：解解图形如下图形如下思考问题思考问题最大值和最小值可能在最大值和最小值可能在什么样的点取到？什么样的点取到？三、函数的最值三、函数的最值求最值的步骤求最值的步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点、驻点、不可导点的函数值求区间端点、驻点、不可导点的函数值3.比较大小比较大小例例9 9解解计算计算比较得比较得(1) f (x)在在 a, b上连续上连续 ，在，在(a, b)内可导内可导且只有一个极值点且只有一个极值点x0. 则则 x0 也是最值点，也是最值点，f (x0) 是最值是最值.特例xy0abyx0abx0x0(2)
7、 若若 f (x)在在 a, b上连续上连续 ，且在，且在(a, b)内单调，内单调，则最大最小值在区间的端点取得则最大最小值在区间的端点取得.abxy0abxy0 在生产实践中，常常要考虑在生产实践中，常常要考虑 在一定条件下，如何使产量在一定条件下，如何使产量最多、速度最快、质量最好、费用最省、效率最最多、速度最快、质量最好、费用最省、效率最高等问题，这些问题在数学上就是求函数的最大高等问题，这些问题在数学上就是求函数的最大与最小问题，运用数学方法可以帮助人们选择最与最小问题，运用数学方法可以帮助人们选择最优方案，达到预期的目的优方案，达到预期的目的.最优化问题最优化问题最优化问题最优化问
8、题(1)根据问题的假设和条件建立目标函数根据问题的假设和条件建立目标函数 y = f ( x )(2)求最优解：最值或最值点求最优解：最值或最值点.作法：作法：（3）例例11：某房地产公司有：某房地产公司有50套公寓要出租，当租套公寓要出租，当租金定为每月金定为每月180元时，公寓会全部租出去。当租元时，公寓会全部租出去。当租金每月增加金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。元的整修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？试问房租定为多少可获得最大收入？做一个容积为做一个容积为V0的带盖圆柱形铁皮
9、桶，问当底半的带盖圆柱形铁皮桶，问当底半径径 r 和高和高 h 各为多少时，能使所用材料最省？各为多少时，能使所用材料最省？(1)目标函数：表面积目标函数：表面积V0rhS = 2 r h+ r2 2由条件由条件 r2 h = V0故故例例6 6解解(2)求解求解:令令S (r)=0 得驻点得驻点因驻点（极值点）唯一因驻点（极值点）唯一. 故故r也是最小值也是最小值点点.于是当于是当时，时，S最小最小. 故所用材料能最省故所用材料能最省.此时此时内容小结内容小结2. 连续函数的极值连续函数的极值(1) 极值可疑点极值可疑点 : 使导数为使导数为0 或不存在的点或不存在的点(2) 第一充分条件第一充分条件左左正右正右负负为极为极大大值值左负右左负右正正为极为极小小值值(3) 第二充分条件第二充分条件为极为极大大值值为极为极小小值值1. 可导函数单调性判别可导函数单调性判别在在 I 上单调递增上单调递增在在 I 上单调递减上单调递减
