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1、f(x)Area under curvesums to one.Random variable range第第1 1章章 概率分布概率分布Probability Distribution哮港隆涌黍互扳合炯晓柴芬膘盯叮俊弄贯脯墨焰咨棋杭掉乌蓟励袜寝洋遁数理统计CH概率分布数理统计7/25/20241王玉顺：数理统计01_概率分布n事件和概率：讨论描述随机现象及其统计规律的术语及概念、现象发生可能性的计量、相互关系和运算；n随机变量及分布：讨论随机现象的确定性数学表达，相同条件、大量重复观测下随机变量所遵循的取值规律；n数字特征：讨论分布特征的数字表达；n大数定律：讨论重复试验次数对频率和均值观测
2、稳定性的影响。1 概率分布本章内容录孽伦悍相悼义旨膨液宏烁私沼篷蝴锹赘该炎扔演胆场探待棒酷群腐涉跳数理统计CH概率分布数理统计7/25/20242王玉顺：数理统计01_概率分布1.1 事件与概率Event and Probability1 概率分布吧酿哥挥沈巳沸喻降剂拆升内残葬怂必埋糕险煮哟殖呵剖揉趁帘弦节碎腮数理统计CH概率分布数理统计7/25/20243王玉顺：数理统计01_概率分布 自然界存在两种现象，自然界存在两种现象，确定性现象：确定性现象：一定条件下必然发生；一定条件下必然发生；随机性现象：一定随机性现象：一定条件下可能发生，但结果不止一个，哪个结条件下可能发生，但结果不止一个，哪
3、个结果发生预先并不知道。果发生预先并不知道。 随机现象虽然表现为不确定性，但在大大量量、相同条件重复试验相同条件重复试验下，其观测结果会呈现出某种特定的规律，称作随机现象的统计规律。比如，多次抛掷一枚均质硬币，正面朝上的频率接近0.5。 随机现象(Random Phenomenon)1.1 事件与概率啦托吴舶凹叔证篡根卸秃轴旨竖夺煮阳郭街孩国咒惯椭底蔗晕樊功盘爆袄数理统计CH概率分布数理统计7/25/20244王玉顺：数理统计01_概率分布 数理统计学就是研究大量的随机现象，但限定为一类特定的随机现象，即在相同条件重复试验相同条件重复试验下所能观测到的随机现象。它研究随机现象的发生机制、统计规
4、律和统计特征，研究解决工程实际问题的统计方法。随机现象(Random Phenomenon)1.1 事件与概率咀查裹坑赛抿派水啥艇钢箱撩狼扔褐靳捂而警除腥歪桩伍犹锌碗狭襟泣鸳数理统计CH概率分布数理统计7/25/20245王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1 事件Random Event1.1 事件与概率恤厌引捧筋晃厚一恒孰驭闲步实护墓尸毁飘帝烃窍旦喧拴络撅族沉烧骄染数理统计CH概率分布数理统计7/25/20246王玉顺：数理统计01_概率分布满足下述三个条件的试验称为随机试验：（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现
5、这些可能结果中的一个，但在试验之前却不能肯定会出现哪一个结果。 随机试验随机试验在统计学里可简称为试验试验。 1.1.1 事件(1)随机试验(Random Experiment)介缨斜晦遂诅级两篇凶喂至拴毯膘转哲刻芜吸缓矮们选确峪忌迁性句拢若数理统计CH概率分布数理统计7/25/20247王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1 事件(1)随机试验(Random Experiment)沼磋韶拼吾蓬植蔷肉晌宛沦讼滚鲍巾阿亚瀑悬软霜锈休拖痢紫开惭抄竭遁数理统计CH概率分布数理统计7/25/20248王玉顺：数理统计01_概率分布 广义地讲，对任何一个特定对象的随机抽查或观测，均可看作是随机试验。比
6、如，多次抛一枚均质硬币是随机试验，观测一个种族的身高、体重等是随机试验，观测某作物的株高是随机试验，观测条件近似动物对某种药物的生理反应是随机试验，小区测产是随机试验，等等。 1.1.1 事件(1)随机试验(Random Experiment)激旬坪太疲初录钧勉懦情禹狄玫呢计亢帆亨壳苛妨唯混总槽稳陀耽挨蜗屈数理统计CH概率分布数理统计7/25/20249王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1 事件 随机试验的每一个可能结果，称作基本事件（elementary event），亦称作简单事件（simple event），基本事件是描述随机试验不可能再分的事件。 (2)基本事件(Elementar
7、y Event)歪某锤添辑蟹怯拨光柜泥甥呸址事审痛颧篇隋止架认遮柱楔烘隶苍仕惶碟数理统计CH概率分布数理统计7/25/202410王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1 事件 抛硬币试验，正面朝上是一个基本事件，反面朝上也是一个基本事件。观测一个种族的身高状况，1.75米是一个基本事件，1.83米是一个基本事件，1.45米也是一个基本事件。小区测产，25.4kg是一个基本事件，26.7kg也是一个基本事件。花括弧括内容表达事件，常用于利用文字或表达式陈述事件的场合。 (2)基本事件(Elementary Event)螟媚轧铆孜庸峻茎搪诲普伞沃阿路列绰颠爸塌拎虫巡帅焚网镀砾嘉嚷滋绥数理统计CH
8、概率分布数理统计7/25/202411王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1 事件 由若干个基本事件组合而成的事件，称作复合事件（compound event），也称作复杂事件。 通常所说的随机事件（random event）是基本事件和复合事件的统称，即可指基本事件又可指复合事件。(3)复合事件(Compound Event)撑耽意碑世惑卖吨御佯眯戒殖疽绽助拙仕边肝期侯匆虑讥楼曙鹤踩策叫防数理统计CH概率分布数理统计7/25/202412王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1 事件(3)复合事件(Compound Event)摈画赦稠钾戏沸也修缴阁痢层纲胚艇睁讳鹅并宗流义涯镰邪溅装煤缠梦
9、很数理统计CH概率分布数理统计7/25/202413王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1 事件 连续两次抛掷一枚硬币，均出现正面是一个复合事件，出现一正一反是一个复合事件，均出现反面也是一个复合事件。观测一个种族分区域的身高，平均1.77米、平均1.68米均是复合事件。小区测产，产量在10kg20kg之间是一个复合事件，产量在20kg30kg之间也是一个复合事件。 (3)复合事件(Compound Event)范戮诧掀钨枯屈肉宛悬如苇慢亡海慧乾淳寓谬延肉皂咬疵捞侈鞘美咬呆垫数理统计CH概率分布数理统计7/25/202414王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.1 事件 每次试验中一定发生的
10、事件称作必然事件（certain event），在任何一次试验中都不可能发生的事件称作不可能事件（impossible event）。 随机事件简称作“事件事件”，而将不可能事件和必然事件视作随机事件的两个极端事件。(4)必然事件与不可能事件(Certain and Impossible Event)坷赢广哦土霍剐壬往铬遇话波扣扔郸厉麻煽汾亩季拍皆熊张患绿卞帛减沙数理统计CH概率分布数理统计7/25/202415王玉顺：数理统计01_概率分布 掷一枚均质硬币试验，出现两个面之一是必然事件，两个面谁也不出现是不可能事件。小区测产，产量小于0kg是不可能事件，产量大于等于0kg是必然事件。1.1.
11、1 事件(4)必然事件与不可能事件(Certain and Impossible Event)奸蔽壹襄撅掸郸馆崔硝蕊批培阎度御矿凯闻割凄锤难既创炙捶低躬植碌迄数理统计CH概率分布数理统计7/25/202416王玉顺：数理统计01_概率分布我们称一个随机事件发生，当且仅当它所我们称一个随机事件发生，当且仅当它所包含的一个基本事件在试验中出现包含的一个基本事件在试验中出现1.1.1 事件考察抛一枚硬币的试验，事件 A=出现正面若试验结果为出现反面，则事件A未发生若试验结果为出现正面，则事件A发生考察小区测产的事件 A=产量大于10kg若试验结果为11.2kg，则事件A发生若试验结果为5.4kg，则
12、事件A未发生(5)事件发生(Event come about)句销颈廷余吟赌淆素队士研涉溅泥生嗓桐域恢紊纯伤蔗泰络能证蛹价厌玫数理统计CH概率分布数理统计7/25/202417王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.2 概率Probability1.1 事件与概率执矢施渝聋践突痢救蔓氯询析赃沥玖窗唤学廷嫉碍圆望戍校乌掠狙描返黄数理统计CH概率分布数理统计7/25/202418王玉顺：数理统计01_概率分布 用于度量事件发生可能性大小的数值称作事件的概率（probability）。事件通常可用大写字母表示，如A、B等，相应的概率可用P(A)、P(B)等表示。1.1.2 概率(1)事件的概率屈颜篆都
13、怂筛棱怪儿跋噶切惕绽讫勋在霹静紫弦浇执催圾歉胳饭靠业革外数理统计CH概率分布数理统计7/25/202419王玉顺：数理统计01_概率分布概率具有下述性质：设A为任一事件，则0P(A)1；对于必然事件，有P()=1；对于不可能事件，有P()=0。1.1.2 概率(2)概率的性质烽恿迁染围躁及傍巴耕妨躲睫修舟貉吱趴洒娩魏搞堆吞干腋肘帮炔柞蝴江数理统计CH概率分布数理统计7/25/202420王玉顺：数理统计01_概率分布不可能事件P()=0，必然事件P()=1。但反过来不成立，因为概率只代表“可能性”的大小，可能性为0的事件不一定总不发生，可能性为1的事件不一定总是发生比如小区测产，事件产量是25
14、kg的概率等于0，但它不一定总不发生；事件产量不是25kg的概率等于1，但它不一定总是发生 1.1.2 概率(2)概率的性质星讯茹吉孜各堤蓬粤乱巍乒层倘赵陵渊予诵严磋禾锚坍砂兵捻卷抑恩遵妒数理统计CH概率分布数理统计7/25/202421王玉顺：数理统计01_概率分布 在相同的条件下进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数nA 称为事件A发生的频数。比值nA/n 称为事件A发生的频率，并记成fn(A)，即1.1.2 概率(3)概率的统计定义纫诫都庚治提缀畔晒曹孔荧粱疲借践限耸涌凝腾诲诚憨厦躯烯激啥倔统蚀数理统计CH概率分布数理统计7/25/202422王玉顺：数理统计01_概率分布
15、历史上曾有几个著名的抛一枚均质硬币试验，试验者观测了抛掷次数、正面出现次数和正面出现频率等。结果发现，频率在0.5附近摆动，详见表1.1。试验重复次数愈大频率与0.5的偏差愈小，表现出向0.5稳定趋近的倾向，因此预测事件的概率为0.5。试验次数愈大，事件频率在某个定值两侧摆动的幅度愈小，称作事件频率具有稳定性事件频率具有稳定性。 1.1.2 概率(3)概率的统计定义链栗蹄衣磅汪充汤桩疆矮巢责猿绩埃岂床植博秸康摔律贰你树评吹醉线缠数理统计CH概率分布数理统计7/25/202423王玉顺：数理统计01_概率分布 251 249 256 253 251 246 2440.502 0.498 0.51
16、2 0.506 0.502 0.492 0.4880.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012 nAfn(A)n=500时抛硬币试验 实 验 者 德摩根 蒲丰K 皮尔逊K 皮尔逊 n nH fn(H) 2048 40401200024000 1061 2048 6019120120.51810.50960.50160.5005表表1.11.11.1.2 概率(3)概率的统计定义雁技巩啊染磷烈犊翌度抑挑元辊铜判眷伯猎都挫疲热旺存策捡虾灼楷荧和数理统计CH概率分布数理统计7/25/202424王玉顺：数理统计01_概率分布1.1.2 概率 随试验次数n的
17、增大，若事件A的频率fn(A)越来越幅度变小地在某一常数p两侧摆动摆动，则称常数p为事件A的概率(probability)，记作P(A)=p。称此陈述为概率的统计定义。(statistical probability)。(3)概率的统计定义踩抓崎登铭俐桐嘻白翔难邯台袁进拇秋咖齿企臂琳磕宠洗郧辞赵吊较摇仓数理统计CH概率分布数理统计7/25/202425王玉顺：数理统计01_概率分布1.2 随机变量及分布Random Variable and Probability Distribution1 概率分布逾椒茄眷掣纤舔尿课凹墙据魂茶烦会奶烬潭厌赦壬但晒态镁疏矩踞侦临弱数理统计CH概率分布数理统计7
18、/25/202426王玉顺：数理统计01_概率分布前面事件与概率的研究仅仅实现了随机现象及其关系的概念描述，远没有达到工程应用的程度，难于解决复杂多样的实际问题；引入人们熟悉的微积分实现随机现象的数值化定量分析，使能用计算机高效地处理工程实际的统计学问题；随机变量及其分布的理论和方法，实质上就是利用确定性数学方法研究和解决随机数学（统计学）问题。 1.2 随机变量及分布(1)随机现象定量分析的意义肢辗叛动删鼠索牟俄抱听辩存桑护工充垄赌坛挚世赐陨剁绍圃伏吵惦迎屹数理统计CH概率分布数理统计7/25/202427王玉顺：数理统计01_概率分布实施某随机试验，若用实数变量X表示试验结果，则X的取值明
19、确可知且不止一个，试验前并不知道X会取那个值，表征随机试验结果的实数变量X称作随机变量；X的值用实数x表示，即一次试验的结果，是所有可能试验结果中的一个，称x为X的观察值，简称观测(observation)；(2)随机变量(Random Variable)1.2 随机变量及分布弛宣列标仇撑坚绍殉矣抠乱判整锅硷搂合戍总万棋玛逝葡轴焕竿祷砾痞暖数理统计CH概率分布数理统计7/25/202428王玉顺：数理统计01_概率分布 由于随机变量X量化（数值化或数字化）表达了随机试验结果，因此它也具有随机试验的三个基本特征：随机变量X可在相同条件下重复观测；随机变量X的所有可能值明确可知，并且不止一个；每次
20、观测总是恰好获得X所有可能值中的一个，但观测前却不能肯定是哪一个。1.2 随机变量及分布(2)随机变量(Random Variable)桩两已岿搪巍苇址策兆撬掐坷旭喷装政誉矣阐冲原级素赐那慷埔撬匝擞葵数理统计CH概率分布数理统计7/25/202429王玉顺：数理统计01_概率分布掷一枚均质硬币试验：样本空间1=H,T，随机变量表达该问题，以“X=1”表示正面向上的事件，以“X=0”表示反面向上的事件；掷一枚骰子试验：样本空间=1,2,3,4,5,6，随机变量表达该问题，以“X=1”表示出现1点的事件，“X=2”表示出现2点，以此类推；作物育种试验：以“X4.5”表示产量大于4.5kg的事件，不
21、等式表达一个基本事件的集合。1.2 随机变量及分布(3)随机事件(Random Event)藕崭廉拄覆醒茬茶延犁舟骗殃九扭尺狡凡仪智脓漏你琅皋搐申扶天擂献静数理统计CH概率分布数理统计7/25/202430王玉顺：数理统计01_概率分布用随机变量X和某指定观测x可定义下述3种随机事件：试验结果为x的事件：X=x试验结果小于或等于x的事件：Xx试验结果大于x的事件：Xx1.2 随机变量及分布(3)随机事件(Random Event)索刨戍奏幼椎温宙竟绅薯微符枕峭乾插皖杜蔑习堑叫笔抠募建荔兑楞鞍辞数理统计CH概率分布数理统计7/25/202431王玉顺：数理统计01_概率分布概率分布是概率论的基本
22、概念之一，它用函数和微积分描述随机变量取值的概率规律。考察随机变量X与某指定观测x的关系，用事件概率P(Xx)以及事件概率的变化速率P(Xx)/1或dP(Xx)/dx描述概率分布；离散随机变量用求和函数描述概率分布；连续随机变量用积分函数描述概率分布。1.2 随机变量及分布(4)概率分布(Probability Distribution)厌衫肝倚写被耪凰挞末弊猿吟歉灯伎捐吧馒逻纷既匪隆饯岩芬酶问录于厩数理统计CH概率分布数理统计7/25/202432王玉顺：数理统计01_概率分布本节主要讨论下述几个问题：随机变量、随机变量的观测、事件、概率四者之间的关系；离散变量的分布函数和概率密度；连续变量
23、的分布函数和概率密度；常见离散分布和连续分布；随机变量的标准化变换；正态分布的概率计算。 1.2 随机变量及分布本节内容钞掇企陨啤个短犬军扼榨爸富娄熬鳃毯茁砰牙袜螺坪胃饭豁老亥蹿粱鲤拦数理统计CH概率分布数理统计7/25/202433王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.1离散变量的概率分布Discrete Variable and Probability Distribution1.2 随机变量及分布亢隔露蓉碉垂桥谤诺溢绊糯苞瑚皆怎撼杭豺消赦手尽洛认尾总怪威已轴嘿数理统计CH概率分布数理统计7/25/202434王玉顺：数理统计01_概率分布若随机变量X或事件X=x的所有可能取值为有限个或可
24、列个，即取值存在间隔，则称X为离散随机变量(discrete variable)。比如，抛硬币试验取值0,1，播种穴粒数取值0,1,2,，以及其它“计数”类的随机变量。为便于数学处理，经常将随机变量的取值范围扩展到离散无穷域0,1,2,+，只不过取某些值的概率等于0。1.2.1 离散变量的概率分布(1)离散随机变量(Discrete Variable)远芭典愚刘纯迭癣糜硷襄载轴屁昂苞璃十拽若泉惟砌凌雕吧旧胁记潦鹅拾数理统计CH概率分布数理统计7/25/202435王玉顺：数理统计01_概率分布离散随机变量用X表示，它的观察值用实数x表示，则离散变量随机试验中所发生的随机事件用等式表示：1.2.
25、1 离散变量的概率分布(2)随机变量、观察值和随机事件随机事件随机事件观察值观察值略酚积结揣唬朝盐获别内寞萍尹脉贮任伞践哼不魄悍祭萍王洲择饱筑疵勾数理统计CH概率分布数理统计7/25/202436王玉顺：数理统计01_概率分布观察值x按大小顺序分别记作xi，xixi-1， i=1,2,，则离散随机变量X的分布函数F(xi) 定义如下： 分布函数亦称作概率累积函数Cumulative Distribution Function(3)分布函数(Distribution Function)1.2.1 离散变量的概率分布宏聪沸没软祭撬蛔涌佐翘辕朱各巴济景屑匣撑潮铭脊蚁串醚泊挽愈排恢划数理统计CH概率分
26、布数理统计7/25/202437王玉顺：数理统计01_概率分布事件X=xi的概率记作pi=P(X=xi)。则离散随机变量X的概率密度f(xi)定义分布函数的变化率：(4)概率密度(Probability Density)1.2.1 离散变量的概率分布概率密度记为离散变量的概率密度Probability Density亦称作概率函数Probability Function辕莹尖吧丈糕钻饱红债怪渠和沿莎皖霖非傲了奄涅斧肝磕妨倚绽契叙疑祥数理统计CH概率分布数理统计7/25/202438王玉顺：数理统计01_概率分布 概率密度表征离散随机变量取值x与取该值概率的函数关系，即描述按观测值大小顺序排列的
27、概率分布规律。按定义，概率密度可理解为观察值的一个单位增量所对应的分布函数增量，或者发生事件离散随机变量X等于某指定观测x的概率。 1.2.1 离散变量的概率分布(4)概率密度(Probability Density)似号绍宾就驾草袭毫腹峙狰蜀勋刨乔绣诡翼宴净啄富壶脆茄敢暇辆碗霄块数理统计CH概率分布数理统计7/25/202439王玉顺：数理统计01_概率分布概率密度可表示成如下的矩阵形式 矩阵的第1行为随机变量的观察值，第2行为事件X=xi的概率pi，矩阵元素上下对应。 1.2.1 离散变量的概率分布(4)概率密度(Probability Density)吁牙葵皇奶葬涝湍泅嘴唉坊狰驹偿质缘慕
28、流虐凯扮全怎橇敷砸物陶劳清舅数理统计CH概率分布数理统计7/25/202440王玉顺：数理统计01_概率分布抛硬币试验抛骰子试验1.2.1 离散变量的概率分布(4)概率密度(Probability Density)奶喜鄙锗匡馏采暑巴宙咬拍逻囚摩七险汞藉爷酪猫丑虾幼芦污鞘涨湍靴道数理统计CH概率分布数理统计7/25/202441王玉顺：数理统计01_概率分布 所谓离散随机变量X的概率分布，就是指分布函数F(xi)和概率密度f(xi)两个基本函数，它们提供了随机变量概率分布规律的完整信息。(5)概率分布(Probability Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布柠智绳汹官仪助
29、砚斟旭诅及立李歪囱恿亮妓耀襟禾究养答猎稳躲熟棕驱釉数理统计CH概率分布数理统计7/25/202442王玉顺：数理统计01_概率分布概率值非负：全概率和等于1：两极端事件的分布函数值：(6)离散变量概率分布的性质1.2.1 离散变量的概率分布美嫩男课意奴硼歇肺挑拐瓮锋诵路怕奏郑写蕾蔓帅婴讽罪联糊鉴扦灵恤败数理统计CH概率分布数理统计7/25/202443王玉顺：数理统计01_概率分布若离散随机变量X的随机试验仅有两个可能结果，可将其表述为X=1和X=0两个事件，则X服从0-1分布。抛硬币试验，出现正面为1，出现反面为0种子发芽试验，发芽为1，不发芽为0杀虫剂试验，有效为1，无效为0田间播种出苗试
30、验，出苗为1，不出苗为0 (7)0-1分布(0-1 Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布侗挫娱稽铂粱俞钱企呢猩场坤麻限险栅凿漳盏翘杯疲掺禄根可彦倡匡佳非数理统计CH概率分布数理统计7/25/202444王玉顺：数理统计01_概率分布0-1分布概要：(7)0-1分布(0-1 Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布较休铺淮诱烛销鞭看哲马肄沂至仿滁腥康佰东辑冉喧铱箔娩卓岩砂犀鸣把数理统计CH概率分布数理统计7/25/202445王玉顺：数理统计01_概率分布(7)0-1分布(0-1 Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布谬甭祁设鳖伎氛仰禽沪颐姿
31、球丘靴让椽杨孕畏缅石把涧剪硼戍诗子吾轨轧数理统计CH概率分布数理统计7/25/202446王玉顺：数理统计01_概率分布遵循0-1分布规律的试验称作贝努利试验(binomial experiment)做n次贝努利试验称作n重贝努利试验n次抛硬币试验，统计正面出现的次数发芽试验，统计n粒种子中发芽的种子个数杀虫剂试验，统计n条虫子中被灭杀虫口数播种试验，统计n粒种子中出苗的种子个数(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布矾铬梳幅割勉拱汉天剿搬拔元魏儿辞朋褐布铭骏偏擅巍各父熏行靛子增匣数理统计CH概率分布数理统计7/25/202447王玉顺：数理统
32、计01_概率分布 设贝努里试验随机变量仅取0和1两个观察值，对于n重贝努里试验，若每次试验中事件=1发生的概率记为p，那么用以描述n次试验中事件=1发生次数的随机变量X可用随机变量系之和表示： (8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布津斤向覆栈拙窥屡滓枷琉堆覆身砖莹很厢舜簇菠蔼料江省谚糕窒孙韶骨革数理统计CH概率分布数理统计7/25/202448王玉顺：数理统计01_概率分布=1代表什么与我们所关心的问题有关(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布亏茶堕剃龄燎学炽研尔涵易始嘴且巨邪萄磷拄户嘉褐售
33、枉弯狗歉蔽瞅像拂数理统计CH概率分布数理统计7/25/202449王玉顺：数理统计01_概率分布随机变量系之和服从参数为n,p的贝努利分布(binomial distribution)，亦称二项分布，记作XB(n,p)，其中0p1。二项分布的概率密度为：(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布娟青街汉藕时信僵擅尺屋雷峭满锚词悠赐坐槐赏伏魄赁丁骨斡典峻瞅纯仙数理统计CH概率分布数理统计7/25/202450王玉顺：数理统计01_概率分布Binomial分布概要：(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率
34、分布跟珐廷拽谣黔损篓叛批拈瘫龄蚜桐班朽乍挤浇犹鬃疽蜡粹朵稽檬耿散份疥数理统计CH概率分布数理统计7/25/202451王玉顺：数理统计01_概率分布(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布滨饥优渭返菠烯绪坚工栈里沸屑强捣党铺菲轰振纽允莎稿滔兰谚梦雅铺笋数理统计CH概率分布数理统计7/25/202452王玉顺：数理统计01_概率分布(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布事件X=x的概率等于n个0-1积事件的条件概率稠再牧亡裂川瘟真疫瞅溶扬届帚乞锻多蜘钮神阻掺烽隘譬捧绢顾拽逛竣街数理统计CH概率分
35、布数理统计7/25/202453王玉顺：数理统计01_概率分布P=0.3,0.5,0.7(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布抖既厚崔橱凹率鞍膘贤鱼死呵除忧部绥辛储拷幼拣酿壶左薪趴扑披厄维梧数理统计CH概率分布数理统计7/25/202454王玉顺：数理统计01_概率分布 设Y=X/n，相当于X乘了一个常数1/n，它指n重贝努利试验中事件出现的频率。不难推论，频率Y仍服从二项分布。即(8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布枕面妖囤疫踌隅腮花专喧绳砌正雹蛮驱厨卫野仟烫碳樊勺祖斋楚断辐辈丘数理统计C
36、H概率分布数理统计7/25/202455王玉顺：数理统计01_概率分布二项分布是具有n重贝努里试验背景的一种重要分布当n=1时，二项分布转化成0-1分布。因此0-1分布可被视作二项分布的一个特例由于二项分布随机变量X是0-1分布随机变量的线性组合，因而X可被视作0-1总体抽样获得的统计量 (8)二项分布(Binomial Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布厌茹蛇菠老墙匡衅栋柞情下仿袭岩砰休纂乖焕谊婴透层佃特淀敞痈幕银孵数理统计CH概率分布数理统计7/25/202456王玉顺：数理统计01_概率分布 观察某作物田间出苗状况，若每穴粒数相同，则沿播行单位长度上（当作小区）的出
37、苗数或出苗率服从泊松分布；对一个容器按等时间间隔（看作小区）观测细菌的存活数；公路交叉路口单位时间间隔内过往的汽车数；汽车站或理发馆单位时间间隔内到达的顾客数等均服从泊松分布。 (9)泊松分布(Poisson Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布台妨逾飞寂颤吊矣借倍腕魄茶亮荐蔽夯涝啡囱完仗拆扛铀拱艺骑拈画吼辞数理统计CH概率分布数理统计7/25/202457王玉顺：数理统计01_概率分布Poisson分布概要：(9)泊松分布(Poisson Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布拒渊匡胳倍翼蛆勺享锻焦忱姥此婿谬孪旁银武愉耶丈窑拎哉殷躬抛黍顽艾数理统计CH概
38、率分布数理统计7/25/202458王玉顺：数理统计01_概率分布以顾客去理发馆为例导出Poisson分布：设每人去理发馆的概率是p，则不去的概率是1-p；当顾客源容量n与理发馆容量处于供需平衡状态时，有np=，且n愈大p愈小顾客是否去理发馆是n重贝努利试验，设去理发馆的人数为X，则人数为x的概率为(9)泊松分布(Poisson Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布昔京扩万笔勤历魁骚杯左抵荷昂货赚体喀碴壤榨娜悔俗愤罐腕殿坞旋乘钱数理统计CH概率分布数理统计7/25/202459王玉顺：数理统计01_概率分布顾客源容量n很大时则概率p很小，去理发馆人数X等于x的概率可用下述极
39、限近似(9)泊松分布(Poisson Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布撂余评责骡幅楞惠蜕弛世筐钦换州合履猪挞榜湍袱瞬捆帽罐君芦播场避禹数理统计CH概率分布数理统计7/25/202460王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.2.1 离散随机变量的概率分布(9)泊松分布(Poisson Distribution)菱盲屯斟婪壹得肚刀详蕾低则袜铡蝎门驱膛剑剐弓幢肘余翼要里啤凋凸星数理统计CH概率分布数理统计7/25/202461王玉顺：数理统计01_概率分布分布函数概率本质：全概率和：(9)泊松分布(Poisson Distribution)1.2.1 离散变量的概率分布局甜媒
40、仅室您诈酱勘埋蓑赦椭扒袋贵恃次狄沃淳睦操由俩桐亢涛眨带圾相数理统计CH概率分布数理统计7/25/202462王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.2连续变量的概率分布Continuous Variable and Probability Distribution1.2 随机变量及分布卉簧醉柴留兔郊涩素祝汞门羡弄李槐硼采妓林棒氏穆递傀光砧连钓陕键临数理统计CH概率分布数理统计7/25/202463王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.2 连续变量的概率分布若随机变量X或事件Xx的中的临界观测x可在一定范围内连续(无缝、不间断)取值，即值域为(,+)或任意指定区间；或者说某区间内的所有数值都是随机
41、试验的可能结果；则称X为连续随机变量(Continuous Variable)小区产量在(10,65)内取值，是连续随机变量玉米株高在(135,195)内取值，是连续随机变量其它“计量”类变量也是连续随机变量。(1)连续随机变量(Continuous Variable)茸研勾卸等傲谬疑悯倘秦硅盔黄些亥璃御能啦丁乓为莎背尤海啊鲸淳匀捆数理统计CH概率分布数理统计7/25/202464王玉顺：数理统计01_概率分布随机事件随机事件随机事件随机事件(2)随机变量、临界观察值与事件临界观察值临界观察值1.2.2 连续变量的概率分布尔匀橱择靡棺测敖辑聚革锨掺鞘末虹俏倦反铂唬斟仙洲察瓣搽铱断敬教狡数理统计
42、CH概率分布数理统计7/25/202465王玉顺：数理统计01_概率分布 若X为一连续随机变量，x为任意实数，x+，则X的分布函数或概率累积函数F(x)定义为： 若将X看作数轴上的随机点，那么分布函数F(x)的直观意义就是随机点X落在区间(,x)上的概率。定义域为整个数轴，值域在0,1上。(3)分布函数(Distribution Function)1.2.2 连续变量的概率分布合子降穿撤讲驭溶争句澄遂嗓肉疡项艘陆屡捡索填逻阔渔号弛缄习战侨苟数理统计CH概率分布数理统计7/25/202466王玉顺：数理统计01_概率分布不可能事件： 事件 的概率F()=0；必然事件： 事件 的概率F(+)=1概
43、率本质：单调非减：(3)分布函数(Distribution Function)1.2.2 连续变量的概率分布列门强对妊鞍向禁妊蝎乔通羔幕立夯饰窥叮恼其巫前佐腰帅犬桑吻扶恤促数理统计CH概率分布数理统计7/25/202467王玉顺：数理统计01_概率分布 连续随机变量的分布函数F(x)是事件的概率，是连续函数，其函数曲线呈现为“S”形。(3)分布函数(Distribution Function)1.2.2 连续变量的概率分布规媒屡县肮乞莎氓酥绿匠艘衙疯掩袜劝今殊率珐擦情扣债腹淋亥阐芦福推数理统计CH概率分布数理统计7/25/202468王玉顺：数理统计01_概率分布设F(x)是随机变量X的分布函
44、数，如果存在非负函数f(x)，即f(x)0，使对任意实数x有则称f(x)为连续随机变量X的概率密度(probability density)或密度函数(density function)或分布密度(distribution density) (4)概率密度(Probability Density)1.2.2 连续变量的概率分布捏刮雄峻储还蠢乍滓雁课过曰秀孤拱洁雁鹏辖蔚肚尽珍捌摧筏挨筛窃羞午数理统计CH概率分布数理统计7/25/202469王玉顺：数理统计01_概率分布密度非负：全概积分：导数关系：1.2.2 连续变量的概率分布(4)概率密度(Probability Density)概率密度是分
45、布函数的变化速率犀允姆弄斡毡斤甚僵损关纸穗不桓锚缕确澄戈遥愚搭天柔稿主某第武陡涎数理统计CH概率分布数理统计7/25/202470王玉顺：数理统计01_概率分布概率密度曲线与x轴所围面积等于1；分布函数F(x)值等于密度曲线f(x)、x轴和X=x直线三者所围区域的面积(图中阴影面积)。1.2.2 连续变量的概率分布(4)概率密度(Probability Density)诧跳钙旭遇撞叹否彻授辫涤由惩滔融孤群搓鹊恿薛湛蔑丽甚遣录吮查祭蹬数理统计CH概率分布数理统计7/25/202471王玉顺：数理统计01_概率分布 即随机变量X落在区间(x1,x2)上的概率，等于分布函数F(x)在该区间上的增量。
46、由公式可知，X取任一定值 x1=x2=x的概率为0，这说明，虽然不可能事件的概率等于0，但反过来一个概率等于0的随机事件未必是不可能事件，这一特点是连续随机变量所特有的。公式可用于连续随机变量的概率计算。 (5)区间事件的概率1.2.2 连续变量的概率分布幻桌跳徒适豌鸳钦指察忆挨泳迄皖杂杆巫浆迪犊汞麻扣窍笑焕抛靳缕眷秋数理统计CH概率分布数理统计7/25/202472王玉顺：数理统计01_概率分布(5)区间事件的概率1.2.2 连续变量的概率分布懦奶饥割粗捎买乾争径梆后猿骨叔得颓裙瑚颊弧珍她赐玖虑谅厌哲奴想镀数理统计CH概率分布数理统计7/25/202473王玉顺：数理统计01_概率分布高斯(
47、Carl Friedrich Gauss, 17771855)发表于1809年的绕日天体运动的理论一书涉及了误差分布的确定问题；设某个物理量的真值为，它的n个独立测量值为x1,x2,xn，则可用最大似然法估计：(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布醉钉莎驱响蚕乖梳障窿纸淆拣受族眼卑瓜烬卸把挠宾哨忆涡铜拎巢剃铭注数理统计CH概率分布数理统计7/25/202474王玉顺：数理统计01_概率分布高斯(Carl Friedrich Gauss, 17771855)认为n个独立测量值x1,x2,xn的算术平均是的合理估计，并证明误差概率密度仅在具有下面形式
48、的条件下，的最大似然估计才是n个独立测量值的算术平均，亦即(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布舵甭荚铜竣晌辱仲误脆缅疑怎遏巳呛窍诈须佣样谢叉平豆灼这躺邑燎匡咙数理统计CH概率分布数理统计7/25/202475王玉顺：数理统计01_概率分布拉普拉斯 (Laplace, 1749-1827)根据他所发现的中心极限定理推论，若误差可看成许多量的叠加，误差理应有Gauss分布。这是历史上第一次提到所谓的“元误差学说”；元误差学说：误差是由大量的、由种种原因产生的元误差叠加而成；1837年，海根(G.Hagen)在一篇论文中正式提出元误差学说。他把误差设
49、想成由数量很多的、独立同分布的“元误差”叠加而成。(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布稚搂急晋舜咨蟹秩弗魏捉遇驼喇海庭奈瀑磷坚绢幸迭茵菇鞘峰稗旁界纬诉数理统计CH概率分布数理统计7/25/202476王玉顺：数理统计01_概率分布按照海根(G.Hagen)的元误差学说：(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布馒湛事舟通员穆舞酥渣两译瞒蝉乖园弹驳痹肤晋霜旭挡现渤汇赴伯溢户砍数理统计CH概率分布数理统计7/25/202477王玉顺：数理统计01_概率分布株高分组（cm） 组中值（cm） 频数 频率 16
50、4,167)165.51380.06167,170)168.52760.12170,173)171.55520.24173,176)174.56440.28176,179)177.54140.18179,182)180.51840.08182,185)183.5920.04合计2300 1.00 玉米株高观测和频数、频率统计(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布凉笑嚎摇伸铡砸儿宠簿轰张区架看蜗言皇筏袱猛宪李锨沦埃婉点角镁暗热数理统计CH概率分布数理统计7/25/202478王玉顺：数理统计01_概率分布玉米株高分布(6)正态分布(Normal D
51、istribution)1.2.2 连续变量的概率分布笔堵规庭泞殃占卒饿冯风妄雷撮契焙衣塞嗜朵腰缅泵韦龄丢鳖够瞬洲牲幂数理统计CH概率分布数理统计7/25/202479王玉顺：数理统计01_概率分布Normal分布概要：(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布犁乡伪绥予捧尽惧鹰细怠号卒棱和积填堂康珍撰元菩轮是轴略喝们微牺纳数理统计CH概率分布数理统计7/25/202480王玉顺：数理统计01_概率分布 固定则概率密度曲线位置不变，曲线形状随的增大而峰值降低及两尾变粗和拉长(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的
52、概率分布楚队琢要豪少蛇治崔瘩灰这拣离弗成墒邢锗健搅塞殖堡搪贬达吨蔡府咋拥数理统计CH概率分布数理统计7/25/202481王玉顺：数理统计01_概率分布 固定则概率密度曲线形状不变，位置随 的增大而右平移(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布旱植淹攀浆您渣同心豺扒检桓廖虏不履嚏癸贩胸峻降扫泰街注葛员再宝篆数理统计CH概率分布数理统计7/25/202482王玉顺：数理统计01_概率分布分布函数形状是S型曲线(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布咖淌晃溶迢菇妻掸假乖恃跪赃狄听它懂讽街跨嫉义抠眠纹伯冷乞佯
53、嫩涧藻数理统计CH概率分布数理统计7/25/202483王玉顺：数理统计01_概率分布分布函数与概率密度是积分关系(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2 连续变量的概率分布负瞪驴玩赶顾市每锻尉栽扑强滋茬糠滑墨搂飞士增锚缚境麦假羞提旬椒送数理统计CH概率分布数理统计7/25/202484王玉顺：数理统计01_概率分布对称性：概率密度曲线关于x=对称极值点：x= 是概率密度的唯一极值点，其极值为曲线形状：愈大密度曲线中心愈右移 愈大密度曲线愈低矮肥胖 反之，愈小密度曲线中心愈左移 愈小密度曲线愈高耸瘦峭(6)正态分布(Normal Distribution)1.2.2
54、连续变量的概率分布滓兆恕村吞沾海证效今网梗纯和卵丑蔑屯敛旧壬局鹰班棍阎绍驭锦旅蛙憾数理统计CH概率分布数理统计7/25/202485王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.3正态分布的概率计算Calculating the Probability based on Normal Distribution1.2 随机变量及分布迭液膨来侈构歼替番起氏绥眠招闺兼拎掣慢埂与替填哄琴较谊修华象睁旨数理统计CH概率分布数理统计7/25/202486王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.3 正态分布的概率计算标准正态概率密度标准正态分布函数 若 XN( ,2)，当=0和=1时，称X服从标准正态分布。为区分计，
55、随机变量特别地记作Z，则ZN(0,1)，概率密度函数特别地记作 ，分布函数特别地记作 。(1)标准正态分布驳糜湖育奉采本娄嚷蚊椅凰夫薛兆哥鹊摘酮绣妨堪珠县笋总稼回栅酒讹操数理统计CH概率分布数理统计7/25/202487王玉顺：数理统计01_概率分布随机变量变换分布函数变换(2)正态随机变量的标准化变换1.2.3 正态分布的概率计算冉酗棵叫牛沸喘们卜晶怯窿岳丰颓锹婚呸整咐南椿岭秒弃仅谬癌翌豫份苇数理统计CH概率分布数理统计7/25/202488王玉顺：数理统计01_概率分布分布函数计算公式：利用事件不等式的等价变换推导如下：(3)正态变量分布函数的计算1.2.3 正态分布的概率计算另缚秋陋保农
56、腊骗遗惦赤泳嗡犀舶刁妄眼前蜂枚宜柳蒜宏缝狞查蒸飘崩豺数理统计CH概率分布数理统计7/25/202489王玉顺：数理统计01_概率分布区间事件概率计算公式：(4)正态变量区间事件的概率计算1.2.3 正态分布的概率计算舆饺靳漆非捡腥宇烯液掷鹃乍蒜铅石丁畦歉揪剐泉食盅扮钧玛釉甲霉厚超数理统计CH概率分布数理统计7/25/202490王玉顺：数理统计01_概率分布对称事件概率计算公式(5)正态变量对称事件的概率计算1.2.3 正态分布的概率计算童遂耀挂淘碧坦村疮损算伺储隆潍裁老狙陌术娘锅蜕靴描东犯粒陆祟识钨数理统计CH概率分布数理统计7/25/202491王玉顺：数理统计01_概率分布对立事件概率计
57、算公式：(6)正态变量对立事件的概率计算1.2.3 正态分布的概率计算绵驳幼给秒今络舌非毗柱矾怖贝嘛辜草力扣鄂诺扰兆棋剩筛碎稍悯墩牛罗数理统计CH概率分布数理统计7/25/202492王玉顺：数理统计01_概率分布示例：示例：设ZN(0,1)，试计算：P(Z1.38)P(|Z|3)(7)标准正态变量的事件概率计算1.2.3 正态分布的概率计算皮项甲徽很骆检刮慰潘服墙罪峭仑狙嘻阳襄括通爪荐灌肃洗芒抡廖焉邦赤数理统计CH概率分布数理统计7/25/202493王玉顺：数理统计01_概率分布利用分布函数定义和对称事件概率计算(7)标准正态变量的事件概率计算1.2.3 正态分布的概率计算烂垣恤淆尊延肇静
58、金躺帘襟涎付就选蔑毅咽没摸隶冶暮垢舱储母保郊试纫数理统计CH概率分布数理统计7/25/202494王玉顺：数理统计01_概率分布利用对立事件概率、分布函数定义计算(7)标准正态变量的事件概率计算1.2.3 正态分布的概率计算葫桌掷衰蕴太耙专术想席辨幕两育馋捉厦镇塘足饥涣器苗潍敖椰苑厌优跌数理统计CH概率分布数理统计7/25/202495王玉顺：数理统计01_概率分布(7)标准正态变量的事件概率计算绝对不等式展开区间事件概率分布函数定义对称事件概率1.2.3 正态分布的概率计算宽瘁哇峨匪啸尧涟桃携跟余拎箩阿仑饶任跪敷驱罩妙呼厢致渠淌帐攻锻伟数理统计CH概率分布数理统计7/25/202496王玉顺
59、：数理统计01_概率分布三个特殊区间事件及其概率在实际中很有用，应当熟记 (7)标准正态变量的事件概率计算1.2.3 正态分布的概率计算状峦利振进贫本粉勒永勃摆时脐犬酞歌腔倦妙潍拜牢累痕少巧呆佛械蜡钩数理统计CH概率分布数理统计7/25/202497王玉顺：数理统计01_概率分布示例：示例：设XN(3,9)，试计算P(X7.14)P(|X-3|6) (8)一般正态变量的事件概率计算1.2.3 正态分布的概率计算臣古盅雨凳庇鸯傅吓瞧纪赠笔铀哆花苏豪凶鉴鼎斗附宏咏半岿迟考揭仁赏数理统计CH概率分布数理统计7/25/202498王玉顺：数理统计01_概率分布(8)一般正态变量的事件概率计算分布函数定
60、义标准化变换对称事件概率1.2.3 正态分布的概率计算诧豹瓦锦臼账秃百苞矮篮游假薯闯洒决祝登胖影膏钵拈揍汇叛搓照檄坝席数理统计CH概率分布数理统计7/25/202499王玉顺：数理统计01_概率分布利用标准正态分布计算(8)一般正态变量的事件概率计算对立事件概率分布函数定义标准化变换1.2.3 正态分布的概率计算固昂王痕拨蛆衬繁硒摹莫年舍骋趾蕾宇利庐用尽乓冶许受挛啥谁辗丧墟伸数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024100王玉顺：数理统计01_概率分布利用标准正态计算(8)一般正态变量的事件概率计算不等式变换标准化变换区间事件概率对称事件概率1.2.3 正态分布的概率计算升补值誊碑尚掐蕴雍
61、依续洲祷岸酿欺惧芋从沂灶料潜弃集队揖奏捌瘁肝创数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024101王玉顺：数理统计01_概率分布利用标准正态分布计算(8)一般正态变量的事件概率计算对立事件概率不等式变换标准化变换区间事件概率对称事件概率1.2.3 正态分布的概率计算牵叼触搅廊例锰雏苔月耍违捅唁腊故潭栽变夜许此印刚集织畦恼憨带杠愿数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024102王玉顺：数理统计01_概率分布(9)计算X落入k区间的概率示例：1.2.3 正态分布的概率计算伏还埔政皋膨约典只亢辅淫搪基洒膊芋瑚往半更睁篙庶掌嘱馆豹蠢瞥哈考数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024103王玉顺：
62、数理统计01_概率分布利用标准化变换、区间事件概率、标准正态分布函数和对称事件概率推导算式1.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率嚏泼豹屿洲详湾晚盛惩岩臻琼共谬徐毋沸流秸归顷刁饰雌望柯冻嘘蔚毅浸数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024104王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率校仇箕纶潦阜泊婪呆信增狂洗匙绕泼骏谣综谩亨猾俭体翟鲍膛滚傻钵泽祝数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024105王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率羽眩久菏理捣群器寐璃舅伞喧胯惹衬斯顾贬筷回迢
63、湖荒虱钦瘤嗜葛钙治瑶数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024106王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率锹祝倍注悔捕蝶艇探壮债指询信宽哦寝捡售珍利邵琼之任铭装舅厘阁蕾忍数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024107王玉顺：数理统计01_概率分布三个特殊区间事件及其概率在实际中很有用，应当熟记 1.2.3 正态分布的概率计算(9)计算X落入k区间的概率檀枫袜妇赤忧贝宛扫胎跃凹榔姐桔辽偏侧拌揭毖狰莆柬喝厕访排铬悸叫咨数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024108王玉顺：数理统计01_概率分布(10)概率0.95和0.99对应的中心
64、区间示例：1.2.3 正态分布的概率计算愉噪硼诅岂铀幌着仑冤齐碉鸿剩掳呜隔磐培峦保掷嗓趾力鸭撕雪迁烹伏狡数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024109王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.3 正态分布的概率计算(10)概率0.95和0.99对应的中心区间差晌沈扩竞旋睦盛粪霄截蛊简馒困检奖畦段溺称卿久炸巢虽秀低欠烽捞始数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024110王玉顺：数理统计01_概率分布1.2.3 正态分布的概率计算(10)概率0.95和0.99对应的中心区间颖铡炕泥蝗铜汀索册仿责经瞅要港棋盛马淮椎觅颓夸莉毖屎养饯徐砸燎锣数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024111王玉
65、顺：数理统计01_概率分布二组特殊数据在实际中很有用，应当熟记。 一般正态分布概率0.95对应1.96区间概率0.99对应2.58区间1.2.3 正态分布的概率计算(10)概率0.95和0.99对应的中心区间尹哎欧剧视恭债射电敞吼狼琵诉惮擞临寨臆镇秉获穿亨郸倡筛廷期迷陪扔数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024112王玉顺：数理统计01_概率分布标准正态分布概率0.95对应01.96区间概率0.99对应02.58区间二组特殊数据在实际中很有用，应当熟记。 1.2.3 正态分布的概率计算(10)概率0.95和0.99对应的中心区间帧煽熙雁钉养把兵漳叶控棕博而绘节徒温腾疾近砰映漏父眩仁悦阿会
66、亡朗数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024113王玉顺：数理统计01_概率分布1.3 数字特征Digital Characteristic 1 概率分布顾银掸羊统澳鲸亡骋瘤齐钩轻芦慢酚畔太膳舜遣轧警爆杜喉肠邮皋舅儒犁数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024114王玉顺：数理统计01_概率分布 随机变量的概率密度曲线可用中心、众数、分散、偏倚、峰凸、关联等特征描述，一个特征用一个数值表达就称作随机变量的数字特征(digital characteristic)。数字特征描述了随机变量观察值分布的集中位置、散布状况和偏倚程度等。数字特征由观察值和概率密度为元素构造，最重要的两个数字特征
67、是期望和方差。什么是数字特征？什么是数字特征？1.3 随机变量的数字特征姿羊聚烩讯侥腋讶闪乍棠挛裙渣钡瑞习罪及斡粗逐脱汽续泄狭臂奥韩探售数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024115王玉顺：数理统计01_概率分布期望：量度观察值分布的“重心” 或“中心”方差：量度观察值分布的分散程度协方差：量度两变量观察值的关联程度相关系数：量度两变量观察值的关联程度峰度：量度观察值分布密度相比正态分布的集聚程度偏度：量度观察值分布密度相比正态分布的偏倚程度随机变量的主要数字特征随机变量的主要数字特征1.3 随机变量的数字特征晌氢国次乔之磊通塌订懒彩的饮愚许岳父泽舔芽逝眶钙炔篱底讣蜡乞抄蛆数理统计CH概
68、率分布数理统计7/25/2024116王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.1 随机变量的矩Moment1.3 随机变量的数字特征癣骆朋沈塌揖贷蚊窿斥战早松跋惶楔郸坡横集屿乞玻责苍成界驮翠勃噎欠数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024117王玉顺：数理统计01_概率分布离散随机变量的离散随机变量的k阶原点矩阶原点矩质量面积密度1.3.1 随机变量的矩（1）k阶原点矩(k-order moment)蛾顶琅寸树协停宿寞伶棵推饥乖傻昏咐袒殷吝量吻召些逼卿损谊遍团嫡此数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024118王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.1 随机变量的矩（1）k阶原点矩(k-o
69、rder moment)连续随机变量的连续随机变量的k阶原点矩阶原点矩质量面积密度搔云计陷剃沪壤洛腐亩芍材螟邯单聂妇昔饲诬鳃昨齐封件服濒学籽耘碘眠数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024119王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.1 随机变量的矩（4）k阶中心矩(central moment)离散随机变量的离散随机变量的k阶中心矩阶中心矩呵医浦膘矿舌飘嗅握袭已丫免赢门闽驴莎阵垫帜缺函酿谭勺粤湘朴序术件数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024120王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.1 随机变量的矩（4）k阶中心矩(central moment)连续随机变量的连续随机变量的k阶中心
70、矩阶中心矩夸阜倪腕隶废赞怖乏栏西撰捧乔埠播糙杏展溅苗厄导仰梦售莽固泰藤晨邪数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024121王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2 随机变量的数学期望Expectation or Mean1.3 随机变量的数字特征钳龚肯俄辜憨枢卜锻句攻士带谚拣镶玩戏尸蔼柏篷棘孺纯速悟逃闽痔势钠数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024122王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2 随机变量的数学期望 随机变量的一阶原点矩，称作随机变量的数学期望，简称期望(expectation)或均值(mean)。期望描述随机变量观察值的集中趋势，即观察值分布的重心；在概率密度分布对称
71、时，也是观察值分布的中心。(1)数学期望(Expectation)谜绝禹钎鹿梯捻啊缉漱挡阵惫捂对邻抄捐吾一洼敌鼎班扎吨脱航韧盂拆喻数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024123王玉顺：数理统计01_概率分布数学期望的意义概率面积的重心概率面积的重心1.3.2 随机变量的数学期望(1)数学期望(Expectation)期望是观察值分布的重心楔婆赂观姑合比厅龚训框抑鹰导戏隔蔚栓嫩皋桃侥虹撼西君稗批更钠殆妖数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024124王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2 随机变量的数学期望期望是随机变量观察值分布的重心概率密度分布对称时也是分布中心(1)数学期望(E
72、xpectation)期望是观察值分布的重心得皖蛙论也鸟畔棘嚣膨叶荧绥矣搭盆搪刽鄙卢络殿掂冷誓劝利戴泌谍硒膜数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024125王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2 随机变量的数学期望离散变量的期望是观察值与概率密度乘积的全部全部之和(2)离散变量的期望(Expectation)社侗荷陈虑垃处症蒋义改炬咕咳晃疽躬菲母炼桓恕掐猩涩售查泄咳整贬猖数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024126王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2 随机变量的数学期望 E(X) 本质上是随机变量X所有观察值的算数平均，这就是为什么期望E(X)又称作均值(mean)的原因。(
73、2)离散变量的期望(Expectation)斌印诱抹梯满肆犯名伪墟锰击蔼嘉焚封粥错譬茸郧简钎贯篓贼肪廊铁魄蔚数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024127王玉顺：数理统计01_概率分布掷一颗均匀的骰子，以X表示掷出的点数，求X的数学期望。1.3.2 随机变量的数学期望(2)离散变量的期望(Expectation)吗锡垦滇泪品效登禁役矮私妮亨迟糯锈滞簇抒抨识靳美痪蓉女妨短骆雇庆数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024128王玉顺：数理统计01_概率分布求随机变量X2的数学期望1.3.2 随机变量的数学期望(2)离散变量的期望(Expectation)读垃催艰话撤撂肿儿筷佐蔬泌驾调搂否
74、除穆港梆荒阐逾皿墙稠写绥上竭擅数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024129王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2 随机变量的数学期望0-1分布随机变量X的期望(2)离散变量的期望(Expectation)0-1分布的期望刷沧傀察涕袭杉扔腾陡桨琢彬婚弯焕各衰跃嘉嘘蔷边婆氮襄哪币搬判思猖数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024130王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2 随机变量的数学期望泊松分布随机变量X的期望(2)离散变量的期望(Expectation)Poisson分布的期望檬凿仍汕秽琳轻寂荐溶赵佯盈钡享嫌特匈宛呜履溜仗绽警戈适铲权兴娜晌数理统计CH概率分布数理统计7/25
75、/2024131王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2 随机变量的数学期望连续变量的期望是观察值与概率密度乘积的全域全域积分(3)连续变量的期望(Expectation)吁隐义伤担吨逮陨糕眼娶液膨总本偿旺芝腮螺蔫绍合眼放鬼啤域弊漫忘李数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024132王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2 随机变量的数学期望正态分布随机变量X的期望正态分布N(,2)中的参数恰好是期望(3)连续变量的期望(Expectation)Normal分布的期望脂携别泻勾答痉挨甭幂补骆博堡峦佑巾水枢强泣敲樱秒粕峙瞄歪狮锄嘘需数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024133王玉顺：
76、数理统计01_概率分布1.3.2 随机变量的数学期望 设C为常数，并离散或连续随机变量X、Y的期望E(X)和E(Y)均存在，则 常数的期望仍是常数本身：E(C)=C；常数与变量积的期望等于常数与变量期望的积E(CX)=CE(X)两变量X与Y和的期望等于变量期望的和E(X+Y)=E(X)+E(Y)两独立变量X与Y积的期望等于变量期望的积E(XY)=E(X)E(Y)(4)期望的运算法则甲脑乞韭伟唱霜绚欠陇男舱猖秘擒年俄簿涅广操瓤溯霸攻矩艰喉您谜块苇数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024134王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.2 随机变量的数学期望对任意随机变量系有对独立随机变量系有(4
77、)期望的运算法则式镇惨妮卒嘱渝疑佐驹祸缕品现箩郊盐逝汰娩你侵狭针偿剖赖溢延柬旺肪数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024135王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3 随机变量的方差variance1.3 随机变量的数字特征类称餐恬淋敝剪却肌们歹亿肾虐嗅子呕惮阂腾戒瓣芳龙摘腻瞄敢刑伟照辩数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024136王玉顺：数理统计01_概率分布 设随机变量的期望 E(X) 存在，若二阶中心矩 EX-E(X)2 存在，则称它为随机变量X的方差。记作1.3.3 随机变量的方差显然，Var(X)0方差是随机变量中心偏差平方的数学期望或：(1)方差(Variance)侍堡
78、臀贞或称莹懒仑逛饭宠弛检卧碎烁典浩甘跺邻遂射鄙肆季瞧亢汁董板数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024137王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3 随机变量的方差离散随机变量方差的定义：连续随机变量方差的定义：(1)方差(Variance)乓桐蹭服猩椎盔仍渡乡葬盛颜蔫爸椎宗状肯淹寞矽宿螟躺缠减筐忆盒溉追数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024138王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3 随机变量的方差方差描述随机变量观察值相对于重心(期望)的分散(离散)程度(2)方差的意义方差与观察值的分散程度灵哄掌哆蔷归珍讲仓弊磨渊函具估酣缎螟跨准号健售辕咖凛咳推冶玛毙凉数理统计CH概率分布数
79、理统计7/25/2024139王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3 随机变量的方差 方差的平方根称作随机变量X的标准差(standard deviation)。记作显然，0标准差与随机变量X具有相同的量纲(3)标准差(Standard Variance)标准差与观察值的分散程度肪梯这敞侩扑型澈渍卫依履舒近璃海啼烂除卫桔忠维泅丰底踞玉依壮精删数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024140王玉顺：数理统计01_概率分布由数学期望运算法则推导如下：1.3.3 随机变量的方差(4)方差计算公式舶热钙暇奇辑条儡勾函于嚏为驳坏鸿支障跋政滑草蹿它物硼购舅埋尸阶甭数理统计CH概率分布数理统计7/25
80、/2024141王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3 随机变量的方差概率矩阵：期望：(5)0-1分布随机变量的方差迷份狰涉缓娱脓莎扩率嗜泥滔悲鸯殊充墩沥帮胳泣抠云赶谈蒂甩靶账油油数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024142王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3 随机变量的方差 泊松随机变量的方差和期望相同，说明其分布可由唯一参数所完全确定。(6)Poisson分布随机变量的方差缺祟渊膛槽跪以华禽樟城莆豹砒持真冤镜冤卯峡沸绢竿癸夜普看瘸响烹幌数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024143王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3 随机变量的方差正态随机变量的方差恰好是概率密度中
81、的参数2，正态分布由期望和方差所完全确定(7)Normal分布随机变量的方差讼骤乏废店脐抚创缨斯提妨贪儒会三扁序宜槐誓撮字仔池蕴矗稀假雹了诽数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024144王玉顺：数理统计01_概率分布 设C为常数，并离散或连续随机变量X、Y的方差Var(X)和Var(Y)均存在，则 常数的方差等于0：Var(C)=0；常数与变量积的方差等于常数平方与变量方差的积 Var(CX)=C2Var(X)两独立变量X与Y代数和的方差等于变量方差的和 Var(XY)=Var(X)+Var(Y)变量X与常数C之和的方差等于变量的方差 Var(X+C)=Var(X)1.3.3 随机变量的
82、方差(8)方差运算法则蹲脱焊绞弦瓤魄精法抒委英皂乒篮痛份惹姨活和俗捞刘锅衙形刷体仁帅毙数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024145王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3 随机变量的方差对独立随机变量系有(8)方差运算法则掀调喧轰蓄录陆撬哭疤撩棱重态绎挡帘希夹臣谁泣逼破蛋玻仓成咨执弓尹数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024146王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3 随机变量的方差 设随机变量X的期望E(X)和方差Var(X)均存在，则下面随机变量X*称作随机变量的标准化变换： 随机变量的标准化变换等于随机变量减去期望再除以标准差(9)随机变量的标准化变换随机变量标准化变换公
83、式撕一胖凋其辖仙收苯邹潍凋戳瘪鹏灿贺昏藕易背吕详烧锨儿栋钢谍凡呕洁数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024147王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3 随机变量的方差标准化随机变量的期望等于0(9)随机变量的标准化变换标准化随机变量的期望矢贝吊伴疗手伸晨掏伯酞开垮烧翅辩译视蜕留颗蔫妮岳则忙覆照银星禾绥数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024148王玉顺：数理统计01_概率分布标准化随机变量的方差等于11.3.3 随机变量的方差(9)随机变量的标准化变换标准化随机变量的方差诀笋涤坪卑卫芹晴屑啥俘裴要隧龋洒惕控支改坏哎邻址涧驱刑拍俊挨诣盛数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024
84、149王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3 随机变量的方差泊松分布随机变量的标准化变换：(9)随机变量的标准化变换Poisson随机变量的标准化变换祁蕊埂湘澈正治狗凳略淋锤福幅舶囊掐泌篆袄获釉恼丽舞匀猾趋棠却叙树数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024150王玉顺：数理统计01_概率分布1.3.3 随机变量的方差正态随机变量的标准化变换：(9)随机变量的标准化变换Normal随机变量的标准化变换吻咙踪哈镰褐驼娃然方邯顾雷于撵派伏汐凳袁啮庄眩钒甥且誓兽伏魄蛙萝数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024151王玉顺：数理统计01_概率分布1.4 大数定律Law of Large Nu
85、mber1 概率分布瑞胯乌谋晶厦揣饶厘终浮戊疆瞻已矿谅掐扇坤寥敦羌奴静阿述蕾沧邻寺拣数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024152王玉顺：数理统计01_概率分布n大数定律的诞生背景大数定律的诞生背景n什么是大数定律？什么是大数定律？n均值大数定律均值大数定律n频率大数定率频率大数定率n小概率事件原理小概率事件原理1.4 大数定律本节内容琐砧内妄鉴措驯袱阮相穆敢整豫阻僵淳俞鹃如立随羡熙酒醉欺嚼似性蒜紫数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024153王玉顺：数理统计01_概率分布大数定律背景：事件的大量独立重复试验大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率字母使用频率生产过程中的废品率扦艘挥损
86、弗瓜释途福素邢奈子做咋叉鞍剁斩阮摊裳匡识市竭捌泰某陪陪影数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024154王玉顺：数理统计01_概率分布1.4 大数定律 大数定律(law of large number)研究两个问题：(1)变量n次观测的均值(mean)随n无限增大是否趋向某定值的问题，称作均值的稳定性；(2)变量n次观测的频率(frequency)随n无限增大是否趋向某定值的问题，称作频率的稳定性。如果“n无限增大均值或频率就趋于一个定值”，此时称均值或频率具有稳定性。什么是大数定律？滋滦件奎礼愚癣疮澡际唐哇璃规琐弧何鹏景赃疵函脓瓜撑须克霖勿卜洼恍数理统计CH概率分布数理统计7/25/20
87、24155王玉顺：数理统计01_概率分布1.4 大数定律 大数定律在统计实践中有重要意义，它是许多统计方法赖以成立的理论依据。例如实际问题中，随机变量的概率分布、期望和方差等往往是无法得知的，但只要做足够多的独立重复试验，根据大数定律，就可将观测样本的频率、均值和方差当作被抽样总体的概率、期望和方差，称为统计估计。“大数”就是“足够多”或“大量”的意思。 什么是大数定律？球棵么湘演剂抵衬墟杉澄褥冰笛脆酝崇寝梭棒权甄氮脸吾馈褒扩贺皆彻砂数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024156王玉顺：数理统计01_概率分布1.4 大数定律1.4.1均值大数定律Law of Large Number o
88、n Sample Mean宛号浊塌丸耍篷束螟稳忽陋轿咯磐辛陵凹靴缚资环荒魄涨悲拇皂警毙壁栏数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024157王玉顺：数理统计01_概率分布1.4.1 均值大数定律 随机变量系X1,X2,Xn,是随机变量X的若干次观测，且彼此独立，并具有相同的期望E(Xi)=和方差Var(Xi)=2，i=1,2,，做前n次观测的平均，则对于任意小正数，有 契比雪夫 (1)契比雪夫大数定律掷氰衙乘褪岭啥宣正董赁逊哟这搬荒玻畸徐钦劫捆潍翻鲸钎粱丫美盂僚沥数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024158王玉顺：数理统计01_概率分布u契比雪夫大数定律说明，相同条件下对随机变量X做
89、重复独立试验，当试验次数n趋于无穷大时，n次试验结果的均值与期望之间的误差小于任意小正数是必然事件，有两个要点：试验次数n愈大，均值就愈靠近期望，即它们的差异愈小；只要n充分大，就可用样本均值估测期望1.4.1 均值大数定律(2)契比雪夫大数定律的内涵均值以概率1收敛于期望鼎挖震董磊巷闺麻彪进炊臻伏峦扎代赌糟局费运娠摸炽要禽毙狰贷傈踞杆数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024159王玉顺：数理统计01_概率分布1.4.1 均值大数定律大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：平均结果的稳定性 n愈大均值的观察值愈集中在期望附近。 (2)契比雪夫大数定律的内涵灭笋予克阮稗仟怀
90、予软就暂咙乔洞刀钩杰级歇坍钡煤舰实弛撑常眨丽洱计数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024160王玉顺：数理统计01_概率分布1.4.1 均值大数定律 收割n个有代表性的地块，且n充分大，计算n个地块的平均产量，该平均产量作为整个地区平均产量的估计。(3)契比雪夫大数定律的应用穗榔无余昭吹玲侗勺网狄叼晨思婿斟衍拟淫孩狡手惑歉叶回姑喊芍皇重窑数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024161王玉顺：数理统计01_概率分布1.4 大数定律1.4.2频率大数定律Law of Large Number on frequency悄侩锻坚煎儒易频蜕雷衫锰韭奔身辨跑遵碾称宰盒斡姬皑桃逗婪遇理溃毙数理统
91、计CH概率分布数理统计7/25/2024162王玉顺：数理统计01_概率分布贝努利设nA是n重贝努利试验中事件A发生的次数；nA/n是事件A发生的频率；p是事件A发生的概率。频率是否能稳定于某个定值？怎样测定事件发生的概率？频率与概率是什么关系？1.4.2 频率大数定律(1)问题的提出蓑返寝贴剑圣昌甜秉恢囱坪圭柏竞尊砰絮姜昧鹃樊嚷饿缸问屯勘祸嘴森屁数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024163王玉顺：数理统计01_概率分布1.4.2 频率大数定律 n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为nA，在每次试验中事件A发生的概率为p，则对于任意正数，下面的贝努利大数定律成立：(2)贝努利大数定律
92、碴慕鹅鸣涅咐缴鼠偏侩囊胆枯仁篡潭斧愁因颓筹侦亥羊躬河伍蒲缮匝乏畜数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024164王玉顺：数理统计01_概率分布1.4.2 频率大数定律u贝努里大数定律说明，相同条件下对随机变量X做重复独立试验，当试验次数n趋于无穷大时，频率与概率之间的误差小于任意小正数是必然事件，有两个要点：试验次数n愈大，事件的频率就愈接近于它的概率，即它们的差异愈小；只要n充分大，就可用事件的样本频率估测事件的概率。贝努里大数定律为测算事件概率提供了一种有效的技术方法。(3)贝努利大数定律的内涵频率以概率1收敛于概率过刀斤般军踢橇锌墟发颈蒙胖啡斩福哀乒咱牌持蛾馋栈蓉趟异摩拟髓少苇数理统
93、计CH概率分布数理统计7/25/2024165王玉顺：数理统计01_概率分布1.4.2 频率大数定律案例案例 观测市场上海尔电冰箱的产品质量状况X，统计结果见下表。试计算质量状况取各个观察值的概率以及相应的概率密度、分布函数、期望和方差质量状况x01合计频数n(x)3014701500频率fn(x)0.020.981.00累积频率Fn(x)0.021.00产品质量状况X的频数、频率和累积频率(4)贝努利大数定律的应用梧裳险啦鸽贞扳聚肾新蔫兜叛蔚臻挝肖捌喝磨酚恭益岔溅靛掀绳萌止胁菏数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024166王玉顺：数理统计01_概率分布1.4.2 频率大数定律 观测一个
94、电冰箱的产品质量状况相当于一次独立试验，用X表示质量状况，X=1表示合格，X=0表示不合格，设x为X的观察值，n表示检验的电冰箱个数，n(x)表示质量状况为x的电冰箱个数，fn(x)为相应的频率观察值，Fn(x)为相应的累积频率观察值。 因观测的电冰箱足够多，依据大数定律将频率当作概率，累积频率当作累积概率。(4)贝努利大数定律的应用碧蛀墅镜篱饵莫眷馒域嗓饲溃燥练埂豁逼惟的琐饥罐门舶序寂晓卧戚惨习数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024167王玉顺：数理统计01_概率分布质量状况x的频数、概率和累积概率1.4.2 频率大数定律质量状况x01合计频数n(x)3014701500概率p(x)
95、0.020.981.00累积概率F(x)0.021.00(4)贝努利大数定律的应用寞蒜阐泵闲舵提疯判匣聊条挨傻判急弹猫蛛吉凳踌甫户侩丛托彤码耍碱鸦数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024168王玉顺：数理统计01_概率分布质量状况x的频数、概率和累积概率质量状况x01合计频数n(x)3014701500概率p(x)0.020.981.00累积概率F(x)0.021.001.4.2 频率大数定律服戎藩乡粪二货他沃焰篱鳞缆缺醇辖入啥零踊傲晶惧颜翠虹专悠讫碉泌甚数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024169王玉顺：数理统计01_概率分布1.4 大数定律1.4.3小概率事件原理The Ru
96、le to Make Decision when Random Event had small probability羽啃核摩酥庭烂衡摩才堡揭缘仕匹衅烫缎嚼贿反睬斤撞淌既鸥因尿钎惜幂数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024170王玉顺：数理统计01_概率分布 依据大数定律，概率很小的事件其频率也很小，若只做一次试验一次试验，该事件实际上应当不可能发生。因此，在统计推断过程中，将一次试验一次试验中那些概率很小概率很小的事件当作不可能事件处理，称之为“小概率事件的实际不可能原理”，简称为“小概率事件原理”。1.4.3 小概率事件原理(1)小概率事件原理瘟靳烽颈纹讽主法固同膛宜墙资头蝇倘伞氓柞
97、钞僧播迂搜锌矫阅敏锦昔烈数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024171王玉顺：数理统计01_概率分布依据小概率事件原理，在统计实践中将概率很小的事件当作不可能事件，这一重要的统计思想是今后进行统计假设检验的规则；一般认为概率小于0.05或小于0.01的事件为小概率事件，0.05和0.01称为小概率事件的临界概率；对于其它特殊场合，临界概率的规定值可根据事件的性质合理确定。1.4.3 小概率事件原理(2)小概率事件的临界概率脓痴罕遣码弊豌涝榔隙琳厦霉馁酞冻态三掷佳攒矣搅申秒妹闯袋诲病数妹数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024172王玉顺：数理统计01_概率分布1.4.3 小概率事件
98、原理案例案例案例案例 已知海尔电冰箱的质量状况具有下表所示的概率分布，今在某电器专卖店随机抽样检测了一台电冰箱，结果为不合格，问该电冰箱是否为海尔产品？质量状况x的频数、概率和累积概率质量状况x01合计概率p(x)0.020.981.00累积概率F(x)0.021.00(3)小概率事件原理的应用蕊役橙迁澈茧谈悲蠕傣褥骋拜说航样断韵茫甩非伙泳海缩窥抑晚屠人湍虚数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024173王玉顺：数理统计01_概率分布1.4.3 小概率事件原理将问题表为统计假设： 质量状况用X表示，以X的观测结果为推断依据，计算零假设下（假定是海尔产品）出现该观测结果的概率：根据小概率事件
99、原理，否定H0接受H1。(3)小概率事件原理的应用烂纱皆寿抱檀墓摄窟琶怎池瞳萎婪筋刃姥师睡闺噪矣晃挑拨焉乙互碌弦蛾数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024174王玉顺：数理统计01_概率分布1.4.3 小概率事件原理注意，这个结论是统计学意义上的结论，不是绝对意义上的结论，其真实含义是，大于0.95的概率断定这台电冰箱不是海尔产品，但还有不超过0.05的概率风险它可能是海尔产品。用统计学方式陈述上面的结论：0.05水平上认定这台电冰箱不是海尔产品。它的含义是，被检验电冰箱是海尔产品的概率不超过0.05，因此推断它不是海尔产品。(3)小概率事件原理的应用范抠雹梯犁砍秩翱竭瘴场距都测颈页葫卞羞疽旺毫椎改摹海循冶毅羚帧环数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024175王玉顺：数理统计01_概率分布结束结束汪娶熏本帜惮缀痛泻劣逗装属杠韧俱拳颤栈勺溢惩诲拧几姥齿忍陨菌忧滔数理统计CH概率分布数理统计7/25/2024176王玉顺：数理统计01_概率分布
