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1、 在这一节，我们讨论在这一节，我们讨论多项式的因式分解多项式的因式分解. . 在中在中学所学代数里我们学过一些具体方法，把一个多项学所学代数里我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为式分解为不能再分的因式的乘积不能再分的因式的乘积. . 但那里并没有深但那里并没有深入地讨论这个问题入地讨论这个问题. . 那里所谓不能再分，常常只是那里所谓不能再分，常常只是我们自己看不出怎样我们自己看不出怎样再分下去的意思再分下去的意思，并没有严格，并没有严格地讨论它们确实不可再分地讨论它们确实不可再分. . 所谓所谓不能再分的概念不能再分的概念，其实不是绝对的，而是其实不是绝对的，而是相对于系数所在的数域而言
2、相对于系数所在的数域而言的的. . 例如，在例如，在有理数域上有理数域上，把，把 x4- -4 分解为分解为第五节第五节 因式分解定理因式分解定理上页上页下页下页返回返回 在下面的讨论中，仍然选定一个数域在下面的讨论中，仍然选定一个数域P作为作为系系数域，我们考虑数域，我们考虑数域数域P上上的多项式环的多项式环Px中多项式中多项式的的因式分解因式分解. .上页上页下页下页返回返回 x4- -4=(x2- -2)(x2+2)的形式就不能再分了的形式就不能再分了. 但在但在数域数域Q( ) (参看本章参看本章第一节第一节)上，或更扩大一些，在上，或更扩大一些，在实数域实数域上，就可以上，就可以进一
3、步分解成进一步分解成 x4- -4=(x- - )(x+ )(x2+2)而在而在复数域复数域上，还可以进一步分解成上，还可以进一步分解成 x4- -4=(x- - )(x+ )(x- - i)(x+ i)由此可见，必须明确系数域后，所谓不能再分才有由此可见，必须明确系数域后，所谓不能再分才有确切的涵义确切的涵义. 定义定义8 8 如果数域如果数域P上上次数次数11的多项式的多项式p(x)不能表不能表示成数域示成数域P上上两个次数比两个次数比p(x)低的多项式的乘积低的多项式的乘积，那么就称那么就称p(x)为为数域数域P上的上的不可约多项式不可约多项式. . 正如上面指出的，正如上面指出的，(x
4、2+2) 是实数域上的是实数域上的不可约不可约多项式，但是它在复数域上可以分解成两个多项式，但是它在复数域上可以分解成两个一次多一次多项式项式的乘积，因而的乘积，因而不是不可约不是不可约的的. . 这就说明，这就说明，一个一个多项式是否不可约是依赖于系数域的多项式是否不可约是依赖于系数域的. .上页上页下页下页返回返回 按照定义，按照定义，一次多项式总是不可约多项式一次多项式总是不可约多项式 . 显然，显然，不可约多项式不可约多项式p(x)的因式只有的因式只有非零常数非零常数与它与它自身的非零常数倍自身的非零常数倍cp(x)(c0)这两种，此外就这两种，此外就没有了没有了. . 反过来，反过来
5、，具有这个性质的次数具有这个性质的次数11的多项式一的多项式一定是不可约的定是不可约的. . 由此可知，由此可知，不可约多项式不可约多项式p(x)与任与任一多项式一多项式f(x)之间只可能有两种关系之间只可能有两种关系，或者，或者p(x)| f(x)或者或者(p(x), f(x)=1 . 事实上事实上，如果，如果(p(x), f(x)=d(x)，那么，那么d(x)或者是或者是1 1或者是或者是cp(x)(c0). 当当d(x)=cp(x)时，就有时，就有p(x)| f(x) 了了.上页上页下页下页返回返回不可约多项式有下述的不可约多项式有下述的重要性质重要性质.定理定理 5 如果如果p(x)是
6、是不可约多项式不可约多项式，那么对于任意，那么对于任意的两个多项式的两个多项式 f(x), g(x)，由，由p(x)|f(x)g(x)，一定推，一定推出出 p(x)|f(x)或者或者p(x)|g(x) .上页上页下页下页返回返回证明证明 如果如果p(x)|f(x)，那么结论已经成立，那么结论已经成立.如果如果p(x)| f(x)，那么由以上说明可知，那么由以上说明可知 (p(x), f(x)=1 于是由定理于是由定理4 即得即得p(x)|g(x) . 证毕证毕 . 利用数学归纳法，这个定理可以利用数学归纳法，这个定理可以推广推广为：为：如果如果不可约多项式不可约多项式p(x)整除一些多项式整除
7、一些多项式 f1(x),f2(x),fs(x) 的乘积的乘积 f1(x)f2(x)fs(x)，那么那么 p(x) 一定整除这些多项式之中的至少一个一定整除这些多项式之中的至少一个 .下面来证明这一章的下面来证明这一章的主要定理主要定理 .上页上页下页下页返回返回其中其中ci(i=1,2,s) 是一些是一些非零常数非零常数 .上页上页下页下页返回返回因式分解唯一性定理因式分解唯一性定理 数域数域P上每一个上每一个次数次数1的多的多项式项式 f(x) 都可以都可以唯一的唯一的分解成数域分解成数域P上上一些不可约一些不可约多项式的乘积多项式的乘积 . 所谓唯一性所谓唯一性是说，如果有两个分是说，如果
8、有两个分解式解式那么必有那么必有s=t，并且在适当排列因式的次序后有，并且在适当排列因式的次序后有 f(x)=p1(x)p2(x)ps(x)=q1(x)q2(x)qt(x) pi(x)=ciqi(x) (i=1,2,s) 证明证明 （分解式的存在性分解式的存在性）我们对）我们对f(x)的次数做数的次数做数学归纳法学归纳法. 上页上页下页下页返回返回 因为一次多项式都是不可约的，所以因为一次多项式都是不可约的，所以 n=1 时时结论成立结论成立 . 设设 ，并设结论对于次数低于，并设结论对于次数低于n的多项式已经成立的多项式已经成立 . 如果如果f(x)是不可约多项式，结论是显然成立的，是不可约
9、多项式，结论是显然成立的，不妨设不妨设 f(x) 不是不可约的，即有不是不可约的，即有 f(x)=f1(x)f2(x)其中其中f1(x), f2(x)的次数都低于的次数都低于n，由归纳法假定，由归纳法假定f1(x) 和和f2(x) 都可以分解成数域都可以分解成数域P上一些不可约多上一些不可约多项式的乘积项式的乘积 . 把把 f1(x), f2(x)的分解式合起来就得的分解式合起来就得到到f(x)的一个分解式的一个分解式 . 由归纳法原理，结论普遍成立由归纳法原理，结论普遍成立 .上页上页下页下页返回返回 （分解式的唯一性分解式的唯一性）设）设f(x)可以分解成不可约可以分解成不可约多项式的乘积
10、多项式的乘积上页上页下页下页返回返回如果如果f(x)还另有一个分解式还另有一个分解式 f(x)=p1(x)p2(x)ps(x)其中其中qi(i=1,2,t)都是不可约多项式，于是都是不可约多项式，于是 f(x)=q1(x)q2(x)qt(x) f(x)=p1(x)p2(x)ps(x)=q1(x)q2(x)qt(x) （1） 我们对我们对s 做归纳法做归纳法. 当当s=1，f(x)是不可约多项是不可约多项式，由定义必有式，由定义必有s=t=1，且，且 f(x)=p1(x)=q1(x) 现在设不可约因式的个数为现在设不可约因式的个数为s- -1时唯一性已证时唯一性已证 . 由（由（1）知道，）知道
11、，p1(x)|q1(x)q2(x)qt(x) ，因，因此，必能除尽其中的一个此，必能除尽其中的一个 ，不妨设，不妨设上页上页下页下页返回返回因为因为q1(x)也是不可约多项式，所以有也是不可约多项式，所以有 p1(x)|q1(x)在（在（1）式两边除去）式两边除去p1(x)就有就有 p1(x)=c1q1(x) （2） p2(x)ps(x)=c1-1q2(x)qt(x)由归纳法假设，有由归纳法假设，有 s- -1=t- -1， 即即 s=t （3）（2），（），（3），（），（4）合起来即为所要证的）合起来即为所要证的 . 这就这就 证明了分解的唯一性证明了分解的唯一性 . 证毕证毕.上页上页下
12、页下页返回返回并且适当排列次序之后有并且适当排列次序之后有 p2(x) = c2c1-1q2(x) 即即 p2(x) = c2q2(x) pi(x)=ciqi(x) (i=3, ,s) （4） 应该指出，因式分解定理虽然应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其在理论上有其基本重要性基本重要性，但是它，但是它并没有给出一个具体的分解并没有给出一个具体的分解多项式的方法多项式的方法 . 实际上，实际上，对于一般的情形，对于一般的情形，普遍普遍可行的分解多项式的方法是不存在的可行的分解多项式的方法是不存在的 . 在多项式在多项式f(x)的分解式中，可以把每一个不可的分解式中，可以把每一个不可约因式的首
13、项系数提出来，使它们成为约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数首项系数为为 1 的多项式的多项式，再，再把相同的不可约因式合并把相同的不可约因式合并. 于于是是f(x)的分解式成为的分解式成为上页上页下页下页返回返回其中其中 c 是是f(x)的首项系数，的首项系数，p1(x),p2(x),ps(x)是不同的首项系数为是不同的首项系数为 1 的不可约多项式，而的不可约多项式，而 r1,r2,rs是正整数是正整数 . 这种分解式称为这种分解式称为标准分解标准分解式式 . 如果已经如果已经有了两个多项式的标准分解式有了两个多项式的标准分解式，我，我们就们就可以直接写出两个多项式的最大公因式可以直
14、接写出两个多项式的最大公因式 .上页上页下页下页返回返回 多项式多项式f(x)与与g(x)的最大公因式的最大公因式d(x)就是那些就是那些同同时时在在f(x)与与g(x)的标准分解式中的标准分解式中出现的不可约多项出现的不可约多项式方幂的乘积式方幂的乘积，所带的，所带的方幂的指数等于方幂的指数等于它在它在f(x)与与g(x)中所有的方幂中的中所有的方幂中的较小的一个较小的一个 .例例 证明多项式证明多项式f(x)和和g(x)互素的充分必要条件是，互素的充分必要条件是，对于任意正整数对于任意正整数n， f n(x)和和gn(x)都互素都互素 .证证 如果如果 f(x)和和g(x)中有中有0或或0
15、次多项式次多项式，则结论是，则结论是显然的显然的 . 因此下面设因此下面设f(x)与与g(x)都是都是次数大于次数大于1的多的多项式，并且它们的项式，并且它们的标准分解式标准分解式为为上页上页下页下页返回返回显然有显然有 (f n(x), gn(x)=1 .由此可得由此可得f n(x)与与gn(x)的标准分解式为的标准分解式为 由上讨论可以看出，由上讨论可以看出，带余除法是一元多项式带余除法是一元多项式因式分解理论的基础因式分解理论的基础 . 我们知道，我们知道，整数也是带余整数也是带余除法除法，即，即上页上页下页下页返回返回 对于任意整数对于任意整数 a,b， b 0 ，都存在唯一的整，都存在唯一的整q,r ，使，使 a =qb+r其中其中 0 r |b| . 整数的因式分解理论整数的因式分解理论能够类似地得出能够类似地得出. 有兴趣有兴趣的同学可以当作练习作出全部证明的同学可以当作练习作出全部证明 .
