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1、第四十四讲第四十四讲 空间几何体的外表积与体积空间几何体的外表积与体积回归课本1.柱体、柱体、锥锥体、台体的体、台体的侧侧面面积积,就是各就是各侧侧面面面面积积之和之和,外表外表积积是是各个面的面各个面的面积积之和之和,即即侧侧面面积积与底面与底面积积之和之和.2.把柱体、把柱体、锥锥体、台体的面展开成一个平面体、台体的面展开成一个平面图图形形,称称为为它的展它的展开开图图,它的外表它的外表积积就是展开就是展开图图的面的面积积.3.圆圆柱、柱、圆锥圆锥、圆圆台的台的侧侧面面积积及外表及外表积积S圆圆柱柱侧侧=2rl,S柱柱=2r(r+l);S圆锥侧圆锥侧=rl,S锥锥=r(r+l);S圆圆台台
2、侧侧=(r+r)l,S台台=(r2+r2+rl+rl).4.柱、柱、锥锥、台体的体、台体的体积积V长长方体方体=abc,V正方体正方体=a3,V柱柱=Sh,V锥锥= ,V台台= (S+S+ )h.这这是柱体是柱体锥锥体台体一致体台体一致计计算公式算公式,特特别别的的圆圆柱柱圆锥圆锥 圆圆台台还还可以分可以分别别写成写成:V圆圆柱柱=r2h,V圆锥圆锥= r2h,V圆圆台台= h(r2+rr+r2).5.球的体球的体积积及球的外表及球的外表积积设设球的半径球的半径为为R,V球球= R3,S球球=4R2.考点陪练答案答案:D2.圆圆台上、下底面面台上、下底面面积积分分别别是是、4,侧侧面面积积是是
3、6,这这个个圆圆台的台的体体积积是是( )答案答案:D3.用与球心用与球心间间隔隔为为1的平面去截球的平面去截球,所得的截面面所得的截面面积为积为,那么球那么球的体的体积为积为( )答案答案:B4.(2021广州一模广州一模)假假设设一个几何体的三一个几何体的三视图视图如以下如以下图图所示所示(单单位位长长度度: cm),那么此几何体的外表那么此几何体的外表积积是是( )A.(80+16 ) cm2 B.96 cm2C.(96+16 ) cm2 D.112 cm2解析:将几何体复原,如图:该几何体是由边长为4的正方体和一个底面边长为4高为2的正四棱锥构成的,在正四棱锥中,可得四棱四棱锥锥的外表
4、的外表积为积为S1=4 4 正方体除去一个正方体除去一个面的外表面的外表积为积为S2=542=80,所以此几何体的外表所以此几何体的外表积积答案答案:A5.(2021山山东临东临沂二模沂二模)有一个正三棱柱有一个正三棱柱,其三其三视图视图如如图图,那么其那么其体体积积等于等于( )解析解析:由由图图知知该该几何体几何体为为底面底面为为正三角形的三棱柱正三角形的三棱柱,底面三角底面三角形高形高为为2,三棱柱的高三棱柱的高为为 故体故体积为积为答案答案:D类类型一型一棱柱棱棱柱棱锥锥棱台的外表棱台的外表积积体体积积解解题预备题预备:求解有关多面体外表求解有关多面体外表积问题积问题的关的关键键是利用
5、几何是利用几何图图形形的性的性质质找到其特征几何找到其特征几何图图形形,从而表达出高、斜高、从而表达出高、斜高、边长边长等等几何元素几何元素间间的关系的关系,如棱柱的矩形、棱如棱柱的矩形、棱锥锥中的直角三角形、中的直角三角形、棱台中的直角梯形等棱台中的直角梯形等.1.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系,可表示为2.处处理不理不规规那么几何体的那么几何体的问题应问题应留意运用以下方法留意运用以下方法:(1)几何体的几何体的“分割分割根据知几何体的特征根据知几何体的特征,将其分割成假将其分割成假设设干个易于求体干个易于求体积积的几何的几何体体,进进而求解而求解.(2)几何体的几何体的“补补形形有
6、有时为时为了了计计算方便算方便,可将几何体可将几何体补补成易求体成易求体积积的几何体的几何体,如如长长方体、正方体等方体、正方体等.【典例【典例1】 如如图图,三棱柱三棱柱ABCA1B1C1中中,假假设设E F分分别为别为AB AC的中点的中点,平面平面EB1C1将三棱柱分成体将三棱柱分成体积为积为V1 V2的两部分的两部分,那么那么V1：V2=_.解析解析 设设三棱柱的高三棱柱的高为为h,上下底的面上下底的面积为积为S,体体积为积为V,那么那么V=V1+V2=Sh. E F分分别为别为AB AC的中点的中点, 答案答案 7：5.类类型二型二圆圆柱、柱、圆锥圆锥、圆圆台的外表台的外表积积、体、
7、体积积解解题预备题预备:1.圆圆柱、柱、圆锥圆锥、圆圆台的台的侧侧面面积积分分别别是它是它们侧们侧面展开面展开图图的面的面积积,因此弄清因此弄清侧侧面展开面展开图图的外形及的外形及侧侧面展开面展开图图中各中各线线段与原几何体的关系是掌握它段与原几何体的关系是掌握它们们的面的面积积公式及公式及处处理相关理相关问问题题的关的关键键.2.计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高,要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题.【典例2】 知底面半径为 ,母线长为 的圆柱,挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点,下底面为底面的圆锥,求所得几何体的外表积和体积. 解解 如
8、如图图,圆圆柱一个底面的面柱一个底面的面积为积为S底底=r2=( )2=3(cm3).圆圆柱柱侧侧面面面面积为积为:S柱柱侧侧=2 (cm2).所挖所挖圆锥圆锥的母的母线长为线长为 =3(cm).类类型三型三球的外表球的外表积积、体、体积积解解题预备题预备:球的外表球的外表积积与体与体积积都只与半径都只与半径R有关有关,是以是以R为为自自变变量的函数量的函数,一个球的半径一个球的半径给给定定,它的外表它的外表积积、体、体积积随之确定随之确定,反反过过来来,给给定一个球的外表定一个球的外表积积或体或体积积,这这个球的半径也就确个球的半径也就确定了定了.【典例3】 如图,正三棱锥的高为1,底面边长
9、为 内有一个球与它的四个面都相切.求:(1)棱锥的全面积;(2)内切球的外表积与体积. (2)设设正三棱正三棱锥锥PABC的内切球球心的内切球球心为为O,衔衔接接OP OA OB OC,而而O点到三棱点到三棱锥锥的四个面的的四个面的间间隔都隔都为为球的半径球的半径r. VPABC=VOPAB+VOPBC+VOPAC+VOABC类型四类型四 由几何体的三视图求几何体的外表积与体积由几何体的三视图求几何体的外表积与体积解解题预备题预备:知空知空间间几何体的三几何体的三视图视图求外表求外表积积体体积积是高考是高考调查调查的的热热点点,对对三三视图视图的运用是解的运用是解题题的关的关键键.主要表达在以
10、下两主要表达在以下两个方面的运用个方面的运用:一是数据的一是数据的给给出出,经过经过三三视图视图的的长长 宽宽高高对对应应出空出空间间几何体的相关几何体的相关长长 宽宽高高,从而求外表从而求外表积积和体和体积积,但但是要留意三是要留意三视图视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应对应,识图时识图时留意甄留意甄别别.二是提示空二是提示空间间几何体的构造特征几何体的构造特征.包包括几何体的外形括几何体的外形,平行垂直等构造特征平行垂直等构造特征,这这些正是数据运算些正是数据运算的根据的根据.【典例4】 一几何体按比例绘制的三视图如下图(单位:m):(1)试画
11、出它的直观图;(2)求它的外表积和体积. 分析 由三视图,正确的画出几何体的直观图,确定几何体中线段的位置关系及数量关系. 解 (1)直观图如下图. (2)解法一解法一:由三由三视图视图可知可知该该几何体是几何体是长长方体被截去一个角方体被截去一个角,且且该该几何体的体几何体的体积积是以是以A1A,A1D1,A1B1为为棱的棱的长长方体的体方体的体积积的的在直角梯形在直角梯形AA1B1B中中,作作BE A1B1,那么那么AA1EB是正方形是正方形, AA1=BE=1 在在Rt BEB1中中,BE=1,EB1=1 BB1= 几何体的外表几何体的外表积积S=S正方形正方形AA1D1D+2S梯形梯形
12、AA1B1B+S矩形矩形BB1C1C+S正方形正方形ABCD+S矩形矩形A1B1C1D1=1+2 (1+2)1+1 +1+12=7+ (m2). 几何体的体几何体的体积积V= 121= (m3), 该该几何体的外表几何体的外表积为积为(7+ )m2,体体积为积为 m3.解法二解法二:几何体也可以看作是以几何体也可以看作是以AA1B1B为为底面的直四棱柱底面的直四棱柱,其其外表外表积积求法同解法一求法同解法一,V直四棱柱直四棱柱D1C1CDA1B1BA=Sh= (1+2)11= (m2). 几何体的外表几何体的外表积为积为(7+ )m2,体体积为积为 m3. 反思感悟反思感悟 (1)由三由三视图
13、视图画几何体的直画几何体的直观图观图,掌握掌握“长对长对正、正、宽宽相等相等,高平高平齐齐的的规规那么那么,是确定几何体特征的关是确定几何体特征的关键键.(2)把不把不规规那么几何体分割成几个那么几何体分割成几个规规那么几何体或者是那么几何体或者是补补上一上一部分使之成部分使之成为规为规那么几何体那么几何体,是求不是求不规规那么几何体常用方法那么几何体常用方法.错错源一源一问题问题思索不全思索不全【典例【典例1】 能否存在能否存在这样这样的球的球,在在该该球内有球内有间间隔隔为为3的两个平的两个平行截面且截面的面行截面且截面的面积积分分别为别为5和和8?假假设设存在存在,求出球面的求出球面的外
14、表外表积积;假假设设不存在不存在,请阐请阐明理由明理由. 错解 假设存在满足题意的球,过圆心与截面的圆心作球的轴截面,如图.圆O是球的大圆,A1B1,A2B2分别是两个平行截面圆的直径,C1,C2分别是两个截面圆的圆心,设两截面圆的半径分别为r1,r2,(r1r2),由题意可得 又 此方程无解,所以满足题意的球不存在. 分析分析 错错解只思索了两个平行截面都在球心同一解只思索了两个平行截面都在球心同一侧侧的情形的情形,现现实实上两个平行截面不一定都在球心的同一上两个平行截面不一定都在球心的同一侧侧. 正解 假设存在满足题意的球.(1)假假设设两个平行截面都在球心的同一两个平行截面都在球心的同一
15、侧侧,那么解法同那么解法同错错解解.(2)假假设设两个平行截面在球心两两个平行截面在球心两侧侧,过圆过圆心与截面的心与截面的圆圆心作球的心作球的轴轴截面截面,如如图图.圆圆O是球的大是球的大圆圆,A1B1,A2B2分分别别是两个平行截是两个平行截面面圆圆的直径的直径,C1,C2分分别别是两个截面是两个截面圆圆的的圆圆心心,设设两截面两截面圆圆的的半径分半径分别为别为r1,r2(r1r2).由由题题意可得意可得 又又 解得解得R2=9,所以球的外表所以球的外表积积S=4R2=36.综综上可得上可得,存在存在满满足足题题意的球意的球,该该球的外表球的外表积为积为36.错错源二源二对对三三视图视图的
16、构成的构成认识认识不清不清【典例【典例2】 设设某几何体的三某几何体的三视图视图如如图图(尺寸的尺寸的长长度度单单位位为为m).那么那么该该几何体的体几何体的体积为积为_m3. 错错解解 该该几何体几何体为为三棱三棱锥锥,底面底面为为腰腰为为4,底底为为3的等腰三角形的等腰三角形,高高为为2. 分析分析 把正把正视图视图看成三棱看成三棱锥锥的一个面呵斥的一个面呵斥误误解解.三三视图视图中的每中的每一个一个视图视图都是整个几何体在某一屏幕上的投影都是整个几何体在某一屏幕上的投影,不一定是某不一定是某个面留下的投影个面留下的投影.这类问题这类问题不能孤立的分析某一不能孤立的分析某一视图视图. 正解
17、正解 由三由三视图视图可知原几何体是一个三棱可知原几何体是一个三棱锥锥,由由“长对长对正正,宽宽相相等等,高平高平齐齐的原那么可知三棱的原那么可知三棱锥锥的高的高为为2,底面三角形的底底面三角形的底边长为边长为4,高高为为3,那么所求棱那么所求棱锥锥的体的体积为积为V= 342=4.答案答案 4技法一技法一等等积转积转化思想方法化思想方法【典例【典例1】 如如图图,一个三棱柱容器中盛有水一个三棱柱容器中盛有水,且且侧侧棱棱AA1=8,假假设设AA1B1B程度放置程度放置时时,液面恰好液面恰好过过AC,BC,A1C1,B1C1的中点的中点,那么当底面那么当底面ABC程度放置程度放置时时,液面的高
18、液面的高为为多少多少? 解解 当当AA1B1B程度放置程度放置时时,纵纵截面中水的面截面中水的面积积占占1- 所以水的体所以水的体积积与三棱柱体与三棱柱体积积比比为为 当底面当底面ABC程度放程度放置置时时,液面高度液面高度为为8 =6.方法与技巧方法与技巧 容器中水的体容器中水的体积积不会减少不会减少,运用等运用等积积思想可不用思想可不用计计算体算体积积,而而经过经过体体积积比比进进而化而化为为高度比高度比.技法二技法二巧解三棱巧解三棱锥锥的体的体积积【典例【典例2】 知正三棱知正三棱锥锥PABC的三条的三条侧侧棱两两垂直棱两两垂直,侧侧棱棱长长都都等于等于a,如如图图1,求此三棱求此三棱锥
19、锥的体的体积积. 解解 解法一解法一:设顶设顶点点P在底面在底面ABC上的射影上的射影为为O,那么那么O为为 ABC的中心的中心,衔衔接接CO延伸交延伸交AB于于M,衔衔接接PM,那么那么CM AB且且M为为AB的中点的中点.在在 ABC中中,易求得易求得解法二解法二:转换转换三棱三棱锥顶锥顶点点,如如图图2.由于由于AP PB PC,所以三棱所以三棱锥锥APBC的高的高为为PA,底面底面 PBC为为直角三角形直角三角形.所以所以VPABC=VAPBC= S PBCAP解法三解法三:由三棱由三棱锥锥PA PB PC,易易联联想到以想到以PBC为为底面可以底面可以补补成成三棱柱三棱柱ABC-PBC,如如图图3,它与三棱它与三棱锥锥APBC的高均的高均为为AP,底底面面为为 PBC,易知易知锥锥体的体体的体积积是与其等底等高的柱体体是与其等底等高的柱体体积积的的 方法与技巧 该题标题虽小,但其解法涵盖了求解几何体体积常用的几种思想方法.解法一是直接法,它是对应体积公式的通法;解法二是等体积转化法,针对锥体的几何特点,变换顶点,体积不变.解法三是补形法,这是直接法遇阻时经常采用的间接求解战略.诸如还可将三棱锥补构成为四棱柱,三棱柱补构成为平行六面体等,与此法相对的还有分割法,即将一个几何体分割成几部分来进展求解.
