《随机变量的函数及其分布.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机变量的函数及其分布.ppt（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第六章随机变量的函数及其分布第六章随机变量的函数及其分布 离散随机变量的函数的分布离散随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布连续型随机变量的函数的分布上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布问题：问题： 已知随机变量已知随机变量X的分布函数，分布律或是密度的分布函数，分布律或是密度函数，求随机变量函数，求随机变量Yg(X)的分布律或是密度函数。的分布律或是密度函数。方法：方法： 将与将与Y有关的事件转化成有关的事件转化成X的事件的事件上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及
2、其分布若若X为离散型为离散型 随机变量随机变量, 其分布律为其分布律为X x1 x2 x3 xn pk p1 p2 p3 pn则随机变量则随机变量X的函数的函数 Y= g (X) 的分布律为的分布律为Y g( x1) g( x2) g( x3) g (xn) pk p1 p2 p3 pn如果如果g( x i )与与g( x j )相同，此时将两项合并，对应概率相加相同，此时将两项合并，对应概率相加 一、离散随机变量的函数的分布一、离散随机变量的函数的分布上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分
3、布为X-2-10123P0.100.200.250.200.150.10例例1求以下随机变量的分布律求以下随机变量的分布律(1) Y1=X1 (2) Y2=-2X (3) Y3=X2。解：解：由由X的分布律可得下表：的分布律可得下表：P0.100.200.250.200.150.10X-210123X13210122X420246X2410149上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布故由上表可得故由上表可得 (1)Y1=X1 的分布律为的分布律为Y1321012P0.10.20.250.20.150.1(2) Y2=-2X的分布律为
4、的分布律为Y2642024P0.10.150.20.250.20.1(3) Y3=X2的分布律为的分布律为Y30149P0.250.40.250.1上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布设设 X 为一个连续型随机变量，其概率密度函数为为一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f (x)。y = g(x)为一个连续函数，求随机变量为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数的概率密度函数(1) 求求Y的分布函数的分布函数 FY(y)根据分布函数的定义(2) 对对FY(y) 求导，得到求导，得到 fY(y) 二、连续型随机变量的函
5、数的分布二、连续型随机变量的函数的分布n方法方法1 1一般方法一般方法上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布解：解：设随机变量设随机变量，求，求Y=X2的概率密度。的概率密度。例例2因为，故因为，故X的密度函数为的密度函数为而而Y的分布函数的分布函数故当故当y0时，有时，有即即当当y0时，有时，有yy上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布所以，所以，Y的概率密度为的概率密度为即即Y的分布函数为的分布函数为而而1，0，其他，其他.故故上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页
6、首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布设连续随机变量设连续随机变量X的概率密度为的概率密度为求随机变量函数求随机变量函数Y=a+bX的概率密度，其中的概率密度，其中a及及b0都是常数都是常数例例3解解Y的分布函数为的分布函数为具体实例见具体实例见P75 习题习题3上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布n方法方法2 2 公式法公式法定理定理设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密度则则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为其中其中h(y)是是g(x)的反函数。的反函数。y=g
7、(x)是一单调函数，且具有一阶连续导数，是一单调函数，且具有一阶连续导数，证明略证明略上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布证：证：只对只对 的情形进行证明。的情形进行证明。此时，此时，g(x)的反函数的反函数h(y)是可导的，且是可导的，且于是，于是，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，故故Y的密度函数为的密度函数为上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布设随机变量设随机变量，求，求Y=eX的概率密度。的概率密度。例例4解：解：因为因为 ，故，故X的密度函数为的密度
8、函数为函数函数y=ex 在实数集在实数集R上单调递增，且一阶连续可导，上单调递增，且一阶连续可导，故满足定理要求，且其反函数故满足定理要求，且其反函数x=h(y)=l n y，所以，所以，Y的密度函数为的密度函数为0， 其他其他.上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布例例5解解设随机变量设随机变量 ，试证明试证明X的线性函数的线性函数Y=aX+b(a0)也服从正态分布。也服从正态分布。由于由于所以所以X的密度函数为的密度函数为函数函数 y=ax+b在实数集在实数集R上可导，上可导，下面只对下面只对a0证明结论成立。证明结论成立。其反
9、函数为其反函数为x=h(y)=(yb)/a,y(，+)，则则Y的密度函数为的密度函数为且恒有且恒有即即同理可证，同理可证，a0时，时，上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布若若X的密度函数为的密度函数为则条件可减弱为则条件可减弱为“g(x)在区间（在区间（a,b）上单调且一阶连续可导）上单调且一阶连续可导”，而而其中是其中是h(y)的定义域的定义域,上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布解：解：设随机变量设随机变量，求，求Y=X2的概率密度。的概率密度。例例6因为，故因为
10、，故X的密度函数为的密度函数为函数函数y=x2 在区间在区间（0,1）上单调递增，且一阶连续可导，上单调递增，且一阶连续可导，故满足定理要求，且其反函数故满足定理要求，且其反函数所以，所以，Y的概率密度为的概率密度为0， 其他其他.上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布设某零件的内径设某零件的内径XN(11，1)，并规定当，并规定当X12零件零件为不合格。又知销售利润为不合格。又知销售利润Y与与X的关系为的关系为 例例7求求Y的分布律。的分布律。 解解Y为离散型随机变量，所有可能取值为为离散型随机变量，所有可能取值为5,1,20，且
11、，且 P(Y=5)=1P(X12) =1() =1(1) =10.84=0.16 P(Y=1) =P(X12)上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布例例8设随机变量设随机变量X在区间在区间0，上服从均匀分布，即上服从均匀分布，即概率密度概率密度求随机变量函数求随机变量函数YsinX的概率密度的概率密度.解解方法一：方法一：Y的分布函数为的分布函数为 yy1y上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章
12、随机变量的函数及其分布 g(x)处处可导且恒有处处可导且恒有(或恒有或恒有 )，在定理中，条件在定理中，条件很强，在很强，在 许多场合往往不能满足。这个条件可以减弱为许多场合往往不能满足。这个条件可以减弱为g(x)逐段可导且严格单调，逐段可导且严格单调，分别在分别在x的每个单调区间内，分别应用公式的每个单调区间内，分别应用公式其中其中、分别为分别为y=g(x)在单调区间内的最小值和最大值。在单调区间内的最小值和最大值。然后再相加。然后再相加。上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第五章随机变量的函数及其分布第五章随机变量的函数及其分布y=sinx在在(0,/2)上可导，且严格单调递增，上可导，且严格单调递增， 其反函数为其反函数为y=sinx在在(/2,)上可导，且严格单调递减，上可导，且严格单调递减，其反函数为其反函数为所以，当所以，当0y1时，时，而当而当y在其它区间时，有在其它区间时，有即即Y的密度函数为的密度函数为方法二：方法二：
