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1、3-7 3-7 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算p 稳态误差及其基本分析方法稳态误差及其基本分析方法p 输入引起的稳态误差及静态误差系数输入引起的稳态误差及静态误差系数p 干扰引起的稳态误差干扰引起的稳态误差本本 节节 内内 容容 稳态误差是衡量控制系统控制准确性的稳态误差是衡量控制系统控制准确性的一种度量，通常称为稳态性能。在控制系一种度量，通常称为稳态性能。在控制系统的设计中，是控制系统的一项重要性能统的设计中，是控制系统的一项重要性能指标。指标。暂态性能：平稳、振荡幅度小暂态性能：平稳、振荡幅度小“稳稳” 过渡过程的时间短过渡过程的时间短“快快”稳态性能：系统的稳态误差小稳态
2、性能：系统的稳态误差小“准准”闭环系闭环系统稳定统稳定是前提是前提3-6-1 3-6-1 稳态误差及其基本分析方法稳态误差及其基本分析方法一、稳态误差的概念一、稳态误差的概念1 1. .首先系统必须是稳定的，才有谈稳态误差的必要。首先系统必须是稳定的，才有谈稳态误差的必要。l系统本身的结构和参数；系统本身的结构和参数；l输入信号的具体形式（如阶跃、斜坡和抛物线等）在原理输入信号的具体形式（如阶跃、斜坡和抛物线等）在原理上引起的误差，同时在控制上有办法可以补偿的那些原因。上引起的误差，同时在控制上有办法可以补偿的那些原因。l l输入信号作用的性质、位置（如输入量和扰动量）；输入信号作用的性质、位
3、置（如输入量和扰动量）；2 2. .在各个产品说明书中精度是一个很重要的指标。在各个产品说明书中精度是一个很重要的指标。3 3. .影响一个系统的精度的原因（我们主要考虑的）。影响一个系统的精度的原因（我们主要考虑的）。4 4. .不在考虑范围内的影响系统精度的因素不在考虑范围内的影响系统精度的因素l元件的不灵敏区、零点漂移、元件的老化以及间隙等元件的不灵敏区、零点漂移、元件的老化以及间隙等一、稳态误差的概念一、稳态误差的概念5 5. .我们研究稳态误差的目的并不是要彻底地消除稳态误差，因我们研究稳态误差的目的并不是要彻底地消除稳态误差，因为稳态误差总是不可避免的，我们能做的只是如何使稳态误差
4、为稳态误差总是不可避免的，我们能做的只是如何使稳态误差更小，甚至达到最小，或使稳态误差小于某一允许值。更小，甚至达到最小，或使稳态误差小于某一允许值。6 6. .有差系统和无差系统有差系统和无差系统7 7. .稳态误差分为给定稳态误差和扰动稳态误差稳态误差分为给定稳态误差和扰动稳态误差 。在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。无差系统：有差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。本节主要讨论原理性稳态误差的计算方法系统结构-系统类型输入作用方式二、误差及稳态误差的定义二、误差及稳态误差的定义对于图示的典型结构，控制系统的误差有两种定义方式：对于图示的典型结构，控制系统的误差有两种定
5、义方式：系统误差：输出量的希望值 和实际值 之差。即系统稳态误差：当t时的系统误差，用 表示。即 误差的定义相当于从系统输出端来定义的，在系统性能指标中经常使用，但在实际系统中有时无法量测，因而一般只有数学意义; 系统偏差：系统的输入 和主反馈信号 之差。即系统稳态偏差：当t时的系统偏差，用 表示。即 通常H(s)是测量装置的传递函数，故此时偏差就是给定输入与测量装置的输出量之差。 偏差的定义相当于从系统输入端来定义的，在实际系统中是可以量测的，具有一定的物理意义。 要求输出量 的变化规律与给定输入 的变化规律完全一致，所以给定输入 也就是输出量的希望值 ，即 此时，上述两种定义统一为：对单位
6、反馈系统： 可见，两种定义对非单位反馈系统是存在差异的，但两种定义下的误差之间具有确定的关系，即误差可以直接或间接地由偏差来确定。从本质上看，它们都能反映控制系统的控制精度。对非单位反馈系统： 给定作用 只是希望输出的代表， ，偏差不等于误差 。可以证明两者之间存在一定的关系：即有：即有： 在下面的讨论中，我们将用偏差 代替误差进行研究。除非特别说明，以后所说的误差就是指偏差；稳态误差就是指稳态偏差。 e(t)通常也称为系统的误差响应，它反映了系统在输入信号和扰动信号作用下整个工作过程中的精度。误差响应中也包含有瞬态分量和稳态分量两个部分，如果所研究的系统是稳定的，那么当时间t趋于无穷大时，瞬
7、态分量趋近于零，剩下的只是稳态分量。 求解误差响应求解误差响应 e(t) 与求解系统的输出量与求解系统的输出量 c(t)一样，一样，对于高阶系统是相当困难的。由于我们分析和设计系对于高阶系统是相当困难的。由于我们分析和设计系统时所关心的是系统的稳态误差，因此问题得以简化。统时所关心的是系统的稳态误差，因此问题得以简化。 稳定系统的误差终值稳定系统的误差终值称为系统的稳态误差。称为系统的稳态误差。即当时间即当时间 t 趋于无穷时，若趋于无穷时，若 e(t) 的极限存在，则的极限存在，则稳定系统的稳态误差为稳定系统的稳态误差为 实际工程中，一般不采用直接求误差响应的实际工程中，一般不采用直接求误差
8、响应的方法计算稳态误差，而是用拉氏变换的终值定方法计算稳态误差，而是用拉氏变换的终值定理来进行分析。理来进行分析。稳态误差的定义稳态误差的定义 三、稳态误差的基本分析方法三、稳态误差的基本分析方法1. 稳态误差的基本分析方法稳态误差的基本分析方法终值定理：终值定理：应用终值定理计算稳态误差，即应用终值定理计算稳态误差，即其应用条件是其应用条件是:误差误差e(t)的拉氏变换的拉氏变换E(s)在在 s 平面的右半平面的右半平面以及虚轴上平面以及虚轴上 (原点除外原点除外)处处解析，即没有极点。处处解析，即没有极点。例如：例如： 若若而而则有则有利用终值定理计算稳态误差利用终值定理计算稳态误差其应用
9、条件是：其应用条件是： E(s)分母的根分母的根(即极点即极点)不在不在 s 平面的平面的右半平面及除原点之外的虚轴上。右半平面及除原点之外的虚轴上。e(t)的极限不存在的极限不存在 三、稳态误差的基本分析方法三、稳态误差的基本分析方法e(t)的极限不存在的极限不存在然而然而故有故有 可见，在利用终值定理计算稳态误差时，可见，在利用终值定理计算稳态误差时，必须先考虑是否满足终值定理的应用条件。必须先考虑是否满足终值定理的应用条件。再如：再如：若若而而则有则有若若 例如：例如：e(t)的极限存在的极限存在2. 利用终值定理计算系统的稳态误差：利用终值定理计算系统的稳态误差：步骤：步骤： 判别系统
10、的稳定性（判别系统的稳定性（只有稳定系统，计算其稳只有稳定系统，计算其稳态误差才有意义态误差才有意义）；）； 明确误差明确误差 e(t) 的定义形式，并的定义形式，并写出其写出其象函数象函数 E(s)的表达式的表达式 ； 应用终值定理应用终值定理 计算稳定计算稳定系统的稳态误差系统的稳态误差ess 。 三、稳态误差的基本分析方法三、稳态误差的基本分析方法3-6-2 3-6-2 输入引起的稳态误差及静态误差系数输入引起的稳态误差及静态误差系数 系统只在输入系统只在输入R(s)R(s)作用下，即作用下，即N(s)=0 N(s)=0 。此时，系统的。此时，系统的结构图可简化为下图所示。结构图可简化为
11、下图所示。误差传递函数为：误差传递函数为：公式条件：的极点均位于S左半平面（包括坐标原点）输入形式结构形式开环传递函数 给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构 系统类型终值定理，求稳态误差：Type系统类型令系统开环传递函数为！系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别 n2时，II型以上的系统，实际上很难使之稳定，所以这种类型的系统在控制工程中一般不会碰到（复合系统）n：为系统中含有的积分环节的个数K：系统的开环增益。Tj和i：系统的时间常数。令系统稳态误差计算通式则可表示为：分别讨论阶跃、斜坡和加速度函数的稳态误差情况当令
12、令Static position error constant要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用型及型以上的系统。 阶跃信号输入 可见，由于0型系统中没有积分环节，它对阶跃输入的稳态误差为一定值，误差的大小与系统的开环放大系数K成反比，K越大，K越小，只要K不是无穷大，系统总有误差存在。 对实际系统来说，通常是允许存在稳态误差的，但不允许超过规定的指标。为了降低稳态误差，可在稳定条件允许的前提下，增大系统的开环放大系数，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，则必须选用1型或高于1型的系统。令令斜坡信号输入静态速度误差系数 Static velocity error constant 上
13、面的计算表明，在单位斜坡输入作用下，0型系统的稳态误差为，而1型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。为了使稳态误差不超过规定值，可以增大系统的K值。2型或高于2型系统的稳态误差总为零。因此，对于单位斜坡输入，要使系统的稳态误差为一定值或为零，必需1，也即系统必须有足够积分环节。令令加速度信号输入静态加速度误差系数 Static acceleration error constant 以上计算表明，在单位抛物线输入作用下，0型和1型系统的稳态误差为，2型系统的稳态误差为一定值，且误差与开环放大系数成反比。对3型或高于3型的系统，其稳态误差为零。小结：小结：表表2给定信号输入下的给
14、定稳态误差给定信号输入下的给定稳态误差essr阶跃输入阶跃输入r(t)=1斜坡输入斜坡输入r(t)=t 抛物线输入抛物线输入r(t)=1/2t2Kp=KKv=0Ka=0Kp=0Kv=KKa=00型系统型系统1型系统型系统2型系统型系统Kp=00Kv=Ka=KKp稳态位置偏差系数稳态位置偏差系数Kv稳态速度偏差系数稳态速度偏差系数Ka稳态加速度偏差系数稳态加速度偏差系数对对角角线线上上出出现现的的稳稳态态偏偏差差具具有有有有限限值值，对对角角线线以以上上出出现现的的稳稳态态偏偏差差为为，对对角角线线以以下下出出现现的的稳稳态态偏差为零。偏差为零。结论：结论： 输入信号形式影响系统的稳态误差。输入
15、信号形式影响系统的稳态误差。essr与与有有关关，在在系系统统中中增增加加积积分分器器（提提高高），稳态性能可以改善。稳态性能可以改善。开开环环增增益益直直接接影影响响系系统统的的稳稳态态特特性性。K越越大大，稳稳态态误误差差越越小小，增增大大开开环环增增益益可可以以改改善善闭闭环环系系统统的的稳态特性。稳态特性。应应注注意意到到，增增大大值值和和K值值同同时时也也会会使使控控制制系系统统的的稳稳定定性性和和动动态态性性能能变变差差，必必须须在在控控制制精精度度与与稳稳定定性之间折衷。性之间折衷。p 若给定的输入信号不是单位信号时，则将系统对单位信号的稳态误差成比例的增大，就可以得到相应的稳态
16、误差。若给定输入信号是上述典型信号的线性组合，则系统相应的稳态误差就由叠加原理求出。例如，若输入信号为p则系统的总稳态误差为p综上所述，稳态误差系数 、 和 描述了系统对减小和消除稳态误差的能力，因此，它们是系统稳态特性的一种表示方法。提高开环放大系数K或增加开环传递函数中的积分环节数，都可以达到减小或消除系统稳态误差的目的。但是，这两种方法都受到系统稳定性的限制。因此，对于系统的准确性和稳定性必须统筹兼顾、全面衡量。此外，由以上讨论可知，当 时，系统相对 的稳态误差为零，当 时，系统相对 的稳态误差为零；当 时，系统相对 的稳态误差为零。因此，当开环系统含有 个串联积分环节时，称系统对给定输
17、入 r(t)是 阶无差系统，而 称为系统的无差度。例例设图所示系统的输入信号设图所示系统的输入信号r(t)=10+5tr(t)=10+5t，试分析系统的稳定，试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。性并求出其稳态误差。 解解 由图求得系统的特征方程为由图求得系统的特征方程为-要使系统稳定，必须要使系统稳定，必须 K 0 , 1+0.5K 0 , 3(1+0.5K) K 0 , 1+0.5K 0 , 3(1+0.5K)2K 02K 0解之得解之得 K 0 K 0，K-2K-2，K 6K 6。所以当。所以当0 K 60 K6时，系统将不稳定。时，系统将不稳定。3-6-3 3-6-3 扰动输入作用下系统
18、的误差分析扰动输入作用下系统的误差分析 控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的作用。系统在扰动输入作用下的稳态误差扰动输入的作用。系统在扰动输入作用下的稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。的大小，反映了系统的抗干扰能力。 扰动输入可以作用在系统的不同位置，因此，即使扰动输入可以作用在系统的不同位置，因此，即使系统对于某种形式的给定输入的稳态误差为零，但对系统对于某种形式的给定输入的稳态误差为零，但对同一形式的扰动输入其稳态误差则不一定为零。下面同一形式的扰动输入其稳态误差则不一定为零。下面根据线性系统的叠加原理，以下图所示系统来讨
19、论由根据线性系统的叠加原理，以下图所示系统来讨论由扰动输入所产生的稳态误差。按照前面给出的误差信扰动输入所产生的稳态误差。按照前面给出的误差信号的定义可得扰动输入引起的误差为：号的定义可得扰动输入引起的误差为：扰动输入作用下系扰动输入作用下系统的误差传递函数：统的误差传递函数： 系统只在输入系统只在输入N(s)N(s)作用下，即作用下，即R(s)=0 R(s)=0 。此时，系统的。此时，系统的结构图可简化为下图所示。结构图可简化为下图所示。扰动引起的稳态误差扰动引起的稳态误差是扰动引起的稳态输出的负值是扰动引起的稳态输出的负值 。此时，系统的此时，系统的稳态误差为：稳态误差为：举例举例已知系统
20、如图所示已知系统如图所示已知系统如图所示已知系统如图所示分析：当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，分析：当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。（1 1）设给定信号和扰动信号均为阶跃信号，求两个稳态误差。）设给定信号和扰动信号均为阶跃信号，求两个稳态误差。（2 2）研究使）研究使e ess ss为零时的调节器结构。为零时的调节器结构。解：解：令令n(t)=0n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为时，求得给定输入作用下的误差传递函数为: :所以给定稳态误差为：所以给定稳态误差为：令令r
21、(t)=0r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递函数为时，求得扰动输入作用下的误差传递函数为 ：所以给定稳态误差为：所以给定稳态误差为： 由上式计算可以看出，由上式计算可以看出，r(t)r(t)和和n(t)n(t)同是阶跃信号，由同是阶跃信号，由于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也于在系统中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。此外，由扰动稳态误差的表达式可见，提高不相同。此外，由扰动稳态误差的表达式可见，提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节的放大系系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节的放大系数（即数（即K K1 1），可以减小系统的扰动稳态误差。），可以减小系统
22、的扰动稳态误差。该系统总的稳态误差为：该系统总的稳态误差为： 为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，我们假设图中：我们假设图中： 给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出，即：差可按上述相同的方法求出，即： 比较以上两次计算的结果可以看出，比较以上两次计算的结果可以看出，若要消除系统的给定稳态误差，则系统前向通道中串联的积分环节都起作用。若要消除系统的扰动稳态误差，则在系统前向通道中只有扰动输入作用点之前的积分环节才起作用。因此，若要消除由给定输入和因此，若要消除由
23、给定输入和扰动输入同时作用于系统所产生的稳态误差，则串联的积分环扰动输入同时作用于系统所产生的稳态误差，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前。节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前。系统总的稳态误差为：系统总的稳态误差为： 对于非单位反馈系统，当对于非单位反馈系统，当H(s)H(s)为常数时，以上分析的有关结为常数时，以上分析的有关结论同样适用。前面定义了相对于给定输入的无差度，同样也可论同样适用。前面定义了相对于给定输入的无差度，同样也可以定义相对于扰动输入的无差度。当系统的以定义相对于扰动输入的无差度。当系统的G G1 1(s)(s)中含有中含有 个串联个串联的积分环节时称
24、系统相对于扰动输入是的积分环节时称系统相对于扰动输入是 阶无差系统，而阶无差系统，而称为称为系统相对于扰动输入的无差度。对本例中的前一种情况，系统系统相对于扰动输入的无差度。对本例中的前一种情况，系统对扰动输入的无差度为对扰动输入的无差度为0 0，而后一种情况，系统对扰动的无差度，而后一种情况，系统对扰动的无差度是是1 1。显然，当谈及一个系统的无差度时应指明系统对哪一种输。显然，当谈及一个系统的无差度时应指明系统对哪一种输入作用而言，否则，可能会得出错误的结论。入作用而言，否则，可能会得出错误的结论。系统总的稳态误差为：系统总的稳态误差为：3-6-4 3-6-4 减小或消除稳态误差的方法减小
25、或消除稳态误差的方法 前面的讨论表明，为了减小系统的稳态误差，可以前面的讨论表明，为了减小系统的稳态误差，可以增加开环传递函数中的串联积分环节的数目或提高系增加开环传递函数中的串联积分环节的数目或提高系统的开环放大系数。但是，串联的积分环节一般不超统的开环放大系数。但是，串联的积分环节一般不超过过2 2，而开环放大系数也不能任意增大，否则系统将可，而开环放大系数也不能任意增大，否则系统将可能不稳定，为了进一步减小系统稳态误差，可以采用能不稳定，为了进一步减小系统稳态误差，可以采用加前馈控制的复合控制方法，即从给定输入或扰动输加前馈控制的复合控制方法，即从给定输入或扰动输入处引出一个前馈控制量，
26、加到系统中去，通过适当入处引出一个前馈控制量，加到系统中去，通过适当选择补偿装置和作用点，就可以达到减小或消除稳态选择补偿装置和作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的。误差的目的。在下图所示系统中，为了消除由在下图所示系统中，为了消除由r(t)r(t)引起的稳态误差，可在原反引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从给定输入处引出前馈量经补偿装置馈控制的基础上，从给定输入处引出前馈量经补偿装置G Gc c(s)(s)对对系统进行开环控制。此时系统误差信号的拉氏变换式为系统进行开环控制。此时系统误差信号的拉氏变换式为: :显然，如果选择补偿装置的传递函数为显然，如果选择补偿装置的传递函数为则
27、系统的给定稳态误差为零。则系统的给定稳态误差为零。 在下图所示系统中，为了消除由在下图所示系统中，为了消除由n(t)n(t)引起的稳态误差，可在原反引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置馈控制的基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置G Gc c(s)(s)加到系加到系统中，若设统中，若设r(t)=0r(t)=0，则系统的输出，则系统的输出C(s)C(s)就是系统的误差信号。系统就是系统的误差信号。系统输出的拉氏变换式为输出的拉氏变换式为: :显然，如果选择补偿装置的传递函数为显然，如果选择补偿装置的传递函数为则可使输出不受扰动则可使输出不受扰动n(t)n(t)的
28、影响，故系统的扰动稳态误差为零。的影响，故系统的扰动稳态误差为零。 从结构上看，当满足从结构上看，当满足G Gc c(s)=1/G(s)=1/G1 1(s)(s)时，扰动信号经两条通道时，扰动信号经两条通道到达到达A A点，两个分支信号正好大小相等，符号相反，因而实现了点，两个分支信号正好大小相等，符号相反，因而实现了对扰动的全补偿。由于物理上可实现系统的传递函数总是满足分对扰动的全补偿。由于物理上可实现系统的传递函数总是满足分母的阶次大于或等于其分子的阶次，要求构造出分子的阶次大于母的阶次大于或等于其分子的阶次，要求构造出分子的阶次大于或等于其分母阶次的补偿装置，这通常是不可能的。此外，由于
29、或等于其分母阶次的补偿装置，这通常是不可能的。此外，由于传递函数的元件参数随着时间的推移也会发生变化，这就使得全传递函数的元件参数随着时间的推移也会发生变化，这就使得全补偿条件不可能成立。所以，实际上只能实现近似补偿。可以证补偿条件不可能成立。所以，实际上只能实现近似补偿。可以证明，前馈控制加入前后，系统的特征方程保持不变，因此，系统明，前馈控制加入前后，系统的特征方程保持不变，因此，系统的稳定性将不会发生变化。的稳定性将不会发生变化。一单位反馈控制系统，若要求：一单位反馈控制系统，若要求：跟踪单位斜坡输入时系跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为统的稳态误差为2 2。设该系统为三阶，其中一对复数闭设该系统为三阶，其中一对复数闭环极点为环极点为 。求满足上述要求的开环传递函数。求满足上述要求的开环传递函数。根据和的要求，可知系统是型三阶系统，因而令其开环传递函数为解：因为按定义 相应闭环传递函数例例所求开环传递函数为q 系统误差、稳态误差的定义q 给定输入值作用下系统的误差分析 系统的型 位置误差系数，速度误差系数，加速度误差系数q 扰动输入作用下系统的误差分析q 给定输入和扰动作用同时存在系统的误差分析 系统的总稳态误差等于给定误差和扰动误差的迭加（误差点定义在同一点）q 复合控制系统的误差分析 顺馈控制 前馈控制小小 结结
