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1、1第四节第四节 高阶线性高阶线性微分方程微分方程线性微分方程的解的结构线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程二阶线性微分方程2二阶二阶二阶线性二阶线性齐次齐次微分方程微分方程二阶线性二阶线性非齐次非齐次微分方程微分方程微分方程微分方程形如形如一、二阶线性微分方程一、二阶线性微分方程线性线性微分方程微分方程n阶阶线性线性3定理定理1 1证证叠叠加加原原理理一定是通解一定是通解(1)二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构解解,1. 二阶二阶齐次齐次方程解的结构方程解的结构4线性无关线性无关定义定义线性相关线性相关,否则称否则称线性无关线性无关.如如线性相关线性相关恒等式成立恒等式成立
2、如果存在如果存在n个不全为零的常数个不全为零的常数,使得当使得当x在该区间内在该区间内则称这则称这n个函数在区间个函数在区间I内内为定义在区间为定义在区间I内的内的n个函数个函数.5特别地特别地如如线性无关线性无关.定理定理2 2通解通解为了求为了求只要求它的两个线性无关的特解只要求它的两个线性无关的特解.线性无关线性无关的特解的特解,那末那末也是也是(1)的的齐次齐次线性方程的通解线性方程的通解,若在若在I上有上有通解通解.6定理定理2 2推论推论是是n 阶齐次阶齐次线性方程线性方程的的n 个线性无关的解个线性无关的解, 则此方程的通解为则此方程的通解为其中其中为任意常数为任意常数.可推广到
3、可推广到n 阶齐次线性方程阶齐次线性方程.72. 二阶二阶非齐次非齐次线性方程的解的结构线性方程的解的结构定理定理3 3 的一个的一个特解特解,非齐次线性方程的一个特解非齐次线性方程的一个特解和对应齐次线性方程和对应齐次线性方程只要求得只要求得:的通解的通解.(2)为了求为了求非齐次非齐次线性方程的通解线性方程的通解, Y 是与是与(2)对应的齐次方程对应的齐次方程(1)的通解的通解, 是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程(2)的的通解通解. 是二阶非齐次线性微分方程是二阶非齐次线性微分方程8已知已知的通解的通解. 又容易验证又容易验证是所给方程的一个特解是所给方程的一个特解.是是
4、非齐次非齐次方程的通解方程的通解.如如是二阶是二阶非齐次非齐次线性方程线性方程是对应齐次方程是对应齐次方程9解的叠加原理解的叠加原理定理定理4 4之和之和,的特解的特解,则则就是原方程的特解就是原方程的特解.定理定理3 3和和定理定理4 4也可推广到也可推广到n 阶非齐次线性方程阶非齐次线性方程.10 求解求解解解的通解是的通解是再考虑两个方程再考虑两个方程分别是原方程的特解分别是原方程的特解.所以原方程的通解为所以原方程的通解为例例定理定理 5 设设 是非齐次线性微分方程是非齐次线性微分方程的解的解, 其中其中 都是实函数都是实函数. 和和 的解的解. 12证证的特解的特解.非齐次非齐次线性
5、方程的两个特解之差是线性方程的两个特解之差是对应对应齐次齐次方程方程3. 一个重要结论一个重要结论所以所以非齐次非齐次线性方程的两个特解线性方程的两个特解,则则是是齐次齐次方程的解方程的解.13结论结论 思考题思考题都是微分方程都是微分方程求此方程的求此方程的通解通解.的解的解,齐次齐次方程的特解方程的特解.非齐次非齐次线性方程的两个特解之差线性方程的两个特解之差是对应是对应14方程的通解为方程的通解为或或或或因而因而,齐次齐次线性方程的通解线性方程的通解解解都是微分方程都是微分方程:求此方程的求此方程的通解通解.的解的解,线性无关线性无关.所以所以,15作作 业业习题习题6 6 .4(324(32页）页）1. 2. 3.
