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1、有理函数有理函数(yu l hn sh)的定义：的定义：两个多项式的商表示两个多项式的商表示(biosh)(biosh)的函的函数称之数称之. .一、有理函数一、有理函数(yulhnsh)的积分的积分第1页/共36页第一页，共37页。假定分子(fnz)与分母之间没有公因式这有理函数这有理函数(yu l hn sh)是真分式；是真分式；这有理函数这有理函数(yu l hn sh)是假分式；是假分式； 利用多项式除法利用多项式除法, , 假分式可以化成一个多假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和项式和一个真分式之和. .例例难点难点将有理将有理真分式真分式化为部分分式之和化为部分分式之和. .第
2、2页/共36页第二页，共37页。（1 1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则，则分解后为分解后为有理有理(yul)真分式化为部分分式之和的一般规律：真分式化为部分分式之和的一般规律：特殊特殊(tsh)地：地：分解分解(fnji)后为后为第3页/共36页第三页，共37页。（2 2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊特殊(tsh)地：地：分解分解(fnji)后为后为第4页/共36页第四页，共37页。真分式化为部分真分式化为部分(b fen)分式之和的待定系数分式之和的待定系数法法例例1 1第5页/共36页第五页，共37页。代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数
3、取取取取取取并将并将 值代入值代入例例2 2第6页/共36页第六页，共37页。例例3 3整理整理(zhngl)得得第7页/共36页第七页，共37页。四种典型四种典型(dinxng)部分分式的部分分式的积分积分:机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 变分子(fnz)为 再分项积分 第8页/共36页第八页，共37页。例例4.求求解解: 已知例1(3) 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第9页/共36页第九页，共37页。例例5.求求解解: 原式思考思考(sko): 如何求如何求机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示(tsh):变形方法同例4, 并利用 P209 例9
4、. 第10页/共36页第十页，共37页。例例6.求求解解:机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明(shumng): 将有理函数分解为部分分式进行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行积分虽可行,但不一定(ydng)简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法. 第11页/共36页第十一页，共37页。例例7.求求解解: 原式机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第12页/共36页第十二页，共37页。常规 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 例例8.求求解解: 原式(见P348公式(gngsh)21)注意注意(zh y)本题本题技巧技巧按常规方法较繁按常规方法
5、较繁第13页/共36页第十三页，共37页。二二、可化为有理函数的积分、可化为有理函数的积分(jfn)举例举例设表示(biosh)三角函数有理式 ,令万能(wnnng)代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则第15页/共36页第十五页，共37页。例例9.求求解解: 令则机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第16页/共36页第十六页，共37页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第17页/共36页第十七页，共37页。例例10.求求解解: 说明说明(shumng): 通通常求含常求含的积分(jfn)时,往往(wn
6、gwng)更方便 .的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共36页第十八页，共37页。例例11.求求解解: 因被积函数因被积函数(hnsh)关于关于 cos x 为奇函为奇函数数(hnsh), 可令可令原式机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共36页第十九页，共37页。2.简单无理简单无理(wl)函数的积函数的积分分令令被积函数为简单根式(gnsh)的有理式 , 可通过根式(gnsh)代换 化为有理函数(yu l hn sh)的积分. 例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 令第20页/共36页第二十页，共37页。例例12.求求解解: 令则原式机动
7、 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第21页/共36页第二十一页，共37页。例例13.求求解解: 为去掉被积函数分母为去掉被积函数分母(fnm)中的根式中的根式 , 取根指取根指数数 2 , 3 的的最小公倍数 6 ,则有原式令机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共36页第二十二页，共37页。例例14.求求解解: 令则原式原式机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第23页/共36页第二十三页，共37页。内容内容(nirng)小结小结1. 可积函数可积函数(hnsh)的的特殊类型特殊类型有理函数(yu l hn sh)分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能
8、代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便 , 第24页/共36页第二十四页，共37页。思考思考(sko)与与练习练习如何求下列积分(jfn)更简便 ?解解: 1.2. 原式机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第25页/共36页第二十五页，共37页。作业作业(zuy)P218 3 , 6 , 8 , 9 , 13 , 15, 17 , 18 , 20 , 21第五节 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第26页/共36页第二十六页，共37页。练习题练习题第2
9、7页/共36页第二十七页，共37页。第28页/共36页第二十八页，共37页。第29页/共36页第二十九页，共37页。练习题答案练习题答案第30页/共36页第三十页，共37页。第31页/共36页第三十一页，共37页。第32页/共36页第三十二页，共37页。第33页/共36页第三十三页，共37页。备用备用(biyng)题题1.求不定积分(b dn j fn)解：解：令则, 故机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.第34页/共36页第三十四页，共37页。2.求不定积求不定积分分(bdnjfn)解：解：原式 =前式令; 后式配元机动(jdng) 目录 上页 下页
10、返回 结束 第35页/共36页第三十五页，共37页。感谢您的观看(gunkn)！第36页/共36页第三十六页，共37页。内容(nirng)总结有理函数(yu l hn sh)的定义：。两个多项式的商表示的函数称之.。利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.。（1）分母中若有因式 ，则分解后为。解: 原式。说明: 将有理函数(yu l hn sh)分解为部分分式进行积分虽可行,。第一步 令。第二步 化为部分分式 . 即令。第三步 分项积分 .。t 的有理函数(yu l hn sh)的积分。解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令。解: 令。最小公倍数 6 ,第三十七页，共37页。
